Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa GIAÛI TÍCH 11 www.saosangsong.com.vn Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 2 CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM §1 . Đạo h ïo hàm . àm & ý nghóa hình học của đa A . Tóm tắt giáo kh Cho hàm số y = f ( x ) xác đònh trên khỏang (a,b) và x o thuộc o o õa oa . tại một điểm : 1 . Đạo hàm của hàm số khỏang ( a , b ) . Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x , ký hiệu là f’ ( x ) , là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số giư số gia của hàm số yΔ và số gia của biến số x Δ tại điểm x o khi số gia của biến số dần tới 0 : x 0 0 () ( ) ( ) ( ) '( lim im lim ooo ) l x o o xxx o f xfx fx xfx y fx −+Δ− xxx →Δ→Δ→ Δ === −Δ Δ Chú ý : Nếu hàm i số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x o thì hàm số này liên tục tại đ ểm x o 2 . Đạo hàm của hàm số trên một khoảng : ) . D là một khoảng ( hay hợp của nhiều khoảng Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên D khi nó có đạo hàm tại mọi điểm x o thuộc D . ược gọi là đạo Khi đó ta có một hàm số xác đònh trên D : y’ = f’( x ) với mọi x thuộc D . Hàm số này đ hàm của hàm số y = f ( x ) . Đạo hàm của một số hàm số thường gặp : 1 0 , () '() 1 , () ( , 2) '() , 1 () '() , 2 nn () '() f xC fx xR f xx fx xR f xxnNn fxnx xR xx fx xR x − + =⇒=∀∈ =⇒=∀∈ =∈≥⇒ = ∀∈ =⇒=∀∈ f (C là một hằng số) của đạo hàm : Cho hàm số y = . Ý nghóa hình học 3 M x 0 f(x 0 ) ϕ Hệ số góc của tiếp f ( x ) có đạo hàm tại điểm x o , đồ thò của hàm số là ( C ) . Đònh lý : Đạo hàm của hàm số tại điểm x là hệ số góc tuyến tanϕ = f’(x 0 ) o o o 0 của tiếp tuyến với đồ thò ( C ) tại điểm M o ( x o , f(x o )) thuộc ( C ) Như thế , phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại M ( x o , y o ) thuộc ( C ) có dạng : ( t ) : y = f’( x o ) ( x – x ) + f(x ) . B . Giải tóan . Dạng 1 : Tính đạo hàm của hàm số tại x 0 . Ta thường thực hiện các bước sau :  Cho x o một số gia x Δ và tinh số gia y Δ .  Lập tỉ số y () () ( o ) () o o o f x Δ = Δ x xfx xx x +− −Δ và tìm giới hạn của tỉ số này khi . o ). Giới hạn này, nếu có, là đạo hàm f’(x Ví dụ : Tính đạo của các hàm số sau tại x o o fx fx− Δ = 0xΔ→ (hay x → x o ) của hàm số tại điểm x o . tương ứng : f ( x) = x 2 a) y = + 3x – 1 tại x = 2 Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 3 b) y = f ( x ) = 21 2 x x + + tại x o = 1 Giải : a) Cho x o = 2 một số gia x Δ , ta có : () () 22 22 ( ) ( ) (2 ) 3(2 ) 1 2 3.2 1 [4 4 6 3 1] 9 7 oo yfx x fx x x xx x x x ⎡⎤⎡ Δ = +Δ − = +Δ + +Δ − − + − ⎣⎦⎣ =+Δ+Δ ++Δ−−=Δ +Δ ⎤ ⎦ Suy ra: x0 (x)7 lim =7 x x yy Δ→ ΔΔ =Δ +=> ΔΔ . Vậy f’(2) = 7. Cách trình bày khác: Ta có: 22 (x) - f(2) (x + 3 x 1) - 9 x +3x - 10 x 2 x 2 x 2 (x 2)(x +5) x 5 x 2 f − == −− − ==+ − − Suy ra: x 2 (x) - f(2) lim 2 5 7 x 2 f → =+= − . Vậy đạo hàm f’(2) = 7. b) Cho x o một số gia , ta có : () o x saocho x xΔ+Δ2≠− 2(1 ) 1 (1 ) (1) 1 (1 ) 2 [2(1 x) +1] [(1 x)+2] x (1 ) 2 3 x 1 x 3+ x x yf x f x x y +Δ + Δ= +Δ − = − +Δ + +Δ − +Δ Δ == +Δ + +Δ Δ => = ΔΔ Trình bày khác: 1 21 1 () (1) 1 2 11(1)( () (1) 1 1 lim 1123 x x fx f x x Suy ra: x 0 1 lim x3 y Δ→ Δ = Δ . Vậy f’(1) = 1/3 . Dạng tóan 2 : Tính đạo hàm của hàm số . Ta thường thực hiện các bước sau : Gọi x 0 là một giá trò thuộc tập xác đònh của f.  Tính đạo hàm f’(x 0 ) theo x o .  Thay x bằng x o ta được đạo hàm f’(x). Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau : a) y = x 3 + 3x – 2 . b) y = 2 1 x x + + . c) 1 ()yfx x == . Giải : a) Cho x o một số trò bất kì của x, ta có : 33 33 2 2 22 ( ) ( ) ( 3 2) ( 3 2) ( ) 3( ) ( )[( ) 3] () ( ) 3 ooo ooooo o oo o yfx fx x x x x x x xx xx x xx x fx fx y xxxx xxx Δ= − = + − − + − =− +−=− ++ + − Δ => = = + + + Δ− 22 0 '( ) lim 3 3 3 ooooo x y fx x xx x x 2 o x Δ→ Δ ==+++= Δ + . Vậy f’( x ) = 3 x 2 + 3 . b) Ta có : x xxx fx f x → + − − − + == − −− + − => = = −+ Vậy f’(1) = 1/3. Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 4 2 0 2() 2 () ( ) 11(1)(1) 1 (1)( 1) 11 '( ) lim lim (1)( 1) ( 1) o oo o oo o o xxx oo xxx x yfx fx xx xx y xxx y fx xxx x Δ→ → +−− + Δ= − = − = ++++ Δ => = − Δ++ ⎛⎞ Δ => = = − = − ⎜⎟ Δ++ ⎝⎠ + Vậy f’(x) = 2 1 (1)x − + c) Ta có : 00 11 ()() . .( ) 11 '( ) lim lim .( )2 1 '( ) 2 oo oo oooo oo o o o xx oo o o oo xxx yhx x hx xxx xxx x xx xx x x y yx x x xxx xx xx hay y x xx Δ→ Δ→ −+Δ Δ= +Δ − = − = +Δ +Δ −Δ = +Δ + +Δ Δ−− == = Δ +Δ + +Δ − = Dạng toán 3 : Tiếp tuyến với đồ thò của hàm số y = f ( x ) tại điểm M. Sử dụng công thức : Phương trình của tiếp tuyến tại M là: y = f’ (x o ) (x – x o ) + f(x o ) . Ta thường gặp các trường hợp sau: a) Cho hoành độ x 0 (hay tung độ f(x 0 ) của điểm M) : ta phải tìm f(x 0 ) (hay x 0 ) và f’(x 0 ), rồi áp dụng công thức . b) Cho biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng k : Giải phương trình f’(x o ) = k ta tìm được x o , suy ra f(x o ). Rồi áp dụng công thức. M x 0 f(x 0 ) A c) Cho biết tiếp tuyến với ( C ) qua một điểm cho trước A ( x A , y A ) : Ta thực hiện các bước sau :  Viết phương trình của tiếp tuyến tại điểm M ( x 0 ; f(x 0 )) bất kì theo ẩn x 0 là (t ) : y = f’(x o ) ( x – x o ) + f(x 0 ) .  Tiếp tuyến này qua A nên : y A – y o = f’(x o ) (x A – x o ) .  Giải phương trình này ( ẩn là x o ) ta tìm được x o . Suy ra PT tiếp tuyến cần tìm. Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò ( C ) của hàm số y = f ( x ) = x 2 biết a) Tiếp điểm có hòanh độ bằng – 3 b) Tiếp tuyến này song song với đường thẳng d : y = 2x + 3 . c) Tiếp tuyến này đi qua điểm A (- 1 , - 3) Giải : a)Ta có : y’ = f’(x) = 2x . x o = - 3 , suy ra y o = (- 3) 2 = 9 ; f’(x o ) = 2(-3) = -6 . Vậy phương trình của tiếp tuyến này là : y = - 6( x + 3) + 9 hay y = - 6x - 9 . Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 5 b) Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (x o , y o ) thuộc ( C ) có dạng : y = 2x o (x –x o ) + x 0 2 . Tiếp tuyến này song song với d : y = 2x + 3 nên : 2x o = 2 (hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau) hay x o = 1 . Vậy phương trình của tiếp tuyến này là : y = 2( x – 1) + 1 hay y = 2x – 1 . c)Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (x o , y o ) thuộc ( C ) có dạng : y = 2x o (x – x o ) + x 0 2 Ù y = 2 x o x – x 0 2 (1) Tiếp tuyến này qua A(-1, -3) nên : - 3 = 2x o ( -1) – x 0 2 Ù x o 2 +2x o - 3 = 0 . Ù x o = 1 hay x o = - 3 . Thế vào (1), ta được y = 2x – 1 hay y = -6x – 9 . Có 2 tiếp tuyến của (C) đều qua điểm A. Ví dụ 2 : ( C ) là đồ thò của hàm số 1 2 x y x + = − và cho biết : 2 3 ' (2) y x − = − a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp điểm có tung độ bằng 4 . b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng d : 3y – x + 1 = 0 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x 0 dưới dạng y = ax + b p dụng: tìm trên O x những điểm A sao cho không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua. Giải : Ta có : hàm số xác đònh khi và 2x ≠ 2 3 ' (2) y x − = − . a) 0 1 ()4 4 4 8 1 3 2 o ooo o x fx x x x x + =⇔ =⇔ −= +⇔ = − . Tiếp điểm là T(3, 4) , hệ số góc của tiếp tuyến tại T là : y’(3) = - 3 . Vậy phương trình của tiếp tuyến tại T là : y = - 3( x – 3) + 4 Ù y = - 3x + 13 . b) d: y = 11 33 x − => hệ số góc của đường thẳng d là 1 3 . Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến phải tìm , ta có : 1 .1 3 3 kk=− ⇔ =− ( vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau khi tích số 2 hệ số góc bằng -1 ) . Gọi x o là hòanh độ tiếp điểm của tiếp tuyến này , ta có : y’(x o ) = - 3 () 2 2 3()4 3 321 1()2 (2) oo o oo o xfx x xfx x = => = ⎡ − ⇔=−⇔−=⇔ ⎢ = => = − − ⎣ Vậy phương trình tiếp tuyến là : y = - 3(x – 3) + 4 Ù y = - 3x + 13 Hay : y = - 3(x –1) – 2 Ù y = -3x + 1 . c) Phương trình tiếp tuyến tại M : y = f’(x o )(x – x 0 ) + f(x o ) = 2 1 3 () (2) o o oo x xx xx + −−+ 2 − − Ù y = 22 3(1)(2 3 (2) (2) oo o oo xx x x xx ++ − −+ −− ) Ù y = - 2 3 (2) o x x − + 2 2 2 (2) oo o xx x +− − 2 (1) * Gọi A(a, 0) là điểm trên trục Ox. Tiếp tuyên qua A Ù (1) thỏa với x = a và y = 0 Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 6 Ù 0 = 2 2 322 (2) oo o ax x x −+ + − − 2 2230(2)( 2) oo o xx a x+−−= ≠ Ù Không có tiếp tuyến nào qua A Ù (2) VN hay (2) có nghiệm kép bằng 2 Ù 2 '33 0 1 '33 0 1 1 2 2423 0 a a a a a a a Δ= + < <− ⎡ ⎡ ⎢ ⎢ Δ= + = <=> <=> < − =− ⎧ ⎧ ⎢ ⎢ ⎨⎨ ⎢ ⎢ = +−− = ⎩ ⎩ ⎣ ⎣ C . Bài tập rèn luyện . 5.1 . Tính đạo hàm các hàm số sau tại giá trò x o tương ứng a) y = 2x 2 + 3x tại x o = 2 . b) y = 4x 3 + x 2 – 2x tại x o = 1. c) y = 2 1 x x + tại x 0 = 1 d) y = 1 4x + tại x o = 0 5.2 . Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (x – 3) 2 b) y = 25 3 x x − + c) y = x 1 x − 5.3 .Cho biết hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = a là f’(a) , tìm các giới hạn sau : 00 (4) () (2) (3) )lim )lim hh f ahfa fahfah ab hh →→ +− +− − ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ c) 22 () () lim( ) xa x fa afx xa → − − 5.4 . ( C ) là đô thò của hàm số y = x . a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M thuộc ( C ) có hòanh độ bằng 1 . b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm N thuộc ( C ) có tung độ bằng 2 . c) Viết ph ương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến qua điểm 5.5 . ( C ) là đồ thò của hàm số : 2 3 3 xx y x ++ = + a) Chứng minh đạo hàm: 2 2 6 ' (3) x x y x + = + b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao điểm của ( C ) với đường thẳng d : y = 5. c)* Gọi M , N là 2 điểm trên ( C ) sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau . Hai điểm M , N sẽ đối xứng với nhau qua điểm cố đònh nào ? D . Hướng dẫn – Đáp số . 5.1. a) f’(2) = 11 b) f’(1) = 12 c) f’(1) = - 3 3 d) f’(0) = - 1/16 5.2. a) y’ = 2(x – 3) b) y’ = 2 11 (3)x + c) y’ 32 21 x x − = − [] 00 0 (4) () ( ) () 5.3. ) lim lim 4 4 '( )( 4 ) (2) () (3) () )lim 2 '() 3 '() 5 '() xx h fa h fa fa x fa afaxh hx fa h fa fa h fa bfafafa h Δ→ Δ→ → +− ⎡ +Δ− ⎤ ⎛⎞⎛⎞ ==Δ= ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ Δ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ ⎡⎤ +− − −− =+= ⎢⎥ ⎣⎦ Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 7 [ ] () 22 2 22 22 ( ) () () () () () )lim lim () () lim ( ) lim . 2 ( ) '( ) xa xa xa xa x afa afx fa xfa afx c xa xa fx fa x afa a afa af a xa →→ →→ ⎡⎤ −−− ⎡⎤ − = ⎢⎥ ⎢⎥ −− ⎣⎦ ⎣⎦ − ⎡⎤ =+ − =− ⎡⎤ ⎣⎦ ⎢⎥ − ⎣⎦ 5.4 . 11 )(1)) 24 ay x by x=+ =+ 1 tiếp tuyến tại điểm (x 0 ; x o ) của © là : y = 1 (x x )+ x 2x oo o − c) Ph ương trình Ù y = x x 2 2x o o + Tiếp tuyến qua điểm (8 ; 3) Ù 3 = x 8 x- 6 x+8=0 2 2x o oo o + <=> Ù x2 x o hay= 4 o = Ù x 0 = 4 hay x o = 16. Vậy có hai tiếp tuyến y = 1 1 4 x + hay y = 1 2 8 x + 5.5 . a) Phương trình hòanh độ giao điểm của d và ( C ) : 2 2 2 3 54120 6 3 x xx xx x x =− ⎡ ++ =⇔ − − =⇔ ⎢ = + ⎣ Với x = - 2 : y’ = - 8 => Phương trình tiếp tuyến là : y = - 8x – 11 . Với x = 6: Phương trình tiếp tuyến là : 81 93 yx = − () . b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại M , N và x 1 , x 2 là hòanh độ tiếp điểm M , N , ta có : () 22 1122 22 12 66 33 xxxx k xx ++ == ++ () hay x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình 2 2 12 2 66(1) (1) 6(1)9 0 3 22(1) 3 xx xx k kkx kxk k x + +−− =⇔ − + − + =⇒ = =− − + (*) Vậy hòanh độ trung điểm I của MN bằng – 3 . Tung độ trung điểm I là : ()( ) () 22 22 11 22 11 22 12 11 22 1212 1 2 12 12 111 21122 1 33 3311 22 3 32 3 3 1 5( ) 5 2 3 2( 3) 2( 3) ( (*) : 3 ( 3); 2( 3) 2( 3)) MN I yy xx xx xx xx y xx xx xxxx xx xx xx xxx do cho x x x x x x ⎛⎞⎛⎞ + ++ ++ ++ ++ == + = − ⎜⎟⎜⎟ ++ ++ ⎝⎠⎝⎠ −++ −+− − − == ==− +++ +=− + − =− + = + Hai điểm M , N nhận I ( - 3 , - 5 ) làm trung điểm nên đối xứng qua I cố đònh . Tóm lại , 2 điểm M , N trên ( C ) có tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau thì luôn đối xứng qua điểm I ( - 3 , - 5 ) . Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 8 §2 . Quy tắc tính đạo hàm . Hàm số Đạo hàm y = u+v-w y ’ = u’+v’- w’ y = uv y ’ = u’v + uv’ y = ku y ’ = ku’ Y = u v y ’ = 2 'uv uv v − A Tóm tắt giáo khoa . 1 . Các quy tắc tính đạo hàm . (u = u(x) , v = v(x) , w = w( x) có đạo hàm và k là một hằng số ) B . Gỉai tóan . Dạng tóan 1 : Tính đạo hàm bằng công thức . Xét xem hàm số cho thuộc dạng nào : y = u + v – w ; y = u.v ; y = u v hoặc y là hàm số hợp [ ] ()yfux= ( u , v , w là những hàm số thường gặp ) và áp dụng các công thức tính đạo hàm . ' Y = k y’ = 2 'kv − v v y = f[u( x)] y ’ = f’[u(x)]u’( x ) Y = u n y ’ = n.u n – 1 . u’ y = u y ‘ = ' 2 u u Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau : a) y = 3x 4 - 2x 3 + 5x - 2 b) y = 2 5 3 x x − c) y= ( 2x 3 —x 2 ) ( 3x + 2 ) d) y = 23 31 x x − + . Giải : a) Hàm số cho có dạng y = u + v – w , do đó : y’ = 3( x 4 )’ – 2( x 3 )’ + 5( x)’ – ( 2 )’ = 12x 3 – 6x 2 + 5 . b) Tương tự , ta có : y’ = 23 3 33310 5( ) ' 10 222 xx x xxx −− −=+=+ c) Hàm số cho có dạng : y = u.v , do đó : y’ = (2x 3 -x 2 )’(3x + 2 ) + (2x 3 -x 2 ) (3x +2)’ = (6x 2 -2x) (3x + 2) +( 2x 3 – x 2 ) .3 = 24x 3 + 3x 2 – 4x . d) Hàm số cho có dạng : u y v = , do đó : y’= ()()()() () ( ) ( ) () () 222 2 3'3 1 2 3 3 1' 23 1 2 3.3 11 31 31 31 xx xx x x xxx −+−−+ +−− == +++ () ( ) Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau : () 53 232 6 2 2 232 3 5 4 )31 ) 32 ) 1 (2 1) )2 1 )(21)(6) ) 2 ay x x by x x cy x x dy x x x ey x x fy x =++ = ++ = + − =++ =−+ = + Giải : a) Hàm số cho có dạng : y = u 5 , do đó : y’ = 5u 4 u’ = 5( x 2 + 3x + 1) 4 (x 2 +3x + 1 )’= 5(x 2 +3x +1 ) 4 (2x + 3) Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 9 () () ()() () b) Hàm số cho có dạng : 5 432 32 2 5 32 32 32' 53236 ' ' 2 232 232 xx x xxx u yuy u xx xx ⎡⎤ ++ ++ + ⎢⎥ ⎣⎦ =⇒= = = ++ ++ c) Hàm số cho có dạng : () () () () () 6 52 2 12 12 7 2 222 41' 24 1 .2 44' 48 ' 111 x xx vx yy vv xxx ⎡⎤ −+ −+ −− ⎢⎥ ⎣⎦ =⇒ = = = = +++ d) Hàm số cho có dạng : y = u.v , do đó : () ( ) 2 2 32 2 32 32 2 32 32 22 4 3 32 32 62 ''2121'221 22 1 2(2 1) (3 ) 7 3 2 21 21 x x y x xx x xx xxx x xx xx x x x x x x x xx xx + = + ++ + + = + ++ + + +++ + + + == ++ ++ e) y’ = [(2x – 1) 3 ]’ (x + 6) 5 + (2x – 1) 3 [(x + 6) 5 ]’ = 6(2x – 1) 2 (x + 6) 5 + (2x – 1) 3 (x + 6) 4 = (2x – 1) 2 (x + 6) 5 (8x + 35) 2 22 2 1 4(2 1) 2 (2 1) [(2 1) ]' 2 (2 1) .[ 2]' 22 ' 22 8(2 1)( 2) (2 1) (2 1)(6 17) 2( 2) 2) 2( 2) 2 xx x xxxx x y xx xx x x x xx xx −+−− −+−−+ + == ++ −+−− − + == ++ ++ f) Ví dụ 3 : Cho hàm số : ax b y cx d + = + . Chứng minh rằng : 2 ' () ad bc y cx d − = + . Áp dụng công thức này , tính đạo hàm của các hàm số sau : 3 32 3 5 ))) ) 21 2 1 23 xxx ay by cy dy xxxx −− − ⎛⎞ === = ⎜⎟ ++ − + ⎝⎠ ()()()() () Giải : ( ) ( ) () Ta có : () 222 ''. ' axb cxd axbcxd acxd axbc ad bc y cx d cx d cx d + +−+ + +−+ − === +++ () a) a = 3 ; b = -2 ; c = 2 ; d = 1 2 7 ' 21 y x + ⇒= b) a = -1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 2 () 2 5 ' 2 y x − ⇒= + c) Đặt u = x : a = 1 ; b = 0 ; c = 1 ; d = 1 () 2 1 ' 1 u x − ⇒= x 1− − Và y = u 3 => y’ = 3u 2 u’ = 2 2 24 13 3. x . 1(1) (1) x xx x −− ⎛⎞ = ⎜⎟ −− − ⎝⎠ d) Đặt u = 5 23 x + : a = 0 ; b = 5 ; c = 2 ; d = 3 2 10 ' (2 3) u x − ⇒= + Và y = 2 10 ' (2 3) ' 25 2 23 u x uy u x − + => = = + = - 5 (2 3) 2 3xx − + + Chương 5 : Đạo hàm www.saosangsong.com.vn 10 Dạng tóan 2 : Một số bài tóan có liên quan đến đạo hàm . Ví dụ 1 : Cho hàm số : y = x 3 + 3x 2 +10x – 3 , dồ thò là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất . Giải : Hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại tiếp điểm có hòanh độ x là : y’ = 3x 2 + 6x +10 = 3 ( x + 1) 2 +7 ; dấu “ = “ xảy ra khi x = - 1 . 7≥ Vậy trong tất cả các tiếp tuyến với ( C ) , tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7 là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ứng với x 0 = - 1 => f(x 9 ) = f(- 1) = - 11. Phương trình tiếp tuyến là : y = 7 ( x + 1 ) – 11 hay : y = 7x –4 . Ví dụ 2* : f(x) là một đa thức thỏa hệ thức : f’(x).f(x) = f’(x) + f(x) +2x 3 + 2x 2 – 1 (1) a) Đa thức f(x) có bậc bằng bao nhiêu ? b) Xác đònh đa thức f(x) . Giải : a) (1) thành : f’(x).f(x) – f’(x) – f(x) + 1 = 2x 3 + 2x 2 hay : ( f(x) – 1 ) ( f’(x) – 1 ) = 2x 3 + 2x 2 . Gọi n là bậc của đa thức f(x) thì bậc của ( f(x) - 1 ) cũng là n ; bậc của ( f’(x) – 1 ) là n – 1 . Vậy bậc của đa thức ở vế trái n + n – 1 . Do đó : 2n – 1 = 3 ( bậc của đa thức ở vế phải ) . Suy ra n = 2 . Tóm lại , đa thức f(x) có bậc bằng 2 . b) Như thế f(x) có dạng : f(x) = ax 2 + bx +c . Suy ra : f’(x) = 2ax + b . (1) thành : ( ax 2 + bx + c – 1) ( 2ax + b – 1 ) = 2x 3 + 2x 2 hay 2a 2 x 3 + ( 3ab – a )x 2 + ( 2ac – 2a + b 2 – b )x + ( b – 1 ) ( c – 1 ) = 2x 3 + 2x 2 . Do đó : 2 2 22 1 32 1 22 0 1 (1)(1)0 a a ab a b ac a b b c bc ⎧ = = ⎧ ⎪ −= ⎪⎪ ⇔ = ⎨⎨ −+−= ⎪⎪ = ⎩ ⎪ −−= ⎩ Vậy : f(x) = x 2 + x + 1 . Ví dụ 3 : f(x) là một đa thức có bậc lớn hơn hay bằng 2 . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để f(x) chia hết cho ( x—a ) 2 là : f(a) = f’(a) = 0 . Áp dụng : Chứng minh rằng đa thức f(x) sau chia hết cho ( x – a ) 2 . f(x) = nx n+1 – ( n + 1) ax n +a n+1 . Giải : Điều kiện cần : f(x) chia hết cho ( x – a ) 2 nên : f(x) = ( x – a ) 2 .g(x) . Suy ra : f’(x) = 2( x – a ) g(x) + ( x – a ) 2 . g’(x) . Do đó : f(a) = f’(a) = 0 . Điều kiện đủ : Chia f(x) cho ( x – a ) 2 , ta có : f(x) = ( x – a ) 2 . g(x) + Ax + B . Suy ra : f’(x) = 2( x – a ) .g(x) + ( x – a ) 2 . g’(x) + A . 00 () '() 0 00 Aa B A fa f a AB + == ⎧⎧ ==⇔ ⇔ ⎨⎨ == ⎩⎩ Vậy : f(x) = ( x – a ) 2 g(x) hay f(x) chia hết cho ( x – a ) 2 . Áp dụng : f(a) = na n+1 – ( n + 1 ) a.a n + a n+1 = na n+1 – na n+1 – a n+1 + a n+1 = 0 . f’(x) = n ( n + 1 ) x n – n ( n + 1 )a x n-1 ; f’(a) = n 2 a n + na n - n 2 a n – na n = 0 . Vậy f(x) chia hết cho ( x – a ) 2 . [...]... 1)2 §3 Đạo hàm của các hàm số lượng giác A.Tóm tắt giáo khoa sin x x →0 x 1.Giới hạn lim www.saosangsong.com.vn 16 Chương 5 : Đạo hàm Đònh lí 1 : Ta có sin x =1 x →0 x lim (với x tính bằng rad) 2 Đạo hàm của các hàm số lượng giác a) Đạo hàm của hàm số y = sinx Đònh lí 2 : Với mọi x ∈ R , ta có (sinx)’ = cosx Hệ quả 1 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (sinu)’ = (cosu).u’ b) Đạo hàm của hàm. .. π 3 và Δ x = 30’ = Vậy cos60030’ ≈ cos( π 3 ) – sin( π 3 π 360 ) π 360 ≈ 0,5 – 0,8660 × 0,0087 www.saosangsong.com.vn d) y = xcos2x 24 Chương 5 : Đạo hàm ≈ 0,5 – 0,0075 = 0,4925 §5 Đạo hàm cấp cao A.Tóm tắt giáo khoa 1.Đònh nghóa Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu f ”(x) hay f(n+2)(x) Tổng quát : Đạo hàm. .. lí 3 : Với mọi x ∈ R , ta có (cosx)’ = - sinx Hệquả 2 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (cosu)’ = (- sinu).u’ c) Đạo hàm của hàm số y = tanx Đònh lí 4 : Với mọi x ≠ π 2 + kπ ( k ∈ Z) , ta có (tanx)’ = 1 =1 + tan2x 2 cos x Hệ quả 3 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x) ≠ ( k ∈ Z) trên J thì: (tanu)’ = π 2 + kπ 1 u ' = [1 + tan2u).u’ cos 2u d) Đạo hàm của hàm số y = cotx 1 = - (1... nghóa tính đạo hàm của hàm số y = cos2x 5.19 Tính đạo hàm của các hàm số a) y = xcosx – sinx b) y = cos3x d) y = x + cotx - 1 3 tg x 3 e) y = 1 − cos x c) y = sin3x.cos2x f) y = 1 − cos x 1 + cos x 5.20 Tính đạo hàm các hàm số : a) y = sin2x + cos 3x d) y = 1 + tan 4x π b) y = sin33x c) y = cos4 (2x - e) y = (1 – sinx)(1 + tan2 x) f) y = cos2 x( 1 + sin2x) 5.21 Tính đạo hàm các hàm số sau và giải thích... 2 1 và y’’ = 2 x − x 2 Tìm hệ thức giữa y và y’’ (1 − 2 x) 2 2 2 2 x − x 2 = −4( x − x ) − (1 − 2 x) x − x2 4( x − x 2 ) x − x 2 hay 4 y’’.y3 = -4x +4x2 -1 +4x – 4x2 Vậy y’’y3 + 1 = 0 C .Bài tập rèn luyện 5.25 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau : a) y = sin2xsin3x b) y = x4 + x www.saosangsong.com.vn π 2 ) 26 Chương 5 : Đạo hàm c) y = x x −1 d) y = tan2 x 5.26 Tính đạo hàm cấp ba của các hàm số... y = tan2 x 5.26 Tính đạo hàm cấp ba của các hàm số sau : a) y = 3 b) y = sin3x x2 5.27 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau : a) y = 4 x2 b) y = cos2x 5.28 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 5.29 Cho hàm số y = 1 1 Suy ra đạo hàm cấp n của hàm số : y = 2 x+a x + x−2 1 − x 2 Tìm hệ thức giữa y và y” 5.30 Cho hàm số y = 2sin( ωt + α ) + 3cos( ωt + α ) Chứng minh rằng: y” + ω y = 0 D Hướng dẫn giải 5.25... hàm số y = x2 + x , đồ thò là ( C ) và y = ax +b ; y = a’x + b’ là phương trình của hai tiếp tuyến với ( C ) có tung độ tiếp điểm đều bằng 2 Thế thì ( a + a’) bằng : a) 1 b) 2 c) 3 d) một đáp số khác 6 Cho hàm số y = nhiêu ? a) –5 2x +1 Nếu phương trình y’ = 3 có hai nghiệm thì tổng hai nghiệm này bằng bao x+2 b) – 4 7 Cho hàm số y = a) 0,75 c) 4 d) một đáp số khác x 2 + 2 x + 8 Đạo hàm của hàm. .. học của đạo hàm cấp 2 là : Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 của một chất điểm chuyển động có phương trình s = s(t) là γ (t0) = s’’(t0) B Giải toán Ví dụ 1 : Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số : b) y = tanx a) y = x3 – 3x2 + 2x - 1 c) y = sin2 x d) y = x c) f(x) = 1 , f(3) (x) x +1 Giải a) y’ = 3x2 – 6x + 2 và y’’ = 6x – 6 b) y’ = 1 + tan2x và y’’ = 2tanx(1 + tan2x) c) y’ = 2sinxcosx = sin2x và y’’... đònh nghóa đạo hàm, ta có : lim x −> xo f ( x) − f ( xo ) = f '( xo ) x − xo Ví du 5 ï: Tính các giới hạn sau: (2 x − 1)5 − 243 x −> 2 x−2 a) lim ( x − 3)3 − 1 x −> 4 16(2 x − 7)5 − x 2 b) lim Giải: Từ đònh nghóa đạo hàm, ta có thể dùng đạo hàm để tính giới hạn có dạng sau: lim x −> xo f ( x) − f ( xo ) f ( xo + h) − f ( xo ) hay lim Các giới hạn này đều bằng f’(xo) h −> 0 x − xo h a) Xét hàm số f(x)... 5.11 Cho hàm số : y = a b a c b c = ab '− ba '; = ac '− ca '; = bc '− cb ' a' b' a' c' b' c' Xét trường hợp đặc biệt : y = ax 2 + bx + c b'x + c' Áp dụng công thức trên , tính đạo hàm của các hàm số sau : www.saosangsong.com.vn 13 Chương 5 : Đạo hàm a) y = x +1 x2 + 2 b) y = ⎛ − x2 + 3x + 2 ⎞ d) y = ⎜ ⎟ x +1 ⎝ ⎠ 2 x2 − x + 3 x2 − x + 2 2 c) y = x2 + 1 3x + 5 e) y = 5.12 Tính đạo hàm của các hàm số sau . x ) có đạo hàm trên D khi nó có đạo hàm tại mọi điểm x o thuộc D . ược gọi là đạo Khi đó ta có một hàm số xác đònh trên D : y’ = f’( x ) với mọi x thuộc D . Hàm số này đ hàm của hàm số. tính bằng rad) 2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác a) Đạo hàm của hàm số y = sinx Đònh lí 2 : Với mọi x ∈ R , ta có (sinx)’ = cosx Hệ quả 1 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (sinu)’. (cosu).u’ b) Đạo hàm của hàm số y = cosx Đònh lí 3 : Với mọi x ∈ R , ta có (cosx)’ = - sinx Hệquả 2 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (cosu)’ = (- sinu).u’ c) Đạo hàm của hàm số y