Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết

220 760 3
  • Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 26/06/2015, 10:49

Đây là tài liệu sưu tầm của Lê Hữu Hoàng Sơn, học sinh chuyên Hóa THPT chuyên Lê Quý Đôn. Tài liệu này do giáo viên trường chuyên cung cấp hoặc từ các nguồn trên Internet. Chúc các bạn sử dụng tài liệu này thành công…. [...]... các bất đẳng thức trên, ta có: √ √ √ ab + 1 + bc + 1 + ca + 1 ≥ a + b + c Đẳng thức không xảy ra, do đó: √ √ √ ab + 1 + bc + 1 + ca + 1 > a + b + c Chứng minh hoàn tất Bài 34 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 1 a3 1 a + 3 + b3 ≥ + + b 3 a b a b Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 1 3 +1+1≥ 3 a a a3 3a +1+1≥ b3 b 3 b + 1 + 1 ≥ 3b 1 a + +b≥3 a b Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có: 1... + b + 2c) ≤ 2 8 (3a + 3b + 2c) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b = 2c http://boxmath.vn/ 19 Bài 19 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2 + y 2 + z 2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 + + P = xy + 2 yz + 2 zx + 2 Lời giải: Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có P = 1 1 9 1 + + ≥ xy + 2 yz + 2 zx + 2 xy + yz + zx + 6 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx... bc 1 + ca Lời giải: Ta có a4 + b 4 = 1 + ab sym sym 2(a4 + b4 ) ≥ 2 + 2ab cyc a2 √ + 2 + 2ab √ cyc b2 2 + 2ab Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có: cyc 2(a + b + c)2 2(a + b + c)2 a2 3 √ √ ≥ ≥ ≥ ab + bc + ca + 9 2 2 + 2ab 2 2 + 2ab Tương tự √ cyc 3 b2 ≥ 2 2 + 2ab Cộng 2 bất đẳng thức ta được a4 + b 4 + 1 + ab b4 + c 4 + 1 + bc c 4 + a4 ≥3 1 + ca Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy... ≥0 2a2 + b2 + c2 cyc Lời giải: Cách 1 Ta có cyc 2a2 − 2bc = 2a2 + b2 + c2 cyc (a − c)(a + b) + (a − b)(a + c) 2a2 + b2 + c2 (a − c)( = cyc = cyc 2a2 a+b b+c − 2 ) 2 + c2 +b 2a + b2 + c2 (a − c)2 (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) ≥0 (2a2 + b2 + c2 )(2c2 + b2 + a2 ) Bất đẳng thức cuối luôn đúng, do đó ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Cách 2 Bất đẳng thức cần chứng minh... 4 2 Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bài 36 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng: a b c √ 10 + + + 3 abc ≥ c a b 9(a2 + b2 + c2 ) Lời giải: Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Tương tự: √ 3 a a c 3 a2 3a + + ≥ √ = √ 3 3 c c b bc abc b b c 3b + + ≥ √ 3 a a b abc c c a 3c + + ≥ √ 3 b b c abc Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta có a b c a+b+c + + ≥ √ 3... Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 Bài 37 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3 Chứng minh rằng c b a √ + √ + √ ≥a+b+c c a b Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có a b b2 c a2 c2 (a + b + c)2 √ +√ +√ = √ + √ + √ ≥ √ √ √ c a b a b b c c a a b+b c+c a Ta sẽ chứng minh √ √ √ a b+b c+c a≤a+b+c Thật vậy, Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: √ a(b + 1) a b≤... khác theo bất đẳng thức AM-GM ta có: yz xy xz 2 + ) ≥ 3(x2 + y 2 + z 2 ) ≥ (x + y + z)2 ( + x z y yz xz xy ⇒ + + ≥a+b+c x y z (y + z) (x + y)(x + z) ≥ 4(x + y + z) ⇒ x Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z Bài 39 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a(b + c) b(a + c) c(a + b) 6 + + ≤ 2 2 2 5 (b + c) + a2 (c + a) + b2 (a + b) + c2 ⇔ Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: (b +... a b c Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 3a2 + 2b2 + c2 = 2 (a2 + b2 ) + (a2 + c2 ) ≥ 4ab + 2ac Do đó ta có: a 1 a 1 ≤ = 2 + 2b2 + c2 3a 4ab + 2ac 2 2b + c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Cauchy-Schwarz ta có: 1 1 2 1 ≤ + 2b + c 9 b c Từ đó ta suy ra: http://boxmath.vn/ 32 a 1 ≤ 3a2 + 2b2 + c2 18 2 1 + b c b 1 ≤ 3b2 + 2c2 + a2 18 c 1 ≤ 2 + 2a2 + b2 3c 18 2 1 + c a 2 1 + a b Tương tự ta có: Cộng... 2b2 + 2c2 + 10ab + 10bc + 10ca 2 4(a + b + c) Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Cách 2 Ta có a b c P =√ +√ +√ = (a+b+c) a+c b+c a+b http://boxmath.vn/ √ √ √ √ 1 1 1 +√ +√ − b+c+ a+c+ a+b a+c b+c a+b 12 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có (a + b + c) 1 1 1 √ +√ +√ a+c b+c a+b ≥√ Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: √ √ √ a+b+ b+c+ c+a≤ 9.(a + b + c) √ √ a+b+ b+c+ c+a 3.2.(a... ≥ ab bc ca abc 12 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: http://boxmath.vn/ 22 a b 1 2 + + ≥ ab 18 24 2 2 b c 3 + + ≥ bc 16 8 4 2 a c + + ≥1 ca 9 6 8 a b c 4 + + + ≥ abc 9 12 6 3 13 13a 13b + ≥ 18 24 3 13c 13b 13 + ≥ 24 48 6 Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được 1 8 1 1 1 3 4 13 13 121 a+b+c+2 + + + ≥ + +1+ + + = ab bc ca abc 2 4 3 3 6 12 Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và . SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT I. Bất đẳng thức AM-GM. 1. Bất đẳng thức AM-GM cho 2 số. Cho a, b là các số thực không âm. Khi đó bất đẳng thức sau đúng: a + b ≥ 2 √ ab Đẳng. z 2 x 2 ≥ xyz(x + y + z) Lời giải: Bất đẳng thức đúng vì khi ta đặt a = xy, b = yz, c = zx thì bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ. zx) 2 ≥ 3xyz(x + y + z) Lời giải: Bất đẳng thức đúng vì khi ta đặt a = xy, b = yz, c = zx thì bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
- Xem thêm -

Xem thêm: Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết, Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết, Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết

Từ khóa liên quan