PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG VÀ VẬN DỤNG BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ TRONG GIẢI TOÁN I. ĐẶT VẤN ĐỀ Để nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì bất cứ môn học nào cũng đòi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, có tính kiên trì, nhẫn nại không nản lòng khi gặp khó khăn trong học tập cũng như trong cuộc sống sau này. Có như vậy thì các em mới làm chủ được tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có kỹ năng thực hành giỏi và có tác phong công nghiệp, vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo, là người công dân tốt sống có kỷ luật, là người lao động có kỹ thuật, biết nhìn nhận được đâu là đúng, đâu là sai có chân lý rõ ràng. Trong trường phổ thông môn toán chiếm một vị trí khá quan trọng vì nó giúp các em tính toán nhanh, tư duy giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lôgic, không những thế nó còn hỗ trợ cho các em học tốt các môn học khác như: vật lý, hóa học, sinh vật, kỹ thuật, địa lý … “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức và phương pháp toán học cũng cần cho các bạn …” (Phạm Văn Đồng). Môn toán là môn học giúp cho học sinh phát triển tư duy do tính trừu tượng, đòi hỏi học sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, là môn học “thể thao của trí tuệ”. Để nắm được kiến thức và vận dụng được các kiến thức đã học đòi hỏi các em phải biết phân tích, tìm tòi, phán đoán … từ đó nó đã rèn luyện cho các em trí thông minh sáng tạo. Đối với chương trình Toán 8 ngoài việc lĩnh hội các kiến thức mới học sinh còn phải có kỹ năng vận dụng các lớp dưới một cách nhuần nhuyễn linh hoạt và sáng tạo thì mới có thể làm tốt các bài tập theo yêu cầu. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 8. Nó theo suốt quãng đường học tập của các em. Nhờ những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em thực hiện giải toán được nhanh hơn và chính xác. Và cũng nhờ nó mà các em có thể phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lý. Để học sinh nắm được bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đòi hỏi học sinh phải thấy được cơ sở xây dựng nên bảy hằng đẳng thức. Thấy được ứng dụng thực tế của bảy hằng đẳng thức vào giải toán như thế nào? Có như vậy các em mới có động lực trong học tập. 2 Để vận dụng được một cách nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lôgíc từ đó mà nó có tác dụng bồi dưỡng các em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức. 3 II. THỰC TRẠNG Qua các tiết luyện tập cũng như trong quá trình học và làm bài của các em cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức đáng nhớ của các em còn mơ hồ, lẫn lộn giữa hằng đẳng thức này với hằng đẳng thức kia Trong quá trình làm bài tập học sinh chưa biết dự đoán, nhận dạng mà chủ yếu là giáo viên phải hướng dẫn các em bằng những câu hỏi gợi mở dẫn dắt gần như làm sẵn. Qua bài kiểm tra cho thấy học sinh vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán còn chậm, chưa linh hoạt hoặc có sử dụng thì còn nhầm lẫn giữa các hằng đẳng thức với nhau. Trong bài kiểm tra 15 phút vừa qua cho thấy với một bài tập rút gọn (x–2)(x+2)+(x 2 –5x+4)–2x 2 . Khi làm bài nhiều em không biết vận dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để viết (x–2)(x+2)=x 2 –2 2 mà các em lại thực hiện theo quy tắc nhân đa thức với đa thức vừa dài dòng và hay sai sót còn đối với đa thức x 2 –5x+4 thì các em lại phân tích để đưa về dạng hiệu hai bình phương. Hay bài tính (x+2)(x 2 +1) thay vì các em phải thực hiện nhân đa thức với đa thức thì các em lại ngộ nhận x 2 +1 là hằng đẳng thức. Việc không tìm ra kết quả dẫn đến các em hoang mang, chán nản. Thực tế như trên cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức và vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đối với các em còn nhiều lúng túng nên kết quả bài làm còn thấp. Với thực trạng như trên để giúp các em nắm vững và vận dụng tốt các hằng đẳng thức vào giải bài tập tôi xin nêu ra hệ thống một số các giải pháp sau đây. III. NỘI DUNG CÁC GIẢI PHÁP 1. Biện pháp về cơ sở lí luận: a) Việc đầu tiên để các em nắm vững được bảy hằng đẳng thức là giáo viên phải làm cho học sinh thấy được cơ sở để dẫn đến các hằng đẳng thức. Ví dụ: (A + B) 2 = (A +B).(A +B) = A(A +B) +B(A +B) =A 2 +AB +AB+B 2 =A 2 +2AB +B 2 (A + B) 3 = (A +B).(A +B) 2 = A(A 2 +2AB +B 2 ) +B(A 2 +2AB +B 2 ) = A 3 +2A 2 B + AB 2 + A 2 B +2AB 2 +B 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3 Như vậy các em sẽ thấy rõ được các hằng đẳng thức thực chất là bắt nguồn từ các phép tính về đa thức, và vì tính phổ biến của nó trong các bài 4 toán nên được viết nên như 1 công thức (Lược bỏ 1 sổ phép biến đổi trung gian). b) Đồng thời, từ cơ sở này mà các em nhận thấy được những điểm đặc trưng của các hằng đẳng thức theo từng khía cạnh khác nhau. - Nhìn tương quan về dấu của các hạng tử: (A + B) 2 = A 2 +2AB +B 2 (1) (A – B) 2 = A 2 – 2AB +B 2 (2) (A + B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3 (4) (A – B) 3 = A 3 –3A 2 B +3AB 2 –B 3 (5) A 2 – B 2 = (A – B)(A + B) (3) A 3 + B 3 = (A +B)(A 2 –AB +B 2 ) (6) A 3 – B 3 = (A –B)(A 2 +AB +B 2 ) (7) Qua cách chứng mình được gợi ý như sgk mỗi cặp hằng đẳng thức trên có sự khác biệt về dấu của hạng tử thứ 2: +B và –B. Chính lí do này mà vế phải của mỗi hằng đẳng thức cũng khác nhau: +2AB và –2AB Vì thế giáo viên có thể chú ý: + Vế trái trong Bình phương (lập phương) của một hiệu hạng tử có hệ số B mang lũy thừa lẽ thì mang dấu “–”. Dấu các hạng tử xen kẻ nhau. + Hằng đẳng thức (3) ; (6) ; (7) là: Hiệu hai bình phương = (Hiệu)x(Tổng) Hiệu hai lập phương = (Hiệu)x(Bình phương thiếu của Tổng) Tổng hai lập phương = (Tổng)x(Bình phương thiếu của Hiệu) – Nhìn về số lượng hạng tử: (A + B) 2 = A 2 +2AB +B 2 (1) (A – B) 2 = A 2 – 2AB +B 2 (2) (A + B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3 (4) (A – B) 3 = A 3 –3A 2 B +3AB 2 –B 3 (5) Bình phương của tổng (hiệu): vế phải có 3 hạng tử Lập phương của tổng (hiệu): vế phải có 4 hạng tử. 5 A 2 – B 2 = (A – B)(A + B) (3) A 3 + B 3 = (A +B)(A 2 –AB +B 2 ) (6) A 3 – B 3 = (A –B)(A 2 +AB +B 2 ) (7) Hiệu hai bình phương: Thừa số thứ 2 có 2 hạng tử. Tổng (hiệu) hai lập phương: Thừa số thứ 2 có 3 hạng tử 2. Biện pháp về ứng dụng trong các bài tập: Trong chương trình lớp 8 ta chỉ nêu ra 8 hằng đẳng thức đáng nhớ: (A + B) 2 = A 2 +2AB+B 2 (1) (A – B) 2 = A 2 –2AB+B 2 (2) A 2 – B 2 = (A+B)(A–B) (3) (A + B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3 (4) (A – B) 3 = A 3 –3A 2 B +3AB 2 –B 3 (5) A 3 + B 3 = (A +B)(A 2 –AB +B 2 ) (6) A 3 – B 3 = (A –B)(A 2 +AB +B 2 ) (7) Một trong số những khó khăn của học sinh về các hằng đẳng thức này là dễ nhầm lẫn về dấu của những hằng đẳng thức tương đồng. Như vậy sau khi đạt được về cơ sở lí luận, giáo viên cần cho học sinh khắc sâu trí nhớ về hẳng đẳng thức bằng cách “đọc bằng lời” từng hằng đẳng thức và cho các em làm một số bài tập dạng trắc nghiệm. a) Sử dụng các dạng bài tập trắc nghiệm: Điền vào chổ trống, chọn đáp án đúng (sai) đề các em có thể củng cố và khắc sâu kiến thức. Ví dụ 1: Điền vào chỗ trống để được hằng đẳng thức đúng a/ (… + B) 2 = A 2 +…… + B 2 (A + B) 2 = …. – 2AB + B 2 A 2 … 2AB + B 2 = (… – …) 2 b/ (x+1) 2 = x 2 +2x + x 2 – 1 = ( )(x + 1) (5x – 2) 2 = 2 + + 4 6 – 10xy + 25y 2 = ( – ) 2 Ví dụ 2: Đánh chữ đúng (Đ) sai (S) vào sau mỗi câu sau a/ + Bình phương một tổng bằng tổng hai bìng phương. + Bình phương một hiệu bằng hiệu hai bình phương. + Tích (a+b)(a+b) là bình phương một tổng. + Tích (a+b)(a–b) là bình phương một hiệu. + Tích (a–b)(a–b) là bình phương một hiệu. b/ x 2 – 2x + 4 = (x + 2) 2 x 2 + 2xy + y 2 = (x + 2y) 2 x 3 + 8 = (x – 2)(x 2 + 2x + 4) (x – 4) 3 = x 3 – 64 – 12x(x – 4) (x + 2) 2 – x 2 = 2(2x + 2) b) Sử dụng các dạng bài giải: Trong quá trình giải bài tập, giáo viên cần hướng dẫn (nhắc nhỡ) cho học sinh nhận dạng loại hằng đẳng thức nào dựa vào số lượng hạng tử,dấu của hạng tử và luỹ thừa của biến. Khi đó ta sẽ xác định được một cách tương đối hằng đẳng thức tương ứng với biểu thức đang xét. Ví dụ 1: Tính a. (2 – 3x) 2 b. (3x 2 + 1) 2 c. x 3 + (2 – x) 3 d. (a + b – c) 2 Để giải dạng này học sinh chỉ cần quan sát dựa vào lũy thừa là xác định được hằng đẳng thức tương ứng. Riêng câu d mang tính mở hơn, đó là tùy vào cách nhóm hạng tử của học sinh để áp dụng hằng đẳng thức tương ứng: (a + b – c) 2 = [a + (b – c)] 2 = [(a + b) – c] 2 = Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức: a. (10x + 5) 2 = 100x(x + 1) +25 b. (a + b) 2 = (a – b) 2 + 4ab c. (a + b) 2 – (a – b) 2 = 4ab Cách phân tích giải cũng tương tự ví dụ 1. 7 Ví dụ 3: Biểu diễn đa thức dưới dạng bình phương, lập phương của một tổng (một hiệu) a. a 2 + 2x + 1 b. 25x 2 + 4b 2 – 20ab c. -x 3 + 3x 2 – 3x + 1 d. 8 – 2x + 6x – x 3 Phân tích: - Quan sát về lũy thừa của biến để xác định chuyển về dạng bình phương hay lập phương - Quan sát dấu của hạng tử để xác đinh chuyển về dạng tổng hoặc hiệu. - Từ đó học sinh sẽ nhẫm được hạng tử A và B là biểu thức nào. Ví dụ 4: Rút gọn và tính giá trị biểu thức a. 49x 2 – 70x + 25 tại x = 5 và x = 1/7 b. x 3 – 6x 2 + 12x – 8 tại x = 22 c. (x + 3)(x 2 – 3x + 9) – (54 + x 3 ) Cách phân tích để giải cũng tương tự ví dụ 3. Ví dụ 5: Tìm x thỏa mãn đẳng thức : (x + 2) 2 – 9 = 0 (3x – 2) 2 – 2(3x – 2)(2x + 1) + (2x + 1) 2 = 13x 2 + 9 (x + 2) 2 – x 2 + 4 = 0 (2x – 1) 2 + (x + 3) 2 – 5(x + 7)(x – 7) = 0 Phân tích: - Quan sát vào lũy thừa, dấu của hạng tử ta xác định có thể áp dụng được hằng đẳng thức nào. - Qua các bài đã giải ở trên, học sinh đã nhạy bén hơn trong khi giải: Có thể áp dụng hằng đẳng thức cho một nhóm hạng tử trong biểu thức. Để làm được những bài toán trên đối với học sinh khá giỏi là một vấn đề không khó nhưng đối với học sinh trung bình trở xuống thì các em không dễ gì nhìn ra được, do đó giáo viên phải lấy nhiều bài tập tương tự để các em luyện tập khả năng nhận biết dạng toán, từ đó các em tự lĩnh hội được khả năng phân tích lập luận để tìm ra hướng giải quyết. Tùy theo đối tượng học sinh mà giáo viên có thể thay đổi độ khó cho các hạng tử trong biểu thức ví dụ sao cho phù hợp với năng lực của học sinh. 8 IV. KẾT LUẬN Theo chủ quan của bản thân tôi trong quá trình dạy học mà tôi đúc rút ra được. Hiện tại, khi áp dụng các bước này trong quá trình dạy cho học sinh, tôi thấy học sinh đã nắm bắt được tốt hơn về việc áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong những phần kiến thức tiếp theo: Phân tích đa thức thành nhân tử, biểu thức đại số, phân thức đại số, giải phương trình đưa được về dạng phương trình tích. Do điều kiện về thời gian và đặc biệt là thực tế đối tượng dạy học mà tôi chưa có điều kiện thực nghiệm với những kiến thức cao hơn có vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và việc phát triển các hằng đẳng thức mở rộng. Vì thế tôi xin mạnh dạn viết lại để chúng ta cùng thảo luận và tìm ra những giải pháp có tính khả thi và đạt hiệu quả cao hơn giúp học sinh nắm vững và vận dụng tốt bảy hằng đẳng thức vào giải toán một cách linh hoạt, sáng tạo và không nhầm lẫn. Trong quá trình trình bày trên rất mong sự góp ý của các đồng nghiệp. 9 V. TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1. Sách giáo khoa toán 8 - tập 1. 2. Sách bài tập toán 8 - tập 1. 3. Để học tốt toán 8 - tập 1. 4. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8 – Bùi Văn Tuyên. 10 . LIỆU THAM KHẢO: 1. Sách giáo khoa toán 8 - tập 1. 2. Sách bài tập toán 8 - tập 1. 3. Để học tốt toán 8 - tập 1. 4. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8 – Bùi Văn Tuyên. 10 . nhớ trong những phần kiến thức tiếp theo: Phân tích đa thức thành nhân tử, biểu thức đại số, phân thức đại số, giải phương trình đưa được về dạng phương trình tích. Do điều kiện về thời gian và. bình phương: Thừa số thứ 2 có 2 hạng tử. Tổng (hiệu) hai lập phương: Thừa số thứ 2 có 3 hạng tử 2. Biện pháp về ứng dụng trong các bài tập: Trong chương trình lớp 8 ta chỉ nêu ra 8 hằng đẳng thức