Đang tải... (xem toàn văn)
báo cáo phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập nguyên hàm, tích phân
Lời cảm ơn Trong thời gian qua, nỗ lực thân, đề tài luận văn đợc hoàn thành với hớng dẫn tận tình, chu đáo T.S Nguyễn Đinh Hùng Luận văn có giúp đỡ tài liệu ý kiến góp ý thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận Phơng pháp giảng dạy môn Toán Xin trân trọng gửi tới thầy cô giáo lời biết ơn chân thành sâu sắc tác giả Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo Ban giám hiệu, tổ Toán trờng Nghi Lộc đà tạo điều kiện trình tác giả thực đề tài Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành Luận văn Tuy đà có nhiều cố gắng, nhiên Luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa Tác giả mong nhận đợc ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đọc Vinh, tháng 11 năm 2007 Tác giả Mục lục Mở đầu Chơng Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 T 1.2 T sáng tạo 1.3 Một số yếu tố đặc trng t sáng tạo 1.4 Vận dụng t biện chứng để phát triển t sáng tạo cho HS 1.5 Tiềm hình học việc bồi dỡng t sáng tạo cho häc sinh 1.6 KÕt luËn ch¬ng Ch¬ng Một số vấn đề dạy học giải tập hình học theo định hớng bồi dỡng t sáng tạo cho häc sinh 2.1 VÊn ®Ị 1: RÌn lun t sáng tạo qua toán dựng hình 2.2 Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho toán hình học không gian 2.3 Vấn đề 3: Xây dựng hệ thống toán gốc giúp học sinh quy lạ quen 2.4 Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải toán hình học không gian toán hình học phẳng 2.5 Kết luận chơng Chơng Thực nghiệm s phạm 3.1 Mơc ®Ých thùc nghiƯm 3.2 Néi dung thùc nghiƯm 3.3 Tỉ chøc thùc nghiƯm 3.4 KÕt ln chung vỊ thực nghiệm kết luận tài liệu tham khảo Trang 6 14 19 21 22 22 54 69 78 85 86 86 86 86 89 91 92 Mở đầu Lý chọn đề tài Thế giới ngày thay đổi theo tốc độ luỹ thừa, nhằm đáp ứng đợc thay đổi nhanh chóng khoa học, công nghệ, truyền thông Chúng ta dựa giải pháp khứ, mà phải tin tởng vào trình giải vấn đề Điều không hàm ý nói đến kỹ thuật mà nói đến mục tiêu giáo dục Mục tiêu giáo dục phải phát triển xà hội ngời sống thoải mái với thay đổi xơ cứng Vì bắt buộc thân nhà giáo dục phải vừa giữ gìn, lu truyền tri thức giá trị khứ vừa chuẩn bị cho tơng lai mà ta cha biết rõ Toán học có liên quan chặt chẽ víi thùc tÕ vµ cã øng dơng réng r·i nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ, sản xuất đời sống xà hội đại, thúc đẩy mạnh mẽ trình tự động hoá sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho ngành khoa học đợc coi chìa khoá phát triển Xuất phát từ yêu cầu xà hội phát triển nhân cách hệ trẻ, từ đặc điểm nội dung từ chất trình học tập buộc phải đổi phơng pháp dạy học theo hớng bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh Việc học tập tự giác tích cực, chủ động sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức mục tiêu đặt tạo đợc động lực thúc đẩy thân họ t để đạt đợc mục tiêu Trong việc rèn luyện t sáng tạo cho học sinh trờng phổ thông, môn Toán đóng vai trò quan trọng Bởi vì, Toán học có vai trò to lớn phát triển ngành khoa học kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ có ứng dơng réng r·i rÊt nhiỊu lÜnh vùc kh¸c khoa học, công nghệ, sản xuất đời sống xà hội đại; Toán học công cụ để học tập nghiên cứu môn học khác Vấn đề bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh đà đợc nhiều tác giả nớc quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm "Sáng tạo toán học" tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đà nghiên cứu chất trình giải toán, trình sáng tạo toán học Đồng thời tác phẩm "Tâm lý lực toán học học sinh", Krutecxiki đà nghiên cứu cấu trúc lùc to¸n häc cđa häc sinh ë níc ta, c¸c tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức, đà có nhiều công trình giải vấn đề lý luận thực tiễn việc phát triển t sáng tạo cho học sinh Hay nh luận văn Thạc sĩ Từ Hữu Sơn - Đại học Vinh năm 2004 với tiêu đề: "Góp phần bồi dỡng số yếu tố đặc trng t sáng tạo lý thuyết đồ thị" Phạm Xuân Chung năm 2001: "Khai thác sách giáo khoa hình học 10 THPT hành qua số dạng tập điển hình nhằm phát triển lực t sáng tạo cho học sinh" Tác giả Bùi Thị Hà Đại học Vinh năm 2003, luận văn với đề tài: "Phát triển t sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học tập nguyên hàm, tích phân" Nh vậy, việc bồi dỡng phát triển t sáng tạo hoạt động dạy học toán đợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên, việc bồi dỡng t sáng tạo thông qua dạy giải tập hình học trờng THPT tác giả cha khai thác sâu vào nghiên cứu cụ thể Vì vậy, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: "Bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải tập hình học" Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu ®Ị xt mét sè vÊn ®Ị nh»m gãp phÇn rÌn luyện yếu tố t sáng tạo cho học sinh qua dạy học giải tập hình học Giả thuyết khoa học Nếu dạy học hình học theo định hớng bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh góp phần đổi phơng pháp dạy học giai đoạn nâng cao chất lợng dạy học toán trờng phổ thông trung học Nhiệm vụ nghiên cứu 4.1- Làm sáng tỏ khái niệm t duy, t sáng tạo 4.2- Xác định vấn đề đà đề xuất nhằm rèn luyện lực t sáng tạo cho học sinh 4.3- Xây dựng khai thác hệ thống tập hình học phù hợp với phát triển t sáng tạo cho học sinh 4.4- Tiến hành thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính thực, tính hiệu đề tài Phơng pháp nghiªn cøu 5.1- Nghiªn cøu lý luËn - Nghiªn cøu tài liệu giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán - Các sách báo, viết khoa học toán phục vụ cho đề tài - Các công trình nghiên cứu có vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài 5.2 Quan sát - Dự giờ, quan sát việc dạy học giáo viên việc học học sinh trình khai thác tập sách giáo khoa 5.3 Thực nghiệm s phạm Tiến hành thực nghiệm s phạm với lớp học thực nghiệm lớp học đối chứng lớp đối tợng Cấu trúc luận văn A Phần mở đầu - Lý chọn đề tài - Mục đích nghiên cứu - Nhiệm vụ nghiên cứu - Giả thiết khoa học - Phơng pháp nghiên cứu B Phần nội dung Chơng Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 T 1.2 T sáng tạo 1.3 Một số yếu tố đặc trng t sáng tạo 1.4 Vận dụng t biện chứng để phát triển t sáng tạo cho HS 1.5 Tiềm chủ đề hình học việc bồi dỡng t sáng tạo cho häc sinh 1.6 KÕt luËn ch¬ng Ch¬ng Một số vấn đề dạy học giải tập hình học theo định hớng bồi dỡng t sáng tạo cho häc sinh 2.1 VÊn ®Ị 1: RÌn lun t sáng tạo qua toán dựng hình 2.2 Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải toán 2.3 Vấn đề 3: Xây dựng hệ thống toán gốc giúp học sinh quy lạ quen 2.4 Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải toán hình học không gian toán hình học phẳng 2.5 Kết luận chơng Chơng Thực nghiệm s phạm 3.1 Mục đích thực nghiƯm 3.2 Néi dung thùc nghiƯm 3.2.1 Líp thùc nghiƯm 3.2.2 Tiến trình thực nghiệm 3.3 Kết thực nghiệm 3.3.1 Đánh giá hoạt động học tập học sinh ë líp häc 3.3.2 KÕt ln vỊ thùc nghiƯm s phạm Chơng Cơ sở lý luận thùc tiƠn 1.1 T HiƯn thùc xung quanh cã nhiều mà ngời cha biết Nhiệm vụ sống hoạt động thực tiễn đòi hỏi ngời phải hiểu biết cha biết ngày sâu sắc, đắn xác hơn, phải vạch chất quy luật tác động chúng Quá trình nhận thức gọi t T trình tâm lý phản ánh thuộc tính, chất mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật vật tợng thực khách quan mà trớc ta cha biết (theo tâm lý học đại cơng - Nguyễn Quang Cẩn) Theo từ điển triết häc: "T duy, s¶n phÈm cao nhÊt cđa vËt chÊt đợc tổ chức cách đặc biệt nÃo, trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm, phán đoán, lý luận T xuất trình hoạt động sản xuất xà hội ngời đảm bảo phản ánh thực cách gián tiếp, phát mối liên hệ hợp quy luật T tồn mối liên hệ tách rời khỏi hoạt động lao động lời nói, hoạt động tiêu biểu cho xà hội loài ngời t ngời đợc thực mối liên hệ chặt chẽ với lời nói kết t đợc ghi nhận ngôn ngữ Tiêu biểu cho t trình nh trừu tợng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên vấn đề định tìm cách giải chung, việc đề xuất giả thiết, ý niệm Kết trình t ý nghĩ đó" Từ ta rút ta đặc điểm t - T sản phẩm nÃo ngời trình phản ánh tÝch cùc thÕ giíi kh¸ch quan - KÕt trình t ý nghĩ đợc thể qua ngôn ngữ - Bản chất t phân biệt, tồn độc lập đối tợng đợc phản ánh với hình ảnh nhận thức đợc qua khả hoạt động ngời nhằm phản ánh đối tợng - T trình phát triển động sáng tạo - Khách thể t đợc phản ánh với nhiều mức độ khác từ thuộc tính đến thuộc tính khác, phụ thuộc vào chủ thể ngời 1.2 T sáng tạo Theo định nghĩa từ điển sáng tạo tìm mới, cách giải vấn đề không bị gò bó phụ thuộc vào đà có Nội dung sáng tạo gồm hai ý có tính (khác cũ, đà biết) có lợi ích (giá trị cũ) Nh sáng tạo cần thiết cho hoạt động xà hội loài ngời Sáng tạo thờng đợc nghiên cứu nhiều phơng diện nh trình phát sinh tảng cũ, nh kiểu t duy, nh lực ngời Các nhà nghiên cứu đa nhiều quan điểm khác t sáng tạo Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập tính phê phán điều kiện cần thiết t sáng tạo, đặc điểm mặt khác t sáng tạo Tính sáng tạo t thể rõ nét khả tạo mới, phát vấn đề mới, tìm hớng mới, tạo kết Nhấn mạnh nghĩa coi nhẹ cũ" (Nguyễn Bá Kim - Phơng pháp dạy học môn Toán) Theo Tôn Thân quan niệm: "T sáng tạo dạng t độc lập tạo ý tởng mới, độc đáo, có hiệu giải vấn đề cao" Và theo tác giả "T sáng tạo t độc lập không bị gò bó phụ thuộc vào đà cã TÝnh ®éc lËp cđa nã béc lé võa việc đặt mục đích vừa việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm t sáng tạo mang đậm dấu ấn cá nhân đà tạo (Tôn Thân - Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi dỡng số yếu tố t sáng tạo cho học sinh giỏi Toán trờng THCS Việt Nam, luận án phó Tiến sỹ khoa học s phạm - Tâm lý, Viện khoa học giáo dục Hà Nội) Nhà tâm lý học ngời Đức Mehlhow cho "T sáng tạo hạt nhân sáng tạo cá nhân, đồng thời mục tiêu giáo dục" Theo ông, t sáng tạo đợc đặc trng mức độ cao chất lợng, hoạt động trí tuệ nh tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính xác Trong đó, J.DanTon lại cho "T sáng tạo lực tìm thấy ý nghĩa mới, tìm thấy mối quan hệ, chức kiến thức, trí tởng tợng đánh giá, trình, cách dạy học bao gồm chuỗi phiêu lu, chứa đựng điều nh: khám phá, phát sinh, đổi mới, trí tởng tợng, thí nghiệm, thám hiểm" Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một t gọi có hiệu t dẫn đến lời giải toán cụ thể Có thể coi sáng tạo t tạo t liệu, phơng tiện giải toán sau Các toán vận dụng t liệu phơng tiện có số lợng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, mức độ sáng tạo t cao, thí dụ: lúc cố gắng ngời giải vạch đợc phơng thức giải áp dụng cho toán khác Việc làm ngời giải sáng tạo cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại toán không giải đợc nhng tốt đà gợi cho ngời khác suy nghĩ có hiệu quả" Tác giả Trần Thúc Trình đà cụ thể hóa sáng tạo với ngời học Toán: "Đối với ngời học Toán, quan niệm sáng tạo họ, họ đơng đầu với vấn đề đó, để tự thu nhận đợc mà họ cha biết Nh vậy, tập đợc xem nh mang yếu tố sáng tạo thao tác giải không bị mệnh lệnh chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức ngời giải cha biết trớc thuật toán để giải phải tiến hành tìm hiểu bớc cha biết trớc Nhà trờng phổ thông chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày 10 Theo định nghĩa thông thờng phổ biến t sáng tạo t sáng tạo Thật vậy, t sáng tạo dẫn đến tri thức giới phơng thức hoạt động Lene đà thuộc tính sau t sáng tạo: - Có tự lực chuyển tri thức kỹ sang tình sáng tạo - Nhìn thấy vấn đề điều kiện quen biết "đúng quy cách" - Nhìn thấy chức đối tợng quen biết - Nhìn thấy cấu tạo đối tợng nghiên cứu - Kỹ nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn việc tìm hiểu lời giải (khả xem xét đối tợng phơng thức đà biết thành phơng thức mới) - Kỹ sáng tạo phơng pháp giải độc đáo đà biết nhng phơng thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977) T sáng tạo t tích cực t độc lập nhng t tích cực t độc lập t độc lập t sáng tạo biểu mối quan hệ khái niệm dới dạng vòng đồng tâm T tÝch cùc T ®éc lËp T sáng tạo Có thể nói đến t sáng tạo học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh cha biết đến Bắt đầu từ tình gợi vấn đề, t sáng tạo giải mâu thuẫn tồn tạo tình với hiệu cao, thể tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi vẻ đẹp giải pháp 68 Thật vậy: Do BC (CDD1C1) nên BC DH mà DH CD1 suy DH ⊥ (BCD1) ⇒ DH ⊥ BD1 ⇒ EF BD1 (Vì EF // DH) (1) Mặt khác: AD ⊥ (CDD1C1) ⇒ AD ⊥ DH ⇒ EF ⊥ AD (Vì EF // DH) (2) Từ (1) (2) EF đờng góc chung BD1 AD Ta cã d (AD, BD1) = EF = DH 1 1 a + c2 = + = + = Trong ®ã: DH DD1 DC C a (ac) ac ac ⇒ DH = VËy d (AD, BD1) = a + c2 a + c2 C¸ch 2: Gäi (P) mp qua BD1 BC Khi (P) // AD d (AD, BD1) = d(AD, (P)) = d(D, (P)) Từ D kẻ DH CD1 (H CD1) Vì BC ⊥ (CDD1C1) nªn BC ⊥ DH ⇒ DH ⊥ (BCD1) hay DH ⊥ (P) Suy d (AD, BD) = 10 = d(D, (P)) = DH = C¸ch 3: Gọi (P) mp qua BD1 BC (Q) mp qua AD // (P) Khi d (AD, BD1) = d((Q), P) = d(D1, (P)) (D ∈ (Q)) Qua D kỴ DH ⊥ CD1 (H ∈ CD1) Vì BC (CDD1C1) nên BC DH, ®ã DH ⊥ (BCD1) hay DH ⊥ (P) ac a + c2 69 ac ⇒ d (AD,BD1) = DH = a + c2 Cách 4: Khoảng cách AD BD1 chiều cao hình chóp DBD1C d(AD, BD1) = 3VDBCD1 SBCD1 Trong ®ã VDBCD1 = d b a a 1 DD1.DC.BC = abc 6 b c 1 SBCD1 = BC.CD1 = b a + c 2 3bac VËy d (AD, BD1) = = 3b a + c ac a + c2 b1 e d V a SADD1A1 Trong ®ã V = AB SADD1A1 = abc SA1PBD1 = 2SA1BD1 = AD1.A1B = b a + c abc b b2 + c2 c f Gäi V thể tích hình hộp Vậy d(AD,BD1 ) = c1 d1 a1 Cách 5: Dựng hình hộp ADEFA1D1BP Khi ®ã d ( AD, BD1) = c = d1 ac a + c2 b a1 c1 p b1 VÝ dơ 7: Cho h×nh tø diƯn ABCD với P, Q lần lợt trung điểm AB, CD Gọi R điểm nằm cạnh BC cho BR = 2RC S điểm nằm cạnh AD cho AS = 2SD Chøng minh r»ng ®iĨm P, Q, R, S nằm mặt phẳng Cách 1: (Sử dụng định lý Mendeleuyp không gian) XÐt tø gi¸c ghỊnh ABCD cã: AD BR CQ DS BR DS = =1 PB RC QD SA RC SA (Vì P, Q lần lợt trung điểm AB, CD BR DS = 1, = ) RC SA 70 Do ®ã: Bèn ®iĨm P, Q, R, S nằm mp Cách 2: Bèn ®iĨm P, Q, R, S cïng thc mp có đờng thẳng (mỗi đờng thẳng qua điểm cắt nhau) Gọi I giao điểm đờng thẳng PR AC Gọi J giao điểm đờng thẳng SQ AC Tõ C kỴ CE // AB, CF // AD Trong mặt phẳng (ABC) PBR ~ ECR EC RC = = BP BR EC IC = = C trung điểm IA (1) AS IA p Trong mặt phẳng (ACD) f SPQ ~ FCQ CE CQ = =1 SD QD ⇒ CF JC = = AS JA ⇒ C lµ trung ®iÓm JA f f f (2) f i=j Tõ (1) (2) I J hay PR cắt SQ I Vậy điểm P, Q, R, S thuộc mặt phẳng Cách 3: Bốn điểm P, Q, R, S thuộc mặt phẳng Có mp ®i qua ®iĨm cịng sÏ ®i qua điểm lại Gọi (P) mp qua R, P, Q Tứ giác PRQS tiết diện cắt (P) hình tứ diện ABCD Ta chứng minh S' ≡ S ∈ (P) ThËt vËy: Tõ C kỴ CE // AB, CF // AD Trong mặt phẳng (ABC) Do ∆PBR ~ ∆ECR 71 EC RC EC = = ⇒ = BP BR PA EC IC = = Trong ∆IAD ta cã: PA IA ⇒ (1) Trong mp (ACD) CF IC = = theo (1) (2) Ta cã AS' IA CF CQ = = hay CF = SD V× CFQ ~ DS'Q nên S'D QD Thay vào (2) ta ®ỵc S'D = ⇒ AS' = 2S'D AS' Mà giả thiết AS = 2SD (S, S' cạnh AD) Do ®ã S' ≡ S hay S ∈ (P) Vậy P, Q, R, S thuộc mặt phẳng 2.3 Vấn đề Xây dựng hệ thống toán gèc gióp häc sinh quy l¹ vỊ quen Quy l¹ quen trình quy việc giải toán giải toán quen thuộc đà biết Quy lạ quen tri thức phơng pháp giúp học sinh dễ dàng thực số hoạt động quan trọng đợc quy định chơng trình Đồng thời việc thông báo tri thức dễ hiểu tốn thời gian Trong trình giảng dạy, giáo viên cần quan tâm cho học sinh biết kiến thức để học sinh tự học tự suy luận đợc sở kiến thức đà đợc lựa chọn, truyền thụ cho học sinh Hoặc giáo viên hớng dẫn cho học sinh xây dựng toán gốc để củng cố khái niệm, định lý Hệ thống tập gốc đóng vai trò quan trọng chức củng cè kiÕn thøc cho häc sinh, hƯ thèng bµi tËp gốc góp phần định hớng tìm tòi lời giải cho dạng toán, dạng toán có quy trình giải Việc thực quy trình dạy học toán hớng cho học sinh tới t tởng thuật toán mà tạo điều kiện cho học sinh sử dụng mềm mại, uyển chuyển phơng pháp dạy học khác Giáo viên dựa vào kiến thức truyền đạt để 72 dạy học sinh tởng tợng, ph¸t triĨn trùc gi¸c, gióp häc sinh ph¸t triĨn t tích cực, độc lập sáng tạo Chúng ta hÃy xÐt c¸c vÝ dơ sau VÝ dơ 1: Cho tam diƯn vu«ng OABC cã OA = a, OB = b, OC = c o Tính khoảng cách từ O đến (ABC) Gọi H hình chiếu O (ABC) ¸p dơng tÝnh chÊt cđa tam diƯn vu«ng ta cã: 1 1 1 = + + = 2+ 2+ 2 2 OH OA OB OC a b c ⇒ OH = a c h abc a b + b c + c 2a b Bài toán: Cho hình lập phơng ABCDA1B1C1D1 cạnh Lấy M cạnh CC1 cho độ dài MC = Trên cạnh A1D1 lấy N cho độ dài A 1N = 13 O tâm hình lập phơng Tính khoảng cách từ D đến (MNO)? Khi gặp toán học sinh thấy khó khăn tìm hình chiếu D (MNO) Khi giáo viên gợi ý để học sinh tìm cách đa toán gốc Nh vậy: Làm để đa toán gốc? Nếu học sinh cha trả lời đợc, giáo viên gợi ý: Mặt phẳng () toán gốc cắt cạnh góc tam diện A, B, C độ dài OA, OB, OC đà biÕt Lêi gi¶i: Gäi E = MO ∩ AA1 P = NE ∩ AD r Q = NE ∩ DD1 vµ R = MQ ∩ DCb Ta cã AE = MC1 = ; EA1 = CM = 5 PA AE = = = ⇒ A1N EA1 3 c p a e a1 d o c1 b1 n m d1 q 73 2 ⇒ PA = A1N = ⇒ DP = 11 Tơng tự ta tính đợc DQ = 11 11 ; DR = 1 1 = + + 2 2 VËy h 11 11 11 ÷ ÷ ÷ 9 5 * Bài toán tơng tự: Cho hình lập phơng ABCDA1B1C1D1 cạnh Trên AA1 lấy E cho AE = 1 Trªn BC lÊy F cho độ dài BF = Gọi O tâm hình lập phơng Tìm khoảng cách từ B1 ®Õn (EFO) VÝ dơ 2: Cho h×nh chãp SABC cã ABC C; SA (ABC) Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SB cắt SB, SC B', C'; B'C' ∩ BC = I Chøng minh a) AC' ⊥ (SBC) b) ∆AC'B' ⊥ t¹i B' c) AI (SAB) Ngợc lại B', C' hình chiếu A SB, SC (AB'C') SB Giải: BC ⊥ AC a) Do ⇒ BC ⊥ (SAC) BC ⊥ SA b' ⇒ BC ⊥ AC' Mµ SB ⊥ AC' ⇒ AC' ⊥ (SBC) (1) b) Tõ (1) ⇒ AC' ⊥ C'B' hay ∆AC'B' ⊥ ë C' a c) Do AI ⊂ (AB'C') nªn AI ⊥ SB b c' c i 74 AI ⊂ (ABC) ⇒ AI ⊥ SA AI (SAB) Ngợc lại, AB' SB; AC' ⊥ SC, ta cã: BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AC' SC ⊥AC' ⇒ AC' ⊥ SB KÕt hỵp víi SB ⊥ AB', suy SB ⊥ (AB'C') Khi ta có tính chất a, b, c Bài toán 1: Trong (P) cho nửa lục giác ®Ịu ABCD víi AB = BC = CD = a, AD = 2a Trên nửa đờng thẳng Ax vuông góc (P) A, lấy điểm S Mặt phẳng qua A SD cắt SB, SC, SD lần lợt B', C', D' a) Chứng minh: A'B'C'D' tứ giác nội tiếp b) Khi S chuyển động Ax đờng thẳng B'C' qua điểm cố định, đờng thẳng C'D' qua điểm cố định a) So sánh giả thiết toán với toán gèc ë vÝ dơ xem cã g× gièng không? * Giống: Có mặt phẳng qua A SD, có SA đáy * Giáo viên vẽ riêng đáy để học sinh thấy đợc ABCD nửa lục giác à à nên nội tiếp ®êng trßn ®êng kÝnh AD ⇒ ABD = ACD = 1V * Xét phận liên quan tới toán gốc - Học sinh nhận hình chóp SABD SACD Quay chứng minh toán gốc hình chóp này, ta sÏ cã: AB' ⊥ B'D' AC' ⊥ C'D' s Tứ giác AB'C'D' nội tiếp đờng kính AD' j b) Khi S thay đổi Ax, yếu tố cố định, yếu tố d' thay đổi? c' a i b' b d c 75 * VÏ vµo trờng hợp S dự đoán điểm cố định mà B'C' qua? Liên hệ với toán gốc häc sinh sÏ nghÜ tíi viƯc gäi I = BC B'C' Và chứng minh I cố định: Ta đà có I BC cố định để chứng minh I cố định ta cần chứng minh thêm điều gì? Lúc đa toán toán gốc để chứng minh AI (SAD) mà (SAD) cố định nên AI cố định Bài toán 2: Cho hình chóp SABC có cạnh SA vuông góc với đáy Gọi B', C' lần lợt hình chiếu vuông góc A SB, SC · · Gäi I = BC ∩ B'C' Chøng minh r»ng: IAB = ICA * Häc sinh dÔ dàng thấy đợc toán có nhiều giả thiết gần với toán gốc nh (SA (ABC), B', C' hình chiếu A SB, SC Nhng toán ABC vuông à à Tìm định hớng để chứng minh IAB = ICA ? Với vị trí góc này, học sinh sÏ nghÜ tíi viƯc chøng minh IA lµ tiÕp s tuyến đờng tròn ngoại tiếp ABC c' Từ ®a vỊ chøng minh AI ⊥ AD (lµ ®êng kÝnh đờng tròn) SA AB' SA (ABC) SD ⊥ AC' SD ⊥ (AC'B') AI ⊥ SA ⇒ ⇒ AI ⊥ (SAD) AI ⊥ SD ⇒ AI ⊥ SD b' a c d b i 76 ViƯc gi¶i toán quy giải toán gốc hai hình chóp SABC SACD Bài toán 3: Trên mặt phẳng (P), cho đờng tròn (C), đờng kính AB, M điểm đờng tròn (C) S điểm nằm (P), SA (P) D điểm đoạn SA Từ D kẻ DE SM a) Chứng minh M di động đờng tròn (C) DE không nằm mặt phẳng () cố định b) Tìm tập hợp điểm E Ta phân tích toán: Trong toán ta có SA (AMB) Điểm M à thuộc đờng tròn (C), ®êng kÝnh AB nªn AMB = 1V Do ®ã cã nhiều khả liên hệ toán với toán gốc Tuy nhiên, toán ta lại hình chiếu A SM, SB mà có hình chiếu điểm D thuộc SA lên SM Trớc hết cho học sinh giải toán sau: Với giả thiết nh toán 3, gọi M' hình chiếu A SM Tìm quỹ tích điểm M' Bài toán gần với toán gốc toán 3, học sinh nghĩ tới việc gọi B' hình chiếu A SB Việc giải toán quy giải toán gốc Ta có: + (AM'B') SA nên (AM'B') cố định s + AB' cố định b' à + AM 'B' = 1V nên quỹ tích điểm M' m' đờng tròn đờng kính AB' mặt phẳng (AM'B') b a Bây học sinh liên hệ toán với toán để đến: Kẻ DF ⊥ SB, chøng minh m 77 · (π) = (DEF) cố định DEF = 1V quy tích điểm E VÝ dơ 3: Cho tø diƯn SABC cã SA mặt phẳng (ABC) Gọi H, K lần lợt trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh: 1) SC ⊥ (BHK) 2) HK ⊥ (SBC) Gi¶i: 1) Do SA ⊥ BH ⇒ BH ⊥ (SAC) AC ⊥ BH ⇒ BH ⊥ SC (1) K trực tâm SBC nên BK SC (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ SC ⊥ (BHK) Gäi I = AH ∩ BC th×: BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ (SAI) BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ SI ⇒ K ∈ SI Do vËy BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ HK (3) Mµ SC ⊥ (BHK) ( c©u a) ⇒ JC ⊥ HK (4) Tõ (3) (4) HK (SBC) Bài toán 1: Trong (P) cho ABC cố định, đờng thẳng Ax với (P) lấy điểm S Hy đờng thẳng qua trực tâm H tam giác ABC (SBC) Chứng minh S di động Ax, đờng thẳng Hy qua điểm cố định + So sánh toán toán s góc Trong toán gốc đờng thẳng đóng vai trò Hy? h c + Quy toán toán gốc? + Lời giải: Gọi K trực tâm tam a k giác ABC K cố định b i 78 Chứng minh toán gốc ta cã HK ⊥ (SBC) ⇒ K ∈ Hy Bµi toán 2: Trong mặt phẳng (P) cho đoạn thẳng AB cố định Một đờng thẳng d cố định vuông góc với AB I AB Đờng tròn (C) thay đổi qua AB cắt d ®iĨm M,N Qua A dùng nưa ®êng th¼ng Ax ⊥ (P) Ax lấy điểm chuyển động C Chứng minh (C) thay đổi, đờng thẳng với mặt phẳng (CMN) qua trực tâm tam giác CMN qua điểm cố định + Các yếu tố cố định, yếu tố thay đổi? c + Dự toán điểm cố định cần tìm? Nếu học sinh đà giải toán toán dự đoán K với K trực tâm tam giác MAN Tuy nhiên, toán 1, tam giác ABC cố định, toán (C) thay đổi nên MN thay đổi, dẫn đến tam giác AMN thay đổi? d Vì riêng mặt phẳng (P) yếu a tố (P) Đến học sinh nhớ lại toán quen thuộc hình học mh k a b i phẳng: Tam giác AMN nội tiếp ( C) K trực tâm tam giác AMN ảnh n d m k i n b đối xứng với K qua cạnh nằm (C) Bài toán 3: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD, gọi I,J trung điểm cạnh AB, CD Trong mặt phẳng qua I, J với (P) dựng nủa đờng tròn đờng kính IJ S điểm nửa đờng tròn Gọi H', K' lần lợt hình chiếu s trực tâm H, K tam giác SAB SCD xuống (P) CMR tích HH' KK' đại h lợng không đổi S chạy nửa đờng tròn đà cho i h' a b k c k' d j 79 Tríc hÕt híng dÉn häc sinh biÕn ®ỉitÝch HH' KK' vỊ tích dễ đánh giá ả Do S đờng tròn đờng kính IJ nên ISJ = 1V ∆IHH' : ∆KJK' ⇒ HH' IH' = ⇒ HH'.KK' = JK' IH' JK ' KK' + Nêu định lợng chứng minh Jk'.JH' không đổi? + Gọi y' cho học sinh: Vai trò H' K' nh nên H' cố định K' cố định Quy toán chứng minh H', K' cố định Đối với toán này, học sinh khó phát có liên hệ với toán gốc dấu hiệu để nhận biết không dễ thấy Tuy nhiên, ta có xuất trực tâm H, HH' (ABCD) Do H' trực tâm tam giác tam giác đóng vai trò nh tam giác SBC toán gốc Dự đoán H' trực tâm tam giác nào? Chú ý đến H' ∈IJ vµ IJ⊥AB, J häc sinh sÏ nghÜ tíi ABJ HÃy vẽ lại hình chóp SABJ để dễ liên hệ với toán gốc Bây lại chứng minh IJ (SAB) quy toán gốc để giải B S H' h i A 2.4 Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải toán hình học không gian toán hình học phẳng Hình học không gian học sinh lớp 11 THPT môn học có cấu trúc chặt chẽ, có nội dung phong phú so với hình học phẳng Trong trình dạy học trờng THPT, nhận thấy hoạt động dạy học chuyển 80 việc nhìn nhận vấn đề hình học không gian sang hình học phẳng, hay việc giải toán hình học không gian việc giải nhiều toán phẳng việc làm đắn Vì hoạt động góp phần rèn luyện lực lập luận, sáng tạo, tính linh hoạt khả liên tởng từ không gian sang phẳng nói riêng môn hình học nói chung học sinh Trong mối liên hệ hình học phẳng hình học không gian, sở coi mặt phẳng phận không gian cần đặc biệt trọng "tách" phận phẳng khỏi không gian (vẽ hình, xét chi tiết toán) Các phận đợc tách mặt (mặt khối đa diện), mặt cắt (thiết diện) hay đờng giao tuyến Vấn đề chỗ phận đợc tách thể yếu tố đà cho yếu tố cần tìm, giúp học sinh tự giải đợc yêu cầu toán đặt Thông qua dạy học chủ điểm kiến thức khoảng cách, góc, mặt cầu thẳng hàng, vuông góc, song song, giáo viên cần ý rèn luyện cho học sinh lực quy lạ quen, chuyển toán không gian toán phẳng quen thuộc, chẳng hạn: xét tiếp tuyến mặt cầu quy xét tiếp tuyến đờng tròn lớn, tạo mặt phẳng qua tiếp tuyến tâm mặt cầu Tính khoảng cách yếu tố quy tính cạnh góc vuông tam giác vuông tính đờng cao tam giác vuông Khi giải toán hình học không gian giáo viên học sinh thờng gặp khó khăn số nguyên nhân sau: - Học sinh phải có trí tởng tợng không gian cao đứng trớc toán hình học không gian - Vì hình học không gian có tính trừu tợng cao nên việc lĩnh hội sử dụng tri thức hình học không gian vấn đề khó khăn thờng gặp học sinh nh giáo viên - Học sinh quen với hình học phẳng nên chuyển sang hình học không gian học sinh khó tìm thấy tính chất phẳng hình phẳng Và sử 81 dụng hình học phẳng từ trớc nên chuyển sang nghiên cứu hình học không gian cha biết vận dụng tính chất riêng hình học phẳng cho hình học không gian Một số toán không gian liên hệ yếu tố đà cho kết luận cha rõ ràng nên học sinh cha làm quen dần với định hớng đợc Chính lý trên, đa số toán hình học không gian nhng chuyển toán phẳng đề giải Ví dụ 1: Cho hình lập phơng ABCDA1B1C1D1 Gọi G trọng tâm A1BD Chứng minh A, G, G1 thẳng hàng Đây toán thuộc dạng chứng minh ba điểm thẳng hàng Nên ta dùng phép chiếu song song để giải toán cách phép chiếu song song mà điểm ảnh trùng chứng minh điểm có ảnh qua phép chiếu song song điểm thẳng hàng + Chọn phép chiếu song song ((A1B1C1D1), AC1) + Xác định hình chiếu d cần thiết mặt phẳng chiếu Phát c biểu toán phẳng tơng ứng Ta có phÐp chiÕu song song (A1B1C1D1), AC1) o a b G biÕn D1 C1 (A B C D ) 1 1→ A,C1 C1 A1C1//AO víi O lµ tâm A1 ABCD Do lấy điểm O1 A1C1 kéo dài phía C1 cho: C1O1 = AO th× OO1//AC1 (A B C D ) 1 1→ Tõ ®ã suy O O A1O A1O1 Từ giả thiết G träng t©m ∆BDA1 B1 82 ⇒ G ∈A1O cho A1 G = 2GO ⇒ G α G1 ∈A1O1 cho G1A1 = 2G1O1 Khi toán đà cho chuyển toán phẳng chứng minh G C1 A1C1 = 2C1O1 + Giải toán phẳng đồng thời chuyển kết kết luận toán ban đầu Thật ta có: C1O1 = AO = ⇒ C1O1 = 1 AC = A1C1 2 A1C1 ⇒ G1 = C1 VËy điểm A, G, C1 thẳng hàng Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm cạnh AB, CD, O trung điểm đoạn MN Chứng minh đờng chéo AO qua trọng tâm G BCD (Đào Tam (2005), Phơng pháp dạy học hình học trờng THPT, NXB HĐSP Huế) Việc chứng minh G trọng tâm O BCD quy vÒ chøng minh GM = GB (1) a a m m G g b d b h a' n c n ... triển t sáng tạo, đồng thời nêu đợc tiềm chủ đề Hình học việc bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh Việc bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh thông qua trình dạy học giải tập toán cần thiết qua giúp học. .. xây dựng hệ thống tập sở hệ thống tập bản, tạo hội cho học sinh phát triển lực sáng tạo Trong trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải hệ thống tập mới, tạo cho học sinh phát vấn ®Ị míi,... phổ thông qua dạy học tập nguyên hàm, tích phân" Nh vậy, việc bồi dỡng phát triển t sáng tạo hoạt động dạy học toán đợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên, việc bồi dỡng t sáng tạo thông qua