bộ ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2015) Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 1998 – 1999) Câu I (2đ) Giải hệ phương trình: 2x − 3y = −5   −3x + 4y = Câu II (2,5đ) Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 1) Tìm giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm phương trình) Câu III (4,5đ) Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh BC lấy điểm M Gọi (O 1) đường tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với AB B, gọi (O2) đường tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với AC C Đường tròn (O 1) (O2) cắt D (D không trùng với A) 1) Chứng minh tam giác BCD tam giác vuông 2) Chứng minh O1D tiếp tuyến (O2) 3) BO1 cắt CO2 E Chứng minh điểm A, B, D, E, C nằm đường tròn 4) Xác định vị trí M để O1O2 ngắn Câu IV (1đ) Cho số dương a, b có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức:     − a ÷ − b ÷    Hướng dẫn-Đáp số: Câu III: a) BDM + CDM = ABC + ACB = 90o => đpcm b) B = C = 45o => O1BM = O2CM = 45o => O1MO2 = 90o => O1DO2 = 90o =>đpcm c) A, D, E nhìn BC góc vng d) (O1O2)2 = (O1M)2 + (O2M)2 ≥ MO1.MO2 ; dấu xảy MO1 = MO2 => O1O2 nhỏ MO1 = MO2 => ∆ BMO1 = ∆ CMO2 => MB = MC Câu IV: Sử dụng đẳng thức x2 – y2 = ( x – y)( x + y) 2 2 Biến đổi biểu thức thành A = ( (1 − )(1 − )(1 + )(1 + ) = + a b a b ab (a + b) ab ≤ = 4/ = => A ≥ , dấu a = b = Vậy AMin = , a = b = - - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2015) Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000- đợt 1) Câu I Cho hàm số f(x) = x2 – x + x = -3 2) Tìm giá trị x f(x) = f(x) = 23 Câu II Cho hệ phương trình :  mx − y =   x + my = 1) Giải hệ phương trình theo tham số m 2) Gọi nghiệm hệ phương trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Câu III Cho tam giác ABC vuông B (BC > AB) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA P, Q, R 1) Chứng minh tứ giác BPIQ hình vng 2) Đường thẳng BI cắt QR D Chứng minh điểm P, A, R, D, I nằm đường tròn 3) Đường thẳng AI CI kéo dài cắt BC, AB E F Chứng minh AE CF = 2AI CI 1) Tính giá trị hàm số x = Hướng dẫn-Đáp số: Câu II: 1)  mx − y = 2(1)   x + my = 1(2) (2) => x = – my, vào (1) tính y = m−2 2m + => x = 2 m +1 m +1 2m + m−2 + = -1 ⇔ m2 + 3m = ⇔ m = m = -3 2 m +1 m +1 1− x 2+ y + y 1− x 3) (1) => m = (2) => m = Vậy ta có = y y x x Câu III: 1) PBIQ có P = B = Q = 90o BI phân giác góc B 2) P,R nhìn BI góc vng, IBR = ADQ = 45o –C/2 3) Đặt AB = c, AC = b, BC = a => a + b + c = 2AP + 2QB + QC = 2AP + 2a b+c−a b+a −c => AP = ; tương tự CR = 2 AI AP b + c − a CI CQ b + a − c = = = = AE AB 2c CF CB 2a 2 AI CI b − (a − c) => = = => đpcm AE CF 4ac -2) x + y = -1 ⇔ Đề số - - ®Ị thi tun sinh THPT TNH HI DNG - P N - Môn toán ( Từ 1998 đến 2015) (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000 - đợt 2) Câu I 1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng với trục tung trục hồnh Câu II Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – = 1) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 3) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2, tìm giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8 Câu III Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ đường thẳng song song với AB AC chúng cắt AC P cắt AB Q 1) Chứng minh BP = CQ 2) Chứng minh tứ giác ACEQ tứ giác nội tiếp Xác định vị trí E cạnh BC để đoạn PQ ngắn 3) Gọi H điểm nằm tam giác ABC cho HB2 = HA2 + HC2 Tính góc AHC Hướng dẫn-Đáp số: Câu II: 1) ∆ , = (m − 1) + > 2) ac < ⇔ m < 3) m=1 m = Câu III: 1) BP = CQ AE 2) QEB = QAC = 60o nên ACEQ nội tiếp Gọi I giao AE PQ, K hình chiếu P AE AE = 2PI ≥ 2PK Dấu I trùng với K => AE ⊥ PQ APEQ hình thoi => AE ⊥ BC ⇒ EB = EC 3) AHC = 1500 Vẽ tam giác đêù AHI ( I nằm nửa mặt phẳng bờ AC, không chứa tam giác ABC) Tan AHB = Tan AIC ( c.g.c) => IC = HB => IC2 = HI2 + HC2 => Gc IHC = 900 => AHC = 1500 Chứng minh Đề số - - ®Ị thi tun sinh THPT TNH HI DNG - P N - Môn toán ( Từ 1998 đến 2015) (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001- đợt 1) Câu I Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số ln nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Câu II Giải phương trình : 1) x2 + x – 20 = 1 + = 2) x − x −1 x 3) 31 − x = x − Câu III Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường trịn tâm O, kẻ đường kính AD, AH đường cao tam giác (H ∈ BC) 1) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật 2) Gọi M, N thứ tự hình chiếu vng góc B, C AD Chứng minh HM vng góc với AC 3) Gọi bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC r R Chứng minh : r + R ≥ AB.AC Hướng dẫn-Đáp số: Câu I: 1) m < 2) m = 3) Toạ độ giao điểm y = -x+2 y = 2x-1 ( 1;1) Thay vào hàm số cho ⇒ m = Câu II: 1) x = -5 x = 2) ĐK : x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ 3) ĐK : ≤ x ≤ 31 ĐS : x = ± ĐS: x = Câu III: 1) Góc A = B = C = 90o 2) Góc BAO = HMO ( ABH) => HM// AB hay HM ⊥ AC 3) ( Câu vẽ hình riêng) Gọi I tâm đường trọn nội tiếp tam giác ABC, gọi E F tiếp điểm AB AC với (I) Ta có AE = AF = r BE + CF = BC = 2R => (AB + AC)2 = ( r + R)2 ≥ 4AB.AC ⇒ ĐPCM Dấu AB = AC Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001- đợt 2) - - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2015) Câu I Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 1) Giải phương trình với m = 2) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mãn 5x1 + x2 = Câu II Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m 4) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hoành tam giác có diện tích (đvdt) Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác góc A cắt cạnh BC D cắt đường tròn ngoại tiếp I 1) Chứng minh OI vng góc với BC 2) Chứng minh BI2 = AI.DI · · 3) Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh BC Chứng minh : BAH = CAO · µ µ 4) Chứng minh : HAO = B − C Hướng dẫn-Đáp số: Câu I: 1) m = => x = x = -3 2) 5x1 + x2 = với m Câu II: 1) m = -1 2) m = -3 3)Gọi (xo ; yo) điểm cố định đồ thị hàm số => xo = yo = 4) Giao với trục tung A ( 0; m+3) ; giao với trục hoành B ( m+3 ; 0) 1− m S = => OA OB = => m = -1 m = -7 Câu III: 1) I điểm cung BC 2) ∆BID ∆AIB đồng dạng ( góc – góc) 3) Kẻ đường kính AE => góc ABC = góc AEC => Đpcm 4) + AB = AC => ∠B − ∠C = ∠HAO = + AB < AC => ∠HAO = ∠A − 2∠EAC = (180o − ∠B − ∠C) − 2(90o − ∠B) = ∠B − ∠C + AB > AC chứng minh tương tự Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002) - - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2015) Câu I (3,5đ) Giải phương trình sau: 1) x2 – = 2) x2 + x – 20 = 3) x2 – x – = Câu II (2,5đ) Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phương trình đường thẳng AB 2) Tìm giá trị m để đường thẳng y = (m – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Câu III (3đ) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B đỉnh C cắt H cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E F 1) Chứng minh AE = AF 2) Chứng minh A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH 3) Kẻ đường kính BD, chứng minh tứ giác ADCH hình bình hành Câu IV (1đ) Tìm cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình: x + y = 3200 Câu I: 1) x = x = -3 Câu II: 1) y = -2x + Hướng dẫn-Đáp số: 2) x = -5 x = 3) x1,2 = ± 2) m = Câu III: 1) Gọi M N chân đường cao hạ từ đỉnh B C Tứ giác BNMC nội tiếp => góc ABE = góc ACF => Đpcm 2) AB trung trực FH, AC trung trực HE => AE = AF = AH => Đpcm 3) Tứ giác ADCH có cạnh đối song song Chứng minh thêm: Trường hợp BAC = 600 Chứng minh: + BC = 2MN + Tam giác AOH cân ( Hay OH = R) ( Lấy trung diểm BC ) Câu IV: x + y = 3200 ⇔ x + y = 10 32 Đặt x = a y = b với a, b số nguyên dương => 3a + 7b = 40 => b< Thử giá trị b = 1,2, 3,4,5 => b = a = => x = y = 32 b = a = 11 => x = 242 y = Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003- đợt 1) Câu I (3đ) Giải phương trình: - - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - M«n to¸n ( Từ 1998 đến 2015) 1) 4x2 – = x + x + x − 4x + 24 2) − = x−2 x+2 x2 − 3) 4x − 4x + = 2002 Câu II (2,5đ)Cho hàm số y = − x 1) Vẽ đồ thị hàm số 2) Gọi A B hai điểm đồ thị hàm số có hồnh độ -2 Viết phương trình đường thẳng AB 3) Đường thẳng y = x + m – cắt đồ thị hai điểm phân biệt, gọi x x2 hoành độ hai giao điểm Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22 Câu III (3,5đ) Cho tam giác ABC vuông C, O trung điểm AB D điểm cạnh AB (D không trùng với A, O, B) Gọi I J thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD BCD 1) Chứng minh OI song song với BC 2) Chứng minh điểm I, J, O, D nằm đường tròn 3) Chứng minh CD tia phân giác góc ACB OI = OJ ( ) Câu IV (1đ) Tìm số nguyên lớn không vượt + Hướng dẫn-Đáp số: Câu I: Câu II: 1) x = ± 1) HS tự làm 2) ĐK : x ≠ ±2 2) y = x −1 ĐS: x = 3) x = 1001 3) ĐK : m x, y nghiệm phương trình X2 - 14X + = Đặt Sn = xn + yn => Sn+2 - 14Sn+1 + S = ( *) => Sn+2 = 14Sn+1 - S S1 = x + y = 14 S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 194 S3 = 14S2 – S1 = 2702……… Tương tự ta tính S7 = 14S6 – S5 = 96970054 < y < => < yn < => xn + yn - < xn < xn + yn => Sn - < xn < Sn => Phần nguyên xn Sn - Vậy số nguyên cần tìm S7 -1 = 96970053 Ta có Chú ý: Biểu thức ( *) chứng minh nhờ điều kiện X2 -14X +1 = ( Xem Toán phát triển thầy Vũ Hữu Bình) -Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003- đợt 2) Câu I (2,5đ) Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – - - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DNG - P N - Môn toán ( T 1998 đến 2015) 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = − Câu II (3đ) Cho phương trình : x2 – 6x + = 0, gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính: 1) x12 + x22 2) x1 x1 + x x 3) x1 + x + x1 x x ( x + x ) ( ) ( 2 x1 x1 − + x x − 2 ) Câu III (3,5đ) Cho đường tròn tâm O M điểm nằm bên đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P Q tiếp điểm) cát tuyến MAB 1) Gọi I trung điểm AB Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm đường tròn 2) PQ cắt AB E Chứng minh: MP2 = ME.MI 3) Giả sử PB = b A trung điểm MB Tính PA Câu IV (1đ)Xác định số hữu tỉ m, n, p cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12 Hướng dẫn-Đáp số: 2− Câu I: 1) m = 2) xo = - ; y o = − 3) m = 2 2 −1 20 Câu II: 1) A = 34 2) B = 3) C = 559 Câu III: 1) P,I,Q nhìn OM góc vng 2) Góc PIM = góc EPM ( PQM) nên hai tam giác IPM PEM đồng dạng (g-g) MB2 3) ∆APM : ∆PBM(g − g) ⇒ PM = MA.MB = ⇒ MB = 2MP AP PM PB b = ⇒ AP = = PB BM 2 Chứng minh thêm: ( Hình riêng cho ý) 1) OM cắt PQ H, AH cắt (O) K Chứng minh: + Tứ giác AHOB nội tiếp ( MA.MB = MH.MO => Tg đồng dạng =>…… + HP phân giác góc AHB Gc AHB = 2Gc AQB + DK vng góc với HO + góc PBM = góc HBP 2) Đường thẳng qua A vng góc với OP cắt PQ H PB K Chứng minh AH = HK ( Tứ giác AHIQ nội tiếp Gc AHQ = Gc AIQ = QPM => HIA = PBA = PQA => IH //PB 3) Kẻ đường kính PH, HA cắt OM K Chứng minh góc MPH = góc HPB ( Chú ý MPH = MQH… 4) …( Có nhiều tốn tiếp tuyến chung cát tuyến - Xem PP Giải tốn hình học phẳng thầy Vũ Hữu Bình) Câu IV: Nhẩm nghiệm => f(x) = x3 -10x – 12 có nghiệm x = -2 nên x3 -10x – 12 = ( x + 2)( x2 – 2x – 6) Đồng với đa thức dầu ta m =2, n = -2 p = -6 -Đề số 10 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004- đợt 1) Câu I (1,5đ)Tính giá trị biểu thức: - - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2015) A = −5 + − + 18 Câu II (2đ)Cho hàm số y = f(x) = − x ; 2) A B hai điểm đồ thị hàm số có hồnh độ -2 Viết phương trình đường thẳng qua A B Câu III (2đ)Cho hệ phương trình:  x − 2y = − m  2x + y = 3(m + 2) 1) Giải hệ phương trình thay m = -1 2) Gọi nghiệm hệ phương trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl Câu IV (3,5đ) Cho hình vng ABCD, M điểm đường chéo BD, gọi H, I K hình chiếu vng góc M AB, BC AD 1) Chứng minh : ∆ MIC = ∆ HMK 2) Chứng minh CM vng góc với HK 3) Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ Câu V (1đ)Chứng minh (m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4) số vô tỉ với số tự nhiên m Hướng dẫn-Đáp số: Câu III: 1) ( x; y) = (2; -1) 9 2 2 2) Biến đổi A = x + y = (m + 3) + m = 2(m + ) + ≥ Amin = 9/2 m = -3/2 2 Câu IV: 1) ∆ MIC = ∆ HMK (c-g-c) 2) CM cắt KH E => EKM + EMK = ICM + IMC = 90o 3) Đặt BI = x BC = a Ta có SCHK nhỏ tổng ST = SAKH + SHBC + SKDC lớn 3a a 3a 2ST = x.(a-x) + x.a + a.(a-x) = − (x − ) ≤ 4 a 3a => ST lớn = x = , I trung điểm BC nên M trung điểm BD 5a 2 3a =>SCHK nhỏ = a = M trung điểm BD 8 Câu V : Giả sử số cho số hữu tỉ => (m+1)(m+2)(m+3)(m+4) = k2 , k số nguyên dương ⇔ (m + 5m + 6)(m + 5m + 4) = k ⇔ (a + 1)(a − 1) = k , với a = m2 + 5m + nên a > (1) a2 – k2 = ( a-k)(a+k) = (a-k) (a +k) đồng thời -1 => a = ±1 (2) (1) (2) => khơng có giá trị m thoả mãn điều giả sử => đpcm 1) Với giá trị x hàm số nhận giá trị : ; -8 ; - Đề số 11 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004- đợt 2) Câu I (2đ) - - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP N - Môn toán ( T 1998 n 2015) Cho hàm số y = f(x) = x 1) Hãy tính f(2), f(-3), f(- ), f( ( ) )  3  3 ; ÷ có thuộc đồ thị hàm số khơng ? 2) Các điểm A  1; ÷, B 2; , C ( −2; − ) , D  − 4  2  Câu II (2,5đ) Giải phương trình sau : 1 + = 1) x−4 x+4 2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) Câu III (1đ) Cho phương trình: 2x2 – 5x + = Tính x1 x + x x1 (với x1, x2 hai nghiệm phương trình) Câu IV (3,5đ) Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung hai đường tròn phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa B, có tiếp điểm với (O 1) (O2) thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O 1) (O2) thứ tự C D Đường thẳng CE đường thẳng DF cắt I Chứng minh: 1) IA vng góc với CD 2) Tứ giác IEBF nội tiếp 3) Đường thẳng AB qua trung điểm EF Câu V (1đ) Tìm số nguyên dương m để m + m + 23 số hữu tỉ Hướng dẫn-Đáp số: Câu III: x1 x2 > nên tính A2 = + => A = Câu IV: 1) ∆IEF = ∆AEE(g − c − g) => AE = EI = EC ⇒ đpcm 2) IEB+IFB = BAC + BAD = 180o => đpcm 3) ∆EJB : ∆AJE ⇒ JE = JB.JA; ∆FJB : ∆AJF ⇒ JF2 = JB.JA Vậy JE = JF Câu V: Đặt m2 + m + 23 = k2 ( k ∈ N) ⇔ 4m + 4m + 92 = 4k ⇔ 4k − (2m + 1) = 91 ⇔ (2k − 2m − 1)(2k + 2m + 1) = 91 Vì 2k + 2m + > 2k – 2m -1 > nên xảy hai trường hợp sau TH 1: 2k + 2m + = 91 2k – 2m – =1 => m = 22 TH 2: 2k + 2m + = 13 2k – 2m – = => m = Nhận xét: đầu yêu cầu m số nguyên 2k + 2m + chưa dương Khi phải xét thêm trường hợp Đề số 13 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2004 – 2005) Câu I (3đ)Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*) - 10 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2015) a + b = Đặt a = x − xy , b = y + xy ta hệ  ab = 2  a = 2, b =  x − xy = 2, y + xy = ⇒ Giải hệ pt ta   a = 3, b =  x − xy = 3, y + xy =  x − xy =  ⇒ x − 3xy = y + xy ⇔ x − xy − y = TH   y + xy =  0,25 0,25  x = y ⇒ y = ⇒ y = ±1, x = ±2   y = −3 x ⇒ x = ⇒ x = ± , y = m  2   x − xy =  ⇒ x − xy = y + 3xy ⇔ x − xy − y = TH   y + xy =  1  x = 3y ⇒ y2 = ⇒ y = ± , x=±  2  2  y = −2 x ⇒ x = ⇒ x = ±1, y = m  0,25 Vậy hệ pt có tám nghiệm  −3   −1   −3 −1    (2;1), ( −2; −1),  ; ; ; ; ÷,  ÷, (1; −2), ( −1; 2),  ÷,  ÷  2  2  2  2 III Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x − xy + y = 2( x − y ) Pt ⇔ x − 2(1 + y ) x + y + y = Tồn x ⇔ ∆ ' = (1 + y ) − (5 y + y ) ≥ ⇔ y − y − ≤ ⇔ ( y − 1) ≤ ⇔ y − ≤ ⇔ − ≤ y ≤ + Do y số nguyên nên y = 0, y = 1, y = 1,00 0,25 0,25 0,25 y = ⇒ x − x = ⇔ x = 0, x = y = ⇒ x2 − 6x + ⇔ x = ± 0,25 y = ⇒ x − 10 x + 24 = ⇔ x = 4, x = Vậy cặp số nguyên cần tìm (0;0), (2;0), (4;2), (6;2) III Tìm số nguyên tố p cho 1+ p + p + p + p số hữu tỷ 1,00 1+ p + p + p3 + p số hữu tỷ ⇔ + p + p + p + p = n , n ∈ ¥ 0,25 ⇔ + p + p + p + p = 4n (1) ⇒ p + p + p < 4n < + p + p + p + p + p 0,25 ⇔ (2 p + p ) < (2n) < (2 p + p + 2) ⇔ p + p < 2n < p + p + 2 2 2 ⇒ 2n = p + p + Thế vào (1) ta + p + p + p + p = (2 p + p + 1) ⇔ p − p − = 0,25 - 36 - ®Ị thi tun sinh THPT TNH HI DNG - P N - Môn toán ( Từ 1998 đến 2015) Giải pt tìm p = −1 (loại) p = IV Với p = ⇒ + p + p + p + p = 11 Vậy p = Chứng minh điểm H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF · · Tứ giác DCEH nội tiếp suy ⇒ HDE = HCE · · Tứ giác DBFH nội tiếp suy ⇒ HDF = HBF · · · · Tứ giác BCEF nội tiếp suy ⇒ HCE = HBF ⇒ HDE = HDF · Suy DH tia phân giác góc EDF · Tương tự EH tia phân giác góc DEF Vậy H tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEF 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 Chứng minh AO ⊥ EF Vẽ tiếp tuyến xAy đường tròn (O) điểm A 1,00 · · Tứ giác AEHF nội tiếp suy ⇒ AFE = AHE IV 0,25 · · Tứ giác EHDC nội tiếp suy ⇒ AHE = DCE · · DCE = xAB (góc nội tiếp góc tiếp tuyến dây cung IV chắn cung) · · Suy AFE = xAB ⇒ Ax // EF AO ⊥ xAy ⇒ AO ⊥ EF Chứng minh AO ⊥ EF AO ⊥ EF ⇒ SAEOF = AO.EF Tương tự 1 BO.DF, CO ⊥ DE ⇒ SCDOE = CO.DE 2 ⇒ SABC = SAEOF + SBDOF + SCDOE = (AO.EF + BO.DF + CO.DE) = R(EF + DF + DE) Vậy chu vi tam giác DEF lớn ⇔ SABC lớn ⇔ khoảng cách từ BO ⊥ DF ⇒ SBDOF = A đến BC lớn ⇔ A điểm cung lớn BC V Tìm GTNN S = x − xy + y + x + y + 2z y − yz + z z − zx + x + y + z + 2x z + x + 2y 1 ( x + y)2 + ( x − y)2 ≥ ( x + y)2 = ( x + y) 4 x+ y y+z z+x + + Tương tự suy S ≥ x + y + 2z y + z + 2x z + x + y Ta có x − xy + y = 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 - 37 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2015) a = x + y + z , b = y + z + x, a = z + x + y b+c−a c + a −b a +b−c ⇒ x+ y = , y+z= , z+x= Đặt 2 b +c −a c + a −b a +b −c ⇒ 2S ≥ + + 2a 2b 2c b a c a c b ⇒ S ≥  + ÷+  + ÷+  + ÷− ≥ + + − = a b a c  b c Do S ≥ 0,25 0,25 3 Đẳng thức xảy x = y = z Vậy GTNN S 4 Y A A E E X F H B F O H C D Hình vẽ câu a SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC B O C D Hình vẽ câu b KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: Ngày 12 tháng năm 2013 (Đề thi gồm: 01 trang) Câu (2,0 điểm): 1) Giải phương trình : ( x – )2 =  x + 2y - 2=  2) Giải hệ phương trình:  x y  = +1  Câu ( 2,0 điểm ):  x   + 1) Rút gọn biểu thức: A =  ÷ với x > x ≠ ÷ − x + 3 4x ÷  x −3   2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (3m -2) x +m – song song với đồ thị hàm số y = x +5 - 38 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - M«n to¸n ( Từ 1998 đến 2015) Câu ( ,0 điểm ): 1) Một khúc sông từ bến A đến bến B dài 45 km Một ca nô xi dịng từ A đến B ngược dịng từ B A hết tất 15 phút Biết vận tốc dịng nước km/h.Tính vận tốc ca nơ nước n lặng 2) Tìm m để phương trình x2 – (2m +1)x +4m2+4m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 − x = x1+ x2 Câu ( 3,0 điểm ) : Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A B).Trên cung BC lấy điểm D (D khác B C) Vẽ đường thẳng d vng góc với AB B Các đường thẳng AC AD cắt d E F 1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn 2)Gọi I trung điểm BF.CHứng minh ID tiếp tuyến nửa đường tròn cho · 3)Đường thẳng CD cắt d K, tia phân giác CKE cắt AE AF M N.Chứng minh tam giác AMN tam giác cân Câu ( 1,0 điểm ): Cho a, b số dương thay đổi thoả mãn a+b=2.Tính giá trị nhỏ biểu thức a b  1  2 Q = a + b −  + ÷+  + ÷ b a a b  SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG - ( ) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 Ngày thi: 12 tháng 07 năm 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Phần 1 2 HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung x − = (x-2)2 = ⇔   x − = −3 x = + = ⇔   x = −3 + = −1 Vậy pt có nghiệm –  x + 2y − =  x + 2y =  ⇔ x y 3x − 2y =  = +1  4x = ⇔  x + 2y = Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 x = ⇔ y = Vậy hpt có nghiệm (x; y) = (2; 0) với x> x ≠  ( x + 3) + ( x − 3)  x  A= − ÷  ( x + 3)( x − 3) ÷ 2 x ÷ ÷    0,25 x x −9 x −9 x =1 0,25 = 0,25 0,5 0,25 - 39 - ®Ị thi tun sinh THPT TNH HI DNG - P N - Môn toán ( Từ 1998 đến 2015) để đồ thị hàm số y = ( 3m -2)x + m-1 song song với đồ thị hàm số y = x+ 3m − = ⇔ m − ≠ 0,5 m = ⇔ m ≠ ⇔ m = Vậy : m = Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng x (km/h) ; ĐK: x> Vân tốc ca nô xuôi là: x +3 km/h Vân tốc ca nô ngược là: x – km/h 45 Thời gian ca nô xuôi là: h x +3 45 Thời gian ca nô ngược là: h x −3 Theo đề ta có phương trình: 0,25 45 45 25 + = x +3 x −3 Giải phương trình ta x1=-0,6( Loại); x2=15( Thỏa mãn) Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng 15km/h Để phương trình x2 -2(2m+1)x + 4m2+4m =0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’= (2m+1)2-1.(4m2+4m) =1 > với m Theo Viét ta có x1 + x = 2(2m+1) x1x = 4m2+4m Với ĐK trên, bình phương hai vế: x1 − x = x1 + x ta có: Với ĐK: x1 + x > ⇔ 2(2m + 1)>0 ⇔ m>- (x − x2 ) = ( x1 + x ) ⇔ −4x1x = ⇔ −4(4m + 4m) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ ( x1 + x ) − 4x1x = ( x1 + x ) 0,25 0,25 ⇔ −16m(m + 1) =  m = 0(tm) ⇔  m = −1(loai) Vậy m = 0,25 Hình vẽ 0,25 - 40 - ®Ị thi tuyÓn sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - Môn toán ( T 1998 n 2015) 1) Ta cú góc ABC = 900 (góc nt ….)  BC vng góc với AE  Góc CAB + góc CBA = 900 ( góc phụ nhau) Lại có góc CBA = góc CDA ( chắn cung AC)  Góc CAB + góc CDA = 900 Mà góc CAB + góc E = 900 ( góc phụ nhau, BE vng góc với AB) Suy ra: góc E = góc CDA Xét tứ giác CDFE có: góc E + góc CDF = góc CDA + góc CDF = 1800 (kề bù)  tứ giác CDFE nội tiếp 2) Ta có tam giác OAD cân (OA = OD = bk)  góc ODA = góc OAD Ta có góc ADB = 900 (góc nt ….)  góc BDF = 900 (kề bù với góc ADB)  tam giác BDF vng D Mà DI trung tuyến  DI = IB = IF  Tam giác IDF cân I  Góc IDF = góc IFD Lại có góc OAD + góc IFD = 900 (phụ nhau)  góc ODA + góc IDF = 900  Mà góc ODA + góc IDF + góc ODI = 1800 => góc ODI = 900 => DI vng góc với OD => ID tiếp tuyến (O) 3) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 · µ Tứ giác CDFE nội tiếp nên NDK = E (cùng bù với góc NDC) 1· · · · · ANM = NDK + NKD = NDK + CKE ( góc ngồi tam giác NDK) · µ · µ 1· AMN = E + MKE = E + CKE ( góc ngồi tam giác MEK) => · ANM = · AMN => tam giác AMN tam giác cân A 0,25 0,25 0,25 - 41 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - M«n to¸n ( Từ 1998 đến 2015) a b 1 Q = 2(a + b ) − 6( + ) + 9( + ) b a a b a b 1 Q = 2a + 2b − − + + b a a b a b = (a − + ) + (b − + ) + a + b2 b a b a = (a − 2.a + ) + (b − 2.b + ) + a + b b b a a 3 3 = (a − ) + (b − ) + a + b ≥ 2(a − )(b − ) + a + b (¸p dơng A + B ≥ 2A.B) b a b a 9 = 2(ab − − + ) + ( a + b) − 2ab = 2( ab − + ) + (a + b) − 2ab a.b ab thay a + b = ta cã 0,25 0,25 18 18 ) + − 2ab = − 12 + + = −8 + ab ab ab ( a + b) ( a + b) Ta có (a + b) ≥ 2ab → a.b ≤ → ab ≤ = =1 4 18 18 ≥1→ ≥ 18 → −8 + ≥ −8 + 18 = 10 (vì a.b số dương) nên a.b ab ab 3   ab − ab − = a − = b −  b a⇔ b a Dấu “=” xảy  →a=b a = b a = b   a + b = → a = b = Vậy giá trị nhỏ biểu thức Q 10 a = b = Q ≥ 2( ab − + SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG - ĐỀ CHÍNH THỨC 0,25 0,25 …………………………… KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: Ngày 14 tháng năm 2013 (Đợt 2) (Đề thi gồm: 01 trang) Câu (2,0 điểm): Giải phương trình sau: 1) x = −4 x 2) ( x − 3) =7 Câu (2,0 điểm):  a +1  + 1) t gọn biểu thức P =  với a > a ≠ ÷: a −1  a − a a− a 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = x + y = x + m − cắt điểm nằm góc phần tư thứ II Câu (2,0 điểm): - 42 - ®Ị thi tuyÓn sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - Môn toán ( T 1998 n 2015) 1) Hai giá sách thư viện có tất 357 sách Sau chuyển 28 sách từ giá thứ sang giá thứ hai số sách giá thứ số sách giá thứ hai Tìm số sách ban đầu x1 , x2 hai nghiệm phương trình x + x − = Tính giá trị biểu thức: giá sách.2) Gọi 3 Q = x1 + x2 Câu (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, kẻ AH vng góc với BC H Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B, C H) Kẻ ME vng góc với AB E; MF vng góc với AC F 1) Chứng minh điểm A, E, F, H nằm đường tròn 2) Chứng minh BE.CF = ME.MF BE HB · = 3) Giả sử MAC = 450 Chứng minh CF HC Câu (1,0 điểm): Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = + + x y 2x + y Hết Họ tên thí sinh: …………………………………Số báo danh: ………………………… Chữ ký giám thị 1: …………………….Chữ ký giám thị 2: ……………………… SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 Ngày thi: 14 tháng 07 năm 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC I) HƯỚNG DẪN CHUNG - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung 1 x = −4 x (1) Có (1) ⇔ x + x = ⇔ x ( x + 4) = x = ⇔  x = −4 ( x − 3) =7 (2) Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 Có (2) ⇔ x − = 2 x − = ⇔  x − = −7 x = ⇔  x = −2 0,25  a +1  + Rút gọn biểu thức P =  với a >0 a ≠ ÷: a −1  a − a a− a 1,00 0,25 0,25 0,25 - 43 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DNG - P N - Môn toán ( T 1998 đến 2015) 1 1 1+ a + = + = Có a − a a −1 a −1 a a −1 a a −1 ( Có ( ) a +1 a +1 = a− a a a −1 Do P = ) ( a ( 0,25 ) 1+ a ) a −1 × a ( ) a −1 1+ a P=1 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x + y = x + m – cắt điểm nằm góc phần tư thứ II Vì hệ số góc đường thẳng khác nhau(2 ≠ 1)( Hoặc nêu hệ sau có nghiệm nhất) nên đường thẳng cho cắt Toạ độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = 2x +  y = 2x + 2 y = x + m – nghiệm hệ phương trình:  y = x + m − x = m − Giải hệ có   y = 2m − 16 m − < Vì toạ độ giao điểm nằm góc phần tư thứ II nên  2m − 16 > m < ⇔ ⇔8 Q = ( −5 ) − 3(−3)(−5) = −170 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 - 44 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - M«n to¸n ( Từ 1998 đến 2015) F A C E M H B Chứng minh điểm A, E, F, H nằm đường trịn · Từ giả thiết có AEM = 900 => E nằm đường trịn đường kính AM · AFM = 900 => F nằm đường tròn đường kính AM · Theo gt có AHM = 900 => H nằm đường trịn đường kính AM Suy điểm A, E, F, H thuộc đường trịn (đường kính AM) Chứng minh BE.CF = ME.MF ¶ µ Từ giả thiết suy ME // AC => M = C1 => hai tam giác vuông BEM MFC đồng dạng BE MF ⇒ = ME CF => BE.CF = ME.MF AB HB = AC HC 1,00 0,25 0.25 0,25 0,25 1,00 BE HB · = Giả sử MAC = 450 Chứng minh CF HC Từ giả thiết ta có tứ giác AEMF hình chữ nhật · Mà MAC = 450 nên tứ giác AEMF hình vng => ME = MF Ta có AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC ⇒ 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) AB BE = Có hai tam giác vuông BEM BAC đồng dạng nên (2) AC ME AB MF = Có hai tam giác vuông BAC MFC đồng dạng nên (3) AC CF AB BE.MF BE Từ (2), (3) có (vì ME = MF) (4) = = AC ME.CF CF BE HB = Từ (1), (4) có CF HC Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= + + x y 2x + y 2x + y 2x + y M= + = + xy 2x + y 2x + y  2x + y  2x + y = ì + ữ+ ì 2x + y  8 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 - 45 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DNG - P N - Môn toán ( T 1998 đến 2015) 0,25 2x + y 3 2x + y 3 × + ≥2 × × = Dấu “=” xảy 2x + y 2x + y 2x + y × = 2x + y 2x + y 5 × ≥ xy = Dấu “=” xảy 2x = y xy = Có 8 11 Do M ≥ + = Dấu “=” xảy x = y = 2 4 11 Vậy giá trị nhỏ M x = y = Có 0,25 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014 – 2015 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút( khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 13 tháng năm 2014 Đề thi gồm: 01 trang Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x ( x + ) =  y = 2x −1  x + y = 11 b) Giải hệ phương trình:  Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: P= y − xy x x − − với x ≥ 0; y ≥ x ≠ y y−x x− y x+ y b) Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 16 mét Hai lần chiều dài lần chiều rộng 28 mét Tính chiều dài chiều rộng sân trường Câu (2,0 điểm) a) Cho đường thẳng y = (2m -3)x - (d) Tìm giá trị m để đường thẳng (d) qua điểm  2 A − ; ÷  3 b) Tìm m để phương trình x − x − 2m + = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn điều kiện x2 ( x12 − 1) + x12 ( x2 − 1) = Câu (3,0 điểm) - 46 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2015) Qua điểm C nằm đường (O), vẽ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) ( D tiếp điểm) Đường thẳng CO cắt đường tròn hai điểm A B (A nằm C B) Kẻ dây DE vng góc với AB H a) Chứng minh tam giác CED tam giác cân b) Chứng minh tứ giác OECD tứ giác nội tiếp c) Chứng minh hệ thức AC.BH = AH.BC Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mẫn điều kiện c +1 + ≤ Tìm giá trị nhỏ a+2 b+4 c+3 biểu thức Q = (a + 1)(b + 1)(c + 1) -Hết - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: HD Câu a) Chứng minh tam giác CED cân Ta có DH ⊥ AB ⇒ HD = HE ⇒ CH vừa đường cao vừa trung tuyến b) C/m tứ giác OECD nội tiếp · · Ta có tam giác CDO = tam giác CEO (c.c.c) ⇒ CDO = CEO = 900 c) Chứng minh hệ thức AC.BH = AH.BC · · » » · · Ta có CD CE hai tiếp tuyến đường tròn (O) ⇒ COD = COE ⇒ AD = AE ⇒ CDA = ADE nên DA phân giác góc CDE Lại có góc ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên BD vng góc với DA ⇒ DB phân giác góc ngồi D tam giác CDH Áp dụng t/c đường phân giác tam giác CDH ta có: AC DC BC = = ⇒ AC.BH = AH.BC AH DH BH Câu Cách : Ta có (b+4)(c+3)+ 3(a+2)(c+3) ≤ (c+1)(a+2)(b+4) (b+4)(c+3)+ 3(a+2)(c+3) ≤ (c+1)((a+1)+1)((b+1)+3) - 47 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - M«n to¸n ( Từ 1998 đến 2015) (a+1)(b+1)(c+1) ≥ 6a+2b+3c+23=6(a+1)+2(b+1)+3(c+1)+ 12≥ 3 36(a + 1)(b + 1)(c + 1) + 12 Q ≥ 3 36Q + 12 Đặt t= 36Q ( t>1, Vì Q>1) t − 108t − 12.36 ≥ Ta có ⇔ (t − 12)(t + 6) ≥ Vì t > nên (t+6) > Suyra t − 12 ≥ ⇔ t ≥ 12 Suy Q ≥48 Dấu “=” xảy : c +1  + = 6(a+1)=2(b+1)=3(c+1) ⇔ a = 1, b = 5, c =  a +1 b + c + Vậy Q= 48 a= 1, b=5 c=3 Cách ( TK) 3 a +1 Tacó: + ≤ 1− Suyra :1 − ≥ + ≥2 ⇔ ≥2 a+2 b + c+3 a+2 b + c + (b + 4)(c + 3) a+2 (b + 4)(c + 3) TT : 2 b +1 ≥ + ≥2 ⇔ ≥2 b + a+2 c + (a + 2)(c + 3) b+4 (a + 2)(c + 3) Từ (1),(2),(3) ta có: a + b + c+1 48 ≥ a + b + c+3 (a + 2)(b + 4)(c + 3) ⇒ Q ≥ 48 1− (2)Và c+1 ≥2 c+3 (a + 2)(b + 4) (1) (3) Vậy Q= 48 a= 1, b=5 c=3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPNĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn thi : TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: x = − 2y 1) 2x + = ; 2)  ; 3) x + 8x − = y = −1 + 2x Câu II(2,0điểm) 1) Rút gọn biểu thức A = ( a+2 )( ) ( a−3 − ) a + + 9a với a ≥ 2) Khoảng cách hai tỉnh A B 60km Hai người xe đạp khởi hành lúc từ A đến B với vận tốc Sau xe người thứ bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, người thứ hai tiếp tục với vận tốc ban đầu Sau xe sửa - 48 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HI DNG - P N - Môn toán ( T 1998 đến 2015) xong, người thứ với vận tốc nhanh trước 4km/h nên đến B lúc với người thứ hai Tính vận tốc hai người lúc đầu 2 Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị m để phương trình x − ( m + 1) x + m − = có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Cho hai hàm số y = ( 3m + ) x + với m ≠ −1 y = − x − có đồ thị cắt điểm A ( x;y ) Tìm giá trị m để biểu thức P = y + 2x − đạt giá trị nhỏ Câu IV (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng BC BD E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF 1) Chứng minh ACBD hình chữ nhật; 2) Gọi H trực tâm tam giác BPQ Chứng minh H trung điểm OA; 3) Xác định vị trí đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ Câu V (1,0 điểm) Cho 2015 số nguyên dương a1;a2 ;a3; ;a2015 thỏa mãn điều kiện : a1 + a2 + a3 + + a2015 ≥ 89 Chứng minh 2015 số ngun dương đó, ln tồn số -Hết - −2  x = m +1  y = (3m + 2) x +  ⇔ (m ≠ −1) Câu 3.2)Tọa độ giao điểm A(x;y) nghiệm hệ pt:  1− m  y = −x −1 y =  m +1    − ÷ − ≥ −6 Có P = y + 2x – =   m +1  Vậy Min P = -6 ⇔ m = Câu b) Chứng minh H trung điểm OA H thuộc OA; OP đường trung bình tam giác ABE → OP //BE mà BE ⊥ BF → PO ⊥ BF →O trực tâm tam giác BPF →FO ⊥ BP Mặt khác có QH ⊥ BP (H trực tâm tam giác BPQ) →QH//FO mà AQ = QF (gt) → H trung điểm OA c) Xác định vị trí đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ PB = PA ; OA = OC ; OP Chung · · Suy ∆APO = ∆CPO(c.c.c ) suy PCO = PAO = 900 - 49 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - M«n to¸n ( Từ 1998 đến 2015) Chứng minh PC ⊥ CD, ; Chứng minh tương tự QD ⊥ CD Tứ giác PCDQ hình thang vng → PQ ≥ CD Diện tích tam giác S BPQ = AB.PQ , Diện tích S BPQ nhỏ PQ nhỏ 2 CD=AB ; Min S BPQ = AB ⇔ CD ⊥ AB O Câu Giả sử không tồn hai số mà a1, a2, …, a2015 nguyên dương Không làm tính tổng quát giả sử a1 > a2 > … > a2015 Nên a1 ≥1; a2 ≥ 2; … ; a2015 ≥ 2015 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a2015 2015 (1) Suy 1 2 Có + + + 2015 ≤ + + + + 2014 + 2015 (2) 2 Mà + + + + 2014 + 2015 = 2015 − < 89 (3) Từ (1), (2), (3) suy 1 + + + < 89 Trái với đk a1 a2 a2015 Vậy 2015 số ngun dương tồn số - 50 - ... - 33 - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2015) ⇒ a = , b = , c = Vậy GTNN S 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN... chứng minh tương tự Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002) - - ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP N - Môn toán ( T 1998 n 2015) Cõu I (3,5đ) Giải phương trình... ; -8 ; - Đề số 11 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004- đợt 2) Câu I (2đ) - - ®Ị thi tuyÓn sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - Môn toán ( T 1998 n 2015) Cho hm số y =