Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia=====================================Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia=====================================Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia=====================================Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia=====================================Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia=====================================
TUY ỂN CHỌN 50 B ÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH MIN - MAX C ẨM NANG CHO M ÙA THI NGUY ỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/ng.huubien Email: ng.huubien@gmail.com (ÔN THI THPT QUỐC GIA) TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 1 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 x y z + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của: x y y z z x P xy z yz x zx y + + + = + + + + + Hướng dẫn Ta có 1 1 + + = ⇒ + = − x y z x y z , ta có: 1 1 1 (1 )(1 ) + − − = = + + − − − − x y z z xy z xy x y x y 1 1 1 (1 )(1 ) + − − = = + + − − − − y z x x yz x yz y z y z 1 1 1 (1 )(1 ) + − − = = + + − − − − z x y y zx y zx x z x z Khi đó + + + = + + + + + x y y z z x P xy z yz x zx y = 1 (1 )(1 ) − − − z x y + 1 (1 )(1 ) − − − x y z + 1 (1 )(1 ) − − − y x z 3 1 1 1 3 . . 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) − − − ≥ = − − − − − − z x y x y y z x z . Vậy 3 = MinP đạt được khi 1 3 = = = x y z Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng với 1 a ∀ ≥ ta luôn có : 1 1 1 . x y z x y z x y z a a a a a a + + ≥ + + Hướng dẫn * Với a = 1 ta thấy BĐT đúng . * Ta xét khi a > 1. Hàm số y = 1 1 t t y a a = = nghịch biến với t R ∀ ∈ , khi a > 1. Khi đó ta có Ta có : 1 1 ( )( ) 0, x y x y a a − − ≤ , . x y R ∀ ∈ Suy ra x y y x x y x y a a a a + ≤ + (1) Chứng minh tương tự y z y z y z z y a a a a + ≤ + (2) z x z x z x x z a a a a + ≤ + (3) Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được 2( ) x y z x y z x y z y z z x x y a a a a a a + + + + + ≤ + + (4) Cộng 2 vế của (4) với biểu thức x y z x y z a a a + + ta được 1 1 1 3( ) ( )( ) x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z a a a a a a a a a + + + + + + + + ≤ + + = + + + + TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 2 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Suy ra 1 1 1 . x y z x y z x y z a a a a a a + + ≥ + + ( do x + y + z = 3 ) Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1. (đpcm) Bài 3: Cho , , a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 3. ab bc ca + + = Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) a b c b c a c a b abc + + ≤ + + + + + + Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 2 3 3 3 ( ) 1 ab bc ca abc abc = + + ≥ ⇒ ≤ . Suy ra: 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 (1). 1 ( ) 3 a b c abc a b c a ab bc ca a a b c a + + ≥ + + = + + = ⇒ ≤ + + Tương tự ta có: 2 2 1 1 1 1 (2), (3). 1 ( ) 3 1 ( ) 3b c a b c a b c ≤ ≤ + + + + Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3 ab bc ca a b c b c a c a b c b c abc abc + + + + ≤ + + = = + + + + + + □ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1, 3 1, ( , , 0). abc ab bc ca a b c a b c = + + = ⇒ = = = > Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 0,0,221221 >>+−<<−− zyx và 1 − = + + z y x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 )(8 1 )( 1 )( 1 zyzxyx P +− + + + + = . Hướng dẫn Ta có 222222 )1(8 1 )1( 1 )1( 1 )1(8 1 )1( 1 )1( 1 xzyxyz P +− + + + + = −−− + −− + −− = Ta sẽ chứng minh yzzy + ≥ + + + 1 1 )1( 1 )1( 1 22 Thật vậy: 222 22 )]1)(1[(])1()1)[(1( 1 1 )1( 1 )1( 1 yzyzyz yzzy ++≥++++⇔ + ≥ + + + . 222 )1()222)(1( yzzyyzyzyz +++≥+++++⇔ 22 2 )()1)((2)1( )1(2))(1()1(2)1)((2 yzzyyzzy yzzyzyzyyzzyyz ++++++≥ ++−++++++⇔ 04)()1(242))(1( 22222 ≥−−−+−+++−+⇔ yzzyyzzyyzzyzy 0)1()( 22 ≥−+−⇔ yzzyyz (hiển nhiên đúng). Dấu “=” xảy ra khi 1 = = zy . Ta lại có yz zy ≥ + 2 4 )1( 4 )1( 2 22 2 xxzy yz + = −− = + ≤⇒ TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 3 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Do đó 2 2 22 )1(4 4 4 )1( 1 1 1 1 )1( 1 )1( 1 x x yzzy ++ = + + ≥ + ≥ + + + 22 )1(8 1 )1(4 4 +− + ++ ≥⇒ xx P Do 221221 +−<<−− x nên )8;0[)1( 2 ∈+x . Đặt )8;0[)1( 2 ∈⇒+= txt và P t t − + + ≥ 8 1 4 4 Xét t t tf − + + = 8 1 4 4 )( với )8;0[ ∈ t . 22 2 22 )8()4( 240723 )8( 1 )4( 4 )(' tt tt tt tf −+ −+− = − + + −= 20;402407230)(' 2 ==⇔=−+−⇔= tttttf (loại) Bảng biến thiên t 0 4 8 f’(t) - 0 + f(t) 8 9 ∞ + 4 3 Do đó 4 3 )( ≥≥ tfP và 4 3 = P khi == −= ⇔ −=++ == =+ 1 3 1 1 4)1( 2 zy x zyx zy x Vậy 4 3 min =P khi 1,3 = = − = zyx Bài 5: Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) ( ) 3 3 2 2 ( 1)( 1) x y x y P x y + − + = − − Hướng dẫn Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y) 2 ta có 2 4 t xy ≤ 3 2 (3 2) 1 t t xy t P xy t − − − = − + . Do 3t - 2 > 0 và 2 4 t xy − ≥ − nên ta có 2 3 2 2 2 (3 2) 4 2 1 4 t t t t t P t t t − − − ≥ = − − + Xét hàm số 2 2 2 4 ( ) ; '( ) ; 2 ( 2) t t t f t f t t t − = = − − f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4. TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 4 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien t 2 4 +∞ f’(t) - 0 + f(t) + ∞ +∞ 8 Do đó min P = (2; ) min ( ) f t +∞ = f(4) = 8 đạt được khi 4 2 4 2 x y x xy y + = = ⇔ = = Bài 6 : Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 3 a b b c c a ab c bc a ca b + + + + + ≥ + + + Hướng dẫn * Biến đổi 1 1 1 (1 )(1 ) a b c c ab c ab b a a b + − − = = + + − − − − * Từ đó 1 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) c b a VT a b c a c b − − − = + + − − − − − − Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương * Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được 3 1 1 1 3. . . (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) c b a VT a b c a c b − − − ≥ − − − − − − =3 (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c = = = Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1 yz zx xy x y z + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 A x y z = + + − − − . Hướng dẫn Đặt , , yz zx xy a b c x y z = = = . Ta có a, b, c > 0 và 2 2 2 1 a b c + + = . Ta có: 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 bc ca ab A bc ca ab bc ca ab = + + = + + + − − − − − − . Dễ có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 1 2 2 1 2 b c b c bc b c bc b c b a c a b a c a + + ≤ = ≤ + − + + + + + + − TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 5 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Tương tự có: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ca c a ca c b a b ≤ + − + + và 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ab a b ab a c b c ≤ + − + + từ đó: A 3 9 3 2 2 ≤ + = . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3 Bài 8: Cho , , a b c là các số thực dương và 3 a b c + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )( )( ) 3 2 3 1 1 1 abc P ab bc ca a b c = + + + + + + + Hướng dẫn Áp dụng Bất đẳng thức: 2 ( ) 3( ) x y z xy yz zx + + ≥ + + , , ,x y z ∀ ∈ℜ ta có: 2 ( ) 3 ( ) 9 0 ab bc ca abc a b c abc + + ≥ + + = > 3 ab bc ca abc ⇒ + + ≥ Ta có: 3 3 (1 )(1 )(1 ) (1 ) , , , 0 a b c abc a b c + + + ≥ + ∀ > . Thật vậy: ( )( )( ) 2 3 3 3 3 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 3 3 ( ) (1 ) a b c a b c ab bc ca abc abc abc abc abc + + + = + + + + + + + ≥ + + + = + Khi đó: 3 3 2 3(1 ) 1 abc P Q abc abc ≤ + = + + (1). Đặt 6 abc t = ; vì a, b, c > 0 nên 3 0 1 3 a b c abc + + < ≤ = Xét hàm số ( ] 2 3 2 2 , 0;1 3(1 ) 1 t Q t t t = + ∈ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ] 5 2 2 3 2 2 1 1 ( ) 0, 0;1 1 1 t t t Q t t t t − − ′ ⇒ = ≥ ∀ ∈ + + . Do đó hàm số đồng biến trên ( ] 0;1 ( ) ( ) 1 1 6 Q Q t Q ⇒ = ≤ = (2). Từ (1) và (2): 1 6 P ≤ . Vậy maxP = 1 6 , đạt được khi và và chi khi : 1 a b c = = = . Bài 9: Cho , , a b c là các số dương và 3 a b c + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3 bc ca ab a bc b ca c ab P + + + + + = Hướng dẫn Vì a + b + c = 3 ta có 3 ( ) ( )( ) bc bc bc a bc a a b c bc a b a c = = + + + + + + 1 1 2 bc a b a c ≤ + + + Vì theo BĐT Cô-Si: 1 1 2 ( )( ) a b a c a b a c + ≥ + + + + , dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b = c Tương tự 1 1 2 3 ca ca b a b c b ca ≤ + + + + và 1 1 2 3 ab ab c a c b c ab ≤ + + + + Suy ra P 3 2( ) 2( ) 2( ) 2 2 bc ca ab bc ab ca a b c a b c a b c + + + + + ≤ + + = = + + + , Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = 3 2 khi a = b = c = 1. TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 6 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Bài 10: Cho a, b, c là các số dương và 3 a b c + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3 bc ca ab P a bc b ca c ab = + + + + + . Hướng dẫn Vì a + b + c = 3 ta có 3 ( ) ( )( ) bc bc bc a bc a a b c bc a b a c = = + + + + + + 1 1 2 bc a b a c ≤ + + + Vì theo BĐT Cô-Si: 1 1 2 ( )( ) a b a c a b a c + ≥ + + + + , dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b = c Tương tự 1 1 2 3 ca ca b a b c b ca ≤ + + + + và 1 1 2 3 ab ab c a c b c ab ≤ + + + + Suy ra P 3 2( ) 2( ) 2( ) 2 2 bc ca ab bc ab ca a b c a b c a b c + + + + + ≤ + + = = + + + , Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = 3 2 khi a = b = c = 1. Bài 11: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a 2009 + b 2009 + c 2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a 4 + b 4 + c 4 . Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a 2009 ta có: 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005 1 1 1 2009. . . . 2009. (1) + + + + + + + ≥ = a a a a a a a a a Tương tự: 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005 1 1 1 2009. . . . 2009. (2) + + + + + + + ≥ = b b b b b b b b b 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005 1 1 1 2009. . . . 2009. (3) + + + + + + + ≥ = c c c c c c c c c Từ (1), (2), (3) ta được: 2009 2009 2009 4 4 4 6015 4( ) 2009( ) + + + ≥ + + a b c a b c ⇔ 4 4 4 6027 2009( ) ≥ + + a b c . Từ đó suy ra 4 4 4 3 = + + ≤ P a b c Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3. Bài 12: Cho x, y, z 0 ≥ thoả mãn x + y + z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 3 3 3 3 16 x y z P x y z + + = + + Hướng dẫn Trước hết ta có: ( ) 3 3 3 4 x y x y + + ≥ (biến đổi tương đương) ( ) ( ) 2 0 x y x y ⇔ ⇔ − + ≥ Đặt x + y + z = a. Khi đó ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 64 64 4 1 64 x y z a z z P t t a a + + − + ≥ = = − + (với t = z a , 0 1 t ≤ ≤ ) TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 7 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Xét hàm số f(t) = (1 – t) 3 + 64t 3 với t [ ] 0;1 ∈ . Có ( ) [ ] 2 2 1 '( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1 9 f t t t f t t = − − = ⇔ = ∈ Lập bảng biến thiên ( ) [ ] 0;1 64 inf 81 t M t ∈ ⇒ = ⇒ GTNN của P là 16 81 đạt được khi x = y = 4z > 0 Bài 13: Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = 4 và xyz = 2. Tìm GTNN của biểu thức: P = x 4 + y 4 + z 4 Hướng dẫn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) = 2 2 2 = 16 2 2 16 P x y z x y y z z x x y z xy yz zx xy yz zx xyz x y z xy yz zx xy yz zx = + + − + + + + − + + − + + − + + − + + − + + − i i Đặt t = xy + yz + zx = x(y + z) + yz + Từ gt 2 4 ,y z x yz x ⇒ + = − = ( ) 2 2 2 4 4t x x x x x x ⇒ = − + = − + + + Ta có: ( ) 2 2 3 2 8 ( ) 4 4 8 16 8 0 y z yz x x x x x + ≥ ⇒ − ≥ ⇔ − + − ≥ ( ) ( ) 2 2 6 4 0 x x x ⇔ − − + ≥ (*) Giải BĐT (*) giao với điều kiện 0 < x < 4 ta đươc: 3 5 2 x − ≤ ≤ + Khảo sát hàm số t theo biến x với 3 5 2 x − ≤ ≤ ta tìm được: 5 5 1 5 2 t − ≤ ≤ i ( ) 2 2 2 16 2 2( 16) 2 64 288 P t t t t= − − − = − + Khảo sát hàm số : f(t) = 2t 2 – 64t + 288 với 5 5 1 5 2 t − ≤ ≤ ta được: 5 5 1 Minf( ) 383 165 5 khi , ( ) 18 khi 5 2 t t Maxf t t − = − = = = Suy ra: min 383 165 5 P = − đạt được chẳng hạn 1 5 3 5, 2 x y z + = − = = max 18 P = đạt được chẳng hạn khi x = 2, y = z = 1 Bài 14: Cho các số thực ; x y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 P x y x x y x y = + + + + + − + + − . Hướng dẫn 2 2 2 2 2 1 2 1 2 P x y x x y x y = + + + + + − + + − Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta có OM + ON ≥ MN ⇔ 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 4 4 x y x y y − + + + + ≥ + ⇒ 2 2 1 2 ( ) P y y f y ≥ + + − = TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 8 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien TH1: y ≤ 2: 2 ( ) 2 1 2 f y y y = + + − ⇒ 2 2 '( ) 1 1 y f y y = − + 2 2 0 3 '( ) 0 2 1 3 3 1 y f y y y y y ≥ = ⇔ = + ⇔ ⇔ = = L ậ p b ả ng bi ế n thiên f(y) ⇒ ( .2] 3 min ( ) 2 3 3 x f y f ∈ −∞ = = + TH2: y ≥ 2 : 2 ( ) 2 1 2 f y y y = + + − ≥ 2 5 2 3 > + V ậ y 2 3 ; P x y ≥ + ∀ . Do đ ó 2 3 MinP = + khi x = 0 ; y = 3 3 Bài 15: Cho các s ố th ự c d ươ ng a,b,c th ỏ a a + b + c =3. Tính góc giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 2 2 2 a bc b ca c ab P b ca c ab a bc + + + = + + + + + Hướng dẫn Xét 2 2 2 1 a bc b ca c ab P 3 3b 3ca 3c 3ab 3a 3bc + + + = + + + + + Ta có 3b 3ca b(a b c) 3ca b(a b c) ca 2ca + = + + + = + + + + mà 2 2 a c 2ac + ≥ nên 2 2 2 3b 3ca ab b bc ca a c + ≤ + + + + + Ch ứ ng minh t ươ ng t ự ta có: 2 2 2 3c 3ab ac c bc ab a b + ≤ + + + + + 2 2 2 3a 3bc a ab ac bc c b + ≤ + + + + + Khi đ ó 2 2 2 2 2 2 1 a bc b ca c ab P 1 P 3 3 ab b bc ca a c + + + + + ≥ = ⇔ ≥ + + + + + D ấ u “=” x ả y ra khi a = b = c = 1. V ậ y MinP 3 = khi a = b = c = 1. Bài 16: Cho 3 s ố d ươ ng x, y, z th ỏ a mãn xy + yz + zx = 3xyz. Ch ứ ng minh r ằ ng : 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 4 xy yz zx x y x z y z y z y x z x z x z y x y + + ≤ + + + + + + + + + Hướng dẫn Ta có : xy + yz + zx = 3xyz 1 1 1 3 ⇔ + + = x y z V ớ i x >0; y > 0; z > 0 ta có x 3 + y 3 ≥ xy(x + y) ; 1 1 1 1 ( ) 4 ≤ + + x y x y ;x 2 + y 2 ≥ 2xy 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 4 xy xy xy xy(x y) x y x z y z xy(x y) (x y )z (x y )z ≤ ≤ + + + + + + + + + 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 2 xy xy (x y) (x y) z x y x z y z (x y )z ⇒ ≤ + ≤ + + + + + + + TUY ỂN T ẬP 50 BÀI TOÁN ĐI ỂN H ÌNH V Ề MIN - MAX TRONG CÁC Đ Ề THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 Trang 9 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 2 16 8 x y z x y z ≤ + + = + + (1) Ch ứ ng minh t ươ ng t ự : 3 3 2 2 1 1 1 1 16 8 yz y z x y z y x z x ≤ + + + + + (2) 3 3 2 2 1 1 1 1 16 8 zx z x y z x z y x y ≤ + + + + + (3) Công (1) ; (2); (3) theo v ế ta đượ c đ pcm Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi x = y = z = 1 Bài 17: Cho các s ố th ự c d ươ ng , , x y z th ỏ a mãn 2 2 2 5( ) 9( 2 ) x y z xy yz zx + + = + + . Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 2 2 3 1 ( ) x P y z x y z = − + + + . Hướng dẫn Theo gi ả thi ế t ta có + + = + + ⇔ + + = + + + + + 2 2 2 2 5( ) 9( 2 ) 5( ) 9( 2 ) 10( ) x y z xy yz zx x y z xy yz zx xy yz zx ⇔ + + = + + ≤ + + + 2 2 5( ) 19 ( ) 28 19 ( ) 7( ) x y z x y z yz x y z y z ⇔ + ≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ + + + + 19 5 1 7 2 2( ) x x x x y z y z y z y z M ặ t khác ta có + ≤ + ⇔ + ≥ + 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2( ) ( ) 2 y z y z y z y z Vì v ậ y ( ) + ≤ − = − + + + + + + 3 3 2 2( ) 1 4 1 1 27( ) 2( ) ( ) 2 y z P y z y z y z y z y z Đặ t − + = + > ⇒ ≤ − = − + ≤ 2 3 3 4 1 (6 1) (2 1) 0 16 16 27 27 t t t y z P t t t V ậ y = min 16 P ; d ấ u b ằ ng đạ t t ạ i = + = = ⇔ = = + = 1 2( ) 3 1 1 12 6 x y z x y z y z y z Bài 18: Cho các s ố th ự c d ươ ng , x y th ỏ a mãn 1 3 ln 9 3 3 . 3 x y xy x y xy + + + = − − Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c: 2 2 3 3 1 1 1 ( 1) ( 1) x y M y x x y x y x y = + + − − ⋅ + + + Hướng dẫn T ừ gi ả thi ế t ta suy ra ln( 1) 3( 1) ln(3 ) 3.3 x y x y xy xy + + + + + = + . [...]... https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 20 TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 2 3 7 343 7 Theo giả thi t x = y = 4 nên S + ≥ 3. 7 ⇔ S ≥ 2 4 2 1 7 1 + x + x = 2 1 7 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 + y + = ⇔ x = y = 2 y 2 x=y x+ y =4 343 4 Bài 38: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Vậy min S = Tìm giá trị nhỏ nhất của... 0;5] x = 2 Suy ra min f (t ) = f (5) = 10 − 48 3 2 Vậy min P = 10 − 48 3 2, khi y =1 Bài 41: Xét các số thực khơng âm x, y, z thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy + yz + zx + 4 x+ y+z NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 22 TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Hướng dẫn... P ≤ 1 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Vậy Max P = 1 khi x = y = z = 1− Bài 32: Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4 Chứng minh rằng: a 1 + b2 c + b 1 + c2 d + c 1 + d 2a + d 1 + a2 b ≥2 Hướng dẫn NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 17 TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Sử dụng bất đẳng thức Cơ–si: a 2... https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 13 TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 a b c a b c + + ≥ + + 2 + b a 2 + c b 2 + a c 1 + a + ba 1 + b + cb 1 + c + ac abc b cb = + + bc + bca + babc 1 + b + cb b + bc + bac 1 b cb = + + = 1 (điều phải chứng minh) bc + 1 + b 1 + b + cb b + bc + 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Bài 26: Cho a, b, c là các số thực dương thoả... https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 16 TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Max f ( x) = 6 3 ⇒ f ( x) = x (5 − x) 3 ≤ 6 3 ; ∀x ∈ [0;5] [0;5 ] ⇒P≤ 2 3 6 3 ⇔ P ≤ 4 9 x = 2 ab + bc + ca = 2 a = 2 a − b = b − c b = a − 1 Dấu "=" xảy ra ⇔ ⇔ ⇔ b = 1 a−c = 2 c =a−2 c = 0 a 2 + b 2 + c 2 = 5 a 2 + b 2 + c 2 = 5 Bài 31:Cho các số thực dương x, y, z... bt của hàm số f(t) trên [ 0;1] t 0 1 f’(t) + f(t) 0 2 0 Từ BBT ta có: Max f (t ) = 2 khi t=1 t∈[ 0;1] Từ đó ta có GTLN của P bằng 2 khi a = b = c = 1 3 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 24 TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Bài 45: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức... −1 1− c c c c Theo giả thi t: 2a ≤ c nên NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 19 TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 2 7 3 + , t ∈ 0; Ta có: 2t + 1 6(1 − t ) 4 3 3 f '(t ) > 0, ∀t ∈ 0; , do đó f (t ) đồng biến trên 0; 4 4 3 27 Do đó GTLN của hàm số đạt tại t = , suy ra max P = 4 5 2 ab + bc... ( 2) 5 6 5 , đạt được khi và chỉ khi: a = b = c = 1 6 Bài 27: Cho 3 số thực x, y, z khác 0 thỏa mãn: x + y + z = 5 và x y.z = 1 Tìm giá trị lớn 1 1 1 nhất của biểu thức: P = + + x y z Vậy max P = NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 14 TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Hướng dẫn 1 1 1 1 y+z 1 P= + + = + = + x (5 −... Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1 Vì vậy, minP = 2 3 Bài 39: x > 0, y > 0 thỏa mãn x 2 y + xy 2 = x + y + 3xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2 + (1 + 2 xy )2 − 3 2 xy Hướng dẫn NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 21 TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 + Ta có : x 2 y + xy 2 = x + y + 3xy ⇔ xy (... (đpcm) NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 11 TUYỂN TẬP 50 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Bài 22 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 3 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = log3 x + 1 + log3 y + 1 + log3 z + 1 Hướng dẫn NX: những dạng bài có dạng a 2 + b 2 + m 2 + n 2 rất có thể sẽ áp dụng được phương pháp BĐT