SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Bảng B Câu: Nội dung 1. a, (2,5) *) Nếu 2 n 3 n n 3⇒ +M M nên 2 n n 2 3 / + + M (1) *) Nếu 2 n 3 n 2 3 / ⇒ +M M 2 n n 2 3 / ⇒ + + M (2) Từ (1) và (2) n Z⇒ ∀ ∈ thì 2 n n 2 3 / + + M b, (2,5) Đặt 2 2 m n 17= + (m N)∈ 2 2 m n 17 (m n)(m n) 17 1.17⇒ − = ⇒ − + = = =17.1 Do m + n > m - n m n 17 m 9 m n 1 n 8 + = =   ⇒ ⇒   − = =   Vậy với n = 8 ta có 2 2 n 17 64 17 81 9+ = + = = 2. a, (2.5) Giải phương trình 2 x 4x+5=2 2x+3+ (1) Điều kiện: 3 2x+3 0 x - 2 ≥ ⇒ ≥ (1) 2 x 4x+5-2 2x+3 0⇔ + = 2 x 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0⇔ + + = 2 2 (x 1) ( 2x+3 1) 0⇔ + + − = x 1 0 2x+3 1 0 + =   ⇔  − =   x 1 2x+3=1 = −  ⇔   x 1⇔ = − thỏa mãn điều kiện b, (2.5) Giải hệ phương trình 2 2 2x+y=x 2y+x=y      Trừ từng vế 2 phương trình ta có: 2 2 x y x y− = − (x y)(x y 1) 0⇔ − + − = x y x y x y 1 0 x 1 y = =   ⇔ ⇔   + − = = −   Trang 1/3 (1) (2) Ta có: *) x y x y x(x 3) 0 x 0 = =   ⇔   − = =   Vậy (x; y) = (0;0); (3;3) *) 2 2 2 x 1 y x 1 y x 1 y 2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0 = − = − = −    ⇔ ⇔    − + = − − + =    (*) Vì phương trình 2 y y 1 0− + = vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3) 3. Tìmgiá trị nhỏ nhất của 2 4x+3 A x 1 = + Ta có: 2 2 2 4x+3 x 4x+4 A 1 x 1 x 1 + = = − + + + 2 2 (x 2) A 1 1 x 1 + = − + ≥ − + Dấu "=" xảy ra x 2 0 x 2⇔ + = ⇔ = − Vậy min A 1= − khi x = -2 4. a, (2,5) H K E I F O B A C Gọi I là giao điểm của AH và BC ⇒ AI ⊥ BC Ta có: ∆BHI ∆BCE (g, g) BH BI BH.BE BC.BI BC BE ⇒ = ⇒ = (1) Ta có: ∆CHI ∆CBF (g, g) CH CI CH.CF BC.CI CB CF ⇒ = ⇒ = (2) Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC 2 b, (2,0) Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra · · HCB KCB= Mà · · FAI HCI= (do tứ giác AFIC nội tiếp) · · · · FAI BCK hay BAK BCK⇒ = = ⇒ tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) ⇒ K ∈ (O) 5. Trang 2/3 SS hoặc x = 3 + Khi · 0 BAC 90= ⇒ · 0 BIC 90= . ⇒ F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính. ⇒ EF đi qua điểm O cố định. K F E O A B C I + Khi · BAC < 90 0 ⇒ · BIC > 90 0 . Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. · · EIF EAF⇒ = (cùng bù · BIC ) · · EKF EIF= (Do I và K đối xứng qua EF) · · EKF EAF⇒ = AKFE⇒ nội tiếp · · KAB KEF⇒ = (cung chắn » KF ) (1) · · IEF KEF= (Do K và I đối xứng qua EF) (2) · · IEF BIK= (cùng phụ · KIE ) (3) Từ (1), (2), (3) · · KAB BIK⇒ = ⇒ AKBI là tứ giác nội tiếp ⇒ K (O)∈ Mà EF là đường trung trực của KI ⇒ E, O, F thẳng hàng. + Khi · BAC > 90 0 ⇒ · BIC < 90 0 chứng minh tương tự. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định. - - - Hết - - - Trang 3/3 . (2,5) H K E I F O B A C Gọi I là giao điểm của AH và BC ⇒ AI ⊥ BC Ta có: ∆BHI ∆BCE (g, g) BH BI BH.BE BC.BI BC BE ⇒ = ⇒ = (1) Ta có: ∆CHI ∆CBF (g, g) CH CI CH.CF BC.CI CB CF ⇒ = ⇒ = (2) Từ. BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC 2 b, (2,0) Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra · · HCB KCB= Mà · · FAI HCI= (do tứ giác AFIC nội tiếp) · · · · FAI BCK hay BAK BCK⇒ = = ⇒ tứ giác BACK. ∈ (O) 5. Trang 2/3 SS hoặc x = 3 + Khi · 0 BAC 90= ⇒ · 0 BIC 90= . ⇒ F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính. ⇒ EF đi qua điểm O cố định. K F E O A B C I + Khi · BAC < 90 0