Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 245 BÀI 3. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC, GÓC NHÂN ĐÔI I. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC 2 1 cos 2 sin ; 2 x x − = 2 1 cos 2 cos 2 x x + = ; 1 sin cos sin 2 2 x x x = ; 2 1 cos 2 tan ; 1 cos 2 x x x − = + 3 sin 3 3sin sin 4 x x x − + = ; 3 cos 3 3cos cos 4 x x x + = ; 3 sin 3 3sin tan ; cos 3 3cos x x x x x − + = + CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x − = − (1) Giải ( ) 1 cos 6 1 cos 8 1 cos10 1 cos12 1 2 2 2 2 x x x x − + − + ⇔ − = − cos 6 cos8 cos10 cos12 2 cos 7 cos 2cos11 cos x x x x x x x x ⇔ + = + ⇔ = ( ) cos 0 cos cos11 cos 7 0 cos11 cos 7 x x x x x x =  ⇔ − = ⇔  =  ( ) 2 9 k k x x k π π ⇔ = ∨ = ∈ » Bài 2. a. Giải phương trình: 2 2 2 2 cos cos 2 cos 3 cos 4 2 x x x x + + + = (1) b. Giải phương trình: 2 2 2 2 3 cos cos 2 cos 3 cos 4 2 x x x x + + + = (2) Giải a. ( ) 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 1 cos8 1 2 2 2 2 2 x x x x+ + + + ⇔ + + + = ( ) ( ) cos 2 cos8 cos 4 cos 6 0 2 cos 5 cos 3 2 cos 5 cos 0 x x x x x x x x ⇔ + + + = ⇔ + = ( ) 2 cos 5 cos 3 cos 0 4 cos 5 cos 2 cos 0 x x x x x x ⇔ + = ⇔ = { } ( ) cos 0 cos 2 0 cos 5 0 ; 4 2 10 5 k k x x x x k π π π π ⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ ∈ + + ∈ » b. ( ) 2 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 3 2 cos 4 2 2 2 2 x x x x + + + ⇔ + + + = ( ) 2 2 cos 2 cos 6 cos 4 cos 4 0 2 cos 4 cos 2 cos 4 2 cos 4 0 2 x x x x x x x x + + ⇔ + = ⇔ + + = ( ) ( ) 2 cos 4 2 cos 4 2 cos 2 1 0 cos 4 4 cos 2 2 cos 2 1 0 x x x x x x ⇔ + + = ⇔ + − = ( ) cos 4 cos cos 4 0 8 4 2 1 5 2 cos 2 cos 2 cos 4 5 5 4 2 1 5 cos 2 cos cos 2 5 5 4 k x x x x x x k k x x k x π π π   = + = =       − + π π  ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + π ∈       π π   − − = = ± + π  =      » Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 246 Bài 3. a. Giải phương trình: 2 4 cos cos 3 x x = (1) b. Giải phương trình: 2 3 4 1 2 cos 3cos 5 5 x x + = (2) Giải a. ( ) 1 cos 2 4 4 1 cos 1 cos 2 2cos 2 3 3 x x x x + ⇔ = ⇔ + = . Đặt 2 3 x t = Khi đó: ( ) 3 2 1 cos 3 2cos 2 1 4 cos 3cos 2 2 cos 1 t t t t t + = ⇔ + − = − ( ) ( ) 3 2 2 4 cos 4 cos 3cos 3 0 cos 1 4 cos 3 0 t t t t t ⇔ − − + = ⇔ − − = 2 cos 1 cos 1 3 1 cos 2 cos 2 4 t t t t = =     ⇔ ⇔ = =     ( ) 2 2 3 3 3 4 2 2 4 2 3 3 x t k x k k k xx t k  = = π = π    ⇔ ⇔ ∈ π π  = ± +π  = = ± + π    » b. ( ) ( ) 6 4 2 1 1 cos 3cos 5 5 x x ⇔ + + = . Đặt 2 5 x t = Khi đó: ( ) 3 2 2 cos 3 3cos 2 2 cos 3cos 3 2cos 1 t t t t t + = ⇔ + − = − ( ) ( ) 3 2 2 4 cos 6 cos 3cos 5 0 cos 1 4 cos 2 cos 5 0 t t t t t t ⇔ − − + = ⇔ − − − = ( ) 2 cos 1 cos 0 2 5 5 5 1 21 52 cos cos 2 2 4 5 x t t k x k k x kx t t k  = =  = = π = π     ⇔ ⇔ ⇔ ∈ α  −  = ± + π  = = α = = ±α + π     » Bài 4. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 4 4 sin 2 cos 2 cos 4 1 tan tan 4 4 x x x x x + = π π − + Giải Điều kiện: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2sin cos sin 2 cos 2 0 4 4 2 2 4 2 2sin cos sin 2 cos 2 0 4 4 2 x x x x k x x x x x  π π π − − = − = ≠  π π ⇔ ≠ +  π π π  + + = + = ≠  Để ý rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) tan tan tan cot 1 4 4 4 4 x x x x π π π π − + = − − = Do đó với điều kiện (2) thì ( ) 4 4 4 1 sin 2 sin 2 cos 4 x x x ⇔ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 1 cos 4 1 cos 4 cos 4 1 cos 4 1 cos 4 4 cos 4 2 2 x x x x x x − + ⇔ + = ⇔ − + + = 4 2 2 2 cos 4 cos 4 1 0 cos 4 1 sin 4 0 2 k x x x x x π ⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 247 Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 4 7 sin cos cot cot 1 8 3 6 x x x π π + = + − Giải Điều kiện: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2sin sin 2 sin cos sin 2 0 3 6 3 3 3 x x x x x π π π π π + − = + + = + ≠ Để ý rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) cot cot cot tan 1 3 6 3 3 x x x x π π π π + − = + ⋅ + = nên ( ) ( ) ( ) 2 4 4 7 1 cos 2 1 cos 2 7 1 sin cos 8 2 2 8 x x x x − + ⇔ + = ⇔ + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 7 7 1 cos 2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 2 x x x ⇔ − + + = ⇔ + = ( ) 1 cos 4 7 1 1 cos 4 2 4 2 12 2 x n x x n + π π ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ » Bài 6. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4 4 9 sin sin sin 4 4 8 x x x π π + + + − = Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 cos 2 9 1 1 1 cos 2 1 cos 2 2 2 2 2 2 8 x x x     − π π ⇔ + − + + − − =         ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 2 x x x ⇔ − + + + − = 2 2 9 4 cos 2 sin 2 2cos 2 4 cos 2 1 0 2 x x x x ⇔ − + = ⇔ + − = ( ) 2 6 cos 2 cos 2 2 2 2 x x k x k k − + α ⇔ = = α ⇔ = ±α + π ⇔ = ± + π ∈ » Bài 7. Giải phương trình: 8 8 2 17 sin cos cos 2 16 x x x + = (1) Giải ( ) ( ) ( ) 4 4 2 1 cos 2 1 cos 2 17 1 cos 2 2 2 16 x x x − + ⇔ + = ( ) ( ) 4 4 2 cos 2 1 cos 2 1 17 cos 2 x x x ⇔ + + − = Đặt cos 2 t x = . Khi đó phương trình ( ) ( ) 4 4 2 1 1 17 t t t ⇔ + + − = ( ) ( ) 4 3 2 4 3 2 2 4 2 4 6 4 1 4 6 4 1 17 2 5 2 0 t t t t t t t t t t t + + + + + − + − + = ⇔ − + = ( ) 2 2 1 cos 4 1 1 cos 2 cos 4 0 4 2 2 2 2 8 4 x k t x x x k x k + π π π ⇔ = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + ∈ » Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 248 Bài 8. a. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 cos cos 3 sin sin 3 1 4 x x x x+ = b. Giải phương trình: 3 3 3 cos cos 3 sin sin 3 cos 4 x x x x x + = (2) Giải 3 cos 3 3cos sin 3 3sin cos cos 3 sin sin 3 cos 3 sin 3 4 4 x x x x x x x x x x + − + + = ⋅ + ⋅ ( ) ( ) 2 2 3 1 cos 3 sin 3 cos 3 cos sin 3 sin 4 4 x x x x x x = − + + ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 cos 6 cos 3 4 cos 2 3cos 2 cos 2 cos 2 4 4 4 4 x x x x x x x = + − = − + = a. ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 1 cos 2 cos 2 4 8 2 2 8 x x x k k   π ⇔ = = = ⇔ = ⇔ = ± + π ∈     » b. ( ) ( ) 3 3 4 2 2 2 cos 2 cos 4 cos 4 cos 2 3 4 2 2 x x k k x x x x x k x x k = − + π  π ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ = ∈  = + π  » Bài 9. Giải phương trình: 3 3 3 1 cos .cos3 sin .sin 3 cos 4 4 x x x x x − = + Giải 3 3 cos 3 3cos sin 3 3sin cos .cos3 sin sin 3 cos 3 sin 3 4 4 x x x x x x x x x x + − + − = ⋅ − ⋅ ( ) ( ) 2 2 3 3 1 1 cos 3 sin 3 cos 3 cos sin 3 sin cos 4 4 4 4 4 x x x x x x x = + + − = + 3 3 3 1 1 cos 4 cos 4 4cos 4 3cos 4 0 cos12 0 4 4 4 24 12 k x x x x x x π π + = + ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + Bài 10. Giải phương trình: ( ) 3 3 4sin .sin 3 4 sin .cos3 3 3 cos 4 3 1 x x x x x+ + = Giải VT (1) ( ) ( ) cos 3 3cos sin 3 sin 3 3sin cos 3 3 3 cos 4 x x x x x x x = + + − + + ( ) 3 sin 3 cos sin cos3 3 3 cos 4 3sin 4 3 3 cos 4 x x x x x x x = + + = + Khi đó ( ) 3 1 1 1 sin 4 3 cos 4 1 sin 4 cos 4 2 2 2 x x x x ⇔ + = ⇔ + = ( ) 1 cos sin 4 sin cos 4 sin 4 sin 3 3 2 3 6 x x x π π π π ⇔ + = ⇔ + = ( ) 4 2 3 6 24 2 5 4 2 8 2 3 6 k x k x k k x x k π π π π   + = + π = − +   ⇔ ⇔ ∈   π ππ π = + + = + π     » Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 249 II. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI 1. CÔNG THỨC SỬ DỤNG ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin sin 2 sin cos 1 cos 2 2 cos 1 cos 2 1 2 sin sin 2 1 sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x =   = −   = + − = −     = − = − −   2 2 2 2 2 2 2 2 tan tan , sin tan 2 2 1 1 tan 2 1 cot 1 tan , cos cot 2 2 cot 1 1 x t x t x x t x t t x x x x x t t   = = =   +  −   − −   = = =   − +  2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Giải phương trình: 4 6 cos sin cos 2 x x x + = (1) Giải ( ) ( ) ( ) 4 6 2 2 4 6 2 2 2 2 1 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x ⇔ + = − ⇔ + = − + 4 6 4 4 6 4 cos sin cos sin sin sin 0 x x x x x x ⇔ + = − ⇔ + = ( ) ( ) 4 2 sin sin 1 0 sin 0x x x x k k⇔ + = ⇔ = ⇔ = π ∈ » Bài 2. Giải phương trình: cos 2 5sin 2 0 x x + + = (1) Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2sin 5sin 2 0 2sin 5sin 3 0 2sin 1 sin 3 0 x x x x x x ⇔ − + + = ⇔ − − = ⇔ + − = { } ( ) 5 1 2sin 1 0 sin 2 ; 2 2 6 6 x x x k k k −π − π − ⇔ + = ⇔ = ⇔ ∈ + π + π ∈ » Bài 3. Giải phương trình: 3 2sin cos 2 cos 0 x x x − + = (1) Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 2 sin 1 2sin cos 0 2 sin 1 sin 1 cos 0 x x x x x x ⇔ − − + = ⇔ + − − = ( ) ( ) [ ] 1 cos 1 2 sin cos 2 sin cos 0 x x x x x ⇔ − + + + = ( ) ( ) ( ) 2 1 cos sin cos 2 sin cos 0 x x x x x   ⇔ − + + + =   ( ) ( ) ( ) 1 cos sin cos sin cos 2 0 x x x x x ⇔ − + + + = ( ) ( ) 1 cos 0 cos 1 2 sin cos 0 tg 1 2 4 sin cos 2 sin 2 4 x x x k x x x k x k x x x − = =   = π     ⇔ + = ⇔ = − ⇔ ∈ −π   = + π     + = − π  + = −   » Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 250 Bài 4. Giải phương trình: 4 6 cos cos 2 2 sin 0 x x x − + = (1) Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 6 2 2 2 4 1 cos 1 2sin 2sin 0 cos 1 cos 1 2sin 1 sin 0 x x x x x x x ⇔ − − + = ⇔ − + + + = ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 4 2 sin 2 1 sin cos 1 0 sin 2sin sin 0 x x x x x x   ⇔ + − + = ⇔ + =   ( ) ( ) 4 2 4 sin 2sin 1 0 sin 0 sin 0x x x x x k k⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = π ∈ » Bài 5. Giải phương trình: 4 cos 2 cos 2 cos 4 1 x x x − − = (1) Giải ( ) ( ) 1 4 cos 2 cos 2 cos 4 1 0 x x x ⇔ − − + = ( ) 2 cos 2 2 cos 2 .cos 0 x x x ⇔ − = ( ) [ ] cos 0 2 cos 2 cos 3 cos 0 cos 1 cos 3 1 x x x x x x =   ⇔ − + = ⇔ =     =   cos 0 2 cos 1 2 x k x x x π  = + π =   ⇔ ⇔  =   = π  Bài 6. Giải phương trình: 3 3 sin cos cos 2 x x x + = (1) Giải (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x ⇔ + + − = + − ( ) ( ) [ ] cos sin 1 cos sin cos sin 0 x x x x x x ⇔ + − − − = a) Xét ( ) cos sin 0 tg 1 4 x x x x k k −π + = ⇔ = − ⇔ = + π ∈ » b) Xét sin cos cos sin 1 0 x x x x − − + = (2) Đặt ( ) 2 1 sin cos 2 sin 2, 2 sin cos 4 2 t t x x x x x π −   = − = − ∈ − ⇒ =   . Khi đó (2) ( ) 2 2 1 2 0 t t ⇔ − − + = ( ) { } 3 1 1 sin 2 ; 2 4 2 2 t x x k k π π − ⇔ = − ⇔ − = ⇔ ∈ π + π Bài 7. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 sin sin cos sin 2 cos 1 2 2 4 2 x x x x x π + − = − Giải ( ) ( ) 2 1 1 sin sin cos sin 1 cos 1 sin 2 2 2 x x x x x x π ⇔ + − = + − = + ( ) ( ) sin sin cos sin 1 0 sin sin cos 2 sin cos 1 0 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x   ⇔ − − = ⇔ − − =     ( ) ( ) ( ) 2 2 sin sin 2sin 1 sin 1 0 sin sin 1 2sin 2sin 1 0 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x   ⇔ − − − = ⇔ − + + =     ( ) ( ) 2 2 sin sin 1 sin sin 1 0 2 2 2 x x x x   ⇔ − + + =     ( ) x k k⇔ = π ∈ » Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 251 Bài 8. Giải phương trình: ( ) sin 4 cos 4 1 4 sin cos x x x x − = + − (1) Giải ( ) ( ) ( ) 2 1 sin 4 1 cos 4 4 sin cos 2sin 2 cos2 2cos 2 4 cos sin x x x x x x x x x ⇔ = + + − ⇔ = − − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos sin cos 2 sin 2 4 cos sin 0 x x x x x x ⇔ − − − − = ( ) ( )( ) [ ] 2 cos sin cos sin cos 2 sin 2 2 0 x x x x x x ⇔ − + − − = Xét cos sin 0 tg 1 4 x x x x k π − = ⇔ = ⇔ = + π Xét ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos 2 sin 2 2 0 2 cos cos 2 2 0 4 4 x x x x x x π π + − − = ⇔ − + − = ( ) ( ) cos 3 cos 2 cos 3 sin 2 2 x x x x π ⇔ + + = ⇔ + − = ( ) 2 sin 1 cos 0 sin 1 cos 3 1 cos 4 cos 3 1 x x x x x x = − ⇒ =  − =  ⇔ ⇔ ⇒   = − =    Vô lý Kết luận: Phương trình chỉ có nghiệm 4 x k π = + π ( ) k ∈ » Bài 9. Giải phương trình: 2 cos 2 tan 2 x x+ = (1) Giải Sử dụng công thức 2 2 1 cos 1 t x t − = + với tan 2 x t = , khi đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 tan 2 1 2 2 tan 2 1 tan 1 tan 2 tan 1 tan 2 2 2 2 2 1 tan 2 x x x x x x x − ⇔ + = ⇔ + + − = + + ( ) ( ) 3 2 2 2 tan tan 2 tan 3 0 tan 1 2 tan tan 3 0 2 2 2 2 2 2 x x x x x x ⇔ − + − = ⇔ − + + = ( ) ( ) 2 21 11 tan 1 tan tan 0 tan 1 0 tan 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 x x x x x x k   π ⇔ − + + + = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + π     Bài 10. Giải phương trình: ( ) ( ) 1 tan 1 sin 2 1 tan x x x − + = + (1) Giải ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2tan 1 1 tan 1 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan x x x x x x x x   ⇔ − + = + ⇔ − + = + +   +   ( ) 2 2 tan 1 tan 0 x x ⇔ + = { } tan 0 tan 1 ; 4 x x x k k −π ⇔ = ∨ = − ⇔ ∈ π + π Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 252 Bài 11. Giải phương trình: ( ) 1 3 tan 2sin 2 1 x x+ = Giải ( ) ( ) ( ) 2 2 2 tan 1 1 3 tan 2 1 3 tan 1 tan 4 tan 1 tan x x x x x x ⇔ + = ⋅ ⇔ + + = + ( ) ( ) 2 tan 1 3tan 2 tan 1 0 x x x ⇔ + − + = tan 1 0 tan 1 4 x x x k −π ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = + π Bài 12. Giải phương trình: cot tan 2 tan 2 x x x = + (1) Giải ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 tan 1 tan 4 tan 1 1 tan 2 1 tan 4tan tan tan 1 tan 1 tan x x x x x x x x x x − ⇔ = + ⋅ ⇔ = ⇔ − = − − 2 1,2 2 1,2 tan 1 2 tan tan 2 tan 1 0 tan 2 tan 1 0 tan 1 2 tan x x x x x x  = − ± = α  + − =  ⇔ ⇔   − − = = ± = β    ( ) 1,2 1,2 x k k x k = α + π  ⇔ ∈  = β + π   » Bài 13. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8 x x x − − − = (1) Giải ĐK: cos cos 2 cos 4 0 x x x ≠ ; ( ) 2 2 2 2 tan tan 1 1 1 4 1 tan 1 tan 1 tan 4 x x x x x       ⇔ =     − − −     2 2 tan 1 1 tan 2 tan8 tan 8 4 7 1 tan 2 1 tan 4 x x x x x x k x k x x π    ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ⇔ =    − −    Bài 14. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cot 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8 x x x x − − − = Giải ĐK: sin 8 0 x ≠ khi đó biến đổi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cot 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8 x x x x − − − = 2 2 2 tan 8 2 2 2 cot cot tan 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 x x x x x x x     ⇔ = ⇔ =     − − −     ( ) tan 8 1 8 4 32 8 x x k x k k π π π ⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + ∈ » Bài 15. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8 cot 8 x x x x − − − = (1) Giải ĐK: sin 8 0 x ≠ . ( ) 2 2 2 2 tan 2 2 1 cot 8 tan 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 x x x x x x      ⇔ =     − − −     ( ) cot 8 tan 8 tan tan 1 4 x x x x x k k π ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ∈ » Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 253 III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN BA 1. CÔNG THỨC SỬ DỤNG 2 3 sin 3 3sin 4 sin ; cos 3 4cos 3 cosx x x x x x= − = − 2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Giải phương trình: sin 3 sin 2 5sin x x x + = (1) Giải ( ) ( ) 3 2 1 3sin 4sin 2sin cos 5sin sin 3 4sin 2 cos 5 0 x x x x x x x x ⇔ − + = ⇔ − + − = ( ) ( ) 2 sin 2 cos cos 3 0 sin 0 cos 1x x x x x x k k⇔ + − = ⇔ = ∨ = ⇔ = π ∈ » Bài 2. Giải phương trình: sin 3 sin 2 2sin 0 x x x + + = (1) Giải ( ) ( ) 3 2 1 3sin 4sin 2sin cos 2 sin 0 sin 4sin 2 cos 5 0 x x x x x x x x ⇔ − + + = ⇔ − + + = ( ) 2 sin 4cos 2 cos 1 0 sin 0 x x x x x k ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = π Bài 3. Giải phương trình: 2 cos 3 cos 2 sin 2 x x x + + = (1) Giải ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 4 cos 3cos 2 cos 1 1 cos 2 x x x x ⇔ − + − + − = ( ) ( ) 2 cos 1 4cos 5cos 2 0 cos 1 2 x x x x x k ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = π Bài 4. Giải phương trình: 2 sin 3 sin 2 cos 0 x x x + − = (1) Giải ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3sin 4 sin sin 2 1 sin 0 x x x x ⇔ − + − − = ( ) ( ) 3 2 2 2sin sin 2sin 1 0 sin 1 2sin sin 1 0 x x x x x x ⇔ − − + = ⇔ − + − = { } ( ) 5 1 sin 1 sin ; 2 ; 2 2 2 6 6 x x x k k k k π π π ⇔ = ± ∨ = ⇔ ∈ + π + π + π ∈ » Bài 5. Giải phương trình: 2 3 cos10 2 cos 4 6 cos 3 cos cos 8 cos cos 3 x x x x x x x + + = + Giải ( ) 3 cos10 cos 8 1 cos 8 cos cos 3 6 cos 3 cos x x x x x x x ⇔ + + = + − ( ) 3 cos10 cos 8 1 cos 2cos 4 cos 3cos 3 x x x x x x ⇔ + + = + − ( ) 2 cos 9 cos 1 cos 2 cos .cos 9 cos 1 2x x x x x x x k k⇔ + = + ⇔ = ⇔ = π ∈ » Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 254 Bài 6. Giải phương trình: 6 32 cos cos 6 1 x x − = (1) Giải ( ) ( ) ( ) 3 3 1 4 1 cos 2 4 cos 2 3cos 2 1 x x x ⇔ + − − = ( )( ) 2 4 cos 2 5 cos 2 1 0 cos 2 1 4 cos 2 1 0 x x x x ⇔ + + = ⇔ + + = ( ) 1 cos 2 1 cos 2 cos 4 2 2 x x x k x k k π α ⇔ = − ∨ = − = α ⇔ = + π ∨ = ± + π ∈ » Bài 7. Giải phương trình: ( ) 2 2sin 3 1 4 sin 1 x x − = (1) Giải Nếu cos 0 x = là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra ( ) 2 3 cos 0 sin 1 sin 1 6 1 6 3sin 4sin 1 x x x x x  = ⇔ = = ±   ⇔ ⇒   ± = − − =    Vô lý Nhân 2 vế của (1) với cos 0 x ≠ ta có: ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 sin 3 1 4 1 cos cos cos 2 sin 3 4 cos 3cos cos x x x x x x x x   ⇔ − − = ⇔ − =   ( ) 2sin 3 .cos 3 cos sin 6 sin 2 x x x x x π ⇔ = ⇔ = − { } 2 2 ; 14 7 10 5 k k x π π π π ⇔ ∈ + + Bài 8. Giải phương trình: 1 1 2sin 3 2 cos3 sin cos x x x x − = + (1) Giải Điều kiện: ( ) sin .cos 0 sin 2 0 2 2 k x x x x π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( ) ( ) 1 1 1 2 sin 3 cos 3 sin cos x x x x ⇔ − = + ( ) ( ) 2 3 sin cos 2 3sin 4 sin 4 cos 3cos sin cos x x x x x x x x +   ⇔ − − − =   ( ) ( ) ( ) 2 2 sin cos 2 3 sin cos 4 sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x +   ⇔ + − + + − =   a) Xét sin cos 0 tg 1 4 x x x x k π + = ⇔ = − ⇔ = − + π (thỏa mãn (2)) b) Xét ( ) [ ] 2sin cos 3 4 1 sin cos 1 x x x x − − = ( ) sin 2 2sin 2 1 1 x x ⇔ − = 2 2sin 2 sin 2 1 0 x x ⇔ − − = { } 7 ; ; 4 12 12 x k k k π π π ⇔ ∈ + π − + π + π Kết luận: { } ; ; | 4 2 12 12 k x k k k π π π π ∈ + − + π + π ∈ » [...]... ng công th c h b c, góc nhân ôi, góc nhân ba ) ( ( Bài 9 Gi i phương trình: sin 3π − x = 1 sin π + 3 x 10 2 2 10 2 ) Gi i t t = 3π − x ⇒ π − 3t = π + 3π Khi ó phương trình 10 2 10 2 ⇔ 2 sin t = sin ( π − 3t ) = sin 3t ⇔ 2 sin t = 3sin t − 4 sin 3 t ⇔ sin t (1 − 4 sin 2 t ) = 0 { } ⇔ sin t ( 2 cos 2t − 1) = 0 ⇔ x ∈ 3π − 2k π ; 14π + 2k π ; 4π + 2k π 5 5 5 ) ( ) ( ( ) Bài 10 Gi i phương trình: sin 3... sin x + 1) = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ sin x = − 1 ∨ sin x = 3 = sin α 2 4 ⇔ x ∈ π + k π ; − π + 2 k π ; − 5π + 2 k π ; α + 2 k π ; π − α + 2 k π ( k ∈ » ) 2 6 6 { 256 } Bài 7 S d ng công th c h b c, góc nhân ôi, góc nhân ba 257 ... Chương VII Phương trình lư ng giác – Tr n Phương ⇔ 2 ( 2 cos 2 2 x − 1) = 1 + 4 cos 3 2 x − 3 cos 2 x + a (1 − cos 2 x ) ⇔ 4 cos 3 2 x − 4 cos 2 2 x − ( a + 3) cos 2 x + ( a + 3) = 0 ( ) ( ) 3 ⇔ ( cos 2 x − 1) ( 4 cos 2 2 x − ( a + 3) ) = 0 V i x ∈ 0, π thì < cos2x . Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 245 BÀI 3. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC, GÓC NHÂN ĐÔI I. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC 2 1 cos 2 sin ; 2 x x − = 2 1. x x x k k π ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ∈ » Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 253 III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN BA 1. CÔNG THỨC SỬ DỤNG 2 3 sin 3 3sin 4 sin ; cos 3 4cos. ∈   π ππ π = + + = + π     » Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 249 II. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI 1. CÔNG THỨC SỬ DỤNG ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin 2 2