DƯỜNG TRÒN Bài 1:Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x – 2) 2 +(y – 1) 2 = 4. Biết tiếp tuyến đi qua A(4; -2). Bài giải: Cách 1 Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = 2. AI = R>13 nên qua A có hai tiếp tuyến của (C) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (d) với hệ số góc k và đi qua A(4; -2) có phương trình là: y = k(x – 4) – 2 hay (d): kx –y - 4k – 2. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến (d) bằng R = 2 Hay 12 5 51212322 1 2412 2 2 −=⇔−=⇔+=+⇔= + −−− kkkk k kk Với 12 5 −= k thì (d 1 ): 5x + 12y + 4 = 0. Xét đường thẳng(d 2 ): x – 4 = 0, khoảng cách từ tâm I đến (d 2 ) là R == + − 2 01 42 22 nên (d 2 ) cũng là tiếp tuyến của (C) đi qua A(2; 1) Kết luận : Hai tiếp tuyến của (C) đi qua A là: (d 1 ): 5x + 12y + 4 = 0 và (d 2 ): x – 4 = 0. Cách 2: Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = 2. AI = R>13 nên qua A có hai tiếp tuyến của (C) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (d) có phương trình là : ax + by +c = 0 với 0 22 ≠+ ba . Do (d) đi qua A(4; -2) nên c = -4a + 2b Suy ra (d): ax + by -4a +2b = 0. (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến (d) bằng R = 2. Hay 01252322 242 222 22 =−⇔+=−⇔= + +−+ abbbaba ba baba Chọn b = 0, a = 1 thì c = 4 khi đó (d): x – 4 = 0 Chọn b = 12 , a = 5 thì c = 4 khi đó (d): 5x + 12y + 4 = 0 Kết luận : hai tiếp tuyến của (C) đi qua A là: (d 1 ): 5x + 12y + 4 = 0 và (d 2 ): x – 4 = 0 Chú ý : qua hai cách giải bài toán 2 để hiểu kỹ về chú ý ở phần lý thuyêt phương trình tiếp tuyến của đường tròn Bài 2: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng (d 1 ): x – 5y - 2 = 0; (d 2 ): x – y + 2 = 0; (d 3 ): x + y - 8 = 0. Bài giải: Gọi A là giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) thì tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: )1;3( 02 025 −−⇒    =+− =−− A yx yx Gọi B là giao điểm của (d 1 ) và (d 3 ) thì tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: )1;7( 08 025 B yx yx ⇒    =−+ =−− Gọi C là giao điểm của (d 2 ) và (d 3 ) thì tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: )4;3( 08 02 C yx yx ⇒    =−+ =+− Gọi (C ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì phương trình của (C ) là: 022 22 =++++ cbyaxyx . Vì (C ) đi qua ba điểm A, B ,C nên có hệ phương trình: 0224:)( 22 0 2 02586 050214 01026 22 =−−+⇒      −= = −= ⇔      =+++ =+++ =−−+ xyxC c b a cba cba cba Chú ý Ta có thể giải cách khác như sau :Do (d 2 ) vuông góc với (d 3 ) vì vậy đường tròn (C) nhận AB làm đường kính nên (C) có tâm I(2; 0) là trung điểm của AB và có bán kính 26 = R Suy ra (C) : (x - 2) 2 + y 2 = 26 hay x 2 + y 2 - 4x – 22 = 0. Bài 3:Cho hai đường tròn có phương trình: (C): x 2 + y 2 = 1 (C 1 ): x 2 + y 2 – 6x + 6y + 17 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó. Bài giải: 2 -2 -4 -6 -5 5 10 d 4 d 3 d 2 d 1 I I 1 Đường tròn (C) có tâm I(0; 0), bán kính R = 1 Đường tròn (C 1 ) có tâm I 1 (3; -3), bán kính R 1 = 1 Ta có R + R 1 = 233)3(2 22 1 =+−=< II vì vậy (C) và (C 1 ) ngoài nhau chúng có 4 tiếp tuyến chung. Đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy với hệ số góc k có phương trình là: (d) : y = kx + m hay kx – y +m = 0. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn(C) và (C 1 ) khi và chỉ khi : d(I,d) = R = 1 và d(I 1 ,d) = R 1 = 1 Hay:               += + −=      += =+ ⇔      += ++= ⇔        = + ++ = + (**) 1 2 33 (*) 1 033 1 33 1 1 33 1 1 2 2 2 2 2 km k m km k km mkm k mk k m Giải hệ (*) Ta có                 −= = −= ⇔      += −= ⇔      += =+ 2 2 1 1 1 1 033 22 m m k km k km k Vậy hai tiếp tuyến chung 02:)(,02:)( 21 =−+=++ yxdyxd Giải hệ (**) Ta có ( )                     + + −= + −=        + = + −= ⇔      =++ + −= ⇔      +=+ + −= ⇔      += + −= )569(2 5643 569 5 10 )564(3 5 569 05185 2 33 1233 2 33 1 2 33 2 22 m k m k kk k m kk k m km k m Vậy hai tiếp tuyến chung là 0564(3)569(210:)( 0564(310)569(2:)( 4 3 =++++ =+−++ yxd yxd Kết luận : Hai đường tròn (C) và (C 1 ) có 4 tiếp tuyến chung là: ,02:)( ,02:)( 2 1 =−+ =++ yxd yxd 0564(3)569(210:)( 0564(310)569(2:)( 4 3 =++++ =+−++ yxd yxd Bài 4:Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): 3x – 4y + 2 = 0 tại điểm B(-2; -1) Bài giải Gọi I là tâm đường tròn (C) thì IB = IA, như vậy I thuộc trung trực của đoạn AB. Mặt khác vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) 3x – 4y + 2 = 0 tại điểm B(-2; -1) nên I còn thuộc đường thẳng vuông góc với (d) tại điểm B. Phương trình đường trung trực của AB là : x + y = 0, phương trình đường thẳng (d 1 ) vuông góc với (d) tại điểm B là : 4x + 3y + 11 = 0. Vậy tọa độ điểm I là nghiệm của hệ    = −= ⇔    =++ =+ 11 11 01134 0 y x yx yx Bán kính của (C) là R = IB = 15225)111()112( 22 ==−−++− Suy ra (C) : (x + 11) 2 + (y – 11) 2 = 225 hay (C): x 2 + y 2 + 22x - 22y + 17 = 0. 6 4 2 -2 -4 -10 -5 5 a d 1 d A B Bài 5:Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; )5 , B(-1; 3) và có tâm nằm trên đường thẳng 01:)( =++∆ yx . Bài giải: Trong mật phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là: )0(,022 2222 ≠+=+−−+ bacbyaxyx Đường tròn (C) đi qua điểm A(1; )5 nên 6522 −=+−− cba (1) Đường tròn (C) đi qua điểm B(-1; 3) nên 162 −=+− cba (2) Tâm I (a, b) nằm trên đường thẳng 01:)( =++∆ yx nên 01 =++ ba (3) Từ (1), (2) và (3) ta có hệ:      −= = −= ⇔      =++ −=+− −=+−− 8 0 1 01 162 6522 c b a ba cba cba Vậy (C): .082 22 =−++ xyx Bài 6: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; 0) ,B(1; 0) và tiếp xúc với đường thẳng (d): x - y = 0. Bài giải : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là: )0(,022 2222 ≠+=+−−+ bacbyaxyx .Tâm I(a; b), bán kính cbaR −+= 22 Đường tròn (C) đi qua điểm A(2; 0) nên: 4 – 4a + c =0 (1) Đường tròn (C) đi qua điểm B(1; 0) nên: 1 - 2a + c = 0 (2) Măt khác (C) tiếp xúc với đường thẳng (d): x - y = 0 nên khoảng cách từ tâm I(a; b) đến đường thẳng (d) bằng R Hay 02)( 2 222 =−+⇔−+= − cbacba ba . (3) Từ (1), (2) và (3) ta có hệ          = −= = ⇔      =−+ =+− =+− 2 2 7 2 3 02)( 021 044 2 c b a cba ca ca Vậy (C) có phương trình là: 0273 22 =++−+ yxyx . Bài 7: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; 1) và tiếp xúc với cả hai đường thẳng (d 1 ): 7x + y – 3 = 0 , (d 2 ): x + 7y – 3 = 0. Bài giải: 4 2 -2 -4 -5 5 d 2 d 1 A Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là: )0(,022 2222 ≠+=+−−+ bacbyaxyx .Tâm I(a; b), bán kính cbaR −+= 22 Do (C) đi qua A(1; 1) nên: 0222 =+−− cba (1) Lại do (C) tiếp xúc với cả hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) bằng nhau và bằng IA Hay 22 )1()1( 50 37 50 37 −+−= −+ = −+ ba baba (1) Đặt: 37);(;37);( −+=−+= yxyxgyxyxf Vì tâm I của (C) và điểm A cùng nằm ở một nửa mặt phẳng có bờ (d 1 ) và nửa mặt phẳng có bờ (d 2 ) nên 0);().;( > AAII yxfyxf và 0);().;( > AAII yxgyxg Mà: 037);(05317);( >−+=⇒>=−+= bayxfyxf IIAA (2) 037);(05371);( >−+=⇒>=−+= bayxgyxg IIAA (3) Két hợp (1) với (2) và (3) ta có       == == ⇔    −=− = ⇔        −+−= −+ −+ = −+ 8 13 2 7 )1(100)38( )1()1( 50 37 50 37 50 37 22 22 ba ba bb ba ba ba baba *Với 01277:)(12 2 7 22 1 =+−−+⇒=⇒== yxyxCcba *Với 0 9 8 4 13 4 13 :)( 9 8 8 13 22 2 =+−−+⇒=⇒== yxyxCcba Kết luận: có hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) có phương trình ở trên thỏa man điều kiện bài toán 10. Trong các phng trình sau ây, phng trình no l phng trình ca mt ng tròn. Xác nh tâm v tính bán kính. a. 2 2 4 2 6 0x y x y+ + + = . c. 2 2 6 8 16 0x y x y+ + + = . b. 2 2 4 5 1 0x y x y + + = . d. 2 2 2 2 3 2 0x y x+ = 8. Cho pt x 2 + y 2 - 2m(x-2) = 0 (1) a) Xđịnh m để (1) là ptrình của đờng tròn b) Với m=1 hãy xác định tâm và bán kính của đờng tròn (C) c) Chứng tỏ rằng điểm M(-2;2) (C) . Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M d) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng 2x+5y-12=0 9. Viết phơng trình của đờng tròn (C) trong các trờng hợp sau: a) (C) có tâm I(1 ; - 2) và tiếp xúc với đờng thẳng 4x 3y + 5 = 0 b) (C) đối xứng với (C) có phơng trình: 0 2 )3( 2 )2( =+ yx qua đờng thẳng x + y 1 = 0 10. Viết phơng trình đờng tròn (C) trong các trờng hợp sau: a) (C) đi qua 3 điểm A(1 ; 0), B(0 ; 2), C(2 ; 3) b) (C) đi qua A(2 ; 0), B(3 ; 1) và có bán kính R = 5 c) (C) đi qua 2 điểm A(2 ; 1),B(4 ; 3) và có tâm I nằm trên đờng thẳng x y + 5= 0 11. Cho đờng tròn (C) : x 2 + y 2 +4x +4y 17 = 0 b) Tìm tâm và bán kính của đờng tròn c) Viết phơng trình tiếp tuyến 1 của (C) biết tiếp tuyến này song song với d 1 :3x 4y+9= 0 d) Viết phơng trình tiếp tuyến 2 của (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với d 2 :3 4y 5 = 0 10. Cho phng trình : 2 2 2 6 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m+ + + + = . a. Tìm iu kin ca m pt trên la ng tròn. b. Tìm qu tích tâm ng tròn. 11. Cho phng trình 2 2 ( 15) ( 5) 0x y m x m y m+ + + = . a. Tìm iu kin ca m pt trên l ng tròn. b. Tìm qu tích tâm ng tròn. 12. Cho phng trình ( ) m C : 2 2 2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y+ + + = . a. Tìm m ( ) m C la phng trình ca mt ng tròn. b. Tìm m ( ) m C la ng tròn tâm (1; 3).I Vit phng trình ng tròn ny. c. Tìm m ( ) m C la ng tròn có bán kính 5 2.R = Vit phng trình ng tròn ny. d. Tìm tp hp tâm các ng tròn ( ) m C . . 1 Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = 2. AI = R>13 nên qua A có hai tiếp tuyến của (C) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (d) với hệ số góc k và đi qua A(4; -2) có phương trình là:. Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = 2. AI = R>13 nên qua A có hai tiếp tuyến của (C) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (d) có phương trình là : ax + by +c = 0 với 0 22 ≠+ ba 233)3(2 22 1 =+−=< II vì vậy (C) và (C 1 ) ngoài nhau chúng có 4 tiếp tuyến chung. Đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy với hệ số góc k có phương trình là: (d) : y = kx + m hay kx – y +m =