TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ DUNG ĐỒNG Dư TRÊN NỬA NHÓM CHÍNH QUY KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Đại số Ngưòi hướng dẫn khoa học ThS. NGUYỄN HUY HƯNG Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Để có thể hoàn thành được bài khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Huy Hưng - Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập tại trường cũng như trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số, các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình. Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận do điều kiện về mặt thời gian, do trình độ có hạn và đây cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên bài khóa luận của em không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và bạn đọc. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Dung LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Nguyễn Huy Hưng thì khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Để hoàn thành được bản khóa luận tốt nghiệp này em đã có sử dụng một số tài liệu tham khảo của các nhà khoa học. Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Đồng dư trên nửa nhóm chính quy” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Dung Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Thị Dung K36B - Sp Toán MỤC LỤC Khỏa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Thị Dung K36B — Sp Toán MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác, là thành phần không thể thiếu của văn hóa phổ thông. Môn Toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con người. Từ khi ra đời đến nay, lý thuyết nửa nhóm đã đạt được nhiều thành tựu quan trọng và có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều lĩnh vực như khoa học máy tính và nhiều lĩnh vực khác của Toán học. Lý thuyết nửa nhóm được đưa vào chương trình đại học như một chuyên đề tự chọn của sinh viên ngành Toán, tuy nhiên với lượng thời gian có hạn chúng em khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó. Đối với em, lý thuyết nửa nhóm là một môn rất hay và tạo cho em nhiều hứng thú khi học, điều này gợi cho em muốn học hỏi, biết nhiều hơn về lý thuyết nửa nhóm. Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn, em đã mạnh dạn chọn đề tài “Đồng dư trên nửa nhóm chính quy” làm khóa luận tốt nghiệp đại học của mình. Em mong rằng khóa luận này sẽ có ích cho những ai quan tâm đến đồng dư, đặc biệt là đồng dư trên nửa nhóm chính quy. 2. Mục đích nghiên cứu Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết nửa nhóm, đặc biệt là tìm hiểu sâu hơn về đồng dư trên nửa nhóm chính quy. 3. Đối tượng nghiên cứu Tập trung nghiên cứu về đồng dư trên nửa nhóm chính quy. 4. Phương pháp nghiền cứu Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Thị Dung 4 K36B — Sp Toán - Nghiên cứu lý luận - Phân tích - Tổng hợp - Đánh giá 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2 chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Nội dung chủ yếu của chương này trình bày một số khái niệm cơ bản về lý thuyết nửa nhóm, cấu trúc nửa nhóm và một số nửa nhóm đặc biệt cùng với tính chất đặc trưng của nó. Chương 2. Đồng dư trên nửa nhóm chính quy. Chương này dùng để trình bày về dàn của các đồng dư trên nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ngược và hệ hạt nhân chuẩn tắc trên nửa nhóm ngược. Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Thị Dung 5 K36B — Sp Toán Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Nửa nhóm Định nghĩa 1.1. Cho s ^ 0 và ° là một phép toán hai ngôi ưên s. Ta nói (5 1 , 0 là một nửa nhóm nếu phép toán o có tính chất kết hợp, tức là \/x,y,z^S ta có x° Ví du 1.1. a) (N là một nửa nhóm. b) (N là một nửa nhóm. c) Trên N ta định nghĩa phép toán hai ngôi *:N N N (m,n) ,n} Khi đó (N là một nửa nhóm. Thật vậy, Vm,n,peN ta có /7 = min{m,n}* p = mmịm,n,p} = m*mmịn,p} = m*(n* p). d) Cho s := LV Trên s ta xét phép toán ° là phép nhân hai ma trận thông thường. Khi đó (5,° là một nửa nhóm. Thật vậy f 1 n ( 1 r n f 1 ( 1 m '\ n + rn' eS ta có = ,0 1, , 0 K , 0 1 , , 0 K ,0 1 > Mặt khác, phép nhân ma trận có tính chất kết hợp. => (5,° là một nửa nhóm. Định nghĩa 1.2. Cho (5,° là một nửa nhóm, 0 5* A C s. Ta nói A là một nửa nhóm con của s nếu A đóng kín với phép toán ° , tức là Vjc, y e A, ta có X ° ( N 0 1 V eS Ví dụ 1.2. a) (N là nửa nhóm con của (Q b) (N không là nửa nhóm con của (Q 1.2. Dàn 1.2.1. Nửa dàn, nửa dàn đầy đủ Định nghĩa 1.3. Cho (£,<) là một tập được sắp thứ tự và Ấc5. Một chặn dưới (chặn trên) của A là một phần tử zgS sao cho Vjc e A, z ^ X (jc < z). Phần tò lớn nhất trong các chặn dưới của A được gọi là cận dưới đúng của A. Phần tử nhỏ nhất trong các chặn trên của A được gọi là cận trên đúng của A. Kí hiệu AA: cận dưới đúng của A VA: cận trên đúng của A xAy: cận dưới đúng của X và y xVy: cận trên đúng của X và y. Ví dụ 1.3. Cho s — {1,2,3} • Trên s ta xét quan hệ CZ. Khi đó, ta có {U}A{1,3} = {1}, {1,2}A{3} = {0}, {1,2}V{3} = {1,2,3}. Định nghĩa 1.4. Một tập sắp thứ tự (£,<) được gọi là một nửa dàn dưới (trên) đầy đủ nếu VA c: s đều có cận dưới (trên) đúng. 1.2.2. Dàn, dàn đầy đủ Định nghĩa 1.5. Một tập sắp thứ tự (5,<) được gọi là một dàn đầy đủ nếu nó vừa là nửa dàn dưới đầy đủ vừa là nửa dàn trên đầy đủ. Định nghĩa 1.6. Một tập sắp thứ tự (s,<) được gọi là một dàn nếu nó vừa là nửa dàn dưới vừa là nửa dàn trên, tức là Vjt, y e s, 3jcẠy và xVy. 1.3. Đồng dư Định nghĩa 1.7. Một quan hệ nhị phân p từ tập X đến tập Y là tập con của XxY. Neu JCG X, y e7 sao cho (x, j) e p thì ta viết X py. Quan hệ đồng nhất trên X là quan hệ id x =|(jc,x):xe xj Quan hệ ngược của p là quan hệ p~ 1= {{y’ x )'{ x ’y)*p} Cho p là một quan hệ từ X đến Y, Y là một quan hệ từ Y đến z. Ta gọi hợp thành của p và Y là quan hệ ỵ ° từ X đến z xác định như sau ỵ° z)^XxZ\ xpy, ỵỵz} Nhận xét 1.1. p ° ° Định nghĩa 1.8. Với xeX tã đặt jcp:=|3;ey| X py}. Ta gọi p là ánh xạ bộ phận từ X đến Y nếu \xp\ <1, Vx e X . Hơn nữa, p là ánh xạ tò X đến Y nếu \xp\ = 1, Vx e X . Cho p là một ánh xạ bộ phận từ X đến Y. Khi đó, miền xác định của p là tập domp = e XI 3y e y,(jc, e /?j Ta thấy dompcX và nếu p là ánh xạ thì domp = X . Ảnh của p là tập imp = ịy & YI 3xeX,(jc,j)e yơj Cho T c7. Khi đó, tạo ảnh của T qua p là tập Tp~ x - jjteXI 3íeT,JCyCtfj Kí hiệu B x :=ỊpcXxX| là tập tất cả các quan hệ nhị phân trên X Khi X=Y thì một ánh xạ bộ phận từ X đến X gọi là một biến đổi bộ phận của X; còn một ánh xạ từ X đến X được gọi là biến đổi đầy đủ của X. Đặt P x |yơ: X —» XI p là biến đổi bộ phận của X } T x :=ịp:X —» XI p là biến đổi đầy đủ của X } S x := |yơ: X —» XI p là song ánh trên X } Nhận xét 1.2. l) S x c T x c P x C B x 2) P x là vị nhóm con của B x , T x là vị nhóm con của P x , S x là nhóm con của T x . Định nghĩa 1.9. Cho yơefi r Ta nói (l) p có tính chất phản xạ nếu Vjt e s, xpx (hay id s C p) (2 )p CÓ tính chất đối xứng nếu Vjc, y e s, xpy => ypx (hay p = p~ 1 ) (3) p có tính chất phản đối xứng nếu Vx,yeX, xpy và ypz thì x = y (hay pnp~ l =id s ) (4) p CÓ tính chất bắc cầu nếu Vjc,ỵ,zeS sao cho xpỵ, ypz ta có xpz (hay yơ 2 cp). Định nghĩa 1.10. Quan hệ p trên tập s được gọi là quan hệ tương đương trên s nếu nó có ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Quan hệ p trên tập s được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên s nếu nó có ba tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu. Định nghĩa 1.11. Cho B s là tập các quan hệ nhị phân trên s và peB s . Khi đó, ta nói quan hệ p là ❖ Tương thích trái nếu Vx, yeS,xpy^zxpzy', ❖ Tương thích phải nếu Vjt, y&s, X py=>xz pyz \ ❖ Tương thích nếu Vx, y,z,t&s, X py và z /? t => xz yơ yt. Ta nói p là đồng dư trái (phải) nếu nó là quan hệ tương đương tương thích trái (phải). Ta nói p là đồng dư nếu nó là quan hệ tương đương tương thích. Định lý 1.1. Quan hệ p trên s là đồng dư khi và chỉ khi p là đồng dư trái và đồng dư phải. Chứng minh'. Điều kiên cần: Giả sử quan hệ p là đồng dư. Cho x,y,z^s và X p y. Do p có tính chất phản xạ z p z. Hơn nữa, do p là đồng dư zx p zy và xz p yz => p là đồng dư trái và đồng dư phải Điều kiên đủ: Giả sử quan hệ p là đồng dư trái và phải. Cho x,y,z,t e s sao cho X p ỵ và z p t. Do p là đồng dư phải =^>xz pyz. Hơn nữa, do p là đồng dư trái => yz pyt. Mặt khác, do p có tính chất bắc cầu =>JCZ p yt. Vậy p là đồng dư. ❖ Cho yơ e -S s . Đặt p R =n cr,cr phản xạ} yơ 5 =n :/?ccr,cr đối xứng} yơ r =n :>ơc ơ,ơ bắc cầu} p E = n :pczơ,ơ là quan hệ tương đương} p c = fl \p c ơ, ơ là tương thích trái, phải} p # = n \p c ơ, ơ là đồng dư} Định nghĩa 1.12. Ta gọi quan hệ p R là bao đóng phản xạ của p, p s là bao đóng đối xứng của p, p T là bao đóng bắc cầu của p, p E là quan hệ tương đương sinh bởi p và p* là đồng dư sinh bởi p. Cho £ s là tập tất cả các quan hệ tương đương trên s và c s là tập tất cả các quan hệ đồng dư trên s. Trên hai tập hợp này, ta xét quan hệ thứ tự là quan hệ bao hàm Khi đó £ s ,c s là các dàn. Hơn nữa • V/7,creé: s ta có pÁơ = pn>ơ,pVơ = (pyJơỴ • Vyơ,cr <E c s ta có pAơ- pncr,pVcr = (pucr) # . 1.4. Phần tử lũy đẳng, tập lồi Định nghĩa 1.13. Cho (5 1 , 0 là một nửa nhóm. Một phần tử a GS được gọi là phần tử lũy đẳng nếu a 2 = a. [...]... ta cú nu t e s l chớnh quy thỡ mi phn t ca R t l chớnh quy Yỡ vy nu X l chớnh quy thỡ mi phn t ca D l chớnh quy nh ngha 1.16 Mt D-lp c gi l chớnh quy nu mi phn t ca nú l chớnh quy Trỏi li, ta núi D-lp ú l khụng chớnh quy Nhn xột 1.3 Theo mnh 1.3, ch ra mt D-lp l chớnh quy ta ch cn ch ra mt phn t ca D-lp chớnh quy l Mnh 1.4 Trong D-lp chớnh quy, mi L-lp v R-lp cha mt phn t ly ng Nguyn Th Dung 14... chớnh quy nu 3y e s sao cho xyx = X Phn t X G s c gi l phn t kh nghch nu 3y e s sao cho xyx = X v yxy = y Mnh 1.3 Nu XG S l phn t chớnh quy thỡ mi phn t ca D u l phn t chớnh quy Chng minh: Do X l chớnh quy nờn 3y G s: xyx = x Gi s: aLx^3p,q&S l: pa = x,qx = a Ta cú a = qx = q[xyx) = [qx)yx = ayx = a[yp)a =>a l phn t chớnh quy Do ú mi phn t ca L u chớnh quy Lp lun tng t, ta cú nu t e s l chớnh quy thỡ... chớnh quy 1.6.1 Phn t chớnh quy nh ngha 1.17 Cho s l mt na nhúm Phn t X G s c gi l phn tũ chớnh quy nu 3 e s sao cho xyx = X Vớ d 1.5 Cho (N l mt na nhúm vi phộp toỏn * c xỏc nh nh vớ d l.lc) Khi ú phn t 3eN c gi l phn t chớnh quy Tht vy, do 34 G N sao cho 3*4*3 = (3* 4) *3 = min {3,4} * 3 = 3 * 3 = 3 =^> 3 l phn t chớnh quy 1.6.2 Na nhúm chớnh quy nh ngha 1.18 Mt na nhúm s c gi l na nhúm chớnh quy. .. chớnh quy, tc l Vjc e s, 3y e s sao cho xyx = x Vớ d 1.6 (Q l na nhúm chớnh quy Tht vy, d thy (Q l mt na nhúm Hn na ta cú Vx e Q Q m X + (-jc) + X = (x + (-*)) + JC = 0 + x = JC => (Q l na nhúm chớnh quy 1.6.3 Cp chớnh quy nh ngha 1.19 Nu Va s, Bb&S:aba = a,bab = b thỡ b l mt phn t ngc ca a v (a,b) l cp chớnh quy Nhn xột: + Trong na nhúm chớnh quy, mi phn t u cú phn t ngc + Nu (a,a') l cp chớnh quy. .. chớnh quy nh ngha 1.20 Cho s l na nhúm chớnh quy v 0 ^ A CZ s Khi ú A l na nhúm con chớnh quy ca s nu A l na nhúm con ca s v nú úng kớn vi phộp ly phn t ngc Nguyn Th Dung 16 K36B Sp Toỏn Khúa lun tt nghip i hc Vớ d 1.7 (z l na nhúm con chớnh quy ca (Q Tht vy, ta cú (Q l na nhúm chớnh quy (Theo vớ d 1.6) Hn na, ta d ch ra l na nhúm con ca (Q Mt khỏc, ta cú (x) e Z, Vy z l na nhúm con chớnh quy ca... quy iu kiờn : Cho (ab,b'a') l cp chớnh quy Ta cú (a r abb')(a'abb') = a , (ab)(b'a , )(ab)b' (Do s l na nhúm) = a'abb' (Do [ab,a'} l cp chớnh quy) => a'abb' ly ng Tng t, ta cú {bb'a , a}(bb , a'a} = b(b'a , }ab){b'a'}a=bb , a'a => bb'a'a ly ng Vy a'abb' v bb'a'a l cỏc phn t ly ng B 2.2 Cho e v / l cỏc phn t ly ng trong na nhúm chớnh quy s Khi ú, tn ti phn t ly ng g ca s sao cho (g,ef) l cp chớnh quy. .. (ô,ô') v (b,b') l cỏc cp chớnh quy thỡ (ab,b'a') cng l cp chớnh quy Chng minh: [a ) => b Cho e&E s v (e,x) l cp chớnh quy Khi ú x xex (Do (e,x) l cp chớnh quy) = xeex (Do eeE s ) M = (xex)e = xe => xe G E (ej:)(ex) = {exố) X ex^>ex&E s T (1), (2) v (3) E S E S C E s (1) (2) (3) [z?)=>a)] Ly bt kỡ e,f &E S Khi ú, theo b 2.2, tn ti g GES sao cho (g,e/) l cp chớnh quy Do ú ef L E S (theo gi thit)... s l na nhúm chớnh quy sao cho E s l na nhúm con Khi ú, vi bt kỡ cp chớnh quy (a,a') ta luụn cú aE s a' C E s Chng minh: Cho (ô,ô') l cp chớnh quy v eeÊr Ta cú a'a eE s (theo chng minh b 2.3)=>a f ae e E s (Do E s l na nhúm con ca S) Ta cú {aea' =aea'aea' = {aa')ea'aea' (Do (ử,ử') l cp chớnh quy) = a{a'aố){a'aố)a' = aa'aố)a' (Do a'ae&E s) = aa , )ea' = aea' (Do (ô, aea' e E s... na nhúm chớnh quy nờn ta cú efxef = ef, xefic = Jt Khi ú, ta cú (fxef = f xfx)e = fxe =^> fxe l phn t ly ng Mt khỏc, ta cú (ef)(fxe)(ef) = ef 2 xe 2 f = efxef = ef (fxe) (ef)(fxe) = fxe 2 f 2 xe = f (xefx)e = fxe t g fxe Khi ú, ta cú g l phn t ly ng ca s v (g,e/) l cp chớnh quy B 2.3 Cho s l na nhúm chớnh quy Khi ú, cỏc mnh sau tng ng: a) E S E S ^E S \ b) Nu e&E s v e, l cp chớnh quy thỡ xeE s... nhúm con ngc ca s nu T cng l na nhúm ngc hoc nú úng kớn vi phộp ly phn tũ ngc trong s Chng 2 NG D TRấN NA NHểM CHNH QUY 2.1 Na nhúm con chớnh quy cc i B 2.1 Cho (a,a') v (b,b') l cỏc cp chớnh quy trong na nhúm s Khi ú a'abb' v bb'a'a l cỏc phn t ly ng ca s khi v ch khi (ab,b'a') l cp chớnh quy Chng minh iu kiờn cn: Cho a'abb' v bb'a'a l cỏc phn t ly ng Khi ú, ta cú {ab){b'a'}{ab) = aa'abb'a'abb'b (Do . Đồng dư trên nửa nhóm chính quy làm khóa luận tốt nghiệp đại học của mình. Em mong rằng khóa luận này sẽ có ích cho những ai quan tâm đến đồng dư, đặc biệt là đồng dư trên nửa nhóm chính quy. 2 nửa nhóm và một số nửa nhóm đặc biệt cùng với tính chất đặc trưng của nó. Chương 2. Đồng dư trên nửa nhóm chính quy. Chương này dùng để trình bày về dàn của các đồng dư trên nửa nhóm chính quy, . quy. 1.6.2. Nửa nhóm chính quy Định nghĩa 1.18. Một nửa nhóm s được gọi là nửa nhóm chính quy nếu Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Thị Dung 15 K36B — Sp Toán mọi phần tử thuộc s đều chính quy, tức