Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 Buổi 1: Chuyên đề 1: Tập hợp, cách ghi số tự nhiên. I , Mục tiêu: - HS đợc hệ thống tổng quát các khái niệm về tập hợp và bổ sung thêm một số kháI niệm về tập hợp - Hiểu sâu về tập hợp số tự nhiên và cách ghi số tự nhiên - HS làm thành thạo các bài tập trên tập hợp đặc biệt là cách ghi số tự nhiên trong hệ thập phân - HS t duy thành thạo và làm các bài tâp thay số và điền số II, Nội dung Bài toán1. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của tập hợp đó. a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8: x = 2. b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5. c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x 2 = x + 2. d)Tập hợp D các số tự nhiên mà x + 0 = x Hỡng dẫn: a, A = { } 4 ; b, B = { } 1;2 c, C = ; d, D = N Bài toán 2. Cho tập hợp A = { a,b,c,d} a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử. b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử. c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử? có bốn phần tử? d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con? Hỡng dẫn: a, Các tập hợp con của A là: { } a ; { } { } { } { } { } { } { } { } { } ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;b c d a b a c a d b c b d c d ; { } { } { } { } { } ; ; ; ; ; ; ; ; ; , ; ; ; ; ;a b c a b d a c d b c d a b c d b, { } { } { } { } { } { } ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;a b a c a d b c b d c d c, có 4 tập hợp con của A có 3 phần tử, có 1 tập hợp con của A có 4 phần tử d, tập hợp A có 15 tập hợp con Bài toán 3. Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng hợp sau. a, A={1;3;5}, B = { 1;3;7} b, A= {x,y}, B = {x,y,z} c, A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn. hỡng dẫn: a, A B ; b, A B c, A B (vì A có phần tử 0) Bài toán 4. Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu A B ; A B . Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp B = {1;2;3}. Hỡng dẫn: { } { } { } { } { } { } 1 ; 2 ; 3 ; 1;2 ; 1;3 2;3 Bài toán 5. Cho tập hợp A = {1;2;3;4} và B = {3;4;5}. Hãy viết các tập hợp vừa là tập con của A, vừa là tập con của B. Hỡng dẫn: { } { } { } 3 ; 4 ; 3;4 Bài toán 6. Chứng minh rằng nếu ,A B B C thì A C Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy 3 Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 Hỡng dẫn: Lấy x A => x B (vì mọi phần tử của A dều thuộc B) => x C (vì mọi phần tử của B đều thuộc C => A C Bài toán 7. Có kết luận gì về hai tập hợp A,B nếu biết. a, x B thì x A b, x A thì x B , x B thì x A . Hỡng dẫn: a, B A b, A = B Bài toán 8. Cho H là tập hợp ba số lẽ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên. a, Viết các phần tử thuộc K mà không thuộc H. b,CMR H K c, Tập hợp M với ,H M M K . - Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử? nhiều nhất bao nhiêu phần tử? - Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mãn điều kiện trên? Hỡng dẫn a, { } 0;2;4 b, Vì H = { } 1;3;5 và K = { } 0;1;2;3;4;5 => H K c, M có ít nhất là 3 phần tử , Nhiều nhất là 6 phần tử có 3 tập hợp M thỏa mãn điều kiện trên (yêu cầu HS viết cụ thể) Bài toán 9. Cho { } { } 18;12;81 , 5;9a b . Hãy xác định tập hợp M = {a - b}. Hỡng dẫn: M = { } 13;9;7;3;76;72 Bài toán 10. Cho tập hợp A = {14;30}. Điền các ký hiệu , vào ô trống. a, 14 A ; b,{14} A; c, {14;30} A. Hỡng dẫn: a, b, c, Bài 11: Thay các chữ bởi các số thích hợp a, abc + acb = cba b, abcd . 9 = a0bcd c, (ab . c + d) . d = 1977 ======================================================== Buổi 2-3 Chuyên đề 2 : Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên I, Mục tiêu: - Hệ thống và khác sâu các kiến thức về các phép toán trên tập hợp số tự nhiên - HS tính toán thành thạo, rèn kỹ năng tính toán - hình thành và phát triển kỹ năng suy luận, lập luận II. Nội dung Bài toán 1. Viết tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số trong đó mỗi số: a, Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục. b, Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4. c, Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục. HD HS tự làm: a, A = { } 24;36;48;12 b , B = { } 40;51;62;73;84;95 Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy 4 Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 c , C = { } 12;13 ;19;23;24; 29;34 39;45 ;89 Tập hợp này có tất cả : 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (phần tử) Bài toán 2. Cho một số có 3 chữ số là abc (a,b,c khác nhau và khác 0). Nếu đỗi chỗ các chữ số cho nhau ta đợc một số mới. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số nh vậy? (kể cả số ban đầu). HD HS: Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm ( Hoặc a , hoặc b, hoặc c) . Sau khi chọn chữ số hàng trăm thì chỉ còn 2 cách chọn chữ số hàng chục. Sau khi chọn chữ số hàng trăm và hàng chục rồi chỉ còn 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vởy có tất cả 3.2.1 = 6 số abc , acb , bac , bca , cab , cba Bài toán 3. Cho 4 chữ số a,b,c và 0 (a,b,c khác nhau và khác 0).Với cùng cả 4 số này có thể lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số? Giải : Chữ số 0 không thể đứng đầu nên chỉ có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn, ba cách chọn chữ số hàng trăm, hai cách chọn chữ số hàng chụcvà 1 cách chọn chứ số hàng đơn vị. Vậy có tất cả 3.3.2.1 = 18 (Số) Bài toán 4. Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số? HD HS: - Trờng hợp không có chữ số 0 thì có : 5.4.3.2.1 = 120 ( số) - Trờng hợp có chữ số 0 thì có : 4.4.3.2.1 = 96 (số) Bài toán 5. Quyển sách giáo khoa Toán 6 có tất cả 132 trang.Hai trang đầu không đánh số. Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này? Giải : Từ trang 3 đén trang 9 có : 9-3+1 = 7 trang có 1 chữ số Từ trang 10 đến trang 99 có : 99-10+1 = 90 trang có 2 chữ số Từ trang 10 đến trang 132 có : 132-100+1 = 33 trang có 3 chữ số Số chữ số cần dùng là : 7.1 + 90.2 +33.3 = 286 ( Chữ số) Bài toán 6. Tìm hai số biết tổng là 176 ; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngợc lại. Giải : Gọi số thứ nhất là ab , thì số thứ hai là ba , Theo đề bài ta có : ab ba 176 Từ cột hàng chuch ta thấy a+b > 10, vậy từ cột hàng chục suy ra a + b = 16. Vì a# b nên a = 9 ; b = 7 hoặc a = 7 ; b = 9 Hai số cần tìm là 97 và 79 Bài toán 7 . Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0. a) Chứng tỏ rằng có thể lập đợc 4! số có 4 chữ số khác nhau. b) Có thể lập đợc bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau trong 4 chữ số đó. HD HS: a, Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn( Hoặc a , hoặc b, hoặc c, hoặc d). Sau khi chọn chữ số hàng nghìn còn 3 cách chọn chữ số hàng trăm . Sau khi chọn chữ số hàng trăm thì chỉ còn 2 cách chọn chữ số hàng chục. Sau khi chọn chữ số hàng trăm và hàng chục rồi chỉ còn 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất cả 4.3.2.1 = 4! (số ) Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy 5 Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 b , Có 4 cách chọn chữ số hàng chục; có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có tất cả : 4.3 = 12 (số) Bài toán 8. Tính các tổng sau. a) 1 + 2 + 3 + 4 + + n b) 2 + 4 + 6 + 8 + + 2.n c) 1+ 3 + 5 + 7 + + (2.n + 1) d) 1 + 4 + 7 + 10 + + 2005 e) 2 + 5 + 8 + + 2006 f) 1+ 5 + 9 + . . + 2001 HD HS: Tính tổng theo cách tính của Gau-Xơ .Dãy số cách đều a) 1 + 2 + 3 + 4 + + n S = (1 + n ).n : 2 b) 2 + 4 + 6 + 8 + + 2.n S = ( 2 + 2n).n : 2 = (1+n).n c) 1+ 3 + 5 + 7 + + (2.n + 1) S = (1 + 2n+1 ).(n+1) : 2 = (n+1).(n+1) d) 1 + 4 + 7 + 10 + + 2005 S = [(1+2005).669] : 2 = 1003.669 = 671 007 Bài toán 9 Tính nhanh tổng sau. A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + + 8192 Bài toán 10 a) Tính tổng các số lẽ có hai chữ số b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số. Bài toán 11. a) Tổng 1+ 2 + 3 + 4 + + n có bao nhiêu số hạng để kết quả bằng 190 b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 + 2 + 3 + 4 + + n = 2004 HD HS: a .Ta có S = (u 1 + u n ).n : 2 Hay 190 = (u 1 + u n ).n :2 từ đó tìm đợc n =u n = 19 b. Không có số n nào để 1 + 2 + 3 + 4 + + n = 2004 Bài toán 12. Tính giá trị của biểu thức. a) A = (100 - 1).(100 - 2).(100 - 3) (100 - n) với n N * và tích trên có đúng 100 thừa số. b) B = 13a + 19b + 4a - 2b vớ a + b = 100. HD HS: a, A = 0 vì tích trên có 100 thừa số , thừa số thứ 100 là 100 100 = 0 b, B = 13a + 19b + 4a - 2b = 17a + 17b = 17(a+b) = 17.100 = 1700 Bài toán 13.Tìm các chữ số a, b, c, d biết . .a bcd abc abcabc= Bài toán 14. Chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết đợc thành một tích của hai thừa số bằng nhau: 11111111 - 2222. HD HS: Ta có : 11111111 - 2222. = 1111.( 10001 2) = 1111.9999 = 1111.3.3333 = 3333.3333 (đccm) Bài toán 15. Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số d, a b. Chứng tỏ rằng a - b : m HD HS: Gọi số d là r, Ta có: a = mk 1 + r b = mk 2 + r Vậy a b = (mk 1 + r) (mk 2 + r) = mk 1 + r - mk 2 r = mk 1 mk 2 = m ( k 1 k 2 ) M m Bài toán 16. Chia 129 cho một số ta đợc số d là 10. Chia 61 cho số đó ta đợc số d là 10. Tim số chia. Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy 6 Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 HD HS: Gọi số chia là b theo đầu bài ta có : 129 = b.k 1 +10 => bk 1 =119 = 119.1 = 17.7 Và 61 = bk 2 + 10 => bk 2 = 51 = 51.1 = 17.3 Vì b >10 và k 1 k 2 nên ta chọn đợc b = 17 Bài toán 17. Cho S = 7 + 10 + 13 + + 97 + 100 a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng? b) Tim số hạng thứ 22 c) Tính S. HD HS: a) Số hạng của tổng là : (100 7) : 3 +1 = 32 (Số hạng) b) Gọi số hạng thứ 22 là x, ta có : (x-7) : 3 +1 = 22 x 7 =21.3 =63 x = 70 c) S = ( 100+ 7 ) . 32 : 2 = 1712 ( Cách tính tổng của Gau- Xơ) Chú ý cho HS cách tính tổng của dãy số cách đều : Số số hạng của dãy kí hiệu là n Các số hạng của dãy lần lợt ký hiệu : u 1 , u 2 , u 3 , .u n Khoảng cách giữa 2 số hạng là d Tổng của n số hạng đầu tiên là S n Ta có : n =( u n u 1 ) :d +1 u n = u 1 + (n-1).d S n = ( u 1 + u n ).n : 2 Bai toán 18. Chứng minh rằng mỗi số sau có thể viết đợc thành một tích của hai số tự nhiên liên tiếp: a) 111222 ; b) 444222 HD HS: a) 111222 = 111000 + 222 =111.(1000+2) = 111.1002 = 111.3.334 = 333.334 b) 444222 = 444000 + 222 = 222.(2000 + 1) = 222.2001 = 222.3.667 = 666.667 Bài toán 19 . Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Thơng bằng 6, số d bằng 3, tổng của số bị chia,số chia và d bằng 195. HD HS: Gọi số bị chia là a số chia là b (a,b N ; a,b 0 , b >3) . Ta có a = b.6 + 3 (1) a + b + 3 = 195 (2) Từ (1) và (2) => b = 27 và a = 165 Bài toán 20 . Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Thơng bằng 6, số d bằng 49, tổng của số bị chia,số chia và d bằng 595. Tơng tự bài 19 HS tự giải Bài toán 21. Tính bằng cách hợp lý. a) 44.66 34.41 3 7 11 79 A + = + + + + b) 1 2 3 200 6 8 10 34 B + + + + = + + + + Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy 7 Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 c) 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 C + + + = + + + Bài toán 22. Tìm kết quả của phép nhân. a) { { 2005 . 2005 . 33 3.99 9 c s c s A = b) { { 2005 . 2005 . 33 3.33 3 c s c s B = Bài toán 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2009 1005 : (999 - x) với x N Giải : Biểu thức A có giá trị NN 1005 : (999 - x)có giá trị lớn nhất (999 - x)có giá trị lớn nhất (999 - x)có giá trị lớn nhất 999 x =1 ( Vì số chia khác 0) x = 998 . Khi đó A = 2009 1005 : 1 = 1004 Bài toán 24. Trong mọt phép chia có số bị chia là 155; số d là 12. Tìm số chia và thơng Giải : Gọi số bị chia, số chia, thơng và số d lần lợt là : a, b, q, r Ta có : a = b.q + r ( b 0; r < b ) b.q= a r = 155 12 = 143 = 143.1 = 13.11 Vì b> 12 nên ta chọn b = 143 ; q = 1 hoặc b = 13 ; q = 11 Bài toán 25.: Để đánh số trang một quyển sách phảI dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Giải : 99 trang đầu cần dùng 9.1 + 90.2 = 189 ( chữ số) 999 trang đầu cần dùng : 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số Vì 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phảI có 3 chữ số số chữ số dùng để đánh số trang có 3 chữ số là : 600 189 = 411 (chữ số) Số trang có 3 chữ số là : 411 : 3 = 137 (trang) Số trang của quyển sách là : 99 + 137 = 236 ( Trang) Bài toán 26. Ngời ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5, Hỏi chữ số thứ 659 là chữ số nào ? Giải : 99 số đầu cần dùng 9.1 + 90.2 = 189 ( chữ số) 999 số đầu cần dùng : 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số Vì 189 < 659 < 2889 nên ta viết đến số có 3 chữ số số chữ số dùng để viết các số có 3 chữ số là : 659 189 = 470 Số có 3 chữ số là : 470 : 3 = 156 (d 2) Do đó ta đã viết đợc 156 số có 3 chữ số , ngoài ra còn viết đợc đếnỡch số thứ hai của số tiếp theo. Ta có 99 + 156 = 255 , Số liền sau 255 là số 256, chữ số thứ hai của số này là số5. Vậy chữ số thứ 659 là chữ số 5 của số 256 =========================================== == = Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy 8 Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 buổi 4-5-6 Chuyên đề 3 : luỹ thừa với số mũ trên tự nhiên I, Mục tiêu: - Hệ thống và khác sâu các kiến thức,các phép toán về luỹ thừa, cách tìm chữ số tận cùng của một tích, một luỹ thừa, bớc đầu làm quen với số chính phơng - Học sinh biết đợc các dạng toán về so sánh luỹ thừa - Tính toán thành thạo, rèn kỹ năng tính toán - Rèn kỹ năng suy luận, lập luận II. Nội dung A. Kiến thức cơ bản: + n a = a.a a ( n thừa số a, n o ) + Quy ớc: a 1 = a, a 0 = 1. + a m . a n = a m+n (m, n N * ); a m : a n = a m-n (m, n N * , m n, a 0); - Nâng cao: + Luỹ thừa của một tích: (a.b) n = a n .b n + Luỹ thừa của luỹ thừa: (a m ) n = a m.n + Luỹ thừa tầng: n m a = ( ) n m a ( trong một luỹ thừa tầng ta thực hiện phép luỹ thừa từ trên xuống dới ). + Số chính phơng là bình phơng của một số tự nhiên. - So sánh hai luỹ thừa: + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số ( lớn hơn 1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lơn hơn sẽ lớn hơn. Nếu m > n Thì a m > a n (a > 1) + Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ lớn hơn 0 thì luỹ thừa nào có cơ số lơn hơn sẽ lớn hơn. Nếu a > b Thì a m > b m (m > o) B. Bài tâp. Bài toán 1. Viết các tích sau hoặc thơng sau dới dạng luỹ thừa của một số. a) 2 5 . 8 4 ; b) 25 6 .125 3 ; c) 625 5 :25 7 Giải : a) 2 5 . 8 4 = 2 5 .( 3 2 ) 4 = 2 5 .2 12 = 2 17 b) 25 6 .125 3 = (5 2 ) 6 .(5 3 ) 3 = 5 12 .5 9 = 5 21 c) 625 5 :25 7 = (5 4 ) 5 :(5 2 ) 7 = 5 20 : 5 14 = 5 6 Bài toán 2: Viết mỗi tích , thơng sau dới dạng một luỹ thừa: a) 4 10 .2 30 ; b) 25 4 3 9 .27 .81 ; c) 50 5 25 .125 ; d) 3 8 4 64 .4 .16 ; e) 8 6 3 :3 ; 10 3 2 :8 ; 7 7 12 : 6 ; 5 3 21 :81 f) 8 2 5 : 25 ; 9 2 4 :64 ; 25 4 2 :32 ; 3 4 125 : 25 Hớng dẫn HS giảI nh bài 1 Bài toán 3. Tính giá trị các biểu thức. a) 10 10 9 4 3 .11 3 .5 3 .2 A + = ; 10 10 8 2 .13 2 .65 2 .104 B + = c) 3 2 4 72 .54 108 C = ; d) 22 7 15 14 2 11.3 .3 9 (2.3 ) D = Giải : a) 10 10 9 4 3 .11 3 .5 3 .2 A + = 10 9 3 (11 5) 3 .16 + = = 3 Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy 9 Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 b) 10 10 8 2 .13 2 .65 2 .104 B + = 10 10 2 .(13 65) 2 .26 + = = 78 26 = 3 c) 3 2 4 72 .54 108 C = 3 2 3 3 2 2 3 4 (2 .3 ) .(2.3 ) (2 .3 ) = = 9 6 2. 6 8 12 2 .3 .2 3 2 .3 = = 8 d) 22 7 15 14 2 11.3 .3 9 (2.3 ) D = 29 30 2 28 11.3 3 2 .3 = 29 2 28 3 .(11 3) 2 .3 = = 3.8 4 = 6 Bài toán 4: Viết các số sau dới dạng tổng các luỹ thừa của 10. 213; 421; 2009; abc ; abcde Giải : Hớng dẫn 213 = 200 + 10 + 3 = 2.10 2 + 10 + 3.10 0 = 10 2 +10 2 +10 + 10 0 + 10 0 + 10 0 421; 2009; tơng tự abc = a.10 2 +b. 10 +c.10 0 Bài toán 5 So sánh các số sau, số nào lớn hơn? a) 27 11 và 81 8 b) 625 5 và 125 7 c) 5 23 và 6. 5 22 d) 7. 2 13 và 2 16 Giải : a) Ta có : 27 11 = 3 33 ; 81 8 = 3 32 Vì 3 33 > 3 32 Nên 27 11 > 81 8 b) 625 5 = 5 20 125 7 = 5 21 Vì 5 20 < 5 21 Nên 625 5 < 125 7 c) 5 23 và 6. 5 22 5 23 = 5.5 22 < 6.5 22 Nên 5 23 < 6. 5 22 d) 7. 2 13 và 2 16 2 16 = 8.2 13 > 7. 2 13 Nên 2 16 > 7. 2 13 Bài toán 6: Tính giá trị các biểu thức sau: a) a 3 .a 9 b) (a 5 ) 7 c) (a 6 ) 4 .a 12 d) 5 6 :5 3 + 3 3 .3 2 e) 4.5 2 - 2.3 2 Học sinh tự làm Bài toán 7. Tìm n N * biết. a) 2 5 3 .3 3 ; n = b) 2 (2 : 4).2 4; n = c) 4 7 1 .3 .3 3 ; 9 n = d) 1 .27 3 9 n n = ; g) 32 2 128; n < < h) 2.16 2 4. n > Giải : a) 2 5 3 .3 3 n = ; 3 n = 3 3 n = 3 b) 2 (2 : 4).2 4; n = n = 2 c) 4 7 1 .3 .3 3 ; 9 n = 3 n = 3 6 n = 6 d) 1 .27 3 9 n n = ; (9.3) n = 9.3 n 9 n = 9 n=1 g) 32 2 128; n < < 2 5 <2 n < 2 7 n = 6 h) 2.16 2 4. n > 5 2 2 2 2 n > n = {3; 4; 5 } Bài toán 8 Tìm x N biết. a) ( x - 1 ) 3 = 125 ; b) 2 x+2 - 2 x = 96; c) (2x +1) 3 = 343 ; d) 720 : [ 41 - (2x - 5)] = 2 3 .5. e) 16 x < 128 4 Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy 10 Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 Học sinh tự làm Bài toán 9 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý. A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 100 B = 1 + 3 + 3 2 +3 3 + + 3 2009 C = 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 1998 D = 4 + 4 2 + 4 3 + + 4 n Giải : A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 100 (1) Nhân cả 2 vế của A với 2 ta đợc 2A = 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 100 +2 101 (2) Lấy (2) (1) ta đợc A = 2 101 - 2 b) B = 1 + 3 + 3 2 +3 3 + + 3 2009 (1) Nhân cả 2 vế của B với 3 ta đợc : 3B = 3 + 3 2 +3 3 + + 3 2009 + 3 2010 (2) Lấy (2) (1) ta đợc B = 2010 3 1 2 Tơng tự HS làm 2 phần còn lại C = 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 1998 D = 4 + 4 2 + 4 3 + + 4 n Bài toán 10: Cho A = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 200 . Hãy viết A + 1 dới dạng một luỹ thừa. Giải : A =1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 200 (1) Nhân cả 2 vế của A với 2 ta đợc 2A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 100 +2 201 (2) Lấy (2) (1) ta đợc A = 2 201 - 1 Vậy A + 1 = 2 201 Bài toán 11. Cho B = 3 +3 2 +3 3 + + 3 2005 . CMR 2B + 3 là luỹ thừa của 3. Giải : B = 3 +3 2 +3 3 + + 3 2005 (1) Nhân cả 2 vế của B với 3 ta đợc : 3B = 3 2 +3 3 + + 3 2009 + 3 2006 (2) Lấy (2) (1) ta đợc 2B = 3 2006 - 3 => 2B +3 = 3 2006 Bài toán 9. Chứng minh rằng: a) 5 5 -5 4 +5 3 M 7 b) 6 5 4 7 7 7 11+ M c) 9 8 7 10 10 10 222+ + M d) 6 7 10 5 59 M e) 2 2 * 3 2 3 2 10 n n n n n N + + + M f) 7 9 13 81 27 9 45 M Giải : a) 5 5 -5 4 +5 3 =5 3 (25 5 + 1) = 5 3 .21 M 7 b) 6 5 4 7 7 7+ = 7 4 ( 49 +7 1) = 7 4 .55 = 7 4 .11.5 M 11 c) 9 8 7 10 10 10+ + = 10 7 .(100 +10 +1) = 10 7 .111 M 111 Và 10 7 .111 M 2 => 10 7 .111 M 222 Hay 9 8 7 10 10 10+ + M 222 d) 6 7 10 5 =( 2.5) 6 5 7 = 5 6 .( 64 5) = 5 65 .59 M 59 f) 7 9 13 81 27 9 =( 3 4 ) 7 (3 3 ) 9 (3 2 ) 13 = 3 28 3 27 3 26 = 3 26 .(9 3 1) = 3 24 .9.5 = 3 24 .45 M 45 Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy 11 Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 Bài toán 12: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2+2 2 ; 2+2 2 +2 3 ; 2+2 2 +2 3 +2 4 b) Chứng minh rằng: A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 2004 chia hết cho 3;7 và 15 Giải : a) 2+2 2 = 6 = 3.2 2+2 2 +2 3 = 14 =2.7 2+2 2 +2 3 +2 4 = 30 = 2.15 b, +) A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 2004 = (2 +2 2 ) + 2 2 (2 +2 2 ) +2 4 (2 +2 2 ) + 2 6 (2 +2 2 ) + +2 2002 (2 +2 2 ) =6.(1 + 2 2 + 2 4 +2 6 + .+2 2004 ) = 2.3.(1 + 2 2 + 2 4 +2 6 + .+2 2004 ) M 3 +) A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 2004 = (2 + 2 2 + 2 3 ) + (2 4 + 2 5 +2 6 ) + .+ (2 2002 + 2 2003 + 2 2004 ) = (2 + 2 2 + 2 3 ).(1 + 2 3 + 2 6 +2 9 +.+ 2 2001 ) = 14. (1 + 2 3 + 2 6 +2 9 +.+ 2 2001 ) = 2.7.(1 + 2 3 + 2 6 +2 9 +.+ 2 2001 ) M 7 +) A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 2004 = (2 + 2 2 + 2 3 +2 4 ) + ( 2 5 +2 6 +2 7 + 2 8 ) + .+ (2 2001 + 2 2002 + 2 2003 + 2 2004 ) = (2 + 2 2 + 2 3 +2 4 ).(1 + 2 4 + 2 8 +2 12 +.+ 2 2000 ) = 30. (1 + 2 4 + 2 8 +2 12 +.+ 2 2000 ) = 2.15.(1 + 2 4 + 2 8 +2 12 +.+ 2 2000 ) M 15 Bài toán 13: a) Viết tổng sau thành một tích 3 4 +3 5 +3 6 + 3 7 b) Chứng minh rằng: + A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 100 M 31 + B = 1 + 3 +3 2 +3 3 + + 3 99 M 40 + C = 16 5 + 2 15 M 33 + D = 53! - 51! M 29 Giải : a) 3 4 +3 5 +3 6 + 3 7 = 3 4 .( 1 +3 +3 2 +3 3 ) = 3 4 .40 b, + A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 100 = (2 + 2 2 + 2 3 +2 4 +2 5 ) + (2 6 +2 7 + 2 8 + 2 9 +2 10 ) + .+(2 96 +2 97 +2 98 +2 99 +2 100 ) = (2 + 2 2 + 2 3 +2 4 +2 5 ).(1+ 2 5 +2 10 +. +2 95 ) = 62. (1+ 2 5 +2 10 +. +2 95 ) =2.31.(1+ 2 5 +2 10 +. +2 95 ) M 31 + B = 1 + 3 +3 2 +3 3 + + 3 99 = (1 + 3 +3 2 +3 3 ) +(3 4 + 3 5 + 3 6 +3 7 ) + + (3 96 +3 97 +3 98 + 3 99 ) = 40 + 40.3 4 + 40.3 8 +.+40.3 96 = 40.( 1 + 3 4 + 3 8 + 3 12 +. +3 96 ) M 40 + C = 16 5 + 2 15 =( 2 4 ) 5 + 2 15 = 2 15 .( 2 5 +1) = 2 15 .33 M 33 + D = 53! - 51! M 29 = 51!(52.53 1) = 51!(2756 1) = 51! . 2755 = 51!.29.95 M 29 Bài toán 14: Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý: a) (2 17 +17 2 ).(9 15 - 15 9 )(4 2 - 2 4 ) b) (7 1997 - 7 1995 ):(7 1994 .7) c) 2 3 4 5 3 3 3 3 8 2 (1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 81 )+ + + + + + d) 8 3 5 3 (2 8 ) :(2 .2 )+ Các bài toán về chữ số tận cùng: * Tóm tắt lý thuyết: - Tìm chữ số tận cùng của một tích: +Tích của các số lẽ là một số lẽ + Tích của một số chẵn với một số bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn. - Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa. Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy 12 [...]... 5 2752 221 100 21 16 5 1 100 21 16 5 1 0 USCLN (2752, 221) = 1 nờn 2752 v 221 nguyờn t cựng nhau 3 Chia 760 0 v 62 9 cho mt s nguyờn N thỡ cỏc s d ln lt l 4 v 5 Tớnh N Gii: N > 5 (vỡ s d l 4 v 5) 760 0 4 = 75 96 MN 62 9 5 = 62 4 MN Vy N l USC ca 75 96 v 62 4 nờn nú cng l US ca USCLN ca 75 96 v 62 4 Ta tỡm USCLN ca 75 96 v 62 4 l 12 Cỏc ca 75 96 v 62 4 l : 1, 2, 3, 4, 6, 12 M N > 5 nờn N = 6 hay N = 12 4 Tỡm hai... 66 66; 14101. 161 01 Giải : 2100 =(210)10 = 102410 = (10242)5 =( 76) 5 = 76 71991 = 71988.73 = (74)497.343 = (01)497.343 = (01).343 = 43 5151 =(512)25.51 = (01)25.51= (01).51 = 51 99 2k + 1 =(992)k.99 = (01)k.99 = (01).99 = 99 9999 = 99 66 66 = ( 65 )133 .6 = ( 76) 133 .6 =( 76) .6 = 56 14101. 161 01 = (14. 16) 101 = 224101 (2242)50.224 = ( 76) 50.224 = ( 76) .224 = 24 Bài toán 8 Tìm chữ số tận cùng của hiệu 71998 - 41998... 1 .6 = 6 A = 20 .6 = 120 hoặc B = bd = 20 .6 = 120 B = 1 .6 = 6 A = ad = 4 .6 = 24 A = 5 .6 = 30 hoặc B = bd = 5 .6 = 30 B = 4 .6 = 24 33 -Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy ỡ ù ùa = 5 ớ ùb=4 ù ợ Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 8 Tỡm mt s nh hn 400 m khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6 u d 1 Khi chia cho 7 thỡ khụng cũn d Gii: N 1 = BSC ca 2, 3, 4, 5, 6 Nh vy N = BS ca BSCNN (2,3,4,5 ,6) ... ).(1+ 24 +28 + +2 96) = 30.(1+ 24 +28 + +2 96) = 15.2.(1+ 24 +28 + +2 96) M 15 Vậy A M15 Bài toán 7 Chú ý: + x01n = y 01(n N * ) + x 25n = y 25(n N * ) + Các số 320; 815 ; 74 ; 512; 992 có tận cùng bằng 01 + Các số 220; 65 ; 184;242; 68 4;742 có tận cùng bằng 76 + 26n (n >1) có tận cùng bằng 76 áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau 2100; 71991; 5151; 999999 ; 66 66; 14101. 161 01 Giải : 2100 =(210)10... (3) (q1, q2 N) T (2) v (3) ta suy ra A 210 chia ht cho 393 v 65 5 tc l A 210 chia ht cho [393 ,65 5] = 1 965 Do ú A 210 = 1 965 q (q N), nờn A = 1 965 q + 210 T (1) suy ra q ch cú th bng 5, 6, 7 Vi q = 5 thỡ A = 1 965 .5 + 210 = 10035 Vi q = 6 thỡ A = 1 965 .6 + 210 = 12000 Vi q = 7 thỡ A = 1 965 .7 + 210 = 13 965 Vy cỏc s phi tỡm l: 10035, 12000, 13 965 14 Cho cỏc s t nhiờn khỏc 0 l a, b, c sao cho: p = bc + a,... (24)500.22 = ( 16) 500.4 = ( .6) .4 = .4 + 499 = (42)49.4 = 164 9.4 = (6) .4 =4 + 999 = (92)49.9 = 8149.9 = ( .1).9 = 9 + 399 = (34)24.33 = (81)24.27 = (1).27 = .7 + 799 = (74)24.73 = (.1)24.343 = (.1).343 = 3 + 899 = (84)24.83 = 40 962 4.512 = ( .6) .512 = .2 + 789573 Ta tìm chữ số tận cùng của số 9573 = (94)143.9 =65 61143.9 = (.1).9 =9 + 8732 = (874)8 = (.1)8 = .1 + 5832 = (584)8 = ( .6) 8 = .6 Bài toán 2: Chứng... a = a .12 v b = b.12 cú tớch bng 4320 v cú BCNN l 360 Vy ch cn tỡm hai s a b nguyờn t cựng nhau ( a ÂÊ b  và có tích bằng 30 Ta có bảng sau: ) a 1 2 b 30 15 a 12 24 34 -Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy b 360 180 Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 3 5 10 6 36 60 120 72 Vy cỏc cp s phi tỡm l : 12 v 360 , 24 v 180, 36 v 120, 60 v 72 11 Mt s chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia... 162 001 - 82000 ; 192005 + 112004 ; 175 + 244 - 1321 Giải : + Ta có : 481n có chữ số tận cùng là 1 19991999 = (19992)999.9 = (.1)999.9 = (1).9 = 9 có chữ số tận cùng là 9 Vậy 481n + 19991999 có : chữ số tận cùng là 0 nên 481n + 19991999 chia hết cho 10 + Ta có : 162 001 = 6 có chữ số tận cùng là 6 82000 = (84)500 = 40 965 00 = 6 có chữ số tận cùng là 6 = > 162 001 - 82000 Có chữ số tận cùng là 0 Nên 162 001... = ( 24 ; 30 ) và D = [ 24 ; 30 ] Hãy tìm tích d.D Bài toán 2 : Tìm ( 16 ; 28 ) và [ 16 ; 28 ] rồi tính ( 16 ; 28 ) [ 16 ; 28 ] Học sinh tự làm bài toán 2 vào vở Câu hỏi : Hãy so sánh 24.30 với d.D và 16. 28 với ( 16 ; 28 ) [ 16 ; 28 ] 28 -Nguyễn Thị Thu Trờng THCS Sơn Vy Giáo án ôn thi học sinh giỏi toán 6 Kết luận : a.b = ( a ; b ).[ a ; b ] Hãy vận dụng kết luận trên để giải... 24, b = 11.24 = 264 Với a, = 5, b, = 7 ta có a = 5.24 = 120, b = 7.24 = 168 Hai s phi tỡm l : 24 v 264 , 120 v 168 10 Tỡm hai s bit tớch ca chỳng l 4320 v BSCNN ca chỳng l 360 Gii: Gi hai s phi tỡm l a v b (gi s a Ê b ), gi d = (a, b) nờn a = a.d, b = b.d trong ú (a,b) = 1 Ta ó bit: a.b T ú ta cú a.b = a.b.d2 v [a,b] = abd (a,b) 4320 360 Theo u bi, ta suy ra: d = = 12 và a ,b, = = 30 360 12 [a,b] = o . =(99 2 ) k .99 = (01) k .99 = (01).99 = 99 6 666 = ( 6 5 ) 133 .6 = ( 76) 133 .6 =( 76) .6 = 56 14 101 . 16 101 = (14. 16) 101 = 224 101 (224 2 ) 50 .224 = ( 76) 50 .224 = ( 76) .224 = 24 Bài toán 8. Tìm chữ. 2 20 ; 6 5 ; 18 4 ;24 2 ; 68 4 ;74 2 có tận cùng bằng 76. + 26 n (n >1) có tận cùng bằng 76. áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau. 2 100 ; 7 1991 ; 51 51 ; 99 99 99 ; 6 666 ; 14 101 . 16 101 5 21 Nên 62 5 5 < 125 7 c) 5 23 và 6. 5 22 5 23 = 5.5 22 < 6. 5 22 Nên 5 23 < 6. 5 22 d) 7. 2 13 và 2 16 2 16 = 8.2 13 > 7. 2 13 Nên 2 16 > 7. 2 13 Bài toán 6: Tính