Mục lục 1 Một số kỹ năng giải bài toán đếm 3 1.1 Sử dụng các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Quy tắc cộng, quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Phép tương ứng 1- 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Mô tả phần tử đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Mã hóa 0, 1 phần tử đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3 Phương pháp đánh số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3 Một số phương pháp giải nâng cao của bài toán đếm . . . . . . . 26 1.3.1 Nguyên lí bao gồm và loại trừ . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.2 Phương pháp truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm 34 2.1 Nguyên lí bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.1 Phát hiện đại lượng bất biến trong bài toán . . . . . . . 34 2.1.2 Giải toán bằng đại lượng bất biến . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.3 Bất biến đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.4 Một số bài toán nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1 Chứng minh không tồn tại phân hoạch thỏa mãn tính chất (G). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.2 Chứng minh có tồn tại phân hoạch thỏa mãn tính chất (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.3 Xây dựng phân hoạch tính chất (G) . . . . . . . . . . . . 49 2.2.4 Phân hoạch cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.5 Một số bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3 Nguyên lí Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1 Lời mở đầu Trong các dạng bài toán tổ hợp thì bài toán đếm và một số dạng toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm là các dạng bài cơ bản và rất quan trọng. Những dạng toán này xuất hiện rất nhiều trong các kì thì vào các trường chuyên, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế. Việc giải các bài toán dạng này nhiều khi gặp rất nhiều khó khăn và rất dễ mắc phải những sai lầm vì đây là những dạng toán khó và chúng ta không nắm được các phương pháp, các kỹ năng giải. Liên quan đến bài toán đếm có hai vấn đề được quan tâm nghiên cứu. - Một số kỹ năng giải các bài toán đếm; - Một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm. Để giải được nhanh chóng và chính xác các bài toán đếm chúng ta cần phải nắm được các kỹ năng giải và việc giải thành thạo các bài toán đếm giúp ta rất nhiều trong việc giải các bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm. Hiện nay có nhiều sách tham khảo, tài liệu viết về các dạng toán tổ hợp nhưng một số kỹ năng giải bài toán đếm và đặc biệt là một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm như nguyên lí bất biến, phân hoạch thì chưa được đề cập nhiều. Chính vì vậy, chúng tôi xin chọn đề tài cho luận văn của mình là: “Một số kỹ năng giải bài toán đếm”. Trong luận văn này ngoài việc trình bày một số kỹ năng giải bài toán đếm, chúng tôi còn đưa ra một số dạng toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm. Nội dung luận văn này gồm hai chương: - Chương 1: Trình bày một số kỹ năng giải bài toán đếm như sử dụng các khái niện cơ bản, phép tương ứng 1- 1 và một số phương pháp giải nâng cao. - Chương 2: Đưa ra một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm như nguyên lí bất biến, phân hoạch và nguyên lí Dirichlet kèm theo các bài tập và lời giải chi tiết. Các kết quả chính của luận văn nằm trong mục 1.2 của chương 1 và mục 2.2 của chương 2. Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS Nguyễn Vũ Lương. Cảm ơn thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo của trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã hết lòng đào tạo, dạy dỗ giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập tại trường. Mặc dù vây, do năng lực cá nhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹp luận văn không tránh khỏi những thiếu sót cả về mặt nội dung và hình thức, rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn. 2 Chương 1 Một số kỹ năng giải bài toán đếm Bài toán đếm là một nội dung cơ bản không chỉ dành cho các bài toán thi đại học mà còn rất cần thiết khi giải các bài toán tổ hợp khó trong các kỳ thi học sinh giỏi. Một đặc điểm rất đặc thù của nội dung này là khi giải toán, học sinh thường nhận được các đáp số khác nhau vì những sai sót mà bản thân không nhận ra. Chính vì vậy xây dựng các kỹ năng giải là thực sự cần thiết và nội dung của phần này là trình bày các kỹ năng này. 1.1 Sử dụng các khái niệm cơ bản 1.1.1 Quy tắc cộng, quy tắc nhân Quy tắc cộng. Nội dung quy tắc: Nếu có m 1 cách chọn đối tượng a 1 , m 2 cách chọn đối tượng a 2 , , m n cách chọn đối tượng a n , trong đó cách chọn đối tượng a i (1 ≤ i ≤ n) không phụ thuộc vào bất kì cách chọn đối tượng a j (1 ≤ i ≤ n, i = j) thì sẽ có n  k=1 m k cách chọn đối tượng a 1 , hoặc a 2 , , hoặc a n . Quy tắc nhân. Nội dung quy tắc: Cho n đối tượng a 1 , a 2 , , a n . Nếu có m 1 cách chọn đối tượng a 1 và với mỗi cách chọn a 1 có m 2 cách chọn đối tượng a 2 , sau đó với mỗi cách chọn a 1 , a 2 có m 3 cách chọn đối tượng a 3 , Cuối cùng với mỗi cách chọn a 1 , a 2 , a 3 , , a n−1 có m n cách chọn đối tượng a n . Như vậy sẽ có m 1 .m 2 m n−1 .m n cách chọn các đối tượng a 1 , rồi a 2 , rồi a 3 rồi a n . Sau đây ta xét một số bài toán minh họa: 3 Bài 1.Với sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau và trong mỗi số nhất thiết phải có chữ số 1. Bài giải Gọi số cần lập là abcd. Xét các trường hợp: Trường hợp 1: a = 1 có 1 cách chọn a, có A 3 5 cách chọn các chữ số b, c, d. Trường hợp 2: a = 1. Có 4 cách chọn a ( vì a = 0). - Nếu b = 1 thì có 1 cách chọn b và có A 2 4 cách chọn c, d; - Nếu c = 1 thì có 1 cách chọn c và có A 2 4 cách chọn b, d; - Nếu d = 1 thì có 1 cách chọn d và có A 2 4 cách chọn b, c; Vậy theo quy tắc cộng có thể lập được 1.A 3 5 + 4.A 2 4 + 4.A 2 4 + 4.A 2 4 = 204 (số). Bài 2. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 4 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường nối từ thành phố A đến thành phố D. Bài giải Trường hợp 1: Đi từ A đến B rồi đến D. Có 3 cách đi từ A đến B và có 2 cách đi từ B đến D. Theo quy tắc nhân thì số cách chọn đường đi từ A đến D qua B là 3.2 = 6; Trường hợp 2: Đi từ A đến C rồi đến D. Có 2 cách đi từ A đến C và có 4 cách đi từ C đến D. Theo quy tắc nhân thì số cách chọn đường đi từ A đến D qua C là 2.4 = 8. Vì cách chọn đường từ A sang D qua B và cách chọn đường từ A sang D qua C không phụ thuộc lẫn nhau, nên theo quy tắc cộng, ta có số con đường để đi từ A sang D là 6 + 8 = 14 (cách). Bài 3. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? Tìm tổng của tất cả các số này. Bài giải Gọi số cần lập có dạng abcd. Có 9 cách chọn a; Có 8 cách chọn b (b = a); Có 7 cách chọn c (c = a, c = b); Có 6 cách chọn d (d = a, d = b, d = c). Vậy theo quy tắc nhân thì số các số có thể lập được là 9.8.7.6 = 3024 (số). Số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số dạng này lần lượt là 9876 và 1234 có tổng bằng 11110, nên đối với số bất kì abcd đều tồn tại số a  b  c  d  , mà 4 abcd + a  b  c  d  = 11110 Khi đó, ta có đẳng thức: (a+a  ).1000+(b+b  ).100+(c+c  ).10+d+d  = 10.1000+10.100+10.10+1.10 Từ đó, ta có các đẳng thức a + a  = b + b  = c + c  = d + d  = 10 a = a  ⇔ b = b  ⇔ c = c  ⇔ d = d  Bởi vậy, nếu abcd có các chữ số không trùng nhau thì a  b  c  d  cũng có các chữ số không trùng nhau. Do đó có 1 2 .9.8.7.6 cặp số abcd, a  b  c  d  gồm 4 chữ số không trùng nhau thuộc tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Vậy tổng tất cả các số dạng trên là : 1 2 .9.8.7.6.11110 = 16798320 Bài 4. Một con ngựa trên bàn cờ vua 8x8. Hỏi có bao cách di chuyển con ngựa trên bàn cờ. Bài giải Các ô của bàn cờ có thể đặt theo quy tắc a ij (i=1 8 ,j=1 8) a 11 có 2 cách di chuyển. a 12 có 3 cách di chuyển. a 13 , a 14 , a 22 có 4 cách di chuyển. a 23 , a 24 có 6 cách di chuyển. a 33 , a 34 , a 44 có 8 cách di chuyển. Lấy đối xứng các vị trí trên qua 4 trục đối xứng của bàn cờ, ta có tổng số cách là: n = 4.2 + 8.3 + 20.4 + 16.6 + 16.8 = 336. Bài 5. Cho bàn cờ vua 8x8. Có bao nhiêu cách chọn ra 1 ô trắng và 1 ô đen? Có bao cách chọn 1 ô trắng, 1 ô đen cùng nằm trên 1 hàng hay 1 cột? Bài giải Trên bàn cờ có 32 ô trắng, 32 ô đen. Có 32 cách chọn ra một ô đen, 32 cách chọn một ô trắng. Vậy số cách chọn n 1 =32.32=1024 (cách). Có 32 cách chọn một ô trắng. Số ô đen cùng hàng, cùng cột với ô trắng đã chọn ra là 8. Vậy số cách chọn n 2 =32.8=256 (cách). 5 Bài 6 Có 28 quân domino ở 2 đầu có x,y chấm 0 ≤ x, y ≤ 6. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 quân domino có thể nối với nhau (số chấm ở một đầu của quân này bằng số chấm ở một đầu quân khác). Bài giải Lấy một quân domino bất kỳ nó thuộc một trong 2 loại: Loại 1 (7 quân): (0,0), (1,1), ,(6,6). Loại 2 (21 quân): có số chấm 2 đầu khác nhau. - Nếu quân domino chọn ra là loại 1 (sẽ có 7 cách chon) sẽ được nối với 6 quân khác. Ví dụ như (1,1) sẽ được nối với (1,0), (1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6). Vậy số cặp nối được trong trường hợp này là: n 1 = 7.6 = 42. - Nếu quân domino chọn ra là loại 2 (sẽ có 21 cách chọn), sẽ được nối với 12 quân khác. Ví dụ (2,3) sẽ được nối với (2,0), (2,1), (2,4), (2,2), (2,5), (2,6),(3,0),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6). Vậy số cặp nối đươc trong trường hợp này là n 2 = 21.12 = 252 Theo quy tắc cộng thì số cách nối đươc là 252+42=294 (kể cả thứ tự). Vì thứ tự giữa 2 đầu của quân domini được xác định, và mỗi cặp 2 quân domino nối được đến 2 lần, ta suy ra số cặp nối được là n = 294 2 = 147. 1.1.2 Hoán vị Hoán vị không lặp Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n (n ≥ 1) phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó (mỗi phần tử có mặt đúng một lần) được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho. Kí hiệu số hoán vị của n phần tử bằng P n Ta có công thức P n = n! Sau đây ta xét một số bài oán minh họa: Bài 7.Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm năm chữ số khác nhau? Bài giải Mỗi số cần lập là một hoán vị của năm chữ số đã cho. Vậy số các số lập được bằng số hoán vị của năm phần tử bằng P 5 = 5! = 120 6 Bài 8. Trong một hội nghị có 5 báo cáo viên A, B, C, D, E mỗi người báo cáo một lần? 1. Có bao nhiêu cách xếp thứ tự cho báo cáo viên. 2. Có bao nhiêu cách xếp thứ tự cho báo cáo viên nếu yêu cầu báo cáo viên B báo cáo ngay sau báo cáo viên A? 3. Có bao nhiêu cách xếp thứ tự cho báo cáo viên nếu B không báo cáo trước A? Bài giải 1. Số cách xếp thứ tự cho báo cáo viên bằng 5! = 120 2. B báo cáo ngay sau A ta thay thế bằng một cặp báo cáo viên X= AB. Khi đó, xem X như là một báo cáo viên. Vậy số cách là n 2 = 4! = 24. 3. Trong mọi cách sắp xếp khả năng A đứng trước B hay đứng sau B là như nhau. Vậy số cách sắp xếp B không báo cáo trước A là 1 2 .5! = 60. Bài 9 Có bao nhiêu cách xếp 5 người đàn ông, 5 người đàn bà xung quanh một bàn tròn 10 ghế sao cho không có 2 người đàn ông hoặc 2 người đàn bà nào ngồi cạnh nhau. Bài giải Lấy 1 ghế bất kỳ. Nếu xếp 1 người đàn ông thì ghế tiếp theo là của đàn bà Số cách xếp 5 đàn ông vào vị trí có sẵn là 5!, số cách xếp 5 đàn bàn vào vị trí là 5!. Số cách xếp theo vị trí này là 5!5!. Nếu xếp 1 người đàn bà thì số cách xếp tương tự bằng 5!5!. Đáp số:: 2.(5!) 2 . Hoán vị có lặp Định nghĩa: Hoán vị trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần được gọi là hoán vị có lặp. Số hoán vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất hiện n i lần được kí hiệu là P (n 1 , n 2 , , n k ) và được tính bằng công thức P (n 1 , n 2 , , n k ) = n! n 1 !.n 2 ! n k ! . Sau đây ta xét một số bài toán minh họa: Bài 10. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm chín chữ số, trong đó mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 xuất hiện đúng một lần, chữ số 5 xuất hiện đúng hai lần và chữ số 6 xuất hiện đúng ba lần. 7 Bài giải Xét một số tùy ý x = 154626356 và kí hiệu các vị trí của x một cách hình thức, ta có x = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 . Khi đó, mỗi số x tương ứng với một hoán vị lặp của chín phần tử a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 . Số các hoán vị khác nhau của chín phần tử a i (1 ≤ i ≤ 9) là 9! song do a 2 = a 8 = 5 nên khi đổi chỗ a 2 và a 8 cho nhau thì hoán vị x = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 vẫn chỉ cho ta số x. Tương tụ đổi chỗ hai trong ba phần tử a 4 , a 6 , a 9 cho nhau vẫn chỉ cho số x. Như vậy, khi thực hiện 2! hoán vị a 2 , a 8 và 3! hoán vị a 4 , a 6 , a 9 , ta chỉ được một số cần tìm x. Vậy số các số có thể lập được là S = 9! 2!3! = 30240 Bài 11. Với sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chia hết cho 5 gồm 11 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 4 lần, chữ số 2 có mặt 3 lần, chữ số 3 có mặt 2 lần chữ số 4 có mặt 1 lần và tổng số lần xuất hiện của chữ số 0 và chữ số 5 là 1. Bài giải Để số cần lập x = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 chia hết cho 5, thì x phải tận cùng bằng chữ số 0 hoặc chữ số 5. Vì tổng số lần xuất hiện trong x của 0 và 5 bằng 1 nên nếu x tận cùng bằng 0 thì 5 không có mặt và ngược lại nếu x tận cùng bằng 5 thì chữ số 0 không xuất hiện. Bởi vậy a i (1 ≤ i ≤ 10) chỉ có thể là một trong những chữ số 1, 2, 3, 4. Bởi vậy số khả năng lập phần đầu độ dài 10 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 của x bằng số hoán vị lặp của 10 phần tử thuộc 4 loại chữ số: 1, 2, 3, 4 với 1 xuất hiện 4 lần, 2 xuất hiện 3 lần, 3 xuất hiện 2 lần và 4 xuất hiện 1 lần sẽ bằng P(1, 2, 3, 4) . Ngoài ra a 11 lại có thể nhận 0 hoặc 5 nên có thể lập được 2.P (1, 2, 3, 4) = 2. 10! 1!2!3!4! = 25200 Bài 12. Có bao nhiêu cách đảo từ PARABOLA sao cho các phụ âm và nguyên ân được xếp xen kẽ. Bài giải Vì có 4 phụ âm và 4 nguyên âm nên ta xếp 4 phụ âm (có 4! cách xếp) và xếp vào 4 vị trí xem kẽ 4 nguyên âm là 4! 3! . Vị trí ban đầu có thể là phụ âm hoặc nguyên âm đối với mỗi hoán vị của phụ âm. Suy ra số cách xếp: n = 2.4!. 4! 3! = 192. 8 Bài 13. Tìm số cách đảo từ ROKOKO sao cho 3 chữ O không đứng liền nhau. Bài giải Tất cả các cách đảo từ bằng n 1 = 6! 3!2! = 6.5.4 2 = 60. Số cách đảo từ mà 3 chữ O đứng cạnh nhau (coi như là một chữ) bằng n 2 = 4! 2! = 4.3 = 12. Đáp số: n = n 1 − n 2 = 48 Ta xét một ví dụ đơn giản sau: Xét tập A = {a, b}, ta lập tập B = {a, a, b, b, b}. Khi đó B = (A, α) ,α(a) = 2, a xuất hiện 2 lần, α(b) = 3 gọi là tập bội số lần xuất hiện α. Khi đó, số cách xếp thành một hàng ngang của B bằng: P (2, 5) = 5! 2!3! . Mở rộng, xét tập A = {x 1 , x 2 , , x n } gồm n phần tử riêng biệt. Xét tập bội B trong đó x i xuất hiện α(x i ) = α i lần. Khi đó, số cách xếp thành một hàng ngang của B bằng P (α 1 , α 2 , , α n ) = (α 1 + α 2 + + α n )! α 1 !.α 2 ! α n ! Hoán vị vòng quanh Ví dụ dẫn dắt. Mời sáu người khách ngồi xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi. Bài giải Nếu ta mời một người nào đó ngồi vào một vị trí bất kì, thì số cách sắp xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí giành cho họ sẽ là 5! = 120. Vậy có tất cả 120 cách sắp xếp 6 người ngồi xung quanh một bàn tròn. Số hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau (Q n ) được tính bằng công thức Q n = (n − 1)! Sau đây ta xét một số bài toán minh họa 9 Bài 14. Một hội nghị bàn tròn có năm nước tham gia. Anh có 3 đại biểu, Pháp có 5 đại biểu, Đức có 2 đại biểu, Nhật có 3 đại biểu, Mỹ có 4 đại biểu. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mọi đại biểu sao cho hai người cùng quốc tịch đều ngồi cạnh nhau. Bài giải Đầu tiên ta sắp xếp khu vực cho đại biểu từng nước. Ta mời phái đoàn nào đó ngồi vào chỗ trước. Khi đó, bốn phái đoàn còn lại có 4! cách sắp xếp. Đối với mỗi cách sắp xếp các phái đoàn lại có: 3! cách sắp xếp đại biểu trong nội bộ phái đoàn Anh; 5! cách sắp xếp đại biểu trong nội bộ phái đoàn Pháp; 2! cách sắp xếp đại biểu trong nội bộ phái đoàn Đức; 3! cách sắp xếp đại biểu trong nội bộ phái đoàn Nhật; 4! cách sắp xếp đại biểu trong nội bộ phái đoàn Mỹ. Bởi vậy, số cách sắp xếp chỗ ngồi cho tất cả các đại biểu để những người cùng quốc tịch ngồi cạnh nhau sẽ bằng 4!3!5!2!3!4! = 4976640 Bài 15. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 nam A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 và 3 nữ B 1 , B 2 , B 3 vào một bàn tròn sao cho: a) Không có điều kiện gì?; b) Nam A 1 không ngồi cạnh nữ B 1 ? c) Nữ không ngồi cạnh nhau? Bài giải a) Mỗi cách sắp xếp bất kì là một hoán vị vòng quanh của 8 phần tử, nên số cách sắp xếp bằng số hoán vị vòng quanh của 8 phần tử, bằng Q 8 = 7! = 5040. b) Năm nam và hai nữ không kể B 1 có (7 − 1)! = 6! cách sắp xếp. Ứng với một trong những phương án sắp xếp năm nam và hai nữ không kể B 1 , khi đó B 1 có thể xếp vào giữa A 2 , B 2 , giữa B 2 , A 4 , giữa A 4 , B 3 , giữa A 5 , B 3 , giữa A 3 , A 5 . Như vậy có 7 −2 = 5 cách sắp xếp B 1 Vậy có 6!.5 = 720 cách sắp xếp. c) Trước hết ta xếp 5 nam ngồi xung quanh bàn tròn. Số cách sắp xếp này bằng số hoán vị vòng quanh của 5 phần tử, bằng (5 −1)! = 4! = 24. Có 5 cách sắp xếp nữ B 1 , 4 cách sắp xếp nữ B 2 và 3 cách sắp xếp nữ B 3 . Vậy số cách sắp xếp cần tìm là 4!.5.4.3 = 1440. 1.1.3 Chỉnh hợp Chỉnh hợp không lặp 10 [...]... xét một số bài toán minh họa: Bài 1.Trong một bài kiểm tra Toán có hai bài toán Trong cả lớp có 30 em làm được bài thứ nhất và 20 em làm được bài thứ hai Chỉ có 10 em làm được cả 2 bài toán kiểm tra Hãy tính số học sinh trong lớp Bài giải Gọi A là tập hợp học sinh giải được bài toán thứ nhất, B là tập hợp học sinh giải được bài toán thứ hai, thì A ∩ B là tập hợp học sinh giải được cả 2 bài toán Bài toán. .. xét một số bài toán minh họa: Bài 16 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà trong mỗi số này các chữ số khác nhau? Bài giải Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Lập số có 1 chữ số có 6 số; Trường hợp 2: Lập số có 2 chữ số có 5.5 = 25 số; Trường hợp 3: Lập số có 3 chữ số có 5.A2 = 100 số; 5 Trường hợp 4: Lập số có 4 chữ số có 5.A3 = 300 số; 5 Trường hợp 5: Lập số. .. tính số phần tử của A ∪ B Vậy số học sinh trong lớp bằng |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 30 + 20 − 10 = 40 Bài 2 Lớp 12A phải làm một bài kiểm tra Toán gồm có ba bài toán Biết rằng mỗi em trong lớp đều giải được ít nhất một bài, trong lớp có 20 em giải được bài toán thức nhất, 14 em giải được bài toán thứ hai, 10 em giải được bài toán thứ ba, 6 em giải được cả hai bài toán thứ nhất và thứ ba, 5 em giải. .. nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt của A chia hết cho 5 Bài giải - Xét các số mà chữ số 0 đứng cuối cùng Trong trường hợp này số các số thỏa mãn yêu cầu của bài toán bằng n1 = A3 = 60 5 - Xét các số có số 5 đứng cuối cùng, ta cần chọn thêm 3 chữ số phân biệt (số có 3 chữ số phân biệt) xếp phía trên số 5 Có 5.4.3 bộ 3 số phân biệt Có 4.3 số phân biệt mà số 0 đứng đầu Suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu của bài. .. thế phần tử đếm bởi bộ toàn số 0, 1 3.Phương pháp đánh số: Thay thế cách xác định vị trí bởi các số thỏa mãn yêu cầu của bài toán Tuy nhiên, chỉ thông qua việc giải các bài toán cụ thể chúng ta mới có thể nắm vững các kỹ năng giải này 1.2.1 Mô tả phần tử đếm Kỹ năng này gồm 2 bước: 1 Xác định vị trí; 2 Sắp xếp vào vị trí đã chọn Sau đây chúng ta xét một số bài toán minh họa: Bài 1 Tìm các số nguyên dương... 1.2.3 Phương pháp đánh số Để kỹ năng đếm hiệu quả, chính xác hơn với các bài toán phức tạp chúng ta xây dựng phương pháp đánh số như sau: Đánh số các vị trí để sắp xếp các thành phần của phần tử đếm theo thứ tự khi đó mỗi cách chọn vị trí tương ứng với một bộ số nguyên dương thỏa mãn một tính chất cụ thể theo yêu cầu của bài toán đếm Sau đây ta xét một số bài toán minh họa: Bài 19 Một tổ có 7 học sinh... giải được cả hai bài toán thứ hai và thứ ba, 2 em giải được cả hai bài toán thứ nhất và thứ hai, và có một em được 10 vì đã giải được cả ba bài toán Hỏi lớp học có tất cả bao nhiêu em? Bài giải Gọi A là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ nhất, B là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ hai và C là tập hợp các em học sinh giải được bài toán thứ ba Ta phải tính số phần tử của tập... nhất một số trên bảng Để củng cố phương pháp giải ta xết một số bài toán sau đây: Bài 4.Trên bảng ta viết ba số nguyên Sau đó ta xóa đi một số và viết vào đó tổng hai số còn lại trừ đi 1 Thao tác như vậy lặp lại một số lần và cuối cùng ta nhận được ba số 17, 1967, 1983 Hỏi có phải những số đầu tiên được viết trên bảng là 2, 2, 2 Bài giải Sau bước đầu tiên, từ ba số 2, 2, 2 ta nhận được 2, 2, 3, ba số. .. (trừ 1 trường hợp 1 0000) Ta có d2 = C9 (23 − 1) Đáp số: d = d1 − d2 = 630 − 63 = 567 1.2.2 Mã hóa 0, 1 phần tử đếm Khi bài toán mà mỗi phần tử đếm là một quy tắc, một cách chọn, một cách phân chia, một trò chơi thì người ta thường mô tả phần tử đếm bằng một bộ số 0, 1 để phép đếm trở nên đơn giản hơn Sau đây ta xét một số bài toán minh họa: Bài 7 Ở một cửa hiệu có 12 loại bưu thiếp, hỏi có bao nhiêu... lại một số duy nhất thì số đó không phụ thuộc vào thứ tụ thực hiện các thao tác các số đã có trên bảng Bài giải Ta thực hiện một lần thao tác thì số lượng mỗi loại trong ba loại số trên tăng lên hoặc giảm đi một, suy ra số lượng các loại số thay đổi tính chẵn lẻ Khi trên bảng chỉ còn lại một số, nghĩa là hai trong các số 0, 1 và 2 có số lượng bằng không, còn số thứ ba bằng một Nghĩa là ngay từ đầu số . mình là: Một số kỹ năng giải bài toán đếm . Trong luận văn này ngoài việc trình bày một số kỹ năng giải bài toán đếm, chúng tôi còn đưa ra một số dạng toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm. Nội. giải. Liên quan đến bài toán đếm có hai vấn đề được quan tâm nghiên cứu. - Một số kỹ năng giải các bài toán đếm; - Một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm. Để giải được nhanh chóng. bày một số kỹ năng giải bài toán đếm như sử dụng các khái niện cơ bản, phép tương ứng 1- 1 và một số phương pháp giải nâng cao. - Chương 2: Đưa ra một số dạng bài toán tổ hợp liên quan đến bài toán đếm