TÀI LIỆU ÔN THI KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ 1. Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y ′ . Tìm các điểm mà tại đó y ′ = 0 hoặc y ′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y ′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. VD: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 593 23 +−−= xxxy • D=R • 963' 2 −−= xxy Cho    = −= ⇒=−−⇔= 3 1 09630' 2 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số đồng biến: )1;( −−∞ và );3( +∞ Hàm số nghịch biến: )3;1(− b) 733 23 ++−= xxxy • D=R • 363' 2 +−= xxy Cho 103630' 2 =⇒=+−⇔= xxxy • BBT • Vậy: hàm số luôn đồng biến trên D c) 12 24 −−= xxy • D=R GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 1 • xxy 44' 3 −= Cho    = = ⇒=−⇔= 1 0 0440' 2 3 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số tăng : )0;1(− và );1( +∞ Hàm số giảm: )1;( −−∞ và )1;0( d) 122 34 ++−= xxxy • D=R • 264' 23 +−= xxy Cho     −= = ⇒=+−⇔= 2 1 0 02640' 23 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số tăng : ); 2 1 ( +∞− Hàm số giảm: ) 2 1 ;( −−∞ e) 1 1 − + = x x y • D= }1{\R • 0 )1( 2 ' 2 < − − = x y • BBT • Vậy: hàm số luôn giảm trên D f) 1 22 2 − +− = x xx y • D= }1{\R • 2 2 )1( 2 ' − − = x xx y Cho    = = ⇒=−⇔= 2 0 020' 2 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số giảm: )1;0( và )2;1( Hàm số tăng: )0;(−∞ và );2( +∞ g) 2 4 xy −= • ]2;2[−∈D • 2 4 ' x x y − − = Cho 00' =⇔= xy • BBT • Vậy: hàm số giảm: (0;2) Hàm số tăng: )0;2(− h) xxy −= 4 • ]4;(−∞∈D • x x x x xy − − = − −−= 42 38 42 4' Cho 4 3 8 0380' <=⇒=−⇔= xxy • BBT • Vậy: hàm số tăng: ) 3 8 ;(−∞ Hàm số giảm: )4; 3 8 ( GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 2 BÀI TẬP VỀ NHÀ Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 2 2 4 5y x x= − + + b) 2 5 4 4 x y x= + − c) 2 4 3y x x= − + d) 3 2 2 2y x x x= − + − e) 2 (4 )( 1)y x x= − − f) 3 2 3 4 1y x x x= − + − g) 4 2 1 2 1 4 y x x= − − h) 4 2 2 3y x x= − − + i) 4 2 1 1 2 10 10 y x x= + − k) 2 1 5 x y x − = + l) 1 2 x y x − = − m) 1 1 1 y x = − − n) 2 2 26 2 x x y x + + = + o) 1 3 1 y x x = − + − − p) 2 4 15 9 3 x x y x − + = Baøi 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 4 3 2 6 8 3 1y x x x= − + − − b) 2 2 1 4 x y x − = − c) 2 2 1 1 x x y x x − + = + + d) 2 2 1x y x − = e) 2 3 2 x y x x = − + f) 3 2 2y x x= + + − g) 2 1 3y x x= − − − h) 2 2y x x= − i) 2 2y x x= − VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) Cho hàm số ( , )y f x m= , m là tham số, có tập xác định D. • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y ′ ≥ 0, ∀ x ∈ D. • Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y ′ ≤ 0, ∀ x ∈ D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y ′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y ax bx c 2 ' = + + thì: • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a   = =   ≥  ≥ ∀ ∈ ⇔   >    ≤   ∆ • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a   = =   ≤  ≤ ∀ ∈ ⇔   <    ≤   ∆ 3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2 ( )g x ax bx c= + + : • Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 3 • Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2 b a − ) • Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai 2 ( )g x ax bx c= + + với số 0: • 1 2 0 0 0 0 x x P S  >  < < ⇔ >   <  ∆ • 1 2 0 0 0 0 x x P S  >  < < ⇔ >   >  ∆ • 1 2 0 0x x P< < ⇔ < 5) Để hàm số 3 2 y ax bx cx d= + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau: • Tính y ′ . • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 0 0 a  ≠  >  ∆ (1) • Biến đổi 1 2 x x d− = thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4x x x x d+ − = (2) • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. VD1: Định m để hàm số luôn đồng biến a) mmxxxy +++= 23 3 • D=R • mxxy ++= 63' 2 Hàm số luôn đồng biến    >= ≤∆ ⇔≥⇔ 01 0' 0' a y 3039 ≥⇒≤−⇒ mm • Vậy: với 3≥m thì hs luôn đồng biến trên D. b) 2)2()12( 23 −−+−−= xmxmmxy • D=R • 2)12(23' 2 −+−−= mxmmxy Hàm số luôn đồng biến    >= ≤∆ ⇔≥⇔ 03 0' 0' ma y    > ≤−−+− ⇔ 0 0)2(3144 2 m mmmm    > ≤+ ⇔ 0 0)1( 2 m m 0 >⇔ m • Vậy: với 0>m thì hs luôn đồng biến trên D. c) mx mx y + + = 4 • D= }{\ mR − • 2 2 )( 4 ' mx m y + − = GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 4 Hàm số luôn đồng biến    > −< ⇒>−⇔>⇔ 2 2 040' 2 m m my • Vậy: với    > −< 2 2 m m thì hs luôn đồng biến trên D. VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến: xm mxx y − ++ = 3 2 • D= }{\ mR • 2 22 )( 32 ' mx mmxx y + +++− = Hàm số luôn nghịch biến    <−= ≤∆ ⇔<⇔ 01 0' 0' a y 03 22 ≤++⇒ mm (điều không thể) • Vậy: không tồn tại m để hs luôn nghịch biến trên D. VD3: Định m để hàm số mxmxxy 4)1(3 23 +−++= nghịch biến trong ( - 1; 1) • D=R • 163' 2 −++= mxxy Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1) 0'≤⇔ y và 21 11 xx <<−<    < <− ⇔ 0)1( 0)1( af af    <−++ <−+− ⇔ 0)163(3 0)163(3 m m    −< < ⇔ 8 4 m m 8 −<⇒ m • Vậy: 8 −< m thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1). VD4: Định m để hàm số xmmxmxy )232()1( 223 ++−−+= tăng trên );2( +∞ • D=R • )232()1(23' 22 ++−−+= mmxmxy Hàm số tăng trên );2( +∞ 0'≤⇔ y và 2 21 ≤< xx                 < ≥ >∆ ≤∆ ⇔ 2 2 0)2( 0' 0' S af                 < −− ≥++− >++ ≤++ ⇔ 2 2.3 )1(2 0)62(3 0177 0177 2 2 2 m mm mm mm      −> ≤≤− ⇔ 5 2 2 3 m m 2 2 3 ≤≤−⇒ m • Vậy: 2 2 3 ≤≤− m thì hs tăng trên );2( +∞ VD5: Định m để hàm số mmxxxy +++= 23 3 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 5 • D=R • mxxy ++= 63' 2 Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. 0'≤⇔ y và 1 21 =− xx 4 3 144 3 14 039 2 =⇒    =− < ⇒    =− >− ⇔ m m m PS m • Vậy: 4 3 =m thì hs nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. BÀI TẬP VỀ NHÀ Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) 3 5 13y x x= + + b) 3 2 3 9 1 3 x y x x= − + + c) 2 1 2 x y x − = + d) 2 2 3 1 x x y x + − = + e) 3 sin(3 1)y x x= − + f) 2 2 1x mx y x m − − = − Baøi 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) 5 cot( 1)y x x= − + − b) cosy x x= − c) sin cos 2 2y x x x= − − Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó: a) 3 2 3 ( 2)y x mx m x m= − + + − b) 3 2 2 1 3 2 x mx y x= − − + c) x m y x m + = − d) 4mx y x m + = + e) 2 2 1x mx y x m − − = − f) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − Baøi 4. Tìm m để hàm số: a) 3 2 3y x x mx m= + + + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. b) 3 2 1 1 2 3 1 3 2 y x mx mx m= − + − + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. c) 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x= − + − + + − đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. Baøi 5. Tìm m để hàm số: a) 3 2 ( 1) ( 1) 1 3 x y m x m x= + + − + + đồng biến trên khoảng (1; +∞). b) 3 2 3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + + đồng biến trên khoảng (2; +∞). c) mx y m x m 4 ( 2) + = ≠ ± + đồng biến trên khoảng (1; +∞). d) x m y x m + = − đồng biến trong khoảng (–1; +∞). GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 6 e) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − đồng biến trên khoảng (1; +∞). f) 2 2 3 2 1 x x m y x − − + = + nghịch biến trên khoảng 1 ; 2   − +∞  ÷   . VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: • Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥ , ≤ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định. • Xét dấu f ′ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến. • Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f ′ (x) thì ta đặt h(x) = f ′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h ′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). VD 1: chứng minh 0,sin >∀< xxx 0sin <−⇔ xx . Đặt xxxf −= sin)( • ( ) 0,01cos)(' >∀<−= xxxf ( ) 0,0sin0)( >∀<−⇒<⇒ xxxxf đpcm. VD 2: chứng minh 0, 6 sin 3 >∀−> x x xx 0 6 sin 3 >+−⇔ x xx . Đặt 6 sin)( 3 x xxxf +−= • 2 1cos)(' 2 x xxf +−= • 0sin)('' >+−= xxxf (chứng minh trên) ( ) 0,0 6 sin0)(0)(' 3 >∀>+−⇒>⇒>⇒ x x xxxfxf đpcm. BÀI TẬP VỀ NHÀ Baøi 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3 sin , 0 6 x x x x vôùi x− < < > b) 2 1 sin tan , 0 3 3 2 x x x vôùi x+ > < < π c) tan , 0 2 x x vôùi x< < < π d) sin tan 2 , 0 2 x x x vôùi x+ > < < π Baøi 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) tan , 0 tan 2 a a vôùi a b b b < < < < π b) sin sin , 0 2 a a b b vôùi a b− < − < < < π c) tan tan , 0 2 a a b b vôùi a b− < − < < < π Baøi 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 7 a) 2 sin , 0 2 x x vôùi x> < < π π b) 3 3 5 sin , 0 6 6 120 x x x x x x vôùi x− < < − + > c) x x x vôùi xsin cos 1, 0 2 π + > < < Baøi 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1 , 0 x e x vôùi x> + > b) ln(1 ) , 0x x vôùi x+ < > c) 1 ln(1 ) ln , 0 1 x x vôùi x x + − > > + d) ( ) 2 2 1 ln 1 1x x x x+ + + ≥ + Baøi 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 0 tan55 1,4> b) 0 1 7 sin20 3 20 < < c) 2 3 log 3 log 4> HD: a) 0 0 0 tan55 tan(45 10 )= + . Xét hàm số 1 ( ) 1 x f x x + = − . b) Xét hàm số 3 ( ) 3 4f x x x= − . f(x) đồng biến trong khoảng 1 1 ; 2 2   −  ÷   và 0 1 7 ,sin20 , 3 20 ∈ 1 1 ; 2 2   −  ÷   . c) Xét hàm số ( ) log ( 1) x f x x= + với x > 1. BÀI 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ I. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và x 0 ∈ D. a) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f(x) < f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. b) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f(x) > f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x 0 là điểm cực trị của f thì điểm (x 0 ; f(x 0 )) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x 0 ) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x 0 } a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 8 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f′ (x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . a) Nếu f′′ (x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . b) Nếu f′′ (x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí 1. • Tìm f ′ (x). • Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. • Xét dấu f ′ (x). Nếu f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i . Qui tắc 2: Dùng định lí 2. • Tính f ′ (x). • Giải phương trình f ′ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …). • Tính f ′′ (x) và f ′′ (x i ) (i = 1, 2, …). Nếu f ′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i . Nếu f ′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i . VD 1: tìm cực trị của hàm số sau: 593 23 +−−= xxxy • D=R • 963' 2 −−= xxy Cho    = −= ⇒=−−⇔= 3 1 09630' 2 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số đạt cực đại tại (-1;10) Hàm số đạt cực tiểu tại (3;-22)  Cũng bài trên thầy sẽ làm theo dấu hiệu II. Các e tính thêm 66'' −= xy . ⇒<−=− 012)1(''y hs đạt cực đại tại x=-1 ⇒>= 012)3(''y hs đạt cực tiểu tại x=-1  Vậy với dấu hiệu II ta sẽ bỏ qua bước BBT ( thường dùng cho nhưng bài lượng giác)  Qua ví dụ này ta thấy rằng bài toán cực trị các bước làm như đơn điệu chỉ thêm vào phần giá trị của y. VẬY các em lấy VD của phần bài 1 tập tìm cực trị nhé. BÀI TẬP VỀ NHÀ Baøi 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 9 a) 2 3 3 2y x x= − b) 3 2 2 2 1y x x x= − + − c) 3 2 1 4 15 3 y x x x= − + − d) 4 2 3 2 x y x= − + e) 4 2 4 5y x x= − + f) 4 2 3 2 2 x y x= − + + g) 2 3 6 2 x x y x − + + = + h) 2 3 4 5 1 x x y x + + = + i) 2 2 15 3 x x y x − − = − Baøi 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 3 4 ( 2) ( 1)y x x= − + b) 2 2 4 2 1 2 3 x x y x x + − = + − c) 2 2 3 4 4 1 x x y x x + + = + + d) 2 4y x x= − e) 2 2 5y x x= − + f) 2 2y x x x= + − Baøi 3. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 3 2 1y x= + b) 3 2 2 1 x y x = + c) 4 x x y e e − = + d) 2 5 5 2lny x x x = − + + e) 2 4siny x x= − f) 2 ln(1 )y x x= − + VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f ′ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0 . Chú ý: • Hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d= + + + có cực trị ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách: + 3 2 0 0 0 0 ( )y x ax bx cx d= + + + + 0 0 ( )y x Ax B= + , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y ′ . • Hàm số 2 ' ' ax bx c y a x b + + = + = ( ) ( ) P x Q x (aa ′≠ 0) có cực trị ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' ' b a − . Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x = hoặc 0 0 0 '( ) ( ) '( ) P x y x Q x = • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. • Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et. GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 10 [...]... 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Các bước khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số • Tìm tập xác định của hàm số • Xét sự biến thi n của hàm số: + Tính y′ + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc khơng xác định 24 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ... Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của các hàm số: a) y = x 3 − 3x 2 − 9 x + 1 b) y = x 3 + 3x 2 + 3 x + 5 d) y = ( x − 1)2 (4 − x ) e) y = x3 1 − x2 + 3 3 c) y = − x 3 + 3 x 2 − 2 f) y = − x 3 − 3 x 2 − 4 x + 2 Bài 2 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của các hàm số: a) y... 26 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ • Các dạng đồ thị: a.a′ > 0 a.a′ < 0 y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt y y′ = 0 vơ nghiệm 0 y 0 x VD1: khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x 3 − 3 x 2 + 2 • D=R • y ' = 3 x 2 − 6 x Cho x • Đồ thị: x = 0 y... m (1) VD10: Cho hàm số Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O • D=R • y , = 3x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1) Để hàm số có cực trị thì PT y , = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt ⇔ ∆ = 1 > 0, ∀m Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m)... cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thi n ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thi n, cực trị của hàm số • Vẽ đồ thị của hàm số: + Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương) – Tính y′′ – Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′ + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các... nghiệm ⇔ ’ = b2 – 3ac < 0 y y I 0 I x 0 x 3 Hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) : • Tập xác định D = R • Đồ thị ln nhận trục tung làm trục đối xứng • Các dạng đồ thị: GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ a > 0a < 0y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt y ⇔... để hàm số có cực trị trái dấu nhau • D=R • y ' = 3 x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1) Cho y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1) = 0 ∆' = 9m 2 − 9m 2 + 9 > 0 ⇒ hs sau ln có cực đại, cực tiểu tại x1 , x 2 • Hàm số có cực trị trái dấu nhau ⇔ x1 < 0 < x 2 ⇔ 3 f (0) < 0 ⇒ 9(m 2 − 1) < 0 ⇒ −1 < m < 1 • Vậy − 1 < m < 1 thì hàm số có cực trị trái dấu nhau VD8: Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m Xác định m để hàm số. .. Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ c) y = x 4 − 2 x 2 + 3 trên [–3; 2] e) y = 3x − 1 trên [0; 2] x −3 g) y = d) y = x 4 − 2 x 2 + 5 trên [–2; 2] 4 x2 + 7x + 7 trên [0; 2] x+2 x −1 trên [0; 4] x +1 1 − x + x2 f) y = h) y = 1 + x − x2 trên [0; 1] i) y = 100 − x 2 trên [–6; 8] k) y = 2 + x + 4 − x Bài 3 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:... − 4 x 2 + 1 d) y = ( x − 1)2 ( x + 1)2 e) y = − x 4 + 2 x 2 + 2 Bài 3 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của các hàm số: x +1 x+2 1− 2x d) y = 1+ 2x 2x +1 x −1 3x − 1 e) y = x −3 a) y = b) y = c) y = x4 5 − 3x 2 + 2 2 f) y = −2 x 4 + 4 x 2 + 8 3− x x−4 x −2 f) y = 2x +1 c) y = Bài 4 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của các hàm số: a) y = x2 + x + 1 x +1 d) y = − x + 1 + b) y = c) y = x2 + x − 2... trái dấu ⇔ y(0).y  ÷ < 0 ⇔ ( − m )  m − m ÷ < 0 ⇔ m (4m − 27) > 0 3  27    3 3 ⇔ 4m 2 − 27 > 0 (m ≠ 0) ⇔ m > 2 3 2 VD15 : Cho hàm số y = x + 2mx + 3(m − 1) x + 2 (1), m là tham số thực 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng ∆ : y = − x + 2 tại 3 điểm phân biệt A(0; 2) ; B; C sao cho tam giác MBC có diện tích 2 2 , với M (3;1) 2 Giải 2 . TÀI LIỆU ÔN THI KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ 1. Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f nghịch biến. biến thi n của hàm số Để xét chiều biến thi n của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y ′ . Tìm các điểm mà tại đó y ′ = 0 hoặc y ′ không tồn. đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x 0 ) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị