A – ĐẠI SỐ PHẦN 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Phương pháp giải ( hàm số y = f(x) ) Tìm tập xác định hàm số Tính y ! tìm nghiệm y ! = Xét biến thiên Tìm cực trị hàm số ( có ) Tìm giới hạn vơ cực giới hạn vơ cực ( có ) Tìm đường tiệm cận hàm số Lập bảng biến thiên Xác định số điểm đặc biệt Nhận xét: tâm đối xứng trục đối xứng ( có ) • Phân dạng hàm số Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Đồ thị hàm số ln có điểm uốn điểm tâm đối xứng đồ thị Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) Hàm trùng phương hàm số chẳn nên đồ thị nhận trụ tung làm trục đối xứng ax + b Hàm số y = ( c ≠ ad – bc ≠ 0).hàm biến hàm số có hai tiệm cận tịm cận: tiệm cx + d a.d − b.c d a cận đứng x = − tiệm cận ngang y = Hàm số ln có đạo hàm cấp y ! = (cx + d ) c c ax + bx + c c′ Hàm số y = (a ≠ 0, c ≠ 0) Hàm số có hai tiệm cận tiệm = a ′x + b′ + dx + e dx + e e cận đứng x = − tiệm cận xiên y = a ′x + b′ Hàm số ln có đạo hàm cấp y ! = d b.e − a.d ax + e e • Các tốn liên quan: Chủ đề Cơng cụ xử lí Kiến thức bổ trợ ! ! Tính y : y ≥ hs tăng Dấu y ! =ax2 + bx + c : ∆ ≤ ⇔ y ! dấu với a ! Tính tăng, giảm ∆ ≥ ⇔ y ! trái y ≥ hs giảm Cực trị GTLN GTNN Tương giao Biện luận pt đồ -Lập pt: y ! = (1) -Pt (1) có nghiệm đơn hàm số có cực trị ; nghiệm kép -Có u cầu cực đại, cực tiểu vơ nghiệm khơng có cực trị dùng bảng biến thiên đạo  y′ =  y′ =  y′ = Cực đại:  , Cực tiểu:  ,Cực trị:  hàm cấp hai  y ′′ <  y ′′ >  y ′′ ≠ -Biến đổi đại luơng tìm giá trị -Miền xác định phụ thuộc vào điều kiện biến t lớn nhất, nhỏ thành -Khi f(x) ≤ M,f(x) ≥ m M m gọi GTLN,NN hàm số biến: A = f(t) có hai điều kiện: + M,m số -Lập bảng biến thiên hs f(t) + tồn giá trị x cho f(x) = M , f(x) = m Lập pt hồnh độ điểm chung -Nghiệm đơn cắt -Nghiệm kép tiếp xúc -Vơ nghiệm khơng điểm chung -Từ pt tạo hai hs (một hàm -Nghiệm đơn cắt khơng tham số hàm có tham số) thị -Khảo sát nvẽ đồ thị hàm số hệ trục, dùng tương giao để biện luận Điều kiện tiếp xúc: hai hàm số Tiếp xúc hai đạo hàm Tìm tọa độ tiếp điểm M0(x0;y0) Lập phương trình tiếp giả thiết tuyến (tt) theo cách -Nghiệm kép tiếp xúc -Vơ nghiệm khơng điểm chung Nghiệm hệ hoành độ điểm chung - Tt song song với (d) f !(x0) = kd - Tt vng góc với (d) f !(x0).kd = -1 - Tt tạo với chiều dương ox góc α f !(x0) = tanα - Tt tạo với ox góc α f !(x0) = ±tanα Lập phương trình tt dạng: y = - Tổng quát y = kx + b Lập phương trình tiếp kx + b - Qua điểm M pt dạng: y – yM = k( x - xM) tuyến (tt) theo cách Lập điều kiện tiếp xúc giửa - Qua gốc tọa độ pt là: y = kx hai (C): y = f(x) tt: y = kx + b - Tt song song vời (d): y =lx pt là: y = lx + m - Tt vng góc với (d): y = lx pt là: y = lx + m Chuyển hs họ đường thành pt - Điểm tất đồ thị qua hệ số pt Điểm cố định tham số m dạng: - Điểm khơng có đồ thị qua hệ số m không n n-1 họ đường an.m + an-1.m +…+ a0= cò hệ số độc lập khác Tâm đối xứng trục đối xứng Vẽ đồ thị hàm trị tuyệt đối -Dùng công thức dời trục: x = X + xI   y = Y + yI - Để chuyển hs y = f(x) thành hs Y = F(X) chẵn lẽ (C): y = f(x) vẽ (C !): y = | f(x) | (C): y = f(x) vẽ (C !): y = f(| x |) (C): y = f(x) vẽ (C !): | y | = f(x) ax + b (C): y = vẽ (C !): cx + d ax + b y= cx + d - Hàm bậc ba I điểm uốn - Hàm hửu tỉ I giao điểm hai đường tiệm cận - Hàm chẵn trục đới xứng IY, hàm lẻ tâm đối xứng I Giữ nguyên phần (C) ox làm phần (C !), lấy đối xứng phần ox làm phần hai (C !) Giữ nguyên phần (C) bên phải oy làm phần (C !), lấy đối xứng phần giữ nguyên làm phần hai (C !) Giữ nguyên phần (C) ox làm phần (C !), lấy đối xứng phần giữ nguyên qua ox làm phần hai (C !) Giữ nguyên phần (C) bên phải TCĐ, bỏ phần bên trái TCĐ làm phần (C !), lấy đối xứng phần bỏ qua ox làm phần hai (C !) • Bài tập áp dụng: Bài 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x − x ; b) y = x3 – 6x2 + 9x; c) y = - x3 + 3x2 -2 ; d) y = - x3 + 3x2 ; e) y = 2x3 + 3x2 – 1; e) y = -x3 + 3x2 - 9x +1 Bài 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x4 – 2x2 + 1; b) y = -x4 + 3x2 + 4; c) y = x4 - 3x2 + 4; a/ y = x4 – 2x2 – b/ y = − x4 + x2 + 2 c/ y = - x4 + 2x2 Bài 3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: d/ y = x4 + x2 – a/ y = 2x − x −1 b/ y = − 2x x+2 c/ y = x +3 d/ y = 2x − x Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3–3x–2+m = ĐS: * m > 4: n0; * m = 4: n0; * < m < 4: n0; * m = 0: n0; * m < 0: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + d) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) HD: PT đt qua điểm A(xA; yA) B(xB; yB) có dạng: x − xA y − yA = x B − x A yB − yA ĐS: y = 2x + Bài 5: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 + 3x2 – k = ĐS: * k > 4: n0; * k = 4: n0; * < k < 4: n0; * k = 0: n0; * k < 0: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ -1 ĐS: y = -3x d) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) ĐS: y = -2x + Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x + 2x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: -x4 + 2x2 + – m = ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: n0; * < m < 2: n0; * m = 1: n0; * m < 1: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ ĐS: y = Bài 7: Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết hệ số góc tiếp tuyến 24 Bài 8: Cho hàm số (C): y = x – 3x + ĐS: y = 24x– 43 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = − x − 83 27 ĐS: y = − x + 115 27 ;y= − x+ Bài 9: Cho hàm số (C): y = x +1 x −3 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường phân giác phần tư thứ ĐS: y = -x y = -x + Bài 10: Cho hàm số (Cm): y = 2x + 3(m – 1)x + 6(m – 2)x – a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Với giá trị m, đồ thị hàm số (Cm) qua điểm A(1; 4) ĐS: m = c) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số (C) qua điểm B(0; -1) ĐS: y = -1; y = − x − Bài 11: Cho hàm số (Cm): y = x4 – (m + 7)x2 + 2m – a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Xác định m để đồ thị (Cm) qua điểm A(-1; 10) ĐS: m = c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị k phương trình: x4 – 8x2 – k = có nghiệm phân biệt ĐS: -14 < k < Bài 12: Cho hàm số (Cm): y = mx −1 2x +m a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C2) b) Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số đồng biến khoảng xác định c) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị qua A(-1; ) d) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số (C2) điểm (1; ĐS: m = ) ĐS: y = x− 8 (m +1)x − 2m +1 x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Với giá trị m, đồ thị hàm số (Cm) qua điểm B(0; -1) ĐS: m = c) Định m để tiệm cận ngang đồ thị qua điểm C( ĐS: m = -4 Bài 13: Cho hàm số (Cm): y = 3; -3) c) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số giao điểm với trục tung HD: Giao điểm với trục tung ⇒ x = 0, thay x = vào (C) ⇒ y = -1: E(0; -1) ĐS: y = -2x – Bài 14: Cho hàm số (Cm): y = x + (m + 3)x + – m ĐS: m = − a) Định m để hàm số có điểm cực đại x = -1 HD: * Tìm y’, tìm y” vận dụng cơng thức sau a  ≠0  y( ) * Để hàm số đạt cực đại (hay tiểu) x = α ⇔  ′ α =0  ′(α ÷     ĐS: m = − b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành x = -2 Bài 15: Cho hàm số (Cm): y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + a) Xác định m để hàm số đồng biến tập xác định HD: * Tìm y’ vận dụng công thức sau * Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) tập xác định a > ⇔ ∆ ≤ 0(∆′ ≤ 0) ⇔ y’ ≥ (hay y’ ≤ 0)   a <  hay  ÷ ∆ ≤ 0(∆′ ≤ 0)   * m2 – 2m + ≤ ⇔ m = (vì m2 – 2m + = có nghiệm kép m = a = > 0) ĐS: m = b) Với giá trị tham số m, hàm số có cực đại cực tiểu ĐS: m ≠ c) Xác định m để y”(x) > 6x ĐS: m < Bài 16: Cho hàm số (Cm): y = mx + x +m +2 a) Định m để hàm số đồng biến khoảng xác định ĐS: - < m < * Giải bất phương trình bậc hai (có nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu b) Tìm (C-1) điểm có tọa độ nguyên ĐS: (1; 3); (-1; -5); (2; 1); (-2; -3); (4; 0); (-4; -2) Bài 17: Xác định m để hàm số y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – m đồng biến R ĐS: − ≤ m ≤1 Bài 18: Định m để hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – có cực trị ĐS: m < Bài 19: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – 2mx + m + đạt cực tiểu x = 27 ĐS: m = -4 ĐS: m = − Bài 20: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – (m – 1)x + m – đạt cực trị x = Bài 21: tìm max, hàm số sau: a A = cos4x + 2sin2x – 3(DS: Max A= − , Min A = - 6) b B = x − 3x + (DS: Max B = 19, Min B = 0) PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ Các định nghóa: n 123 @ a = a.a a (n ∈Z + , n ≥ 1, a ∈R) n thua so −n @a = @ a m − n a = (n ∈ Z+ , n ≥ 1, a ∈ R / { 0} ) n m an = =a a1 = a m ∀a @ a n = n am @ a0 = ∀a ≠ ( a > 0;m, n ∈ N ) n am Các tính chất : @ am a n @ m+ n @ am = am−n n a a n an @ (am )n = (an )m = am.n @ (a.b)n = an b n @ ( ) = n b b Hàm số mũ: Dạng : y = ax ( a > , a ≠ ) • Tập xác định : D = R x ∀ ∈R ) x T = R+ ( a > • Tập giá trị : x • Tính đơn điệu: * a > : y = a đồng biến treân R * < a < : y = ax ynghịch biến R y=ax y • Đồ thị hàm số mũ : x y=a 1 a>1 x 0 log N = M a Định nghóa: dn aM = N ⇔ a >  a ≠ N >  Điều kiện có nghóa: log a N có nghóa Các tính chất : • log a ( log a = ; log a a = ; log a a = • log a aM = M ; aloga N = N log a (N1 N ) = log a N1 + log a N • • • log a N α = α log a N • Đặc biệt : log a N = log a N Công thức đổi số : log a N = log a b log b N • * Hệ quả: log a b = log b a * Công thức đặc biệt: a log b N = ; vaø N1 ) = log a N1 − log a N N2 log log a N log a b ak N= log a N k logb c log a =c b Hàm số logarít: Dạng y = log a x ( a > , a ≠ ) • Tập xác định : D = R + T=R • Tập giá trị • Tính đơn điệu: *a>1 : y = log a x đồng biến R + * < a < : y = log a x nghịch biến R + • Đồ thị hàm số lôgarít: y y y=logax O y=logax x O 0 N (nghịch biến) aM < aN ⇔ M < N (đồng biến ) Định lý 4: Với < a ≠ M > 0;N > : loga M = loga N ⇔ M = N Định lý 5: Với < a N (nghịch biến) Định lý 6: Với a > : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến) III.BÀI TP P DNG Bài 1: Giải phơng trình: a x2 −x +8 = 41−3x b x2 −6x − = 16 c x + x −1 + x −2 = 3x − 3x −1 + 3x −2 d x.3x −1.5x −2 = 12 e (x − x + 1)x −1 = Bài 2:Giải phơng trình: a 34x +8 4.32x +5 + 27 = b 22x +6 + x +7 − 17 = d 2.16 x − 15.4 x − = f ( x − x ) x −2 = c (2 + 3)x + (2 − 3)x − = e (3 + 5) x + 16(3 − 5) x = x +3 f (7 + 3)x − 3(2 − 3)x + = g 3.16 x + 2.8x = 5.36 x h 2.4 x + 6x = 9x i 8x 3x +3 −2 x + 12 = j x + x +1 + 5x +2 = 3x + 3x +1 + 3x +2 k (x + 1) x −3 = Bài 3:Giải phơng trình: a 3x + x = 5x b 3x + x − = c x − (3 − x )x + 2(1 − x ) = d 22x −1 + 32x + 52x +1 = x + 3x +1 + 5x +2 Bài 4:Giải hệ phơng tr×nh: 4 x + y = 128  a  3x −2y −3 =1 5  lg x + lg y = e  2 x + y = 29 5x + y = 125  b  (x − y)2 −1 =1 4  32x − y = 77  c  x y 3 − =  log3 x + log3 y = + log f  x + y = log x − log2 y =  h  2 x − 5y + =  2 x + y = 12 d  x + y = ( ) lg x + y = + 3lg2  g  lg ( x + y ) − lg ( x − y ) = lg3   x+y log x xy = log y x 4 y x = 32  k  l  log x log3 ( x + y ) = − log3 ( x + y ) y y = 4y + Bài 5: Tìm m để phơng tr×nh cã nghiƯm: (m − 4).9 x − 2(m − 2).3x + m = Bài 7: Giải bất phơng trình sau: x +2 25 1−x x Bài 8: Giải bất phơng trình sau: + − ≤ 2x − a x Bài 9: Cho bất phơng trình: x m.(2 x + 1) > a Giải bất phơng trình m= Bài 12: Giải phơng trình: 16 b Định m để bất phơng trình thỏa ∀x ∈ R a log5 x = log5 ( x + ) − log ( x + ) ( b log5 x + log 25 x = log 0,2 ) c log x 2x − 5x + = d 3log x 16 − log16 x = log x e log x2 16 + log 2x 64 =   + x ÷ = 2x   x x lg 6.5 + 25.20 = x + lg25 ( g log3  log x + ( x ) f lg(lg x) + lg(lg x − 2) = ( x ) h log 4.3 − − log − = k ) PHẦN 3:NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN Lý thuyết: §1 NGUYÊN HÀM: Định nghĩa : ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C Tính chất: a   ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx; ( k ≠ ) Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ( a, b ∈ ¡ Nguyên hàm hàm số cần nhớ & a ≠ 0) : dx ∫ dx = x + C ∫ ax + b = a ln ax + b + C xα +1 ∫ x dx = α + + C, ( α ≠ −1) ∫ e dx = e ∫ sin xdx = − cos x + C ∫e ∫ cos xdx = sin x + C sin axdx = − cos ax + C ∫ a x α dx ∫ cos x dx ∫ sin x = tgx + C , x ≠ π + kπ ax dx = eax + C a ∫ cos axdx = a sin ax + C dx = − cot gax + C , x ≠ kπ ∫ sin ax a §2 TÍCH PHÂN : ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a +C dx π = tgx + C , x ≠ + kπ ax a dx ∫ x = ln x + C , ( x ≠ ) 1) Định nghĩa: x ∫ cos = − cot gx + C , x ≠ kπ b b a = F ( b) − F ( a) 2) Tính chất: b a a b a ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx b b b a a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx b b a c b a a b c b a   ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx e Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] ( k ≠ 0) a c d ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx b ∫ f ( x ) dx ≥ a f Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] b b ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx a a b g Nếu m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ [ a; b ] m ( b − a ) ≤ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) ∫ a §3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: β α 1) Công thức tổng quát: b a   ∫ f ϕ ( x ) .ϕ′ ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt β a) TH1: ∫ f ( sin x ) cos xdx Đặt t = sin x t = p sin x + q α → t = n p sin x + q biểu thức p sin x + q nằm β b)TH2: ( p, q ∈ ¡ ) ∫ f ( cos x ) sin xdx Đặt t = cos x t = p cos x + q n ( p, q ∈ ¡ ) α → t = n β c) TH3: p cos x + q biểu thức p cos x + q nằm f ( ln x ) dx ∫ x α → t = n Đặt t = ln x t = p ln x + q n ( p, q ∈ ¡ ) p ln x + q biểu thức p ln x + q nằm dấu n β d)TH4: ∫ f ( tgx ) α → t = dx Đặt t = tgx t = ptgx + q ( p, q ∈ ¡ cos2 x n ptgx + q biểu thức ptgx + q nằm dấu β e) TH5: ∫ f ( cotgx ) sin α t = n x n ( p, q ∈ ¡ ) dx Đặt t = cotgx t = pcotgx + q pcotgx + q biểu thức pcotgx + q nằm ) n §4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: b ∫ uv′dx = ( uv ) 1) Công thức tổng quát: a b a b − ∫ vu′dx b hay a ∫ udv = ( uv ) a b a b − ∫ vdu (1) a 2) Các bước thực hiện: • Bước 1:  u = u( x ) du = u′( x )dx (Đạo hàm ) Đặt  ⇒ dv = v′( x )dx  v = v( x ) (nguyên hàm) • Bước 2: Thế vào cơng thức (1) • Bước 3: b Tính ( uv ) suy nghĩ tìm cách tính tiếp a b ∫ vdu a §5 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x ) ; x = a; x = b (trong hai đường thẳng x = a; x = b thiếu hai) a) Công thức: S = b ∫ f ( x ) − g ( x ) dx (2) a b) Các bước thực hiện: • Bước1: Nếu hai đường x = a, x = b • Bước 2: Áp dụng cơng thức (2) • Bước 3: Rút gọn biểu thức f ( x ) − g ( x ) , sau xét dấu hiệu • Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ 2).Diện tích hình phẳng giới hạn đường khơng rơi vào trường hợp 1: Bước 1: Vẽ hình (khơng cần phải khảo sát) Bước 2: Chia hình cần tính thành hình nhỏ cho hình nhỏ tính diện tích cơng thức (2) Bước 3: Dùng cơng thức (2) tính diện tích hình nhỏ sau tính tổng diện tích tất hình nhỏ 3).Thể tích hình trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục Ox: ( C ) : y = f ( x ) ; Ox; x = a; x = b (trong hai đường thẳng x = a; x = b thiếu hai) b a) Công thức: V = π  f ( x )  dx (3)   ∫ a Bài 22: Xác định phần thực phần ảo số phức sau a) z = (0 - i) –(2 – 3i) + (7 + 8i) b) z = (0 - i)(2+3i)(5+2i) - 3i d) z = ( - i ) + + 12i c) z = (7 – 3i)2 – (2 - i)2 Bài23: Cho số phức z = – 3i.Tìm : a) z z3 c) z z3 b) z Bài 24: Tìm số thực x, y thỏa : d) |z+z2+z3| b) ( x + 1) + ( y − 1) i = − 6i a) x + 2i = + yi c) x+2i = 5+yi d) (x+y) + 3(y - 1)i = – 6i B – HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I.VECTO TRONG KHƠNG GIAN a) Đường trung tuyến AM: M trung điểm BC b) Đường phân giác AK: · · BAK = KAC A Giao điểm đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác B C K A B O C A c) Đường cao AH AH ⊥ BC B Giao điểm đường cao gọi trực tâm H d) Đường trung trực a : a ⊥ BC , M trung điểm BC Giao điểm đường trung trực tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 2) Ba đường trung tuyến cắt G: GA= AM G trọng tâm C MA = MB   ⇒ N trung điểm AC MN / / BC  4) Đường trung bình MN ∆ABC : 3) Định lý: A N M C B A B H  MN / / BC  MN qua trung điểm hai cạnh AB, AC ∆ABC Có:  BC  MN =  5) Hệ thức lượng ∆ vuông a) BC = AB + AC b) AH BC = AB AC c) AH = HB.HC C A B a M C d) AB = BC.BH e) AC = BC.CH g) sin C = AB ; BC 1 = + 2 AH AB AC f) cos C = AC ; BC tan C = BC · · ⇔ BAC = 900 MA = MB = MC ⇔ BAC = 900 Tam giác tam giác có cạnh a a2 Đường cao AH = Diện tích S = AM = 6) ∆ABC có AM trung tuyến 7) ∆ABC cạnh a: 8) Định lý Talet: A AM AN = ⇔ MN / / BC AB AC 9) Hình chữ nhật: 11) ∆ vuông S= AB AC M C Diện tích S = AB.BC AB AC N B 10) Hình vng S= 12) Tam giác thường S = AB BC AH 13) Hình thang D A B A C H B 14) A B A C B H bình hành H S = AD.BH , S = ( AB + CD ) AH C Hình D 15) Hình thoi S= AC.BD D 16) Hình trịn: S = π R 17 ) Tam giác, tứ giác A a) Tổng hai cạnh ∆ lớn cạnh thứ ba x C B b) Hiệu hai cạnh ∆ nhỏ cạnh thứ ba c) Góc ngồi ∆ · · ACx = µ + B A µ ACB + · ACx = 1800 d) Tổng góc ∆ 1800 e) Tổng góc tứ giác 3600 Các phương pháp chứng minh 18) CM ∆ a) Tam giác thường (3 cách) (c-g-c), (g-c-g), (c-c-c) b) ∆ vuông (5 cách) (c-g-c), (g-c-g), (c-c-c) S = DC AH Cạnh huyền, cạnh góc vng ; Cạnh huyền, góc nhọn 19) CM ∆ cân a) cạnh b) góc c) đường có tính chất: cao, phân giác, trung tuyến 3) CM ∆ a) cạnh b) góc c) ∆ cân, có góc 600 20) CM hình thang: CM tứ giác có 2cạnh // A D 21) CM hình thang cân( góc đáy nhau) CM tứ giác hình thang có: a) Hai góc kề đáy c) Hai đường chéo B A C D B C b) Hai góc đối bù (tổng 1800) 22) CM tứ giác hbh a) cặp cạnh đối song song b) cặp cạnh đối c) cặp cạnh đối song song d) cặp góc đối e) đường chéo cắt trung điểm đường 23) CM tứ giác hình thoi: CM tứ giác a) hbh có cạnh liên tiếp b) hbh có đường chéo vng góc c) hbh có đường chéo phân giác góc có đỉnh thuộc đường chéo d) có cạnh e) có đường chéo tứ giác phân giác góc có đỉnh thuộc đường chéo 24) CM tứ giác hcn: CM tứ giác a) hbh có góc vng b) hbh có đường chéo c) có góc vng d) hình thang cân có góc vng 25) CM tứ giác hình vng: CM tứ giác a) hình thoi có góc vng b) hình thoi có đường chéo c) hcn có cạnh liên tiếp d) hcn có đường chéo vng góc 26) CM đường thẳng tiếp tuyến đường trịn: CM đường thẳng vng góc với bán kính đầu mút bán kính B O a OB bán kính đường trịn a ⊥ OB B Vậy a tiếp tuyến đường tròn (O) 27) CM đoạn thẳng nhau: a) CM ∆ b) Cùng cạnh thứ ba c) AB = CD = EF = GH ⇒ AB = GH d) Tổng (hay hiệu) hai cặp đoạn thẳng đơi e) ∆ có góc = ⇒ ∆ cân ⇒ cạnh f) ∆ cân ⇒ đường phân giác hay đường cao đỉnh chia đôi cạnh đáy g) Áp dụng đl I)3 h) Tính chất đoạn chắn i) CM tứ giác hbh ⇒ cạnh đối j) ∆ABC vng A có AM trung tuyến AM = MB = MC k) Khoảng cách từ tâm đến dây cung dây cung l) Giao điểm tiếp tuyến đường tròn cách đêu tiếp điểm m) » = CD ⇒ AB = CD AB » 28) CM góc nhau: a) CM ∆ b) ∆ có cạnh ⇒ ∆ cân ⇒ góc c) ∆ cân đường cao hay trung tuyến phân giác d) cặp góc ⇒ ∆ đồng dạng ⇒ cặp góc thứ ba e) góc đối đỉnh ⇒ góc so le nhau, góc đồng vị f) đường thẳng song song bị chắn đường thẳng thứ ba g) góc (cùng nhọn tù) có cạnh đơi song song h) góc (cùng nhọn tù) có cạnh đơi vng góc i) góc thứ ba j) phụ (hoặc bù) với góc thứ ba k) cộng với góc thứ ba 600 $ $ $ $ $ $ l) = = = ⇒ = m) góc tổng (hay hiệu) góc đơi ⇒ góc đối n) CM tứ giác hbh o) Hai tiếp tuyến cắt A · ·  AMO = BMO   M · O ·  AOM = BOM B 29) CM đường thẳng song song: a) góc so le ⇒ đt // b) góc đồng vị ⇒ đt // c) góc (hoặc ngồi) phía bù ⇒ đt // d) đt // với đt thứ ba ⇒ đt // e) đt ⊥ với đt thứ ba ⇒ đt // f) CM tứ giác hình: hbh, hcn, h.thoi, h.vng ⇒ cạnh đối // g) Đường trung bình ∆ // với cạnh thứ ba h) Áp dụng đl Ta let đảo mục I) 7) 30) CM đường thẳng vng góc với a) đt giao tạo thành góc kề = ⇒ đt ⊥ b) đt tạo thành góc 900, mục I) 6) a / /b  c) ∆ có góc phụ ⇒ góc cịn lại 900 ⇒ 2đt ⊥ d) ⇒a ⊥ c a ⊥ c e) a // c, b // d, c ⊥ d ⇒ a ⊥ b f) ∆ cân đ.phân giác hay trung tuyến đcao g) tia phân giác hai góc kề bù vng góc h) Định lý Pitago đảo i) Đường cao thứ ∆ j) Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm ⇒ đường kính ⊥ dây cung k) Tiếp tuyến ⊥ bán kính qua tiếp điểm l ) cạnh góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 31 ) CM điểm thẳng hàng AB Pm  a) ·  ⇒ A, B, C thẳng hàng ABC = 1800 ⇒ A, B, C thẳng hàng b) AC Pm  AB ⊥ n  · · c) d) xAB = xAC ⇒ A, B, C thẳng hàng  ⇒ A, B, C thẳng hàng BC ⊥ n  e) Định lý đường đồng quy ∆ f) Đường tròn (O) có AB đường kính ⇒ A, O, B thẳng hàng g) Đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A ⇒ O, A, O’ thẳng hàng 32) CM điểm nằm đường tròn a) CM điểm cách điểm b) CM điểm đỉnh hình thang cân, hcn, h.vng c) CM đỉnh tứ giác có tổng góc đối 1800 d) điểm M, N nhìn đoạn AB góc vng e) điểm M, N nhìn đoạnu u 1u u α AB u u góc ur ur ur uu uu uu ur ur ur 33) Quy tắc hình bình hành 34) Quy tắc ba điểm: AB + AD = AC AB + BC = AC ur ur r u u uu uu uu ur ur u r 35) Quy tắc trừ: 36) I trung điểm AB ⇔ IA + IB = AB − AC = CB rr r r uu uu uu r ur ur ur 37) G trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = 42) Tích vơ hướng hai véctơ a.b = a.b cos(a, b) uu uu ur ur AB AC = ( AB + AC − BC ) 43) Tam giác ABC 2 2 44) Định lý Cô sin a = b + c -2bc cos b2 = a2 + c2 -2ac cosB c2 = a2 + b2 -2ab cosC 2(b + c ) − a 2( a + c ) − b 2(a + b ) − c 45) Độ dài đường trung tuyến ma2 = mb2 = , mc2 = 4 a b c = = = 2R 46) Định lý sin: sin A sin B sin C A 47) Diện tích tam giác b c a B C 1 abc ab sinC = bc sinA = ac sinB, b) S = , 2 4R c) S = pr, d) S = p ( p − a )( p − b)( p − c) a+b+c Trong p = , r bán kính đường trịn nội tiếp ; R bán kính đường trịn ngoại tiếp >Quan hệ vng góc a) S = 48/ Chứng minh hai đường thẳng vng góc C1 : Dùng quan hệ vng góc biết mặt phẳng C2 : a ⊥ b ⇔ góc (a;b) = 90o C3: Dùng hệ quả: a ⊥ (P )  ⇒a⊥b b ⊂ (P ) a b P C4: Dùng hệ quả: b c a b // c , a ⊥ b ⇒ a ⊥ c C5 : Dùng hệ quả: a b ∆ a song song (P ) ⇒a⊥b b ⊥ (P )  P A B C C6 : Sử dụng định lí ba đường vng góc C7: Dùng hệ quả: Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh lại tam giác ∆ ⊥ AB   ⇒ ∆ ⊥ BC ∆ ⊥ AC  49/ Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng a b P c , b, c cắt , b c ⊂ (P ) , a ⊥ b, a ⊥ c ⇒ a ⊥ (P ) C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // đường thẳng vng góc với mặt phẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng b a a // b , b ⊥ (P ) ⇒ a ⊥ (P ) P C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vng góc theo giao tuyến b, đường thẳng a nằm mẵt phẳng vuông góc với giao tuyến b đường thẳng a vng góc với mặt phẳng Q a b (P ) ∩ (Q) = b   ⇒ a ⊥ (P ) a ⊂ (Q),a ⊥ b P C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba ∆ ( α) (α ) ∩ (β ) = ∆   ⇒ ∆ ⊥ (P ) (α ) ⊥ (P ),(β ) ⊥ (P ) (β) P 50/ Chứng minh hai mặt phẳng vng góc C1 : Chứng minh góc chúng vng • (α ) ∩ (β ) = ∆ , Ox ⊂ (α ),Ox ⊥ ∆ , Oy ⊂ (β ),Oy ⊥ ∆ ∆ x O ϕ Khi đó: · góc ((α );(β )) = góc (Ox;Oy) = xOy = ϕ : ≤ ϕ ≤ 90o y • (α ) ⊥ (β ) ⇔ ϕ = 90o α β C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vng góc với có đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng a β α  CÁCH XÁC ĐINH GĨC 51/ Góc hai đường thẳng a ⊂ (β )  ⇒ (α ) ⊥ (β ) a ⊥ (α )  A • • • • α = O b' Chọn điểm O tuỳ ý Dựng qua O : a’ // a; b’ // b · Góc (a,b) = góc (a’,b’) = AOB Thường chọn điểm O ∈ a O b • a' a Chọn điểm O thuộc giao tuyến α β OA ⊂ (α ) OB ⊂ (β ) Dựng qua O :   OA ⊥ ∆ OB ⊥ ∆ · Góc (α , β ) = Góc (OA,OB ) = AOB = ϕ B b 52/ Góc hai mặt phẳng ∆ • O • B ϕ Chú ý: * ≤ ϕ ≤ 90o A · * Nếu ϕ > 90o thi chọn góc (α ; β ) = 180o − ϕ α β 53/ Góc đường thẳng mặt phẳng • • • >Góc đường thẳng mặt phẳng làgóc đường thẳngA hình chiếu a mặt phẳng • O ϕ B Chọn điểm A thuộc đường thẳng a Dựng qua AB ⊥ (α ) B Dựng giao điểm O a α chưa có ( OB hình chiếu a mặt phẳng ( α )) Khi đó: Góc (a;(α )) = Góc (OA,OB ) = · AOB = ϕ α M  KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng M Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng H α Dùng: MH ⊥ (α ), H thuéc (α ) ta cã: d(M,(α )) = MH ∆ H ∆ Dùng MH ⊥ ∆ : d(M,∆ ) = MH ∆ // ∆ ∆1 M Khoảng cách hai đường thẳng∆ song song H Chọn điểm M 1, dựng MH ∆ ( H thuéc ∆ 2) ta cã d(∆ 1,∆ 2) = MH M ∆ // (α ) Khoảng cách mặt phẳng H đường thẳng // α Chän ®iĨm M thc ∆ , dùng MH ⊥ ∆ ( H thuéc (α )), ta cã d(∆ ,(α )) = MH Khoảng cách hai Đường thẳng chéo Khoảng cách hai mặt phẳng song song M (α ) // (β ), ∆ chøa (α ) M ∆ β a' H α Ta cã: d((α ),(β )) = d(∆ ,(α )) = MH (M thuéc ∆ , MH ⊥ (α ), H thuéc α ) α b H A a B ã Dựng mặt phẳng ( ) chøa b & (α ) // a • Dùng MH ⊥ (α ), M thuéc a, H thuéc (α ) ã Dựng a' mặt phẳng ( ), a' // a đ ờng thẳng a' cắt đ ờng thẳng b B ã Dựng qua B // MH, cắt a A Khi đó: d(a,b) = d(a,( )) = d(M,(α )) = MH = AB • a vµ b chÐo  HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶT BIỆT 54/ Hình chóp tam giác S >Hình chóp tam giác đều: ∗ Đáy tam giác ∗ Các mặt bên tam giác cân > Đặc biệt: Hình tứ diện có: ∗ Đáy tam giác ∗ Các mặt bên tam giác > Cách vẽ: h ∗ Vẽ đáy ABC ∗ Vẽ trung tuyến AI α A ∗ Dựng trọng tâm H ∗ Vẽ SH ⊥ (ABC) C • Ta có: β ∗ SH chiều cao hình chóp H I · ∗ Góc cạnh bên mặt đáy là: SAH = α B · ∗ Góc mặt bên mặt đáy là: SIH = β 55/ Hình chóp tứ giác >Hình chóp tứ giác đều: S > Cách vẽ: ∗ Vẽ đáy ABCD ∗ Dựng giao điểm H hai đường chéo AC & BD ∗ Vẽ SH ⊥ (ABCD) S A D β B α ∗ Đáy hình vng ∗ Các mặt bên tam giác cân H I • Ta có: ∗ SH chiều cao hình chóp · ∗ Góc cạnh bên mặt đáy là: SAHS = α · ∗ Góc mặt bên mặt đáy là: SIH = β C 56/ Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy ϕ D A ∗ SA ⊥ (ABC) α ∗ Góc cạnh bên SB mặt đáy là: SBA = α · β · B ∗ Góc cạnh bên SC mặt đáy là: SCA = β C β A α B C ∗ SA ⊥ (ABCD) · ∗ Góc cạnh bên SB mặt đáy là: SBA = α · ∗ Góc cạnh bên SC mặt đáy là: SCA = β · ∗ Góc cạnh bên SD mặt đáy là: SDA = ϕ 57) Chú ý: a/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , a + b2 + c , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = b/ Đường cao tam giác cạnh a h = a c/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) d/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 58) Thể tích khối lăng trụ V = B.h 59) Thể tích khối hộp chữ nhật Với a, b, c ba kích thước 60) Thể tích khối lập phươn 61) Thể tích khối chóp Với: B diện tích mặt đáy h chiều cao h B V = abc V =a3 V = Bh a b c Với a độ dài cạnh a B diện tích mặt đáy h chiều cao h B S 62) Tỉ số thể tích tứ diện Cho khối tứ diện SABC A ' , B ' , C ' điểm tùy ý thuộc SB, SC ta có VSCDE SC SD SE = VSC ' D ' E ' SC ' SD ' SE ' SA, C' E' B' D' E C B D 63) Thể tích khối chóp cụt CDEC’D’E’: ( V = h B + B '+ BB ' ) B, B’ diện tích hai đáy h chiều cao Bài tập rèn luyện µ Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, AC = b, C = 600 Đường chéo BC’ mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) góc 300 1/Tính độ dài đoạn AC’ 2/Tính V khối lăng trụ Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD.Biết AB =a góc mặt bên đáy α,tính V khối chóp.Biết trung đoạn d góc cạnh bên đáy ϕ Tính V khối chóp Bài 3:Cho hình chóp tam giác S.ABC 1/Biết AB=a SA=l ,tính V khối chóp 2/Biết SA=l góc mặt bên đáy α ,tính V khối chóp Bài 4: Hình chóp cụt tam giác có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ a, góc đường cao với mặt bên 300 Tính V khối chóp cụt Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy R đường cao R 3.A B điểm đường trịn đáy cho góc hợp AB trục hình trụ 300 1/Tính Sxq va Stp hình trụ 2/Tính V khối trụ tương ứng Bài 6: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a 1/Tính Sxq va Stp hình nón 2/Tính V khối nón tương ứng Bài 7: Cho tứ diện có cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.Tính S mặt cầu vàtính V khối cầu tương ứng Bài 8: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a ,cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Tính S mặt cầu tính V khối cầu tương ứng Bài 9: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cạnh đáy a,góc đường thẳng AB’ mp(BB’CC’) ϕ Tính Sxq hình lăng trụ Bài 10: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a.Hình chiếu A’ xuống (ABC) trùng với · tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho BAA ' = 450 1/C/m BCC’B’ hình chữ nhật 2/Tính Sxq hình lăng trụ Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ,SA vng góc với đáy AB=a ,AD=b, SA =c.Lấy điểm B’,D’ theo thứ tự thuộc SB,SD cho AB' ⊥ SB,AD' ⊥ SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’.Tính V khối chóp Bài 12: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD ,đáy hình vng cạnh a ,cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC.Mặt phẳng qua AM song song với BD ,cắt SB E cắt SD F.Tính V khối chóp S.AEMF Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a.Tính V khối tứ diện A’BB’C.Mặt phẳng qua A’B’ trọng tâm VABC , cắt AC BC E F.Tính V khối chóp C.A’B’FE Bài 14: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA =a ,đáy tam giác vng cân có AB =BC =a Gọi B’ trung p(AB'C') Tính điểm SB ,C’ chân đường cao hạ từ A VABC Tính V khối chóp S.ABC.C/m : SC ⊥ m V khối chóp S.AB’C’ · Bài 15: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = 2a , VABC vng C có AB=2a, CAB = 300 Gọi H,K lần p(AHK ) lượt hình chiếu A SC SB Tính V khối chóp H.ABC.C/m : AH ⊥ SB SB ⊥ m Tính V khối chóp S.AHK Bài 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy tam giác ABC vng B AB=a ,BC =2a ,AA’=3a Một mp(P) qua A vng góc với CA’ cắt đoạn thẳng CC’ BB’ M N 1/ Tính V khối chóp C.A’AB 2/C/m : AN ⊥A 'B 3/Tính V khối tứ diện A’AMN 4/Tính SVAMN Bài 17: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a ,đáy ABC tam giác vuông A, AB =a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mp(ABC) trung điểm cạnh BC.Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc đường thẳng AA’,B’C’ Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a ,SA=a , SB =a mp(SAB) vng góc với mặt phẳng đáy.Gọi M,N trung điểm cạnh AB,BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDNvà tính cosin góc đường thẳng SM,DN Bài 19:Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng ,AB=BC=a, cạnh bên AA ' =a Gọi M trung điểm cạnh BC.Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách đường thẳng AM,B’C Bài 20:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ,mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy.Gọi M,N,P trung điểm cạnh SB,BC,CD.C/m : AM ⊥ BP · · Bài 21:Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang , ABC =BAD =900 , BA=BC=a ,AD =2a.Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB C/m VSCD vng tính d[ H;(SCD)] Bài 22:Cho hình trụ có đáy hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Tính V khối tứ diện OO’AB Bài 23:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a , AD =a ,SA= a SA ⊥ m p(ABCD) Gọi M,N trung điểm AD SC I giao điểm BM AC p(S p(S 1/Cmr: m AC) ⊥m MB) 2/Tính V khối tứ diện ANIB p(ABC) Gọi Bài 24:Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA =2a SA ⊥ m M,N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính V khối chóp A.BCMN Bài 25: Cho hình lăng trụ lục giác ABCDE.A’B’C’D’E’ cạnh bên l, mặt chéo qua cạnh đáy đối diện hợp với đáy góc 600 Tính V lăng trụ Bài 26: Cạnh đáy hình chóp tam giác a; mặt bên hình chóp tạo với mặt đáy góc α Tính V khối chóp Bài 27: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo B’D=a tạo thành với mặt phẳng đáy ABCD góc α tạo thành với mặt bên AA’D’D góc β Tính V hình hộp chữ nhật Bài 28: Đường sinh hình nón có độ dài a tạo thành với đáy góc α Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón Bài 29: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân ,cạnh huyền BC = a Mặt bên SBC tạo với đáy góc α Hai mặt bên cịn lại vng góc với đáy 1/C/m SA đường cao hình chóp 2/Tính V khối chóp Bài 30: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng chiều cao h Góc đường chéo mặt đáy hình hộp chữ nhật α Tính Sxq V hình hộp Bài 31: Cho hình chóp tam giác S.ABC Hai mặt bên SAB SBC hình chóp vng góc với đáy ,mặt bên lại tạo với đáy góc α Đáy ABC hình chóp có µ A =9 , B =6 , $ cạnh BC =a Tính Sxq V hình chóp µ Bài 32: Đáy hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ tam giác cân có AB=AC =a A = 2α Góc mặt phẳng qua đỉnh A’,B,C mặt đáy( ABC) β Tính Sxq V hình lăng trụ Bài 33: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có cạnh đáy a điểm D cạnh BB’.Mặt phẳng qua điểm D,A,C tạo với mặt đáy (ABC) góc α mp qua điểm DA’C’ tạo với mặt đáy A’B’C’ góc β Tính V lăng trụ Bài 34: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Đáy ABC tam giác cân có AB=AC = 1200.Đường chéo mặt BB’C’C d tạo với mặt đáy góc α Tính Sxq V hình lăng trụ µ Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A với AC =a C =α.Đường chéo BC mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) góc β Tính V lăng trụ µ Bài 36: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi ABCD cạnh a , A =α, chân đường vng góc hạ từ B’ xuống đáy (ABCD) trùng với giao điểm O đương chéo đáy Cho BB’ =a Tính V Sxq hình hộp · Bài 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a ; (SAC) vng góc với đáy ; ASC = 900 SA tạo với đáy góc α Tính V hình chóp · · Bài 38: Cho hình chóp S.ABC có BAC = 900 ,ABC =α;SBC tam giác cạnh a (SAB) ⊥(ABC) Tính V hình chóp Bài 39: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên α Tính Sxq V hình chóp Bài 40: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên tam giác vuông đỉnh S SA=SB=SC =a Tính d[ S;(ABC)] Bài 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a , đường cao SA=a.Mặt phẳng qua A vuông góc với SB H cắt SC K Tính SK SVAHK Bài 42: Cho hình chóp S.ABCD , đáy hình bình hành ABCD có diện tích a2 góc đường chéo 600 Biết cạnh bên hình chóp nghiêng đếu mặt đáy góc 45 Chứng tỏ ABCD hình chữ nhật Tính V hình chóp Bài 43: Cho hình chóp S.ABCD , đáy hình thang vng ABCD vng A B ,AB=BC=2a ; đường cao hình chóp SA =2a Xác định tính đoạn vng góc chung AD SC Tính V hình chóp Bài 44: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA =x ,cịn tất cạnh khác có độ dài 1.C/m: SA ⊥ SC Tính V hình chóp Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD nửa lục giác với AB=BC=CD=a AD= 2a Hai mặt bên SAB SAD vng góc với đáy ,mp(SBD) tạo với mp chứa đáy góc 45 1/Tính V hình chóp 2/Tính d[ C;(SBD)] Bài 46: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’,trong ABC tam giác cạnh c, A’H vng góc với BC Tính V mp(ABC).(H trực tâm tam giác ABC ), cạnh bên AA’ tạo với mp(ABC) góc α C/mr: AA’ ⊥ khối lăng trụ Bài 47: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a.Tính V hình chóp S.ABCD Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy ABCD đến mặt bên hình chóp Bài 48: Cho hình chóp tam giác S.ABC, có đường cao SO =1 đáy ABC có cạnh Điểm M,N trung điểm cạnh AB,AC tương ứng Tính V hình chóp S.AMN bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp Bài 49: Trong mp(P) cho điểm O đường thẳng d cách O khoảng OH =h Lấy d hai điểm phân biệt · · B,C cho BOH =COH =300 Trên đường thẳng vng góc với (P) O, lấy điểm A cho OA =OB 1/Tính V tứ diện OABC 2/Tính d[ O;(ABC)] theo h Bài 50: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA =x cạnh lại 1/C/m : SA ⊥SC 2/Tính V hình chóp Xác định x để tốn có nghĩa Bài 51: Tính V khối tứ diện ABCD , biết AB =a, AC=AD=BC=BD=CD= a · Bài 52: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc nhọn BAD = 00 Biết AB' ⊥ BD' Tính V khối lăng trụ theo a Bài 53: Trên nửa đường trịn đường kính AB =2R , lấy điểm C tuỳ ý Dựng CH ⊥AB (H thuộc AB) gọi I · trung điểm CH Trên nửa đường thẳng It vng góc với mp(ABC) lấy điểm S cho ASB =900 1/C/m : VSHC tam giác 2/Đặt AH =h Tính V tứ diện SABC theo h R Bài 54: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB,AC,AD,vng góc với đơi AB=a, AC=2a ,AD =3a Hãy tính diện tích tam giác BCD theo a Bài 55: Cho hình vng ABCD cạnh a I trung điểm AB Qua I dựng đường vuông góc với mp(ABC) lấy điểm S cho 2IS =a 1/C/m: VSAD tam giác vng 2/Tính V hình chóp S.ACD Suy d[ C;(SAD)] Bài 56: Bên hình trụ trịn xoay có hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà đỉnh liên tiếp A,B nằm đường tròn đáy thứ hình trụ, đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy thứ hình trụ.Mặt phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ góc 45 Tính Sxq V hình trụ Bài 57: Cho hình chóp S.ABCD ,đáy hình chữ nhật có AB=2a, BC=a, Các cạnh bên hình chóp a Tính V hình chóp S.ABCD theo a Bài 58: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD vng góc với đơi một, AB=a, AC=2a ,AD=3a 1/Tính d[ A;(BCD)] 2/Tính SVBCD Bài 59: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh a ,đường cao SO =h 1/Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2/Tính V hình chóp S.ABCD Bài 60: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Góc mặt bên đáy α ( 45 < < ) Tính STP V hình chóp α Bài 61: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Cạnh bên SA= a Một mp(P) qua AB vng góc với mp(SCD) (P) cắt SC SD C’ D’ 1/Tính S tứ giác ABC’D’ 2/Tính V hình đa diện ABCDD’C’ Bài 62: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có chiều cao h đường thẳng AB’ ,BC’ vng góc với Tính V lăng trụ · Bài 63: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB =a góc SAB =α.Tính V hình chóp S.ABCD theo a α Bài 64: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA=SB =SC= =SD =a.Tính STP V hình chóp S.ABCD p(ABC) Bài 65: Cho SABC tứ diện có ABC tam giác vuông cân đỉnh B AC =2a , cạnh SA ⊥ m SA =a p(SBC)] p(SBC)] 1/Tính d[ A;m 2/Gọi O trung điểm AC Tính d[ O;m Bài 66: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình thang ABCD vng A D , AB=AD =a ,CD=2a m Cạnh bên SD ⊥ p(ABCD) ,SD= a 1/C/mr: VSBC vng Tính SVSBC 2/Tính d[ A;(SBC)] Bài 67: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ,biết AB=2a ,BC =a ,các cạnh bên hình chóp a Tính V hình chóp Bài 68: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình thang ABCD vuông A D , AB=AD =a ,CD=2a p(ABCD) ,SD =a Từ trung điểm E DC dựng EK ⊥ SC (K∈SC) Tính V hình Cạnh bên SD ⊥m p(EBK ) chóp S.ABCD theo a SC ⊥ m Bài 69: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA ⊥ (ABCD) , SA= a H hình chiếu A lên SD 1/C/m : AH ⊥(SBC) 2/Gọi O giao điểm AC BD Tính d[ O;(SBC)] ... (trong hai đường thẳng x = a; x = b thi? ??u hai) b a) Công thức: V = π  f ( x )  dx (3)   ∫ a b).Các bước thực hiện:Bước 1: Nếu hai đường x = a, x = b đề cho thi? ??u hai giải phương trình f ( x... sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x − x ; b) y = x3 – 6x2 + 9x; c) y = - x3 + 3x2 -2 ; d) y = - x3 + 3x2 ; e) y = 2x3 + 3x2 – 1; e) y = -x3 + 3x2 - 9x +1 Bài 2: Khảo sát biến thi? ?n vẽ... 3: Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số sau: d/ y = x4 + x2 – a/ y = 2x − x −1 b/ y = − 2x x+2 c/ y = x +3 d/ y = 2x − x Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị