hoctoancapba.com MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Phần một: Phần Mở Đầu Lí do chọn đề tài Trong toán học bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski là hai bất đẳng thức cổ điển có nhiều ứng dụng trong giải toán. Chúng được sử dụng nhiều trong chương trình giải toán phổ thông đặc biệt là trong các kì thi tuyển sinh đại học và các kì thi học sinh giỏi. Đề tài về hai bất đẳng thức này là không mới. Tuy nhiên em vẫn chọn đề tài này do đây là mảng kiến thức em thích, em đã giải khá nhiều bài toán có ứng dụng hai bất đẳng thức này nhưng bản thân em vẫn chưa tổng kết được các phương pháp sử dụng hai bất đẳng thức trên trong giải toán. Vì vậy khi nghiên cứu đề tài này sẽ giúp em hệ thống lại các kỹ thuật sử dụng hai bất đẳng thức này một cách rõ ràng hơn. Và sau này khi trở thành giáo viên em sẽ thấy tự tin hơn khi giảng dạy về mảng kiến thức này từ đó giúp học sinh hiểu rõ hơn. Bên cạnh đó, em thấy đề tài này cũng hợp với khả năng của mình, đặc biệt em thực hiện đề tài này với sự hướng dẫn tận tình của giáo viên hướng dẫn cùng với nguồn tài liệu không ít nên em tin mình có thể hoàn thành tốt đề tài này. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp tham khảo tài liệu là chủ yếu. Phần hai: Nội Dung Nghiên Cứu MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn. Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải. Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt được tại vị trí biên. Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho n số thực không âm n aaa , ,, 21 , 2, ≥∈ nZn , ta luôn có: n nn aaanaaa . 2121 ≥+++ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi n aaa === 21 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Kỹ thuật tách ghép bộ số Kỹ thuật tách ghép cơ bản Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: ( )( )( ) abcaccbba 8≥+++ Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ( )( )( ) abcacbcabaccbba 82.2.2 =≥+++ (đpcm) Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: ( )( ) dcbabdac ++≤+ Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 =       + + + + + =       + + + +       + + + ≤ ++ + ++ = ++ + dc dc ba ba dc d ba b dc c ba a dc d ba b dc c ba a dcba bdac ( )( ) dcbabdac ++≤+⇒ (đpcm) Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa    > > cb ca . Chứng minh rằng: ( ) ( ) abcbccac ≤−+− Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: hoctoancapba.com 1 hoctoancapba.com ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 1 1 2 1 2 1 2 1 =       −++       −+≤       − ++       − +≤ − + − = −+− b c a c a c b c b cb a c a ca b c b cb a c a ca b c ab cbccac ( ) ( ) abcbccac ≤−+−⇒ (đpcm) Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: ( )( )( ) 3 3 1111 cbaabc +++≤+ Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1113 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 . 1 . 11 1 . 1 1 . 1 1 111 1 33 3 3 =       + + + + + + + + ≤       + + + + + +       + + + + + ≤ +++ + +++ ≤ +++ + c c b b a a c c b b a a cba c c b b a a cba cba abc ( )( )( ) 3 3 1111 cbaabc +++≤+⇒ (đpcm) Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa    ≥ ≥ 1 1 b a . Chứng minh rằng: ababba ≤−+− 11 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ( ) 22 1 1 ab aabaaababa =−+≤−=− (1) Tương tự: 2 1 ab ab ≤− (2) Cộng theo vế (1) và (2), ta được: ababba ≤−+− 11 (đpcm) Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 42 16 babaab +≤− Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 22 2 .4 2 4 .44.416 ba babaab baabbaab +=       + =       −+ ≤−=− (đpcm) Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) 33 13111 abcabcaccbba +≥+++++ Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cabcabcbaaccbba +++++=+++++ 111 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ( ) 3 2 3 3 3 abccabcab abccba ≥++ ≥++ ( ) ( ) ( ) ( ) 33 3 2 3 31333 abcabcabcabccabcabcba +=+≥+++++⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 33 13111 abcabcaccbba +≥+++++⇒ (đpcm) Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: 1++≥++ ba a b b a ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 222222       ++       ++       +=++ a b b a a bab b aab a b b a ab 1 2 . 2 2 2 . 2 2 2 . 2 2 ++=++≥ ba a b b a a bab b aab (đpcm) Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa 10=++ cba . Tìm GTLN của: 532 cbaA = Giải: Ta có: hoctoancapba.com 3375005321 5 . 3 . 2 1 5 . 3 . 2 5 . 3 . 2 10 5555533322 10 532532 532 10 532 10 532 =≤⇒≤                   ⇒≤                   ⇒                   ≥+++++++++=++= cba cbacba cbacccccbbbaa cba hoctoancapba.com 2 hoctoancapba.com Dấu “=” xảy ra      = = = ⇔= ++ ===⇔      =++ == ⇔ 5 3 2 1 10532 10 532 c b a cbacba cba cba Vậy GTLN của A là 337500. Kỹ thuật tách nghịch đảo Bài 1: Chứng minh rằng: 0 , 2 >∀≥+ a,b a b b a Giải: Vì 0>a,b nên 0 ,0 >> a b b a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2.2 =≥+ a b b a a b b a (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng: 1 , 3 1 1 >∀≥ − + a a a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ( ) 3121 1 1 121 1 1 1 1 1 =+=+ − −≥+ − +−= − + a a a a a a (đpcm) Bài 3: Chứng minh rằng: R∈∀≥ + + a a a , 2 1 2 2 2 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 1 1 12 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + +≥ + ++= + ++ = + + a a a a a a a a (đpcm) Bài 4: Chứng minh rằng: 0 , 2 1 91 3 4 2 ≠∀≤ + a a a Giải: Với 0≠∀a , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 1 3. 3 1 2 1 3 3 1 1 3 9 3 1 1 91 3 2 2 2 2 2 4 2 4 2 =≤ + = + = + a a a a a a a a a (đpcm) Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 1 , 2 1 1 2 2 2 −≠∀         + + ++= a a a aA Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 1 1 1222 1 1 12 1 1 11 1 11 1 1 22 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +=+ + ++ + ++=       + ++++=       + ++ ++=         + ++ ++= ≥ a a a a a aa a a a a aa aA Cauchy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 2 1 1 12 + =+ a a hay 2 82 4 ±− =a Vậy GTNN của 222 +=A Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 0 , 2 2 >∀+= a a aA Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3 3 3 2 4 2 3 2 1 3 2 . 2 .2 1 . 2 . 2 .3 2 . 2 .2 1 22 2 ==≥++=+= aa aa aa aa a aA Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 a a = hay 3 4=a Vậy GTNN của 3 4 2 3 =A Bài 7: Chứng minh rằng: 0 , 3 )( 1 >>∀≥ − + ba bab a hoctoancapba.com 3 hoctoancapba.com Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 11 3 = − −≥ − +−+= − + bab bab bab bab bab a Bài 8: Chứng minh rằng: ( )( ) 0 , 3 1 4 2 >>∀≥ +− + ba bba a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 31 2 1 2 1 1 . 2 1 . 2 1 4 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 4 4 2 =− ++ − ++ −≥ − ++ − + + + + +−= +− + bb ba bb ba bb ba bb ba bba a Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau: Phép cộng: ( ) ( ) ( ) ( )      +++++=++ + + + + + =++ accbbacba accbba cba 2 222 Phép nhân: ( ) ( )( )( )      = ≥= cabcabcba cbacabcababc 222 0,, , Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: cba c ab b ca a bc ++≥++ Giải: Ta có: cba a bc c ab c ab b ca b ca a bc a bc c ab c ab b ca b ca a bc c ab b ca a bc ++=++≥       ++       ++       +=++ 2 1 2 1 2 1 Bài 2: Cho ba số thực 0 ≠ abc . CMR: c a b c a b a c c b b a ++≥++ 2 2 2 2 2 2 Giải: Ta có: c a b c a b c a b c a b b a a c a c c b c b b a b a a c a c c b c b b a a c c b b a ++≥++=++≥         ++         ++         +=++ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa 1=abc . CMR: 3+++≥ + + + + + cba c ba b ac a cb Giải: ( ) ( ) ( ) 33 2 222 2 222 3 +++=+++≥ +++++=++= ++≥         ++         ++         +=         ++=++≥ + + + + + cbacbacba cbacbacba a bc c ab c ab b ca b ca a bc a bc c ab c ab b ca b ca a bc c ab b ca a bc c ab b ca a bc c ba b ac a cb Vậy 3+++≥ + + + + + cba c ba b ac a cb Bài 4: Cho 2 ,,,, cba pbCAaBCcABABC ++ ====∆ . CMR: ( )( )( ) abccpbpap 8 1 ≤−−− Giải: Ta có: ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) abc acpcbpbap apcpcpbpbpap apcpcpbpbpapcpbpap 8 1 2 2 . 2 2 . 2 2 2 . 2 . 2 = +−+−+− ≤ −+−−+−−+− ≤ −−−−−−=−−− hoctoancapba.com 4 hoctoancapba.com Bài 5: Cho 2 ,,,, cba pbCAaBCcABABC ++ ====∆ . CMR:       ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 2 111 Giải: Ta có: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       ++≥ −+− + −+− + −+− ≥ −− + −− + −− ≥         − + − +         − + − +         − + − = − + − + − cba apcpcpbpbpap apcpcpbpbpap apcpcpbpbpapcpbpap 111 2 2 1 2 1 2 1 111 11 2 111 2 111 2 1111 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau Với ∗ ∈ Nn và 0, ,, 21 > n xxx thì ( ) 1 11 2 21 21 n xxx xxx n n ≥         ++++++ Chứng minh bất đẳng thức trên : Ta có với 0, ,, 21 > n xxx thì ( ) 2 21 21 21 21 1 1 11 n xxx nxxxn xxx xxx n n n n n n =≥         ++++++ Với 3=n và 0,, 321 >xxx thì ( ) 9 111 321 321 ≥         ++++ xxx xxx Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: 6≥ + + + + + c ba b ac a cb Giải: Ta có: ( ) 6393 111 3 3111 =−≥−       ++++= − ++ + ++ + ++ = −       + ++       + ++       + += + + + + + cba cba c bac b acb a cba c ba b ac a cb c ba b ac a cb Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a (Bất đẳng thức Nesbit) Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 3 3 2 9 3 111 2 1 3 111 3 3111 =−≥ −       + + + + + +++++= −       + + + + + ++= − + ++ + + ++ + + ++ = −       + ++       + ++       + += + + + + + baaccb baaccb baaccb cba ba bac ac acb cb cba ba c ac b cb a ba c ac b cb a Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: 2 222 cba ac b cb a ba c ++ ≥ + + + + + Giải: ( ) cba ac b b cb a a ba c c ac b cb a ba c ++−         + ++         + ++         + += + + + + + 222222 ( ) cba ac b b cb a a ba c c ++−       + ++       + ++       + += 111 ( ) cba ac bac b cb acb a ba cba c ++−       + ++ +       + ++ +       + ++ = hoctoancapba.com 5 hoctoancapba.com ( ) ( ) cba ac b cb a ba c cba ++−       + + + + + ++= ( ) 1       − + + + + + ++= ac b cb a ba c cba Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì: 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a Do đó hoctoancapba.com ( ) 2 1 2 3 222 cba cba ac b cb a ba c ++ =       −++≥ + + + + + (đpcm) Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa 1≤++ cba . Chứng minh bất đẳng thức sau: 9 2 1 2 1 2 1 222 ≥ + + + + + abccabbca Giải: Do 1 ≤++ cba ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 9 2 1 2 1 2 1 222 2 1 2 1 2 1 222 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 222 222 222 222 2 222 ≥       + + + + + +++++=       + + + + + +++++=       + + + + + ++≥ + + + + + abccabbca abcacbbca abccabbca acbcabcba abccabbca cba abccabbca Kỹ thuật đổi biến số Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải. Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn. Bài 1: Cho .,,, bCAaBCcABABC ===∆ CMR: ( )( )( ) abccbabacacb ≤−+−+−+ (1) Giải: Đặt:          + = + = + = ⇔      =−+ =−+ =−+ 2 2 2 yx c xz b zy a zcba ybac xacb Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: 2 . 2 . 2 xzzyyx zyx +++ ≤ Do trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên : 0,, >zyx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: xyzzxyzxy xzzyyx =≥ +++ . 2 . 2 . 2 Hay ( )( )( ) abccbabacacb ≤−+−+−+ (đpcm) Bài 2: Cho .,,, bCAaBCcABABC ===∆ CMR: 3≥ −+ + −+ + −+ cba c bac b acb a (1) Giải: Đặt:          + = + = + = ⇔      >=−+ >=−+ >=−+ 2 2 2 0 0 0 yx c xz b zy a zcba ybac xacb Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành: z yx y xz x zy 222 + + + + + Ta có: hoctoancapba.com 6 hoctoancapba.com 3. 2 2 . 2 2 . 2 2 2 1 2 1 2 1 222 =++≥         ++       ++         += + + + + + z y y z z x x z y x x y z y y z z x x z y x x y z yx y xz x zy Hay 3≥ −+ + −+ + −+ cba c bac b acb a (đpcm) Bài 3: Cho .,,, bCAaBCcABABC ===∆ CMR: cba cba c bac b acb a ++≥ −+ + −+ + −+ 222 (1) Giải: Đặt:          + = + = + = ⇔      >=−+ >=−+ >=−+ 2 2 2 0 0 0 yx c xz b zy a zcba ybac xacb Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: ( ) ( ) ( ) zyx z yx y xz x zy ++≥ + + + + + 444 222 Ta có: ( ) ( ) ( ) . . . y z z x x y yz zx xy x y z x y z yz zx zx xy xy yz x y y z z x yz zx zx xy xy yz z x y x y y z z x + + + + + ³ + + = æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç + + + + + ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø è ø ³ + + = + + 2 2 2 4 4 4 1 1 1 2 2 2 Hay cba cba c bac b acb a ++≥ −+ + −+ + −+ 222 (đpcm) Bài 4: Cho 2 ,,,, cba pbCAaBCcABABC ++ ====∆ . CMR: ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) cpbpap p cpbpap −−− ≥ − + − + − 222 111 (1) Giải: Ta có: 0 2 > −+ =− acb ap Tương tự: 0 0 >− >− cp bp Đặt: zyxp zcp ybp xap ++=⇒      >=− >=− >=− 0 0 0 Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: xyz zyx zyx ++ ≥++ 222 111 Ta có: xyz zyx zxyzxy xzzyyx xzzyyxzyx ++ =++=++≥       ++         ++         +=++ 111111 . 11 . 1 11 2 111 2 111 2 1111 222222 222222222 Hay ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) cpbpap p cpbpap −−− ≥ − + − + − 222 111 (đpcm) Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a (1) Giải: hoctoancapba.com 7 hoctoancapba.com Đặt:          −+ = −+ = −+ = ⇒      =+ =+ =+ 2 2 2 zyx c yxz b xzy a zba yac xcb Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành: 2 1 222 ≥ −+ + −+ + −+ z zyx y yxz x xzy Ta có: 2 3 2 3 . 2 2 . 2 2 . 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 222 =−++≥ −         ++       ++         += −+ + −+ + −+ z y y z z x x z y x x y z y y z z x x z y x x y z zyx y yxz x xzy Hay 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a (đpcm) Bài 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa ( )( ) 1=++ cbca . CMR: ( ) ( ) ( ) 4 111 222 ≥ + + + + − cbcaba (1) Giải: Đặt:          −=− = = ⇒    −=− = ⇒    =+ =+ yxba x y y x yxba xy ycb xca 1 1 1 Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành: ( ) 4 111 22 2 ≥++ − yx yx Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 422. 2 1 222 2 1 2 11111 22 22 22 22 22 22 22 2 22 2 =+−+ +− ≥+−++ +− = ++ +− =++ − =++ − yx yx yx yx yx yxyx yx yx yx yx Vậy ( ) ( ) ( ) 4 111 222 ≥ + + + + − cbcaba (đpcm) Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện 1=xyz . Tìm GTNN của biểu thức: ( ) ( ) ( ) yyxx yxz xxzz xzy zzyy zyx A 222 222 + + + + + + + + = Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: yyxx zz xxzz yy zzyy xx yyxx zxyzz xxzz yzxyy zzyy xyzxx yyxx xyz xxzz zxy zzyy yzx A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 2 2. 2 2. 2 2 2 + + + + + ≥ + + + + + ≥ + + + + + ≥ Đặt: ( ) ( ) ( )          −+= +−= ++−= ⇒        += += += cbazz cbayy cbaxx yyxxc xxzzb zzyya 24 9 1 42 9 1 42 9 1 2 2 2 Khi đó hoctoancapba.com 8 hoctoancapba.com ( ) 23126 9 2 3 3.46 9 2 46 9 2 244242 9 2 33 =++−=         ++−≥             +++       +++−≥       −+ + +− + ++− ≥ c b b a a c b c c a a b c b b a a c b c c a a b c cba b cba a cba A Dấu “=” xảy ra 1===⇔ cba Vậy GTNN của A là 2 Kỹ thuật chọn điểm rơi Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra. Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau: Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên Xét các bài toán sau: Bài toán 1: Cho số thực 2≥a . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 1 a aA += Sai lầm thường gặp là: 2 1 .2 1 =≥+= a a a aA . Vậy GTNN của A là 2. Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 1a 1 =⇔=⇔ a a vô lý vì theo giả thuyết thì 2 ≥ a . Lời giải đúng: 2 5 4 2.3 1 4 31 . 4 2 4 31 4 1 =+≥+≥++=+= a a aa a a a aA Dấu “=” xảy ra 2hay 1 4 ==⇔ a a a Vậy GTNN của A là 2 5 . Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi 2=a . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi 2=a ” . Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và 1 a vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc 1 a để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số       a a 1 , α sao cho tại “Điểm rơi 2=a ” thì a a 1 = α , ta có sơ đồ sau: 4 2 12 2 11 2 2 =⇒=⇒        = = ⇒= α α αα a a a Khi đó: a aa a aA 1 4 3 4 1 ++=+= và ta có lời giải như trên. Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số       a a 1 , α ta có thể chọn các các cặp số sau:       a a 1 , α hoặc       a a α , hoặc       a a α 1 , . Bài toán 2: Cho số thực 2≥a . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 a aA += Sơ đồ điểm rơi: 8 4 12 4 11 2 2 2 =⇒=⇒        = = ⇒= α α αα a a a Sai lầm thường gặp là: 4 9 8 2.7 2.2 1 8 7 2 1 8 71 . 8 2 8 7 1 8 22 =+≥+=+≥++= a a a a aa a a A . Dấu “=” xảy ra 2 =⇔ a hoctoancapba.com 9 hoctoancapba.com Vậy GTNN của A là 4 9 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là 4 9 là đáp số đúng nhưng cách giải trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ 2.2 1 2 1 2 ≥⇒≥ a a là sai”. Lời giải đúng: 4 9 8 2.6 4 3 8 61 . 8 . 8 .3 8 61 88 3 22 =+≥+≥+++= a a aaa a aa A Dấu “=” xảy ra 2 =⇔ a Vậy GTNN của A là 4 9 Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa 1≤+ba . Tìm GTNN của 1 ab abA += Phân tích: Ta có: 4 1 2 2 ≤       + ≤ ba ab Sơ đồ điểm rơi: 16 1 4 4 1 4 1 4 1 4 1 =⇒=⇒        = = ⇒= α α αα ab ab ab Giải: Ta có: 4 1 4 1 2 2 −≥−⇒ ≤       + ≤ ab ba ab 4 17 4 1 .15815 1 16215 1 16 =−≥−≥−+= ab ab abab ab abA Dấu “=” xảy ra 2 1 4 1 ==⇔=⇔ ba ab Vậy GTNN của A là 4 17 Bài 2: Cho số thực 6 ≥ a . Tìm GTNN của 18 2 a aA += Phân tích: Ta có aa a a aA 99 18 22 ++=+= Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi 6=a . Ta có sơ đồ điểm rơi: hoctoancapba.com 24 2 336 2 3 6 99 36 6 2 =⇒=⇒        == = ⇒= α α αα a a a Giải: Ta có: 39 24 36.23 2 9 24 239 . 9 . 24 3 24 2399 24 2 3 222 =+≥ +≥+++= a aa aa aa a A Dấu “=” xảy ra 6 9 24 2 =⇔=⇔ a a a Vậy GTNN của A là 39 Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa 2032 ≥++ cba . Tìm GTNN của 4 2 93 cba cbaA +++++= Phân tích: Dự đoán GTNN của A đạt được khi 2032 =++ cba ,tại điểm rơi 4,3,2 === cba . Sơ đồ điểm rơi: 3 4 2 32 2 33 2 2 =⇒=⇒        = = ⇒= α α αα a a a hoctoancapba.com 10 [...]... ba: Phần Kết Luận Như vậy đề tài đã giới thiệu bảy kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy và hai kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski trong chứng minh các bất đẳng thức và các bài toán cực trị Chứng minh bất đẳng thức là một quá trình đầy sáng tạo Ngoài các kỹ thuật này thì còn rất nhiều kỹ thuật hay và sáng tạo hơn nữa Tuy nhiên trên cơ sở các kỹ thuật được trình bày trong đề tài, em mong có thể... MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI hoctoancapba.com Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 1 CMR  a+b b+c c+a    + +  a+b+c a+b+c a+b+c    b+c c+a   a+b ≤ 12 + 12 + 12  + + =6 a+b+c a+b+c a+b+c MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI n ∈ Z , n ≥ 1 , ta luôn có: Cho 2n số thực bất kì Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Kỹ thuật. .. 1 3 + 2 + 2 ≥ 2 a +1 b +1 c +1 2 Bài 13: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: Phân tích và giải: a 2 b 2 4c 2 Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy với mẫu vì bất đẳng thức + + ≥ a + 3b b c a sau đó sẽ đổi chiều: ⇒ ( ) Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi a = b = 2c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b2 a2 a2 + 4c ≥ 4b (2) ; +b ≥ 2 b = 2a (1); c b b hoctoancapba.com... nhất của biểu thức A = a 2 + b 2 + c 2 Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức a 2 + b 2 + c 2 và a + b + c gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc a 2 + b 2 + c 2 Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho a 2 , b 2 và c 2 cùng... 2b + c 2c + a 2a + b 3 Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp Ví dụ: hoctoancapba com Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán a a 1 1 dấu “=” xảy ra khi a = b = c Khi đó 2 = 2 = , ta chọn a a b a Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên... 3  2  c + a = 3  Vậy GTLN của A là 6 Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp Phân tích: Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi: a + 2b = 3  a = b = c = 1 ⇒ b + 2c = 3 c + 2a = 3  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 1 ( a + 2b ) + 3 + 3 6 + a + 2b 3 a + 2b =... trong đề tài, em mong có thể giúp người đọc tìm được nhiều ý tưởng mới về phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski Sau này, nếu có điều kiện thì em sẽ tiếp tục tìm nghiên cứu đề tài này, để có thể tìm ra nhiều kỹ thuật mới nữa Từ đó, ngày càng hoàn thiện vốn kiến thức của mình và giúp cho công tác giảng dạy của mình tốt hơn hoctoancapba.com 35 hoctoancapba.com Tài Liệu Tham... Ninh, Nguyễn Văn Quyết, NXBGD, 1986 Lê Duy Thiện , Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski để giải một bài toán cực trị đại số, Sáng kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Lang Chánh, Thanh Hóa Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ, Bất đẳng thức Cauchy, Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh, Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Việt Hải, Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM (CAUCHY), Trường THPT chuyên Quang Trung,... Văn Mậu, Bài giảng Chuyên đề đẳng thức và bất đẳng thức, Chương trình bồi dưỡng chuyên đề toán, Hà Nội, 11/12/2009 Nguyễn Ngọc Sang, Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cauchy, Sáng kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Nguyễn Huệ, Thanh Hóa Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Tri thức Tạp chí Toán học Tuổi trẻ Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải toán,... 4a 2 + 6b 2 + 3c 2 + 4 + 2 =3 3 Vậy GTNN của A là 12 Kỹ thuật cộng thêm Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c 1 1 1 + 2+ 2 ≥ + + 2 b c a a b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b 1 2 c 1 2 a 1 a 1 2 + ≥ + ≥ (3) (2); + ≥ 2 2 = (1) ; 2 2 c b c a2 c a b a b a b Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a b c 1 1 1 2 2 2 + 2 + 2 + + + ≥ + + 2 a . KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Phần một: Phần Mở Đầu Lí do chọn đề tài Trong toán học bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski là hai bất đẳng thức. có: n nn aaanaaa . 2121 ≥+++ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi n aaa === 21 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Kỹ thuật tách ghép bộ số Kỹ thuật tách ghép cơ bản Bài 1: Cho 3 số thực dương. thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho n số thực không âm n aaa , ,, 21 , 2,