Phßng GD-§T TP kú thi chän hoc sinh giái Trêng THCS líp 9 thCS n¨m häc 2007 - 2008 M«n :  (Vßng 1)  Thêi gian: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)   2 1 ( ) : 3 P y x=    !"# $% &'(  $% %)$ (2;1)A  * +,-."/")$ (2;1)A 01234"15"6& #."/"-7'892:0;(<1#)$=$" >&8/":;<%? 3. #)$=:@A11<BC $% &'0  $% %0$D""105$. *E +F2!"# 2 2 19 7 x y xy x y xy  + − =  + + = −  G H."I."<J46KL<#$KH." IM""J(0N#0$D"OP0JQ++,JR(%  $% &H."I  "S"<-$%TH."IU#."/"PO $D)$K460."/"Q+$D)$46< * #)$=&P0+<-$%TH."IU G #)$=&O0Q<-$%TH."IU HÕt 1 lớp 9 thCS năm học 2007 - 2008 Môn : I" 0" Bài 1 V Nội dung 1. (@ (2,0 điểm) Phơng trình đờng thẳng d 1 đi qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và 1 = 2a + b, suy ra b = 1 - 2a, do đó d 1 : y = ax - 2a+1. 0,50 Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d 1 và (P) là: 2 2 1 2 1 3 6 3 0 3 x ax a x ax a= + + = 0.50 Để d 1 là tiếp tuyến của (P) thì cần và đủ là: ' = 2 2 9 24 12 0 2 3 a a a a = = + = = 2,0 Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là: 1 2 2 1 : 2 3; : 3 3 d y x d y x= = 0,50 * (4,0 điểm) Phơng trình đờng thẳng d đi qua A(2; 1) có hệ số góc m là: 1 2y mx m= + 0,50 Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là: 2 2 1 2 1 3 6 3 0 (2) 3 x mx m x mx m= + + = 0,50 Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì cần và đủ là: 2 2 8 4 9 24 12 0 9 0 3 3 m m m m = + > + > ữ 2 4 4 4 2 0 3 9 3 3 m m > > ữ 4 3 4 2 2 3 3 (*) 3 4 2 3 4 2 3 3 m m m m m m > < > < > 1,5 2 Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x 1 và x 2 là 2 nghiệm của phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là: 1 2 2 2 2 2 2 ; 2 1; 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4 1 2 1 3 3 x x x m x x x x m x I y mx m y x x = < > < > + ữ = = = + = + 1,0 Vậy khi m thay đổi, quĩ tích của I là phần của parabol 2 2 4 1 3 3 y x x= + , giới hạn bởi 1; 3x x< > . 0,50 G (2,0 điểm) Gọi 0 0 0 ( ; )M x y là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P). Ph- ơng trình đờng thẳng d' qua M 0 và có hệ số góc k là: y kx b= + , đờng thẳng này đi qua M 0 nên 0 0 0 0 y kx b b y kx= + = , suy ra pt của d': 0 0 y kx kx y= + . 0,50 Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là: 2 2 0 0 0 0 1 3 3 3 0 3 x kx kx y x kx kx y= + + = (**) 0,50 Để từ M 0 có thể kẻ 2 tiếp tuyến vuông góc tới (P) thì phơng trình: 2 0 0 9 12 12 0k kx y = + = có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,k k và 1 2 1k k = 0 0 12 3 1 9 4 y y = = 0,50 Vậy quĩ tích các điểm M 0 từ đó có thể vẽ đợc 2 tiếp tuyến vuông góc của (P) là đờng thẳng 3 4 y = 0,50 2. (4,0 điểm) ( ) 2 2 2 2 19 3 19 3 19 7 7 7 S x y x y xy S P x y xy P xy x y xy S P x y xy = + + = = + = ữ = + + = + = + + = (1) 1,0 Giải hệ (1) ta đợc: ( 1; 6), ( 2; 5)S P S P= = = = 1,0 Giải các hệ phơng trình tích, tổng: 1 6 x y xy + = = và 2 5 x y xy + = = ta có các nghiệm của hệ phơng trình đã cho là: 3 2 1 6 1 6 ; ; ; 2 3 1 6 1 6 x x x x y y y y = = = = + = = = + = 2,0 3 3. (@ 3.1 Gọi K là giao điểm của Ax và GF, I là giao điểm của By và ED. Ta có: ã ã 0 90BEI BCA= = ã ã EBI CBA= (góc có các cạnh tơng ứng vuông góc) BE BC = , Do đó: BEI BCA BI BA = = mà By cố định, suy ra điểm I cố định. + Tơng tự, K ccố định. + Vậy khi C di chuyển trên nửa đờng tròn (O) thì dờng thẳng ED đi qua điểm I cố định và đờng thẳng GF đi qua điểm K cố định. 3,0 3.2 Suy ra quĩ tích của I là nửa đờng tròn đờng kính BI (bên phải By, ,C A E I C B E B ); quĩ tích của K là nửa đờng tròn đờng kính AK(bên trái Ax, ,C A G A C B G K ). 2,0 3.3 Xét 2 tam giác BEI và BDK, ta có: 1 2 BE BI BD BK = = ã ã ã ã ã ã 0 45EBI IBD KBD IBD EBI KBD + = + = = Do đó: ã ã 0 90 BEI BDK BDK BEI = = : + Vậy: Quĩ tích của D là nửa đờng tròn đờng kính BK. + Tơng tự, quĩ tích của F là nửa đờng tròn đờng kính AI. 3,0 4 Phßng GD-§T TP kú thi chän hoc sinh giái Trêng THCS líp 9 thCS n¨m häc 2007 - 2008 M«n :  (Vßng 2)  Thêi gian: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) W  +F!"# 4 4 1 2 9 6 2x x x x+ − + + − = * "S" $((34<D"9034$"#K"& 0#1 1 1 2 a b b c c a + = + + + *X  #"65L0"6YL& 2 2 3 5 1 x x y x + + = +  * #"2"$%T&!"# 2 2 2 3 2 4 3 0x y xy x y+ + − − + = GW ."I9Z(<[(."<J0O0$D""105$P L<#T$"JO;4P7ZJ8:(4P7ZO8;  "S" OM ON AM DN × KS"34\$%"6YL&?" OM ON AM DN + (<1 06&P] * +,+^-9%$"46&."I9Z<[U0+^ <D"F."<_$%K"T$"5+^`606 &_$0&"+^_5L ^  5 Phòng GD-ĐT TP <a,3"Y Trờng THCS lớp 9 thCS năm học 2007 - 2008 Môn : I"* 0" Bài V Nội dung 1. W(@ (2,0 điểm) 4 4 1 2 9 6 2x x x x+ + + = ( ) ( ) 2 2 4 4 1 3 2x x + = ( ) 4 4 4 1 3 2 (1) 1 3 2 0; 0 (2)x x y y y x x + = + = = (1) 1,0 0 1: 1 0, 3 0y y y < (nên (2) 1 3 2 1y y y + = = (thoả ĐK) 1x = là một nghiệm của phơng trình (1) 1 3: 1 0, 3 0y y y< > , nên pt (2) 1 3 2 0 0y y y + = = do đó pt (2) có vô số nghiệm y ( 1 3y< ), suy ra pt (1) có vô số nghiệm x ( 1 81x < ). 1,0 3: 1 0, 3 0y y y> > > , nên pt (2) 1 3 2 3y y y + = = , pt vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của pt (1) là: [ ] 1; 81S = 1,0 * (3,0 điểm) 1 1 2 1 1 1 1 (*) a b b c c a a b c a c a b c + = + + + = + + + + 0,50 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 c b A a b c a a b c a c b a b c a b c = = + + + + = + + + 0,50 Theo giả thiết: 2 2 a c b a c b b a c b + = + = = , nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a A a b b c c a a b b c c a + = = + + + + + + 1,0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 b a b c c a A c a b c b c c a b c c a + + = = = + + + + + + Đẳng thức (*) đợc nghiệm đúng. 1,0 6 2. X(@ * (3,0 điểm) 2 2 3 5 1 x x y x + + = + (xác định với mọi x R ) ( ) 2 1 3 5 0 (**)y x x y + = 0,5 1:y = pt (**) có nghiệm 4 3 x = 1:y để pt (**) có nghiệm thì: 2 9 4( 1)( 5) 4 24 11 0y y y y = = + 1,0 ( ) ( ) 2 25 5 5 5 1 11 3 0 3 3 1 4 2 2 2 2 2 y y y y y 1,0 Vậy tập giá trị của y là 1 11 ; 2 2 , do đó 11 1 ; 2 2 Max y Min y= = 0,5 ** (3,0 điểm) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 4 3 0 3 2 2 4 3 0x y xy x y x y x y y+ + + = + + + = (***) 0,5 Để pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 4 2 4 3 4 8y y y y y = + = + là số chính phơng. ( ) ( ) 2 2 2 2 4 8 2 12y y k k y k + = + =Z ( 2 )( 2 ) 12 ( )y k y k a + + + = 1,0 Ta có: Tổng ( ) 2 ( 2 ) 2( 2)y k y k k+ + + + = + là số chẵn, nên ( ) 2 ; ( 2 )y k y k+ + + cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích 1.12 hoặc 2.6 hoặc 3.4, nên chỉ có các hệ phơng trình sau: 2 2 2 6 2 6 2 2 ; ; ; ; 2 6 2 2 2 2 2 6 y k y k y k y k y k y k y k y k + = + = + = + = + + = + + = + + = + + = 0,5 Giải các hệ pt trên ta có các nghiệm nguyên của pt (a): ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 2 , 2; 2 , 6; 2 , 6; 2y k y k y k y k= = = = = = = = 0,5 Thay các giá trị 2; 6y y= = vào pt (***) và giải pt theo x có các nghiệm nguyên (x; y) là: ( 1; 2), ( 3; 2);( 11; 6),( 9; 6)x y x y x y x y= = = = = = = = 0,5 3. W(@ (4 đ) 3.1 Ta có: COM CED : vì: à à 0 90O E= = ; à C chung. Suy ra: . (1) OM CO ED CO OM ED CE CE = = Ta có: AMC EAC : vì: à C chung , à à 0 45A E= = . Suy ra: . (2) AM AC EA AC AM EA EC CE = = Từ (1) và (2): . (3) . 2 OM OC ED ED AM AC EA EA = = 1,0 7 ONB EAB : à à à ( ) 0 90 ;O E B chung= = . (4) ON OB OB EA ON EA EB EB = = à à à 0 . ( , 45 ) (5) DN DB DB ED DNB EDB B chung D E DN ED EB EB = = = =: Từ (4) và (5): . (6) . 2 ON OB EA EA DN DB ED ED = = . Từ (3) và (6): 1 2 OM ON AM DN ì = 1,0 Đặt , OM ON x y AM DN = = . Ta có: x, y không âm và: ( ) 2 1 2 0 2 2 2 2 x y x y xy x y xy = + + = = Dấu "=" xẩy ra khi: 1 1 2 2 x y x y xy = = = = 1,0 Vậy: Tổng min 1 2 2 2 OM ON OM ED khi EA ED AM DN AM EA + = = = = ữ E là trung điểm của dây cung ằ AD . 1,0 G* (3,0 điểm) GKH có cạnh GH cố định, nên chu vi của nó lớn nhất khi tổng KG KH + lớn nhất. Trên tia đối của tia KG lấy điểm N sao cho KN = KH. Khi đó, HKN cân tại K. Suy ra ã ã 1 2 GNH GKH= và KG KH KG KN GN + = + = mà ã ẳ 1 2 GKH GH= (góc nội tiếp chắn cung nhỏ ẳ GH cố định), do đó ã GNH không đổi. Vậy N chạy trên cung tròn (O') tập hợp các điểm nhìn đoạn GH dới góc ã 1 4 GOH = không đổi. 1,5 GN là dây cung của cung tròn (O') nên GN lớn nhất khi GN là đờng kính của cung tròn, suy ra GHK vuông tại H, do đó ã ã KGH KHG= (vì lần lợt phụ với hai góc bằng nhau). Khi đó, K là trung điểm của cung lớn ẳ GH . Vậy: Chu vi của GKH lớn nhất khi K là trung điểm của cung lớn ẳ GH . 1,5 8 Phßng GD-§T TP Trêng THCS líp 9 thCS n¨m häc 2007 - 2008 M«n :  (Vßng 1)  Thêi gian lµm bµi: 120 phót  !"# 2 2 2 2 2 0 (1).x mx m− + − =  E #"6& m !"#1"2-!"92 b #"6& m !"#1"292 1 x 0 2 x F U2 3 3 1 2 5 2 x x+ =  X +F3H!"#1"2<D"9#"6& m "2-c !"&!"#8"65L *E +F!"# 2 2 4 3 4x x x x− + = − * G "J1 · 0 60 ; ;ABC BC a AB c= = =  ,a c K-5(^# de:;'f1g:T8J(;T8J('0fMT8 C ",#deK ""J  #06&:T8J#de:;'f1-25L -25L1 * Oh"#0$D"PQ+^K ""JS"5<B0c -2&#0$D"1 ^  9 Phòng GD-ĐT TP <a,3"Y Trờng THCS lớp 9 thCS năm học 2007 - 2008 0" Bài 1 V Nội dung 1. (@ (2,0 điểm) Để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt, cần và đủ là: 2 2 ' 4 0 2 0 2 0 m m P S m = > = > = > 0.5 2 2 2 2 0 m m m m < > < < > 1.5 * (3,0 điểm) Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 2 ' 4 0 2 2m m = > < < (*) 0,50 ( ) ( ) 2 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 5 5 3 2 2 x x x x x x x x + = + + = 0,50 2 2 3 3( 2) 5 6 5 0 2 2 m m m m m = + = 0,5 ( ) ( ) 2 1 2,3 1 21 1 5 0 1; 2 m m m m m + = = = m 0,5 Ta có: 2 1 21 3 21 1 21 2 0 2 2 2 2 x + = > = < 3 1 21 0 2 2 x + = > > và 3 3 5 21 2 0 2 2 x x = > < 0,5 Vậy: Có 2 giá trị của m thoả điều kiện bài toán: 1 21 1; 2 m m + = = 0,5 G (3,0 điểm) Phơng trình có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi: 2 2 ' 4 0 2 0 2 2 (**) 2 0 m m P m S m = = = > 0,50 10 [...]... vu«ng cã d¹ng S = abbb = k 2 ( k > 0, k ∈ Z) 0,5 1000 ≤ k ≤ 99 99 ⇔ 33 ≤ k ≤ 99 , nªn k chØ gåm 2 ch÷ sè: k = xy = 10 x + y k 2 = 100 x 2 + 20 xy + y 2 ( 3 ≤ x ≤ 9; 0 ≤ y ≤ 9 ) 1,0 2 NÕu y lỴ: y = 1;3;5;7 ;9 ⇒ y = 1 ;9; 25; 49; 81 ⇒ b = 1;5 ;9 Khi ®ã 2xy cã ch÷ sè tËn cïng lµ sè ch½n, nªn ch÷ sè hµng chơc cđa k 2 ph¶i lµ sè ch½n kh¸c víi 1; 5; 9, do ®ã S kh«ng thĨ lµ abbb 1,0 2 0,5 NÕu y ch½n: y = 0; 2;... y + z = 1 Chứng minh rằng Bài 6 (1đ) Giải bất phương trình 2007 < 2008 −x HẾT 29 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH NĂM HỌC 2007 – 2008 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HỌC 9 Gợi ý đáp án Bài 1a) 4x2- 49- 12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)- 49 =(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7) Bài 1b) x2+7x+10 =x2+5x+2x+10 =x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2) Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5và x ≠2 1 x2 − x − 2... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TP NĂM HỌC 2007 – 2008 MƠN TỐN HỌC Thời gian làm bài : 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Bài 1 (4đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2 b) x2 + 7x + 10 Bài 2 (4đ) Cho 1 x2 − x − 2 2x − 4 A= + 2 − x − 2 x − 7 x + 10 x − 5 a) Rút gọn A b) Tìm x ngun để A ngun Bài 3 (4đ) Giải phương trình a) 2 x + 1 = 3x... + R 4+2 2 2 ( ) 4 + 2 2 +1 (1+ 2 ) 2 2 Suy ra: B¸n kÝnh cđa ®êng trßn (O'4) lµ: ' r4' = O4 H = CHtg 22030 ' = R ( ) 4 + 2 2 +1 ( 1+ 2 ) 3 2 2,0 19 phßng GD-§T Trêng THCS ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2007 -2008 MƠN THI : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) So sánh các số thực sau ( Khơng dùng máy tính gần đúng) 3 2 và 2 3 Câu 2: (3 điểm) Giải... điểm trên đường tròn (O, R) Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào? Hết 20 HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP 9, NĂM HỌC 2007 -2008 Câu 1 (1,5đ) Giả sử Điểm Nội dung – u cầu 3 2 > 2 3 ⇔ ( ⇔3 2 >2 3⇔ 3 2 ( ) ( 2 ) >( 2 3 2 > 2 3 ) 2 2 3 ) 2 ⇔ 18 > 12 (BĐT đúng) x2 −1 − x2 + 1 = 0 ⇔ x2 − 1 = x2 − 1 2... Bài 6) Điều kiện x ≠ 0 , bất phương trình −x x ⇔ (2008 x + 2007) x > 0 ( x > 0 ⇔  x < − 2007 2008  ) − 2007 2008 0 (1,5đ) (1,5đ) (1đ) 1đ 1đ 31 Gợi ý đáp án Điểm Hoặc biểu diễn trên trục số : Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng, hợp logic thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng HẾT 32 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP... THCS ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TRƯỜNG Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút Bài 1: a) Giải phương trình: x 4 - x 3 + x 2 - 11x + 10 = 0 b) Tìm x, y thoả mãn: x - 2 x - 1 = - y + 4 y - 4 Bài 2 Rút gọn A = 3- 3 2- 3+ 2 2 + 3+ 3 2+ 3 - 2 2 Bài 3 Tìm GTNN (nếu có) của các biểu thức sau: P = 4 x 2 + 12 x + 9 + 4 x 2 - 20 x + 25 Q = x 2 + 2 y 2 + 2 xy - 2 x + 2008 Bài 4 Cho đường tròn tâm O đường kính... −1 − x2 + 1 = 0 x2 −1 Câu 3: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2 x +1 Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 2x2 + 3y = 1 3x2 - 2y = 2 Câu 5: (4 điểm) Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam Cơ giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành các tổ học tập: - Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ - Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ - Số người trong mỗi tổ khơng q 15 người nhưng cũng... = t  Giải phương trình theo t, ta có: −1 − 13 −1 + 13 t1 = < 0 (lo¹i); t2 = >0 2 2 13 − 9 t2 − 4 = < 0 ⇔ t2 < 4 Suy ra nghiƯm cđa (3) lµ t2 2  9 − 13  x1 = 2 − 2 2 2  Gi¶i ph¬ng tr×nh 4 x − x = t2 ⇔ x − 4 x + t2 = 0 ⇔   x = 2 + 9 − 13  2 2  VËy: ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiƯm ph©n biƯt: ( x1,2 = 2 ± 9 − 13 2 ) 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 11 3 + §Ỉt AM = x (0 ≤ x ≤ c) 3.1 8,0 Ta cã: MN AM... nam được chia vào tổ là x, 0,5 số bạn nam được chia vào tổ là y, x, y ngun dương Theo đề ra ta có hệ: 32 24 = x y (1) 9 ≤ x + y ≤ 15 (2) 3x – 4y = 0 => x = Từ (1) ta có: Đặt y = 3t, t > 0 và t ∈ z, ta có: 0,75 4 y 3 0,5 x = 4t 0,25 Từ (2), ta có: 9 ≤ 3t + 4t ≤ 15 hay 9 ≤ 7t ≤ 15 => 0,5 9 2 2 15 1 < t ≤ 2 7 7 7 7 0,5 Vì t ∈ z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6 0,5 Như vậy, . O H CHtg + + = = = + 2,0 19 phßng GD-§T Tr."^ ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2007 -2008 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu. vuông có dạng ( ) 2 0,S abbb k k k= = > Z 0,5 2 1000 99 99 33 99 k k , nên k chỉ gồm 2 chữ số: 10k xy x y= = + ( ) 2 2 2 100 20 3 9; 0 9k x xy y x y= + + . 1,0 Nếu y lẻ: 2 1;3;5;7 ;9.  5 Phòng GD-ĐT TP <a,3"Y Trờng THCS lớp 9 thCS năm học 2007 - 2008 Môn : I"* 0" Bài V Nội dung 1. W(@ (2,0 điểm) 4 4 1 2 9 6 2x x x x+ + + = ( ) ( ) 2 2 4 4 1 3 2x x