SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (1,5 điểm). Cho phương trình : 2 2 1 0x mx− − = (với m là tham số). a) Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 2 2 1 2 4 0x x− = . b) Chứng minh với mọi m phương trình trên có nghiệm x thỏa mãn 1x < . Bài 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình: 2 17 1 18 2 9. 3 3 − − + −x x x = 0. b) Tìm các số nguyên ,x y với 0, 0x y≥ ≥ thỏa mãn: 2 2 3 4 4 10 12x y xy x y+ + + + − = 0. Bài 3 (1,0 điểm ). Giải hệ phương trình: 2 2 1 1 4( ) 3( ) 4 2 1 x y x y x y x xy  − + + = − + −   + =   Bài 4 (1,0 điểm). Cho ,x y thỏa mãn 2 2 4 2 0x y x+ − − = . Chứng minh: 2 2 10 4 6 4 6 10x y− ≤ + ≤ + . Bài 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M (M khác A). Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại N (N khác C). Gọi K là giao điểm MN với BC. a) Chứng minh tam giác KCN cân. b) Chứng minh OK vuông góc với BM. c) Khi tam giác ABC cân tại A, hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng. Bài 6 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3a, AC = 4a và góc · BAC = 0 60 . Qua A kẻ AH vuông góc với BC tại H. Tính độ dài đoạn AH theo a. Bài 7 (1,0 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh: 2 2 2 9 9 2( ) 2 b c a a b c ab bc ca + + + ≥ + + . Họ và tên thí sinh: SBD: Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH Hướng dẫn gồm 05 trang KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUYÊN Bài 1(1.5 điểm) . Cho phương trình : 2 2 1 0x mx− − = (với m là tham số) a)Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 2 2 1 2 4 0x x− = . b)Chứng minh rằng với mọi m phương trình trên có nghiệm x thỏa mãn 1x < Ý NỘI DUNG ĐIỂM a) (1.0đ) +) 2 8∆ = +m +) 0 ∆ > với mọi m nên pt đã cho có hai nghiệm phân biệt 0.125 0.125 +) Theo viet ta có 1 2 1 2 2 1 . 2  + =     = −   m x x x x và gt cho 2 2 1 2 4.x x= 0.25 Nên ta có 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . (1) 2 2. 2 1 . (2) 2 2.   + =       = −     =         + =       = −     = −      m x x x x x x m x x x x x x 0.125 0.125 +) (1) vô nghiệm. +) (2) ta có m = 1 và m = -1 0.125 0.125 b (0.5điểm) +) 2 8∆ = +m +) 0∆ > với mọi m nên pt đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x 0.125 0.125 +) theo viet ta có 1 2 .x x = 1 2 − suy ra +) 1 1 2 2 1 1 . 1 1 2  < = < ⇒  <  x x x x với mọi m 0.125 0.125 Bài 2 (2.0điểm) a) Giải phương trình sau : 2 17 1 18 2 9 3 3 − − + −x x x = 0. b) Tìm các số nguyên x,y với 0, 0≥ ≥x y thỏa mãn : 2 2 3 4 4 10 12+ + + + −x y xy x y = 0. Ý NỘI DUNG ĐIỂM a) (1.0đ) +) đk x 1 3 ≥ (1) 0.125 +) 2 8 1 1 (18 2 ) 9( ) 3 3 3 − − + − −x x x = 0 0.125 ⇔ 1 1 1 3 9 (18 8)( ) 9 0 3 1 1 3 3 − − − + + = − + x x x x 0.25 4 1 1 ( ) 18( ) 9 0 9 3 1 1 3 3       ⇔ − + + =   − +     x x x (2) 0.125 +) Chứng minh biểu thức trong (2) dương 0.125 x = 4 9 0.125 +) so sánh đk pt có nghiệm x = 4 9 0.125 b) (1.0 đ) +) (x+3y+1)(x+y+3) = 15 (1) 0.25 +) do x, y là số nguyên không âm nên từ (1) ta có 3 1 5 3 3 3 1 3 3 5 3 1 15 3 1 3 1 1 3 15 + + =    + + =    + + =    + + =    + + =     + + =   + + =     + + =   x y x y x y x y x y x y x y x y 0.125 0.125 0.125 0.125 +) (x;y) = (2;0) 0.25 Bài 3(1.0 điểm ) Giải hệ phương trình sau : 2 2 1 1 4( ) 3( ) 4 2 1  − + + = − + −   + =   x y x y x y x xy Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1.0 (điểm) +) đk ( ) 0x y− ≥ (*) +) Từ pt 2 1 1 4( ) 3( )− + + = − + −x y x y x y 2 4( ) 1 ( 3( ) 1)⇔ − − + − − − + =x y x y x y 0 0.25 [ ] 2( ) 1 (2( ) 1)(2( ) 1) 0 3( ) 1 1 2( ) 1 2( ) 1 0 3( ) 1 − − ⇔ − − − + + = − + − +   ⇔ − − − + + =   − + − +     x y x y x y x y x y x y x y x y x y 0.125 0.125 Do (*) nên ta có 2(x-y)-1 0= ⇔ 2y = 2x-1 thế vào pt (2) ta có 2 6 1 0 1 0 2 1 5 3 6 − − =  = ⇒ =  ⇔   = − ⇒ = −   x x x y x y 0.125 0.125 0.125 +) KL hệ có hai nghiệm là 1 1 5 ;0 & ; 2 3 6     − −  ÷  ÷     0.125 Bài 4 (1.0 điểm) Cho x, y thỏa mãn 2 2 4 2 0x y x+ − − = . Chứng minh rằng 2 2 10 4 6 10 4 6− ≤ + ≤ +x y Ý NỘI DUNG ĐIỂM +) ta có 2 2 4 2x y x+ = + (1) 0.125 2 2 2 2 4 2 0 ( 6 2)( 6 2) 0 2 6 2 6 10 4 6 4 2 10 4 6 (2) (1) & (2) 10 4 6 10 4 6 − − = − ≤ ⇒ − − + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + ⇔ − ≤ + ≤ + ⇒ − ≤ + ≤ + x x y x x x x x y 0.125 0.125 0.125 0.25 0.25 Bài 5 (2.5điểm) . Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O).Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M ( M ≠ A). Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O ) tại N ( N ≠ C). Gọi K là giao điểm MN với BC. a) Chứng minh tam giác KCN cân. b) Chứng minh OK vuông góc với BM. c) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng. Ý NỘI DUNG Điểm a) (0.75đ) +) Ta có MNC MBC∠ = ∠ (1) (cùng cung MC) 0.25 +) ∠ = ∠MBC BCN ( do cùng phụ với góc ABC∠ ) (2) 0.25 +) từ (1) & (2) ta có MNC BCN∠ = ∠ suy ra tam giác KNC cân tại K 0.25 b) +) ta có ON = OC (3) 0.25 0.75đ +)từ a) suy ra KN = KC (4) 0.25 +) từ (3)& (4) ta có OK vuông góc NC +) do NC//BM ( cùng vuông góc với AB) 0.125 0.125 c) 1.0đ +) ta có ∠ = ∠ BNM BAM (cung MB) (5) +) ∠ = ∠BMN BCN ( Cung NB) (6) 0.125 0.125 +) ∠ = ∠ BAM NCB ( do cùng phụ với góc ∠ ABC ) (7) 0.25 +) từ (5), (6) &(7) suy ra ∠ = ∠BNM BMN nên BM = BN +)mà gt ta có ON = OM & PM = PN nên ba điểm P ,B,O nằm trên đường trung trực đoạn MN vậy P,B,O thẳng hàng. 0.25 0.125 0.125 Bài 6 (1.0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3a , AC = 4a và góc ∠ BAC = 0 60 .Qua A kẻ AH vuông góc với BC tại H .Tính độ dài đoạn AH theo a . Ý NỘI DUNG Điểm +) Hạ CK vuông góc AB tại K (giải thích tam giác ABC không tù tại B hay C) 0.125 0.125 +) ta có CK = 2 3 a +) nên ta có 2 3 3 ABC S a= 0.125 0.125 +) Tính BK = a suy ra 2 2 13= + =BC BK CK a 0.125 0.125 +) AH = 2 6 39 13 = ABC S a BC 0.25 Bài 7(1.0 điểm) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng : 2 2 2 9 9 2( ) 2 + + + ≥ + + b c a a b c ab bc ca . Ý NỘI DUNG ĐIỂM +) đặt x = 1 a , y = 1 b , z = 1 c suy ra x.y.z = 1 và , ,x y z dương. +) Bất đẳng thức tương đương với P = 2 2 2 9 9 2( ) 2 + + + ≥ + + x y z y z x x y z (*) 0.125 +) ta có 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ; ; 1 1 1 + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ + + ≥ + + = + + x y z x y y y z z z x x x y z xy yz zx y z x x y z 0.125 0.125 +) ta có x+y+z = xyz(x+y+z) = (xy)(zx)+(yz)(yx)+(zx)(zy) 2 2 2 ( ) ( ) ( )≤ + +xy yz zx 2 ( ) 3 + + ⇒ + + ≤ xy yz zx x y z 0.125 0.125 2 2 27 ( ) 2( ) 27 9 ( ) 2( ) 2 9 2 ≥ + + + + + + + + ≥ + + ⇒ ≥ P xy yz zx xy yz zx do xy yz zx xy yz zx P cô si cho 3 số ‘ = ’ xảy ra khi ‘ = ’ xảy ra khi a = b = c = 1. 0.125 0.125 0.125 Lưu ý chung 1) Trên đây là các bước bắt buộc và khung điểm tương ứng . Học sinh phải biến đổi hợp lý và lập luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa. 2) Bài 5, 6 phải có hình vẽ đúng hợp lý với lời giải mới cho điểm ( không cho điểm hình vẽ). 3) Những cách giải đúng vẫn cho điểm tối đa. 4) Chấm điểm từng phần , điểm bài là tổng các điểm thành phần (không làm tròn). . ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài. Họ và tên thí sinh: SBD: Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH Hướng dẫn gồm 05 trang KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 201 5- 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUYÊN Bài 1(1.5. minh rằng 2 2 10 4 6 10 4 6− ≤ + ≤ +x y Ý NỘI DUNG ĐIỂM +) ta có 2 2 4 2x y x+ = + (1) 0.125 2 2 2 2 4 2 0 ( 6 2)( 6 2) 0 2 6 2 6 10 4 6 4 2 10 4 6 (2) (1) & (2) 10 4 6 10 4 6 − − = −