Bài tập Toán 11 PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN 1. Hai cung đối nhau: -x và x cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x − = − = − − = − − = − 2. Hai cung bù nhau: x π − và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π − = − = − − = − − = − 3. Hai cung phụ nhau: 2 x π − và x sin cos cos sin 2 2 tan cot cot tan 2 2 x x x x x x x x π π π π     − = − =  ÷  ÷         − = − =  ÷  ÷     4. Hai cung hơn kém nhau Pi: x π + và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π + = − + = − + = + = 5. Các hằng đẳng thức lượng giác 2 2 2 2 1 . sin cos 1 . 1 tan cos 1 . 1 cot . tan .cot 1 sin a x x b x x c x d x x x + = + = + = = 6. Công thức cộng lượng giác cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y x − = + + = − − = − + = + 7. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 sin 2 2sin cos : sin 2sin cos 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin nx nx x x x TQ nx x x x x x = = = − = − = − 8. Công thức nhân ba: 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = − 9. Công thức hạ bậc: 2 2 1 cos2 1 cos2 sin cos 2 2 x x x x − + = = 10. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y = − + + = − − + = − + + 11 . Công thức biến đổi tổng thành tích GV: Nguyễn Quang Tánh 1 Bi tp Toỏn 11 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + = + = + + = + = A. CễNG THC BIN I I/. GI TR LNG GIC Bi 1: Cho 3 3 sin < < .Tớnh cos ,tan ,cot . 5 2 p a p a a a a ổ ử ữ ỗ =- ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Bi 2: Cho 5cosa + 4 = 0 ( ) o o 180 < a < 270 .Tớnh sina , tana, cota. Bi 3: Cho o o o o tan15 2 3. Tớnh sin15 ,cos15 ,cot15 .= - Bi 4: Tớnh tan x cot x A tan x cot x + = - bit 1 sinx = . 3 Tớnh 2sin x 3cos x B 3sin x 2cosx + = - bit tanx = -2 Tớnh 2 2 2 sin x 3sin x cosx 2cos x C 1 4sin x + - = + bit cotx = -3 Bi 5: Chng minh: 4 4 2 2 6 6 2 2 a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x (s dng nh 1 cụng thc) 2 2 2 2 2 2 c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bi 6: Chng minh cỏc ng thc sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 1-2cos x 1+sin x cosx 1 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx g/ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1-cosx 4cotx sin x cos x - = ; h/1- - = sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx 1 tan x-tan y sin x-sin y i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bi 7: * Chng minh cỏc biu thc sau c lp i vi x: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 4 4 4 2 4 2 2 4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4 6 6 4 2 4 2 4 4 A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3 C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x sin x+cos x-1 E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= ; sin x+cos x-1 4 4 6 6 4 2 2 sin x+3cos x-1 G= sin x+cos x+3cos x-1 H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; ) 2 p ộ ự ờ ỳ ẻ ờ ỳ ở ỷ II/. GI TR LNG GIC CA CUNG C BIT * Bit 1 HSLG khỏc: Bi 1: Cho sinx = - 0,96 vi 3 x 2 2 p p ổ ử ữ ỗ < < ữ ỗ ữ ỗ ố ứ a/ Tớnh cosx ; b/ Tớnh ( ) ( ) sin x , cos x , tan x , cot 3 x 2 2 p p p p ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ + - + - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ GV: Nguyn Quang Tỏnh 2 Bài tập Toán 11 Bài 2: Tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2cos sin tan 2 2 A 2cos ; cot sin 2 3 3 sin tan sin cot 2 2 2 2 B cot cot tan 3 cos 2 tan cos cot 2 p p a a p a a p a p a p p p p a b b a b b b p p b p a p a b æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç - + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø = - æ ö ÷ ç + - ÷ ç ÷ ç è ø æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç + + - + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø = - + - æ ö - - ÷ ç - - ÷ ç ÷ ç è ø Bài 3: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 5 A sin 13 cos cot 12 tan ; 2 2 7 3 3 B cos 15 sin tan .cot 2 2 2 5 9 7 C sin 7 cos cot 3 tan 2tan 2 2 2 p p p a a p a a p p p p a a a a p p p p a a p a a a æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = + - - + - + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç = - + - - + - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç = + + - - - + - + - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø ÷ Bài 4: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o A sin a sin 2 a sin 3 a sin 100 a B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x p p p p = + + + + + + + + = - - - + + + - + - Bài 5: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o 19 tan x .cos 36 x .sin x 5 2sin 2550 cos 188 1 2 A B 9 tan368 2cos638 cos98 sin x .cos x 99 2 p p p p p æ ö ÷ ç - - - ÷ ç - ÷ ç è ø = = + æ ö + ÷ ç - - ÷ ç ÷ ç è ø Bài 6: Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o 2 2 a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0 85 3 b/sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1 2 2 p p p p - + - + = æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + + + + + + - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh: A B C a /sin(A B) sin A; b /cosA cos(B C) 0; c/sin cos ; 2 2 3A B C d/ cosC cos(A B 2C) 0; e/sinA cos 0 2 + + = + + = = + + + + + = + = III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: o o o o o 15 ,75 ,105 ,285 ,3045 Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299 , , , , 12 12 12 12 12 p p p p p Bài 10: Tính cos x 3 p æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø biết 12 3 sin x , ( < x < 2 ) 13 2 p p =- Bài 11: Cho 2 góc nhọn , a b có 1 1 tan ,tan 2 3 a b = = . a/ Tính ( ) tan a b + b/ Tính a b + Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : x y 4 tan x.tan y 3 2 2 p ì ï ï + = ï í ï ï = - ï î a/ Tính ( ) tan x y ;tan x tan y+ + b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y. GV: Nguyễn Quang Tánh 3 Bài tập Toán 11 Bài 13: Tính tan x 4 p æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø biết 40 sin x 41 =- và 3 < x < 2 p p Bài 14: Tính tan 4 p a æ ö ÷ ç + ÷ ç ÷ ç è ø theo tan a . Áp dụng: Tính tg15 o Bài 15: Tính: o o o o o o o o o o o o o o o o o o o tan 25 tan 20 1 tan15 A sin 20 cos10 sin10 cos20 B C 1 tan 25 .tan20 1 tan15 3 tan 225 cot81 .cot 69 D sin15 3 cos15 E sin15 cos15 F 3 cot 261 tan 201 + + = + = = - - - = - = + = + Bài 16: Tính: 3 a / A cos x cos x cos x cos x 3 4 6 4 2 2 b/ B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x 3 3 3 3 p p p p p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = - + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x: 2 2 2 2 2 2 2 2 A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x 3 3 3 3 p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = + + + - = + + + - ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø Bài 18: Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a /cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a c/sin a b .cos a b sinacosa sinbcosb d /sin a sin a 2 sin a 4 4 p p + - = - = - + - = - = - + - = + æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + - - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin cos cos sin sin 2 2 2 2 2 A B C B C 4/ cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C 2 A B B 6/ tan tan tan 2 2 p = - = - æ ö ÷ ç ¹ ÷ ç ÷ ç è ø + C C A tan tan tan 1 2 2 2 2 A B C A B C 7/ cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1 + = + + = ( học thuộc kết quả ) Công thức biến đổi: Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG ( ) ( ) o o 2 a / sin .sin b/ cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30 5 5 p p + - ( ) ( ) ( ) d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e /8cos x.sin 2x.sin3x; f / sin x .sin x .cos 2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a 6 6 p p æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + - - - - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH GV: Nguyễn Quang Tánh 4 Bài tập Toán 11 ( ) ( ) ( ) a / cos 4x cos3x; b/ cos3x cos6x; c/ sin5x sin x d / sin a b sin a b ; e/ tan a b tan a; f / tan 2a tana + - + + - - + + - Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C 10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin 2 2 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - ( ) 2 2 2 2 2 2 4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC 14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC A B C 15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos 2 2 2 ( tiếp theo Loại 5- Trang 8) Bài 23: Chứng minh ABCD vuông nếu: 2 2 2 sin B sin C a / sin A ; b / sin C cosA cos B; c / sin A sin B sin C 2 cosB cosC + = = + + + = + Bài 24: Chứng minh ABCD cân nếu: 2 C sin B a / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2 tan B tan A.tan B; d / 2cosA 2 sin C = + = + = = Bài 25: Chứng minh ABCD đều nếu: 1 3 a / cos A.cos B.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c/ cos A cosB cosC 8 2 = + + = + + + + = Bài 26: Chứng minh ABCD cân hoặc vuông nếu: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 sin B C sin B C C tan B sin B a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c / 2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C + - = = = + - Bài 27: Hãy nhận dạng ABCD biết: 2 2 2 sin A a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C cos B + + = + + = = B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Chú ý : 1) A B có nghĩa khi B 0≠ (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0≥ 2) 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ 3) sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2 2 2 x x k k k π π π π π = ⇔ = ⇔ + ⇔ − + 4) os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2 2 c x x k c k c k π π π π π = ⇔ = + ⇔ ⇔ + 5) Hàm số y = tanx xác định khi 2 x k π π ≠ + Hàm số y = cotx xác định khi x k π ≠ Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1 2 x x + + 3) y = sin 4x + 4) y = cos 2 3 2x x− + 5) y = 2 os2xc 6) y = 2 sinx− GV: Nguyễn Quang Tánh 5 Bài tập Toán 11 7) y = 1 osx 1-sinx c+ 8) y = tan(x + 4 π ) 9) y = cot(2x - ) 3 π 10) y = 1 1 sinx 2 osxc − II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin 2 (-x) = [ ] 2 sin(-x) = (-sinx) 2 = sin 2 x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra ,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀ Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng − = →   − = − →   − ≠ ± →  0 0 0 ( ) ( ) ch½n ( ) ( ) lÎ Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n, kh«ng lÎ f x f x f f x f x f f x f x f Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = 1 2 tan 2 x 5) y = sin x + x 2 6) y = cos 3x III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k π π   − + π + π  ÷   Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 3 2 ; 2 2 2 k k π π   + π + π  ÷   Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2k k−π + π π Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2k kπ π + π Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 2 k k π π   − + π + π  ÷   Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ;k kπ π + π Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số 1) y = sinx trên ; 6 3 π π   −  ÷   2) y = cosx trên khoảng 2 3 ; 3 2 π π    ÷   3) y = cotx trên khoảng 3 ; 4 2 π π   − −  ÷   4) y = cosx trên đoạn 13 29 ; 3 6 π π       5) y = tanx trên đoạn 121 239 ; 3 6 π π   −     6) y = sin2x trên đoạn 3 ; 4 4 π π   −     7) y = tan3x trên khoảng ; 12 6 π π   −  ÷   8) y =sin(x + 3 π ) trên đoạn 4 2 ; 3 3 π π   −     Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số Hàm số Khoảng 3 ; 2 π   π  ÷   ; 3 3 π π   −  ÷   23 25 ; 4 4 π π    ÷   362 481 ; 3 4 π π   − −  ÷   y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx GV: Nguyễn Quang Tánh 6 Bài tập Tốn 11 Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K ⇒ y = A.f(x) +B ®ång biÕn trªn K nÕu A > 0 nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0    Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [ ] ;−π π 2) y = -2cos 2 3 x π   +  ÷   trên đoạn 2 ; 3 3 π π   −     IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ; A 2 + B ≥ B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x- 2 π ) + 3 2) y = 3 – 1 2 cos2x 3) y = -1 - 2 os (2x + ) 3 c π 4) y = 2 1 os(4x )c+ - 2 5) y = 2 sinx 3+ 6) y = 5cos 4 x π + 7) y = 2 sin 4sinx + 3x − 8) y = 2 4 3 os 3 1c x− + Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ ] ;a b thì [ ] [ ] a ; a ; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f b f x f a= = Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ ] ;a b thì [ ] [ ] a; a; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f a f x f b= = Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên đoạn ; 2 3 π π   − −     2) y = cosx trên đoạn ; 2 2 π π   −     3) y = sinx trên đoạn ;0 2 π   −     4) y = cos π x trên đoạn 1 3 ; 4 2       C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC. I:LÍ THUYẾT . 1/Phương trình lượng giác cơ bản . sin u = sin v ⇔    +−= += ππ π 2 2 kvu kvu ( k ∈ Z ) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z ) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 2/ Phương trình đặc biệt : sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = - 2 π + k2π cosx = 0 ⇔ x = 2 π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π . 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b 2 ≠ 0 Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(. 22 ϕ −+ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ GV: Nguyễn Quang Tánh 7 Bài tập Tốn 11 asinx +bcosx = c ⇔ )sin(. 22 ϕ ++ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ . Cách 2 : Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z Với x ≠ π + kπ đặt t = tan 2 x ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t 2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a 2 + b 2 - c 2 ≥ 0 . Bài tập :Giải các phương trình sau: 1. 2sincos3 =− xx , 2. 1sin3cos −=− xx 3. xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− , 4. 4 1 ) 4 (cossin 44 =++ π xx 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− , 6. tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x − = + 7. 3(1 cos 2 ) cos 2sin x x x − = 8. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 . Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2cos 2 x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x – 1 5. sin 4 2x + cos 4 2x = 1 – 2sin4x 6. x x 2 cos 3 4 cos = 7. 2 3 3 2tan cos x x = + 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 9. 2 6sin 3 cos12 4x x+ = 10. 4 2 4sin 12cos 7x x+ = 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin 2 x +b sinx cosx + c cos 2 x = 0 . Cách 1 : • Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . • Xét cos 0x ≠ chia hai vế của phương trình cho cos 2 x rồi đặt t = tanx. Cách 2: Thay sin 2 x = 2 1 (1 – cos 2x ), cos 2 x = 2 1 (1+ cos 2x) , sinxcosx = 2 1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = 2 π + kπ ,k∈Z. Bài tập : 1. 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos 2 x = - 2 2. 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos 2 x = 0 3. 4sin 2 x +3 3 sin2x – 2cos 2 x = 4 4. 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx. GV: Nguyễn Quang Tánh 8 Bài tập Tốn 11 5. 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = 6/ Phương trình dạng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 − t Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 t − Bài tập : Giải các phương trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Các phương trình lượng giác khác. Bài 1: Giải các phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos 2 x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg 2 x + 3 = xcos 3 , 6/ 4sin 4 +12cos 2 x = 7 Bài 2 : Giải các phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 2/ x x 2 cos 3 4 cos = ĐS : x = k3π , x= ± 4 π +k3π , x = ± 4 5 π +k3π 3/ 1+ sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 ( − 4 π 2 x ) ĐS: sinx =1 v sin 2 x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - 4 π + k π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = xcos 1 ĐS : x = k2π , x = ± 3 π +k2π 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos 2 x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 2 1 7/ 2cos 2 2x +cos 2x = 4sin 2 2xcos 2 x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 2 x 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin 2 x + sin 2 3x = 3cos 2 2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan 3 ( x - 4 π ) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x = 4 π + kπ 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = 4 π + kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 GV: Nguyễn Quang Tánh 9 Bài tập Tốn 11 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX. Giải các phương trình sau : 1/ sin 2 x + 2sin 2x –3 +7cos 2 x = 0 . 2/ cos 3 x – sin 3 x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x 4/ sin 3 x + cos 3 x = 2( sin 5 x + cos 5 x ) ĐS : x= 4 π + 2 π k 5/ sin 3 (x - 4 π ) = 2 sinx ĐS : x = 4 π +kπ 6/ 3cos 4 x – sin 2 2x + sin 4 x = 0 ĐS :x = ± 3 π + kπ v x= 4 π + 2 π k 7/ 3sin 4 x +5cos 4 x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos 3 x = 5sin 2x cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . Giải các phương trình sau : 1/ cos 3 x + sin 3 x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos 3 x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin 3 x + cos 3 x = 2 3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin 3 x – cos 3 x = 1 + sinxcosx 6/ 3 10 cossin sin 1 cos 1 =+++ xx xx 7/ tanx + tan 2 x + tan 3 x + cotx+cot 2 x +cot 3 x = 6 8/ x 2 sin 2 + 2tan 2 x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos 3 x – sin 3 x = sin 2x 10/ cos 3 x – sin 3 x = - 1 11/ 2cos 2x + sin 2 x cosx + cos 2 x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC . Giải các phương trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin 2 x + sin 2 3x – 3cos 2 2x = 0 4/ cos3x cos 3 x – sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 5/ sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x 8/ sin 4 x + cos 4 x – cos 2 x = 1 – 2sin 2 x cos 2 x 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin 3 x. 10/ x x xx sin cos1 sincos = − + 11/ sin 2 ) 42 ( π − x tan 2 x – cos 2 2 x = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = xsin 1 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan 2 x + tan2x ) 15/ 32cos) 2sin21 3sin3cos (sin5 += + + + x x xx x 16/ sin 2 3x – cos 2 4x = sin 2 5x – cos 2 6x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 2 4 4 (2 sin 2 )sin3 tan 1 cos x x x x − + = 19/ tanx +cosx – cos 2 x = sinx (1+tanx.tan 2 x ) GV: Nguyễn Quang Tánh 10 [...]... dần, b tăng dần) Nguyễn Quang Tánh 12 Bài tập Tốn 11 Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x )11 10 Bài 11: Trong khai triển 3   3 2 x − ÷ x  , (x > 0), hãy tìm số hạng khơng chứa x Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 + x 2 ( 1 − x )    8 Bài 13: Cho khai triển: ( 1 + 2x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + + a10 x10 , có các hệ số số lớn nhất Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển... bình phương của chúng là 165 Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 114 0 Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25 Bài 7: Cho cấp số cộng ÷ u1, u2, u3, Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 GV: Nguyễn Quang Tánh 14 Bài tập Tốn 11 Tính u1 + u6 + u11 + u16 Bài 8: Một cấp số cộng (an)... ĐS: 1/ u1 = 53 và d = 13 Bài 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18 Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên Bài 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3 Tính u20 và S20 ĐS: u20 = 74, S20 = 910 Bài 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4 Tính u1 và S10 ĐS: u1 = 46, S10 = 280 Bài 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = -1 Tính d và S11 ĐS: d = − 18 5 và S11 = 187 Bài 16: Cho cấp số cộng... mũ của a giảm dần n k =0 Nguyễn Quang Tánh 11 Bài tập Tốn 11 ( a + b) – n = ∑ Ck a k b n − k là khai triển theo số mũ của a tăng dần n n k =0 Các Dạng bài tốn cơ bản Dạng 1: Bài tốn về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt cơng việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm cơng đoạn A và B để chọn quy tắc nhân Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ... ≠ 1) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết: 1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 và u6 = 1 2/ Cho q = 1 , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6 4 Bài 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486 Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó Bài 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: u 4 − u 2 = 72  u 5 − u 3 = 144 Bài 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48 Bài 5:... S n = (u1 + u n ) 2 Sn = BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: a /÷ 2,5,8, tìm u15 b / ÷ 2 + 3 ,4,2 − 3 , tìmu20 ĐS: a / u15 = 44 b / u 20 = 40 − 18 3 Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30 u 2 + u 5 − u 3 = 10 Bài 3: Cho cấp số cộng: u + u = 26 6  4 Tìm số hạng đầu và công sai của nó Bài 4: Tìm cấp số cộng có... + u11 + u16 Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10 Bài 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây: S 4 = 9  3 / 45 S 6 = 2  u 3 + u10 = −31 4 / 2u 4 − u 9 = 7... u1 + u 2 + u 3 = 13  u 4 + u 5 + u 6 = 351 Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21 Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó GV: Nguyễn Quang Tánh 16 Bài tập Tốn 11 PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH... (1 + 2x)5 + + (1 + 2x)22 11) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x)10(x + 1)10 Dạng 7: Tìm tổng có chứa Ck n Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả k n Bài 16: Tính tổng: S1 = C0 + C1n + C2 + + Cn ; S2 = C0 − C1n + C2 − + ( −1) C k + + ( −1) C n n n n n n n n 0 2 4 2n 1 3 2n −1 Bài 17: Tính tổng: S3 =... + C2 − + ( −1) C k + + ( −1) C n n n n n n n n 0 2 4 2n 1 3 2n −1 Bài 17: Tính tổng: S3 = C2n + C2n + C2n + + C2n ; S4 = C2n + C2n + + C2 n n Bài 18: Tính tổng: T = C0 − 2C1n + 22 C2 − 23 C3 + + ( −2 ) C n n n n n GV: Nguyễn Quang Tánh 13 Bài tập Tốn 11 E CẤP SỐ CỘNG Kiến thức cần nhớ: 1 Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều . dần. GV: Nguyễn Quang Tánh 11 Bài tập Toán 11 – ( ) n n k k n k n k 0 a b C a b − = + = ∑ là khai triển theo số mũ của a tăng dần. Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Phương. Tánh 3 Bài tập Toán 11 Bài 13: Tính tan x 4 p æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø biết 40 sin x 41 =- và 3 < x < 2 p p Bài 14: Tính tan 4 p a æ ö ÷ ç + ÷ ç ÷ ç è ø theo tan a . Áp dụng: Tính tg15 o Bài. sai là 25. Bài 7: Cho cấp số cộng ÷ u 1 , u 2 , u 3 , Biết u 1 + u 4 + u 7 + u 10 + u 13 + u 16 = 147. GV: Nguyễn Quang Tánh 14 Bài tập Tốn 11 Tính u 1 + u 6 + u 11 + u 16 . Bài 8: Một