Đang tải... (xem toàn văn)
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN : 1. Họ và tên : NGUYỄN THỊ THANH 2. Ngày tháng năm sinh : 20 04 1987 3. Nam, nữ : NỮ 4. Địa chỉ : Tổ 1, khu 3, TT Gia Ray, huyện Xuân Lộc, tỉnh Đồng Nai 5. Điện thoại : 0906992829 6. Fax : Email : 7. Chức vụ : Giáo viên 8. nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán lớp 12A6, 11C7. 11C11. 9. Đơn vị công tác : Trường THPT Xuân Hưng II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học Năm nhận bằng : 2010 Chuyên ngành đào tạo : Toán học III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC : Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Giảng dạy Toán. Số năm có kinh nghiệm : 05 năm Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây : Các dạng bài tập viết phương trình đường thẳng Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong năm học vừa qua tôi được phân công giảng dạy lớp 12. Đa số học sinh còn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn. Trong chương trình toán THPT, cụ thể là phân môn giải tích 12 học sinh đã được tiếp cận với các vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số. Tuy nhiên, trong chương trình SGK giải tích 12 hiện hành được trình bày ở chương I, phần bài tập đưa ra sau bài học rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thể đưa ra nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kĩ năng giải cho học sinh. Trong khi đó, trong thực tế các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số rất phong phú và đa dạng và đặc biệt trong các đề thi Đại học – Cao đẳng – THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa gọn gàng, sáng sủa. Vì vậy tôi mới tổng hợp một số dạng bài tập để giúp các em học sinh lớp 12 có thể tự học để nâng cao kiến thức, tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học – Cao đẳng –THCN.
BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG Mã số :……………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Người thực : NGUYỄN THỊ THANH Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục : Phương pháp dạy học môn :…………… Phương pháp giáo dục : Lĩnh vực khác :…………………………… Có đính kèm : Mơ hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN : Họ tên : NGUYỄN THỊ THANH Ngày tháng năm sinh : Nam, nữ : NỮ Địa : Tổ 1, khu 3, TT Gia Ray, huyện Xuân Lộc, tỉnh Đồng Nai Điện thoại : 0906992829 Fax : Chức vụ : nhiệm vụ giao: giảng dạy mơn Tốn lớp 12A6, 11C7 11C11 Đơn vị công tác : 20 - 04 - 1987 - E-mail : Giáo viên Trường THPT Xuân Hưng II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học - Năm nhận : - Chuyên ngành đào tạo : Toán học 2010 III KINH NGHIỆM KHOA HỌC : - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm : Giảng dạy Tốn - Số năm có kinh nghiệm : 05 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần : Các dạng tập viết phương trình đường thẳng Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: - Trong năm học vừa qua phân công giảng dạy lớp 12 Đa số học sinh cịn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt - Trong chương trình tốn THPT, cụ thể phân mơn giải tích 12 học sinh tiếp cận với vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số Tuy nhiên, chương trình SGK giải tích 12 hành trình bày chương I, phần tập đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên trình giảng dạy giáo viên chưa thể đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kĩ giải cho học sinh Trong đó, thực tế toán liên quan đến khảo sát hàm số phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Đại học – Cao đẳng – THCN, em gặp lớp toán liên quan đến khảo sát hàm số mà có số em biết phương pháp giải trình bày cịn lúng túng chưa gọn gàng, sáng sủa - Vì tơi tổng hợp số dạng tập để giúp em học sinh lớp 12 tự học để nâng cao kiến thức, tự ôn tập để giải tốt đề thi Đại học – Cao đẳng –THCN II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: Thuận lợi: Học sinh truyền thụ kiến thức vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số Được hỗ trợ giáo viên tổ Khó khăn: Học sinh chưa có thói quen tìm tịi phương pháp giải gặp tốn tổng quát Cần nhiều thời gian để tạo thói quen học tập cho học sinh Số liệu thống kê: Đang áp dụng để giảng dạy cho học sinh khá, giỏi III NỘI DUNG ĐỀ TÀI: Cơ sở lí luận: - Nhiệm vụ trung tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn Tốn cần thiết thiếu đời sống người Môn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học mơn - Muốn học tốt mơn Tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu nơm Tốn cách có hệ thống chương trình phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Trong SGK giải tích 12 nêu số tập liên quan đến khảo sát hàm số đơn giản chưa tạo hứng thú, tìm tịi sáng tạo học sinh Vì gặp toán phức tạo em lúng túng việc tìm lời giải - Do vậy, tơi mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN ) với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán liên quan đến khảo sát hàm số - Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh giải số dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số thường gặp Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: Đưa số toán liên quan đến khảo sát hàm số đề phương pháp giải A LÝ THUYẾT Dấu tam thức bậc 2: a) Dấu tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c( a ≠ 0) : + Nếu ∆ < f(x) ln dấu với a + Nếu ∆ = f(x) dấu với a với x ≠ − b 2a + Nếu ∆ > f(x) dấu với a x < x1 x2 < x trái dấu với a x1 < x < x2 , x1 , x2 hai nghiệm f(x), x1 < x2 a > + ax + bx + c ≥ ⇔ ∆ ≤ a < + ax + bx + c ≤ ⇔ ∆ ≤ b) So sánh hai nghiệm tam thức với số α: f ( x) = ax + bx + c(a ≠ 0) có hai nghiệm x1 , x2 số α ∈ R , ta có: + x1 < α < x2 ⇔ a f (α ) < ∆ > + α < x1 < x2 ⇔ a f (α ) > S α < ∆ > + x1 < x2 < α ⇔ a f (α ) > S + Nếu f ′( x) > ( x0 − h; x0 ) f ′( x) < ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực đại + Nếu f ′( x) < ( x0 − h; x0 ) f ′( x) > ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực tiểu b) Dấu hiệu 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai ( x0 − h; x0 + h) , với h > Khi đó: + Nếu f ′( x0 ) = f ′′( x0 ) < x0 điểm cực đại + Nếu f ′( x0 ) = f ′′( x0 ) > x0 điểm cực tiểu c) x0 điểm cực trị hàm số y = f(x) y ′( x0 ) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C)hàm số y = f(x) M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) y = f ′( x0 )( x − x0 ) + y0 : • Điều kiện tiếp xúc hai đường cong (C1 ) : y = f ( x) (C ) : y = g ( x) (C1 ) f ( x ) = g ( x) tiếp xúc (C2 ) ⇔ ′ có nghiệm f ( x) = g ′( x) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0(a + b ≠ 0) d ( M , ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 Khoảng cách hai điểm A( x A ; y A ) B( x B ; y B ) AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f (x) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) • Tính f ′(x) f ′( x0 ) • Phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) là: y = f ′( x0 )( x − x0 ) + y0 Ví dụ1 : Cho hàm số y = x + x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(1; 5) Giải: Ta có: y ′ = 3x + , y ′(1) = Phương trình tiếp tuyến điểm M(1; 5) là: y = f ′( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = 4( x − 1) + ⇔ y = 4x + Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 • Tính y0 = f ( x0 ) • Tính f ′(x) f ′( x0 ) • Phương trình tiếp tuyến là: y = f ′( x0 )( x − x0 ) + y0 Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến x −1 (C) điểm có hồnh độ Giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Ta có x0 = ⇒ y0 = y′ = −3 ⇒ y ′(2) = −3 ( x − 1) Vậy phương trình tiếp tuyến điểm M(2; 5) là: y = −3( x − 2) + ⇔ y = −3x + 11 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − x + x − có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại giao điểm (C) với trục hoành b) Tại giao điểm (C) với trục tung c) Tại điểm x0 nghiệm phương trình y ′′( x0 ) = Giải: a) Gọi A( x0 ; y0 ) tiếp điểm Ta có A = (C ) ∩ Ox nên y0 = x0 nghiệm phương trình x − x + x − = ⇔ x = Vậy A(2; 0) Ta có y ′ = 3x − x + ⇒ y ′(2) = Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 6( x − 2) + ⇔ y = x − 12 b) Gọi B( x0 ; y0 ) tiếp điểm Vì B = (C ) ∩ Oy nên x0 = ⇒ y0 = y (0) = −4 y ′(0) = Vậy phương trình tiếp tuyến điểm B(0; -4) là: y = x − c) Ta có: y ′′ = x − Gọi C ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Ta có: x0 − = ⇔ x0 = ⇒ y0 = − 88 2 , y ′( ) = 27 3 − 88 ) là: 27 Vậy phương trình tiếp tuyến điểm C ( ; 2 88 100 y = (x − ) − ⇔ y = x− 3 27 27 Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ y0 • Ta có y0 = f ( x0 ) ⇒ x0 • Tính f ′(x) f ′( x0 ) • Phương trình tiếp tuyến là: y = f ′( x0 )( x − x0 ) + y0 Ví dụ 4: Cho hàm số y = x − x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ Giải: Ta có y ′ = x − x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm x0 = −1 9 ⇔ x0 = ±3 Ta có y0 = ⇔ x0 − x0 = ⇔ x0 − x0 − = ⇔ 4 x0 = 9 + Với x0 = 3, y0 = , y ′(3) = 15 Phương trình tiếp tuyến điểm M (3; ) là: y = 15( x − 3) + 171 = 15 x − 4 + Với x0 = −3, y0 = , y ′(−3) = −15 Phương trình tiếp tuyến điểm 9 171 M (−3; ) là: y = −15( x + 3) + = −15 x − 4 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu: y = 15 x − 171 171 y = −15 x − 4 Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến có hệ số góc k Cách 1: • Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm • Ta có f ′( x0 ) = k ⇒ x0 • x ⇒ y = f ( x0 ) • Phương trình tiếp tuyến là: y = k ( x − x0 ) + y0 Cách 2: • Tiếp tuyến có phương trình dạng: y = kx + b f ( x) = kx + b • Điều kiện tiếp xúc: hệ f ′( x) = k có nghiệm ⇒ b • Kết luận Chú ý: + Tiếp tuyến song song đường thẳng d: y = ax + b f ′( x0 ) = a + Tiếp tuyến song song đường thẳng d: y = ax + b f ′( x0 ) = − a Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 3x − biết tiếp x+2 tuyến có hệ số góc Giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Ta có y ′ = ( x + 2) Theo đề ta có: y ′( x0 ) = ⇔ x0 = −3 = ⇔ ( x0 + 2) = ⇔ ( x0 + 2) x0 = −1 + Với x0 = −3 ⇒ y0 = 10 Vậy phương trình tiếp tuyến điểm M (−3;10) là: y = 7( x + 3) + 10 = x + 31 + Với x0 = −1 ⇒ y0 = −4 Vậy phương trình tiếp tuyến điểm M (−1;−4) là: y = 7( x + 1) − = x + 3 Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + x − , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = − x + Giải: Gọi N ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Ta có: y ′ = x + x Vì tiếp tuyến song song với d : y = − x + nên y ′( x0 ) = −1 ⇔ x0 + x0 + = ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = − 3 Vậy phương trình tiếp tuyến điểm N (−1;− ) là: y = −( x + 1) − = − x − Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + x + , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x + y − = Giải: 10 Ta có y = ( x − m +1 ) y ′ + (− m + 2m − 1) x + m(m + 1) Phương trình đường thẳng qua hai cực trị A, B là: y = (−m + 2m − 1) x + m(m + 1) ⇔ (− m + 2m − 1) x − y + m(m + 1) AB có vectơ pháp tuyến n AB = (−m + 2m − 1;−1 ), d có VTPT là: n = (1;−1) m = m = 2 Vì AB ⊥ d nên n AB n = ⇔ −m + 2m − + = ⇔ −m + 2m = ⇔ (**) Kết hợp (*) (**) ta có m = m = Bài tốn 10: Tìm m để hàm số bậc có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa điều kiện cho trước • Tìm tập xác định • Tính y ′ a ≠ • Hàm số có hai cực trị ⇔ y ′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇒ m y′ (*) • Tìm x1 , x2 theo m • Dựa vào điều kiện cho trước suy m (**) • Kết hợp (*) (**) kết luận giá trị m Ví dụ 19: Tìm m để hàm số y = x − mx − 2(3m − 1) x + x1 , x2 Giải: có hai điểm cực trị cho x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = TXĐ: D = R y ′ = x − 2mx − 2(3m − 1) Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y ′ = có hai nghiệm phân biệt m < − 13 ⇔ ∆′ > ⇔ 13m − > ⇔ m > 13 32 (*) x1 , x2 Mà hai điểm cực trị ta có: x1 + x2 = m , x1.x2 = − 3m m = x1 x + 2( x1 + x ) = ⇔ − 3m + 2m = ⇔ 3m − 2m = ⇔ m = Kết hợp (*) (**) ta có m = (**) thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 20: Tìm m để hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m có hai điểm cực trị x1 , x2 cho x1 − x2 ≤ Giải: TXĐ: D = R y ′ = x − 6(m + 1) x + Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y ′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ 9( m + 1) − 27 > ⇔ m > −1 + ∨ m < −1 − (*) x1 , x2 hai điểm cực trị ta có: x1 + x2 = 2(m + 1) , x1 x2 = Mà x1 − x2 ≤ ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 ≤ ⇔ (m + 1) ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ (**) Kết hợp (*) (**) ta − < m < −1 − ∨ −1 + < m < Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số y = f ( x, m) dạt cực trị x0 • Tìm tập xác định • Tính y ′ • x0 cực trị ⇒ y ′( x0 ) = ⇒ m • Thử lại + Cách 1: Dùng bảng biến thiên + Cách 2: Tính y ′′ , xét dấu y ′′( x0 ) • Kết luận Chú ý: Cách thường dùng cho hàm số tính y ′′ phức tạp cách thường dùng cho hàm tính y ′′ đơn giản, hàm lượng giác Ví dụ 21: Tìm m để hàm số y = x + (m − m + 2) x + (3m + 1) x + m − đạt cực tiểu x = −2 33 Giải: TXĐ: D = R y ′ = x + 2(m − m + 2) x + (3m + 1) Ta có x = −2 điểm cực tiểu nên m = y ′(−2) = ⇔ (−2) + 2(m − m + 2)(−2) + (3m + 1) = ⇔ − m + 4m − = ⇔ m = Thử lại: Cách 1: + Với m = y = x + x + x − , y ′ = x + x + = ( x + 2) ≥ 0, ∀x Hàm số đồng biến R suy hàm số khơng có cực trị Vậy m = không thỏa yêu cầu x = −2 x = −14 + Với m = y = x + x + 28 x − , y ′ = x + 16 x + 28 , y ′ = ⇔ Bảng biến thiên: x −∞ y′ -14 + +∞ -2 - + y x = -2 điểm cực tiểu m = thỏa yêu cầu Vậy m = hàm số đạt cực tiểu x = -2 Cách 2: + Với m = y = x + x + x − , y ′ = x + x + 4, y ′′ = x + 4, y ′′(−2) = x = -2 la điểm cực trị Vậy m = không thỏa yêu cầu tốn + Với m = y = x + x + 28 x − , y ′ = x + 16 x + 28 y ′′ = x + 16, y ′′(−2) = 12 > 34 Vậy m= thỏa yêu cầu Kết luận: m = x = -2 điểm cực tiểu Ví dụ 22: Tìm m để hàm số y = Giải: TXĐ: D = R \ { − m} Ta có: y ′ = Vì x + mx + đạt cực đại x = x+m x=2 x + 2mx + m − ( x + m) nên y ′(2) = ⇔ m = −1 2 + 2m.2 + m − = ⇔ m + 4m + = ⇔ ( + m) m = −3 Thử lại: 2 x − x + ′ x − 2x y′ = ⇔ x − 2x = ⇔ x = + Với m = -1 ta có: y = , y = , x = ( x − 1) ( x − 1) x −1 Bảng biến thiên: −∞ x y′ + y - +∞ || - + +∞ -1 || −∞ −∞ +∞ x = điểm cực tiểu m = -1 không thỏa yêu cầu 2 x − 3x + ′ x − x + y ′ = ⇔ x − x + = ⇔ x = + Với m =-3 ta có: y = , y = , x = ( x − 1) ( x − 3) x−3 Bảng biến thiên: x −∞ y′ + y - || −∞ - || + ∞ +∞ −∞ +∞ 35 + x = điểm cực đại m = -3 thỏa yêu cầu kết luận: m = -3 thỏa yêu cầu Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm bậc y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) Cách 1: • Tìm tập xác định • Tính hai điểm cực trị A( x A ; y A ), B( x B ; y B ) • Đường thẳng qua hai điểm cực trị đường thẳng AB có phương x−x y− y A B trình dạng: x − x = y − y ( xB − x A ≠ yB − y A ≠ ) B A B A Cách 2: • Tính y ′ • Lấy y chia cho y ′ thương q(x) , dư r ( x) = ax + b Ta viết y = y ′.q( x) + r ( x) • Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cực trị hàm số, ta có y0 = ax0 + b ( y ′( x0 ) = ) ⇒ M ( x0 ; y0 ) ∈ d : y = ax = b • Đường thẳng qua hai điểm cực trị y = r ( x) = ax + b Ví dụ 23: Cho hàm số y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m a) Chứng minh hàm số có hai cực trị với m b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số Giải: a) TXĐ: D = R y ′ = −3 x + 6mx + 3(1 − m ) ∆ ′ = 9m + 9(1 − m ) = > 0, ∀m Suy phương trình y ′ = có hai nghiệm phân biệt với m Vậy hàm số có hai cực trị với m b) Cách 1: gọi A, B hai điểm cực trị hàm số 36 Ta có A(m − 1;−m + 3m − 2), B(m + 1;−m + 3m + 2) AB = (2;4) Đường thẳng AB qua A có VTPT n AB = (2;−1) là: 2( x − m + 1) − ( y + m − 3m + 2) = ⇔ x − y − m + m = Vậy phương trình đường thẳng qua hai cực trị là: x − y − m + m = Cách 2: m Ta có: y = ( x − ) y ′ + x − m + m Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cực trị Ta có: m y = ( x0 − ) y ′( x0 ) + x0 − m + m = x − m + m 3 Vậy đường thẳng qua hai điểm cực trị là: x − y − m + m = Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm y= ax + bx + c u ( x) = dx + e v( x) u ′( x ) 2a b • Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cực trị Ta có y0 = ′ = x0 + v ( x0 ) d d ⇒ M ∈ đt : y = 2a b x+ d d • Đường thẳng qua hai điểm cực trị y = 2a b x+ d d − x + 3x + p Ví dụ 2: Cho hàm số y = Tìm m để hàm số có hai cực trị Viết x−4 phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Giải: * Tập xác định D = R \ { 4} Ta có y ′ = − x + x − 12 − p g ( x) = ( x − 4) ( x − 4) ∆′g > Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ g ( x) = có hai nghiệm khác ⇔ g ( 4) ≠ 37 4 − p > p < ⇔ ⇔ ⇔ p m > m − = m = ⇔ + : phương trình có nghiệm m − < −1 m < ⇔ + : phương trình có hai nghiệm m − = −1 m = + − < m − < ⇔ < m < : phương trình có ba nghiệm Ví dụ 3: Cho hàm số y = − x + x + có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x − x + m = có nghiệm phân biệt Giải: a) TXĐ: D = R x = y ′ = −4 x + 12 x, y ′ = ⇔ −4 x + 12 x = ⇔ x = ± Giới hạn: xlim y = −∞, xlim y = −∞ →−∞ →+∞ Bảng biến thiên: x −∞ − 3 40 +∞ y′ + y - + 10 - 10 −∞ −∞ Hàm số đồng biến (−∞;− ), (0; ) , hàm số nghịch biến (− 3;0), ( 3;+∞) Hàm số đạt cực đại x = ± , yCĐ = 10 , hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = 10 y =m+1 -15 -10 -5 10 15 -2 -4 b) Ta có x − x + m = ⇔ − x + x + = m + Số nghiệm phương trình số giao điểm (C) d: y =m +1 Dựa vào đồ thị ta có: < m + < 10 ⇔ < m < d cắt (C) điểm phân biệt Vậy < m < phương trình có nghiệm phân biệt Bài tốn 2: Tìm m để (C): y = ax + bx + cx + d d : y = kx + m có điểm chung • Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: ax + bx + cx + d = kx + m ⇔ ( x − x0 )( Ax + Bx + C ) = x − x0 = x = x0 ⇔ ⇔ Ax + Bx + C = g ( x) = 41 ∆ g < • + (C) d có điểm chung ⇔ ∆ g = g ( x ) = ∆ g = ∆ g > ∨ g ( x0 ) ≠ g ( x ) = + (C) d có hai điểm chung ⇔ ∆ g > + (C) có ba nghiệm phân biệt ⇔ g ( x0 ) ≠ Ví dụ 4: Cho hàm số y = x − 3mx + (m − 1) x + có đồ thị ( C m ) Tìm m để ( C m ) cắt đường thẳng d: y = -x +1 ba điểm phân biệt Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: x − 3mx + (m − 1) x + = − x + x = ⇔ x (2 x − 3mx + m) = ⇔ ⇔ 2 x − 3mx + m = x = g ( x) = (C m ) cắt d điểm phân biệt f(x) = có hai nghiệm phân biệt khác ∆ g > 9m − 8m > m < ∨ < m ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m < 0∨ < m 9 m ≠ g (0) ≠ m ≠ Vậy m < k > k > ⇔ ⇔ (*) g (−1) ≠ 9 − k ≠ k ≠ hai nghiệm phân biệt khác -1 ⇔ Ta có A(−1;0) ∈ (C ) nên d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình g(x) = ta có B( x1 ; kx1 + k ), C( x2 ; kx2 + k ) BC = ( x2 − x1 ; k ( x2 − x1 )) [ ] BC = ( x2 − x1 ) + k ( x2 − x1 ) = (1 + k ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 = (1 + k )4k ( x1 + x2 = 4, x1 x2 = − k ) Đường thẳng BC qua B có VTPT n = (k ;−1) là: kx – y – k = d (O; BC ) = k k +1 k = ⇔ k k = ⇔ k = ⇔ k = (**) Mà S OBC = BC.d (O, BC ) = (1 + k )4k 1+ k Từ (*) (**) ta có k = thỏa yêu cầu toán Bài toán 3: Tìm m để đồ thị (C) hàm số y = ax + b cắt đường thẳng cx + d d : y = mx + n hai điểm phân biệt • Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: x≠− d ) c ⇔ Ax + Bx + C = ⇔ g ( x) = 43 ax + b = mx + n cx + d (ĐK • (C) cắt d hai điểm phân biệt ⇔ g ( x) = có hai nghiệm phân biệt khác A ≠ d ⇒m − ⇔ ∆ > c d g (− ) ≠ c Ví dụ 6: Cho hàm số y = x có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng x −1 y = -x + m cắt (C) hai điểm phân biệt Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: x = − x + m ⇔ x − mx + m = ⇔ g ( x ) = x −1 ( ĐK x ≠ ) (C) cắt d hai điểm phân biệt ⇔ g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác ∆ g > m − 4m > m < ⇔ ⇔ ⇔ m > g (1) ≠ 1 ≠ Ví dụ 7: Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d: x +1 y = -2x + m cắt (C) hai điêm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích ( O gốc tọa độ) Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x + = −2 x + m ⇔ x + (4 − m) x + − m = ( x ≠ −1) x +1 (1) Ta có ∆ = (4 − m) − 8(1 − m) = m + > 0, ∀m Nên d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B với m (*) Gọi x1 , x2 hai nghiệm (1) ta có y1 = −2 x1 + m, y = −2 x2 + m Tọa độ A( x1 ;−2 x1 + m), B( x2 ;−2 x2 + m) suy AB = ( x2 − x1 ;−2( x2 − x1 )) AB = ( x2 − x1 ) + 4( x2 − x1 ) = 5( x2 − x1 ) = 5( x2 + x1 ) − 20 x1 x2 = 44 5( m + 8) Đường thằng AB qua A có VTPT n = (2;1) có phương trình là: 2( x − x1 ) + ( y + x1 − m) = ⇔ x + y − m = Ta có d (O, AB) = S OAB m 1 m 5(m + 8) = d (O, AB ) = ⇔ = ⇔ m m2 + = 2 m = ⇔ m + 8m − 48 = ⇔ ⇔ m = ±2(**) m = −12 Kết hợp (*) (**) ta m = ±2 Ví dụ 8: Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d: x +1 y = kx +2k+1 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: 2x + = kx + 2k + ⇔ kx + (3k − 1) x + 2k = (1) x +1 ( ĐK: x ≠ −1 ) d cắt (C) hai điểm phân biệt A B ⇔ (1)có hai nghiệm phân biệt khác -1 k ≠ k ≠ k ≠ ⇔ ∆ > ⇔ k − k + > ⇔ (*) k < − 2 ∨ k > + 2 k (−1) + (3k − 1)(−1) + 2k ≠ 1 ≠ Gọi x1 ; x2 hai nghiệm (1) Ta có A( x1 ; kx1 + 2k + 1), B( x2 ; kx2 + 2k + 1) kx + 2k + = kx2 + 2k + d ( A; Ox) = d ( B; Ox) ⇔ kx1 + 2k + = kx2 + 2k + ⇔ kx1 + 2k + = −(kx2 + 2k + 1) k ( x1 − x2 ) = k = 0(do : x1 ≠ x2 ) ⇔ ⇔ ⇔ k ( x1 + x2 ) + 4k + = k ( x1 + x2 ) + 4k + = k ( x1 + x2 ) + 4k + = ⇔ k ( x1 + x2 ) + 4k + = (do k ≠ ) 45 Mà x1 + x2 = − 3k k Suy k ( x1 + x2 ) + 4k + = ⇔ (1 − 3k ) + 4k + = ⇔ k = −3 thỏa điều kiện (*) Vậy k = -3 Bài tốn 4: Tìm m để đồ thị (C) hàm số y = ax + bx + c cắt trục Ox n điểm 0≤n≤4 • Phương trình hồnh độ giao điểm là: ax + bx + c = c a • Tính ∆ = b − 4ac , P = , S = − (1) b theo m a • Số giao điểm (C) Ox số nghiệm phương trình (1) ∆ > ∆ = + (1) vô nghiệm ∆ < S < S < P < ∆ = P = ∨ S = S < + (1) có nghiệm ⇔ ∆ = ∨P + (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > + (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ S > P = ∆ > + (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ S > P > Ví dụ 9: Cho hàm số y = x − (3m + 2) x + 3m ( Cm ) Tìm để ( Cm ) cắt đường thẳng y = -1 bốn điểm phân biệt Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm ( Cm ) đường thẳng d: y = -1 là: x − (3m + 2) x + 3m = −1 ⇔ x − (3m + 2) x + 3m + = (1) x2 = ⇔ x = 3m + 46 ... liên quan đến khảo sát hàm số - Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh giải số dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số thường gặp Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: Đưa số toán liên quan. .. 2015 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2014-2015 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Họ tên tác giả: NGUYỄN THỊ THANH... trình đường thẳng Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: - Trong năm học vừa qua phân công giảng dạy lớp 12 Đa số học sinh cịn chậm,