TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN DƯƠNG THỊ ANH XÂY DựNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải Tích Người hướng dẫn khoa học TS. Trần Văn Bằng Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Văn Bằng, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình. Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành khóa luận. Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã ủng hộ, giúp đỡ nhiệt tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 20lị Sinh viên Dương Thị Anh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS.Trần Văn Bằng khóa luận được hoàn thành không trùng với bất kì công trình nào khác. Trong khi thực hiện khóa luận em đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng. Hà Nội, tháng 05 năm 20lị Sinh viên Dương Thị Anh Mục lục 4 2.5.2. Bài toán hỗn hợp đối với phương trình không thuần nhất 56 Kết luận Tài liệu tham khảo 5 59 60 Mở đầu Toán học là một môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác. Nó gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Phương trình đạo hàm riêng là một môn quan trọng của toán học. Cũng như các môn học khác của toán học, phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Nó liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lí vì quá trình nghiên cứu các bài toán vật lí dẫn đến các bài toán phương trình đạo hàm riêng. Ra đời từ những năm 60, phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được vị trí của mình trong khoa học nói chung và trong toán học nói riêng. Phương trình đạo hàm riêng được coi là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng. Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic có ứng dụng rất lớn trong khoa học và trong thực tiễn. Như chúng ta đã biết việc giải các phương trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic rất khó khăn và phức tạp. Nếu có hệ thống phân loại bài tập phương trình Hyperbolic thì người học sẽ tiếp thu kiến thức dễ hơn. Vì vậy, với lòng yêu thích môn học này và để hiểu rõ hơn, khắc sâu hơn lí thuyết và cách giải các phương trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic. Đồng thời giúp người học tiếp thu hiệu quả kiến thức về phương trình đạo hàm riêng nên nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn nhiệt tình của TS. Trần Văn Bằng em đã chọn nghiên cứu đề tài: "Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình Hyperbolic. " Nội dung của khóa luận được trình bày trong hai chương. Chương 1: trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng; phân loại phương trình đạo hàm riêng; dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng; bài toán hỗn hợp; Chương 2: trình bày một cách hệ thống các bài tập có hướng dẫn giải về phương trình Hyperbolic. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này nhằm giới thiệu các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng. Đặc biệt chúng ta tìm hiểu về một đại diện của lớp phương trình Hyperbolic, đó là phương trình truyền sóng trong môi trường thuần nhất trong không gian n chiều. Trong đó ta nghiên cứu hai bài toán cơ bản: bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền sóng. 1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 1.1. Một phương trình đạo hàm riêng là một phương trình có chứa các đạo hàm riêng của ẩn hàm. Nó có dạng F{x\, x 2 , x n .Ị w, u Xl ,u Xn 1 Uxixi J ■•■) — 0; (1'1) X E c K n , trong đó X = {xi, x 2 ,x n ) là các biến số độc lập, u là ẩn hàm của các biến đó. Ví dụ 1.1. Phương trình d 2 u = 2 X + y dxd y là phương trình đạo hàm riêng. Một nghiệm của (1.1) trên Q là một hàm u xác định, khả vi đến cấp cần thiết trên íỉ và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộc Nói chung một phương trình đạo hàm riêng thường có vô hạn nghiệm. Phương trình đạo hàm riêng thường được phân loại theo các tiêu chí sau: 1) Theo cấp của phương trình (nói chung phương trình có cấp càng cao càng phức tạp). 2) Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nói chung đơn giản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càng cao thì càng phức tạp). 3) Theo sự phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theo thời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi là phương trình dừng). Kí hiệu biến thời gian là í, các biến còn lại là biến không gian. Định nghĩa 1.2. cấp của một phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm riêng có mặt trong phương trình. Ví dụ 1.2. Phương trình d 2 u = 2 X + y dxdy là phương trình đạo hàm riêng cấp 2. Định nghĩa 1.3. Một phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có dạng L[u\ = f{x), (1.2) trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của u với các hệ số là các hàm của biến số độc lập X . Nếu / = 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.2) là thuần nhất, trái lại thì ta nói phương trình đó là không thuần nhất. Ví dụ 1.3. +) u t + cu x = 0 là phương trình tuyến tính thuần nhất. +) a(x, y)u x x + 2u X y + 3x 2 Uyy = 4e x là phương trình tuyến tính không thuần nhất. Định nghĩa 1.4. Một phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính thì được gọi là phi tuyến. 1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Định nghĩa 1.5. Phương trình có dạng: X G được gọi là phương t r ìn h đạo hà m ri êng tu y ến t í nh cấp hai đối với hàm u(x) = (XI,X 2 , ,x n ), trong đó các hệ số a i j ì bj,c,d là các hàm liên tục đã cho trên Q, ũịj = CLji và các ũịj không đồng thời bằng không. Việc phân loại phương trình (1.3) chỉ phụ thuộc vào các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai và được định nghĩa tại từng điểm như sau. Gọi A(x) = [aịj(x)] là ma trận vuông cấp n các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai. Tại mỗi X e íĩ cố định A(x) là một ma trận thực, đối xứng nên A(x) có đúng n giá trị riêng thực. Ta nói: [...]... 2 Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình Hyperbolic Trong chương này chúng ta đi nghiên cứu các ví dụ và bài tập có hướng dẫn giải về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai; nghiệm tổng quát; bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng trong trường hợp 1 , 2 , 3 chiều Hơn nữa chúng ta còn nghiên cứu ví dụ và bài tập về phương pháp tách biến Để giải bài toán. .. nên phương trình thuộc loại parabolic Đổi biến ịt=e x - e-\ [TỊ = X Ta sẽ đưa phương trình đầu về dạng chính tắc: b) Hướng dẫn giải: * Xác định ma trận các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai * Giải phương trình det (A — XI) = 0 * Kết luận phương trình: a) Phương trình elliptic b) Phương trình hyperbolic B à i t ậ p 3: Chứng minh rằng a) Phương trình Laplace TI A u = u x x — 0, X G i= 1 là phương trình. .. + Uyy2 + e u = 0 Hướng dẫn giải: a) Phương trình đạo hàm riêng cấp 3 b) Phương trình đạo hàm riêng cấp 4 c) Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 B à i t ậ p 2: Chứng minh rằng: a) u (x, y) = X 2 — 2y là nghiệm của phương trình b) u (X , t ) = sin (2 x + 21 ) là nghiệm của phương trình u x — U ị = 0 Hướng dẫn giải: +) Tính các đạo hàm riêng có mặt trong phương trình +) Thay vào phương trình ta suy ra điều... các phương trình sau, phương trình nào là tuyến tính, phi tuyến Trong trường hợp tuyến tính thì nó có thuần nhất hay không &) U X y u b) u u x + x u y = 0 c) u x + 2u = 2xy Hướng dẫn giải: a) Phương trình tuyến tính thuần nhất b) Phương trình phi tuyến c) Phương trình tuyến tính không thuần nhất 2.2 Bài tập về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Ví dụ 2.4 Xác định loại của các phương. .. i= 1 là phương trình elliptic trên Mn b) Phương trình truyền nhiệt U ị — A u = 0, (X , t ) e là phương trình parabolic trên Mn+1 Hướng dẫn giải: +) Xác định ma trận các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai +) Giải phương trình det ( A — X I ) = 0 +) Kết luận: a, Phương trình elliptic b, Phương trình parabolic 2.3 Tìm nghiệm tổng quát Bước 1: Đưa phương trình về dạng chính tắc, Bước 2: Lần lượt lấy tích... toán hỗn hợp, trong rất nhiều trường hợp ta dùng phương pháp tách biến hay thường gọi là phương pháp Fourier 2.1 Bài tập về một số khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riềng Ví dụ 2.1 Tìm cấp của phương trình đạo hàm riêng sau: Lời giải Ta thấy cấp cao nhất của đạo hàm riêng có mặt trong phương trình trên là hai Vậy phương trình đã cho là phương trình đạo hàm riêng cấp hai Ví dụ 2.2 Chứng minh... 28 Giải phương trình trên ta có det ( Ả — X I ) = 0 1-A0 -1 02-A 0 -1 0 - 0 A (2 - A) (A2 - A - l) À=2 A= l + \/5 2 1 - Vò A= Suy ra có 3 giá trị riêng, có 1 giá trị riêng trái dấu với 2 giá trị riêng còn lại Vậy phương trình đã cho thuộc loại hyperbolic Ví dụ 2.6 Chứng minh rằng Phương trình truyền sóng Uịị — A u = 0, (X , t ) e Mn+1 là phương trình hyperbolic trên Rn+1 Lời giải Ma trận các hệ. .. - 1 0 0 =0 có các giá trị riêng là nghiệm của phương trình det ( A — X I ) = 0 Giải phương trình trên ta có det (^4 — X I ) = 0 (—1 — À)n (1 — À) = 0 A = — 1 (bội r ì ) , À= 1 Suy ra có n + 1 giá trị riêng, có một giá trị riêng trái dấu với n giá trị riêng còn lại Vậy phương trình truyền sóng thuộc loại hyperbolic (ta có điều phải chứng minh) B à i t ậ p 1: Xác định loại của các phương trình sau và... phương trình + 2b*u^ v + a*Utf +d*(£,r],u, u^u^) = 0, trong đó a b c *= ^>y^ìx) ar ìl + 2 h r )xri y + crf Khi đó ta có phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một: a d + 2&CxCy + cC — 0 (1.12) là phương trình đặc trưng của (1.10), trong đó £ thay cho £ hoặc r j Giải (1.12) được đưa về giải phương trình vi phân thường: 'dx' 2 o a (1.13) I _ 2 \ j ) — &( J ) + c = 0 ax a, Trường hợp phương trình hyperbolic. .. nó thuộc loại đó tại mọi điểm lẽíì Ví dụ 1.4 a) Phương trình Laplace n A u = ^2 u X i X i = ũ , x e R ' i= 1 là phương trình elliptic trên Mn b) Phương trình truyền nhiệt n+ 1 : U ị — A u = 0, (x, t ) E M là phương trình parabolic trên Rn+1 c) Phương trình truyền sóng n+1 U ị ị — A u = 0, (X , t ) £ M là phương trình hyperbolic trên Mn+1 d) Phương trình XịU X l X l + U X 2 X 2 + U X 2 = 0,X = (xi,x . PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN DƯƠNG THỊ ANH XÂY DựNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải Tích Người hướng dẫn khoa học TS. Trần. tài: " ;Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình Hyperbolic. " Nội dung của khóa luận được trình bày trong hai chương. Chương 1: trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình. phân loại phương trình đạo hàm riêng; dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng; bài toán hỗn hợp; Chương 2: trình bày một cách hệ thống các bài tập có hướng dẫn giải về phương trình Hyperbolic. Chương