Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ A. MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề. 1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu. Trong toán học, giải phương trình là một phần rất quan trọng trong việc dạy và học ở trường phổ thông. Việc nắm vững các dạng phương trình và rèn luyện kỹ năng giải các phương trình đơn giản như: phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai là nền tảng và cơ sở để học sinh biết tư duy, biết suy luận, tìm ra phương pháp giải phương trình vô tỉ. Phương trình vô tỉ là dạng toán rất đa dạng, phong phú, đòi hỏi học sinh khi giải phương trình phải có óc quan sát, suy luận, sáng tạo, đồng thời phải biết vận dụng một cách linh hoạt nhiều kiến thức. Nó giúp cho học sinh phát triển tư duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ. Cho nên trong các kì thi học sinh giỏi, kì thi tuyển sinh vào THPT, kì thi đại học thường xuyên có dạng toán này. Tuy nhiên trong chương trình toán THCS, học sinh chỉ được làm quen với phương trình vô tỉ ở dạng đơn giản và không đưa ra phương pháp và các bước làm cụ thể. Vì thế, khi gặp loại toán này học sinh thường rất lúng túng không biết bắt đầu như thế nào. Chính vì vậy việc tổng hợp, đưa ra những phương pháp giải cụ thể là rất quan trọng đối với học sinh. 2. Ý nghĩa của giải pháp mới. Giúp làm tăng khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh Học sinh biết suy luận theo hướng logic (suy luận theo bản đồ tư duy, suy luận thao sơ đồ phân tích….) Giúp học sinh biết liên hệ giữa các vấn đề, dẫn tới hiệu quả học tập tốt hơn. Học sinh biết cách trao đổi thông tin với bạn thông qua hoạt động dạy học hợp tác trong nhóm của giáo viên. Giúp học sinh nhận dạng được phương trình vô tỉ, đưa ra phương pháp phù hợp từ đó yêu thích môn học và say mê với môn học, làm giảm những suy nghĩ tiêu cực trong học sinh. GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 3. Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm. Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện nghiên cứu tại trường THCS Đại Hưng, huyện Khoái Châu, tỉnh Hưng Yên từ năm học 2013 - 2014 đến năm học 2014 - 2015. Đối tượng cần nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm ở đây là các em học sinh khối 9 của nhà trường. Nội dung nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm chính là: "Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ”. II. Phương pháp tiến hành. 1. Cơ sở lý luận. Giải phương trình nói chung và giải phương trình vô tỉ nói riêng là một vấn đề lớn, chứa đựng kiến thức sâu, rộng với các phương pháp giải phong phú. Trên thực tế sách giáo khoa không đưa ra phương pháp giải, song có nhiều tài liệu do nhiều tác giả viết về các dạng phương trình vô tỉ kèm theo phương pháp làm nhưng các phương pháp đó chưa được thể hiện rõ. Qua nghiên cứu chương trình, sách vở, tài liệu và nhất là qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy việc đưa ra phương pháp cụ thể để giải từng dạng phương trình vô tỉ là rất cần thiết, nó giúp cho học sinh tiếp thu và vận dụng một cách dễ dàng hơn. Trong phạm vi đề tài nhỏ này, tôi mạnh dạn tổng hợp, hệ thống, phân loại và hướng dẫn một vài phương pháp giải phương trình vô tỉ. Với hy vọng học sinh khá, giỏi lớp 9 dựa vào đó phát huy tính sáng tạo, khả năng tìm tòi lời giải có đường lối rõ ràng. Tạo một cơ sở vững chắc trước khi bước vào phổ thông trung học đồng thời tạo lòng say mê, sáng tạo trong toán học. 2. Cơ sở thực tiễn. Trong giảng dạy thì một số giáo viên ngại đào sâu kiến thức dẫn tới việc giảng dạy phần này đa phần là hướng dẫn học sinh giải các dạng đơn giản, cụ thể từng bài mà không đưa được ra các phương pháp chung. GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Học sinh từ việc học thụ động nên việc học tập của các em chưa hiệu quả dẫn tới một số em chán nản trong việc học. Một số học sinh có khả năng học tập nhưng rất sợ khi gặp phải dạng toán này. 3. Các biện pháp tiến hành. Học sinh đã biết phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong dấu căn. Vì thế muốn giải phương trình thông thường phải biến đổi hoặc làm thế nào đó để khử căn. Các phép biến đổi yêu cầu phải chuẩn xác và tương đương. Vì thế khi giảng dạy cho học sinh cần nhấn mạnh: - Tìm điều kiện để căn thức trong phương trình có nghĩa (đối với căn bậc chẵn). - Điều kiện để các phép biến đổi là tương đương và điều kiện để áp dụng bất đẳng thức. - Quá trình biến đổi phải chính xác. Đặc biệt chú ý 2 A A= khi khai căn. - Khi tìm được giá trị của ẩn phải so sánh với điều kiện ở trên để tìm nghiệm thích hợp của phương trình. - Ngoài ra học sinh nắm vững một số kiến thức liên quan cụ thể: 1. Điều kiện để A có nghĩa là A ≥ 0 2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ a) ( ) 2 2 2 2A B A AB B+ = + + b) ( ) 2 2 2 2A B A AB B− = − + c) ( ) ( ) 2 2 .A B A B A B− = + − d) ( ) 3 3 2 2 3 3 3A B A A B AB B+ = + + + e) ( ) 3 3 2 2 3 3 3A B A A B AB B− = − + − g) ( ) ( ) 3 3 2 2 .A B A B A AB B + = + − + h) ( ) ( ) 3 3 2 2 .A B A B A AB B + = − + + 3. Nếu a 2n = b 2n và a > 0, b > 0 => a = b (n∈N * ) 4. Với ∀ a,b ∈ R nếu a = b => a 2n+1 = b 2n+1 (n∈N) GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 4 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 5. Hằng đẳng thức 2 0 A A A A A A ≥  = =  − <  neáu 0 neáu 6. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 7. Các phương pháp biến đổi tương đương của phương trình 8. Các phương pháp biến đổi đơn giản căn thức bậc hai 9. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 10. Các BĐT thông dụng 4. Thời gian tạo ra giải pháp Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi đã thực hiện kể từ đầu năm học 2013 - 2014 đến năm học 2014 - 2015 đối với các em học sinh lớp 9 của nhà trường. B - NỘI DUNG I- Mục tiêu Từ những vấn đề đã nêu ở trên và với nhiệm vụ là một giáo viên giảng dạy môn toán ở trường phổ thông thì việc giảng dạy trước hêt phải đảm bảo đúng và đủ nội dung chương trình SGK do Bộ GD - ĐT quy định còn phải bồi dưỡng học sinh giỏi tạo lòng cốt cho các em tới đây còn có thể đi thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh đòi hỏi tôi phải tập trung nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm tổng hợp thành các phương pháp giải phương trình vô tỉ. Sáng kiến này được đúc rút từ thực tế giảng dạy ở lớp 9, và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS Đại Hưng từ năm học 2013 - 2014 đến năm học 2014 - 2015. Đây là vấn đề cấp bách và đòi hỏi liên tục được bổ sung trong những năm tới, tôi sẽ đưa ra phương pháp và minh hoạ bằng các ví dụ cụ thể đồng thời rút ra những kết luận chung nhất của các phương pháp giải phương trình vô tỉ. GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 5 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ II- Phương pháp tiến hành II.1. Mô tả giải pháp của đề tài. Giải pháp được cụ thể hoá thông qua các phương pháp giải phương trình vô tỉ và một số ví dụ cụ thể. 1. PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA a. Phương pháp - Tìm ĐKXĐ của phương trình - Nâng lên cùng một lũy thừa ở hai vế nhằm mục đích mất dấu căn (chú ý điều kiện để nâng lên lũy thừa và có thể nâng lên lũy thừa nhiều lần). - Giải phương trình không chứa căn - Nghiệm của phương trình là những giá trị thuộc tập xác định b. Các ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình: 1 1x x+ = − (1) ĐKXĐ: 1x ≥ − ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 0 1 1 1 3 0 3 0 3 0 1 1 3 x x x x x x x x x x x x x ≥  − ≥  ≥ ≥     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = =      − = − = + = −      =   ( x = 3 thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3 Lưu ý: ở bài toán này, học sinh thường hay mắc phải sai lầm khi bình phương hai vế không có điều kiện 1 0x − ≥ . Do đó làm xuất hiện nghiệm ngoại lai: x = 0. Ví dụ 2. Giải phương trình: 15 2 1x x− − − = (2) ĐKXĐ: 2 15x≤ ≤ Ta có (2) 15 2 1x x⇔ − = + + ( ) 2 15 2 1x x⇔ − = + + GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 6 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 15 2 2 2 1x x x⇔ − = − + − + 2 2 16 2x x⇔ − = − 2 8x x⇔ − = − ( ) 2 8 8 0 6 11 2 8 6 x x x x x x x ≤  − ≥    ⇔ ⇔ ⇔ = =    − = −    =   (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm 6x = Lưu ý: trong ví dụ trên học sinh dễ mắc sai lầm là cứ như vậy bình phương hai vế khi mà chưa có điều kiện để vế trái không âm. Ví dụ 3. Giải phương trình: xxx −=−−+ 1271 (3) Tương tự ví dụ 2 học sinh dễ dàng làm được như sau: ĐKXĐ: 7 12x≤ ≤ ( ) 3 1 12 7x x x⇔ + = − + − ( ) ( ) 2 2 1 12 7x x x⇔ + = − + − ( ) ( ) 2 7 12 4x x x ⇔ − − = − (3’) Với ĐKXĐ thì hai vế của (3’) có giá trị không âm. Bình phương hai vế của (3’) ta được: 8; 5 44 2'417601764' 0352845 168)8419(4 21 2 22 ==⇒ =∆⇒=−=∆ =+−⇔ +−=−+− xx xx xxxx Với 1 2 44 ; 8 5 x x= = Thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: 8; 5 44 21 == xx Ví dụ 4. Giải phương trình: 1 4 9x x x x+ + + = + + (4) GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 7 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ ĐKXĐ: x ≥ 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 4 9x x x x⇔ + + + = + + ( ) ( ) ( ) 2x 5 2 1 4 2x 9 2 9x x x x⇔ + + + + = + + + ( ) ( ) ( ) 1 4 2 9x x x x⇔ + + = + + Hai vế không âm, bình phương hai vế và thu gọn ta có: 2 9x x x+ = − (4’) Với điều kiện: x ≤ 0, bình phương hai vế của (4’) ta được: 09 22 =⇔=+ xxxx (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0 Lưu ý: ở bài toán này, sau khi biến đổi đến (4’): xxx −=+ 9 2 ta có thể lập luận như sau: Vì 09 2 ≥+ xx nên –x ≥ 0 hay x≤ 0 Kết hợp với ĐKXĐ => x = 0 (thỏa mãn phương trình (4)) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0 Lời bình: Trong phương pháp này khi nâng lên luỹ thừa đặc biệt là căn bậc chẵn thì giáo viên cần nhấn mạnh đến điều kiện để hai vế không âm. Thông thường ta chỉ áp dụng cho phương trình có chứa 4 dấu căn trở xuống đồng thời chỉ là căn thức bậc hai hoặc căn bậc ba. Kết hợp với biểu thức trong căn chỉ là những biểu thức đơn giản. c. Bài tập tự giải Giải các phương trình sau: 1) 2 7 12 2 6x x x− + = − ( x = 3) 2) 2 1x x− − = (Vô nghiệm) 3) 1 5 1 3 2x x x− − − = − (vô nghiệm) 4) 1 4 3x x− + + = ( x = 0; x = - 3) 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 2.1. Sử dụng hằng đẳng thức A n = B n GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 8 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ a. Phương pháp + Tìm ĐKXĐ của phương trình + Áp dụng các hằng đẳng thức biến đổi phương trình về dạng: ( ) ( ) n n A x B x= (*) - Nếu ( ) * 2n k k= ∈¥ thì (*) ( ) ( ) A x B x⇔ = ± - Nếu ( ) * 2 1n k k= + ∈¥ thì (*) ( ) ( ) A x B x⇔ = + Giải phương trình: ( ) ( ) A x B x= hoặc ( ) ( ) A x B x= − được nghiệm x rồi so sánh với điều kiện và kết luận. b. Các ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình : 2 3 3x x+ + = ĐKXĐ: 3x ≥ − Ta có: 2 2 1 1 3 3 3 3 4 4 x x x x x x+ + = ⇔ + + = + − + + 2 2 1 1 3 2 2 x x     ⇔ + = + −  ÷  ÷     1 1 3 (1) 2 2 1 1 x 3 (2) 2 2 x x x  + = + −   ⇔    + = − + −  ÷     Giải phương trình (1) ta được 1x = là nghiệm Giải phương trình (2) ta được 1 13 2 x − = là nghiệm Lời bình : Khi gặp bài toán này học sinh sẽ nghĩ đến việc bình phương hai vế nếu giáo viên không khéo léo hướng dẫn gợi ý. Nếu bình phương hai vế sẽ gặp phải phương trình bậc 4 rất khó gải quyết về sau . Khi áp dụng cách giải quyết này thì đã giải quyết được vấn đề đó. Điều khéo léo ở đây là phải biết chuyển vế, thêm bớt để làm xuất hiện bình phương. Bài này còn nhiều cách giải khác . GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 9 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 4 5 2 2 3x x x+ + = + (2) ĐKXĐ: 3 2 x ≥ − (2) 2 6x 9 2 3 2 2 3 1x x x⇔ + + = + + + + ( ) ( ) 2 2 3 2 3 1x x⇔ + = + + ( ) 3 2 3 1 3 2 3 1 x x x x  + = + +  ⇔  + = − + +  Giải phương trình 3 2 3 1x x+ = + + ta được x = - 1 là nghiệm Giải phương trình ( ) 3 2 3 1x x+ = − + + vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -1 Lời bình: Ở bài toàn này nếu ta bình phương hai vế thì bài toán trở lên rất phức tạp. Ở đây ta đã khéo léo thêm vào hai vế 2x + 4 nhằm mục đích xuất hiện các biểu thức có dạng bình phương của (1) ở cả hai vế, đưa phương trình về dạng A 2 (x)=B 2 (x). Từ đó giúp ta tìm nghiệm của phương trình một cách dễ dàng hơn. Ở ví dụ này ta có thể giải phương trình bằng cách khác là: 2 2 4 5 2 2 3 4 5 2 2 3 0x x x x x x+ + = + ⇔ + + − + = ( ) ( ) 2 2 1 2 3 2 2 3 1 0x x x x⇔ + + + + − + + = ( ) ( ) 2 2 1 2 3 1 0x x⇔ + + + − = ( ) ( ) 1 2 3 1 0x x⇔ + = + − = 1x = − (thỏa mãn ĐKXĐ) Ví dụ 3. Giải phương trình: 3 7 15 2 3x x x− = − (3) GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 10 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Với bài toán này, khi học sinh gặp phải các em rất lúng túng không định hướng được cách làm. Vì thế tôi cho các em nhận xét thấy 3 x , x, x có mối quan hệ với bậc của a, b trong hằng đẳng thức (a ± b) 3 sau khi khai triển. Đồng thời hướng dẫn các em làm như sau: ĐKXĐ: x ≥ 0 ( ) 3 7 15 2 3x x x x⇔ − = − 8 12 6 1 3 3 1x x x x x x x x⇔ − + − = + + + ( ) ( ) 3 3 2 1 1x x⇔ − = + 2 1 1x x⇔ − = + 2 4x x⇔ = ⇔ = (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4 Ví dụ 4. Giải phương trình: ( ) 3 2 3 7 6 12 8 4x x x = − + − Đối với bài toán này ta thấy các hệ số có liên quan rất chặt chẽ tới hằng đẳng thức (a – b) 3 . Vì thế tôi đã hướng dẫn học sinh như sau: 3 2 3 (4) 8 6 12 8x x x x ⇔ = − + − 3 3 3 3 3 3 3 (2 ) ( 2) 2 2 2 8 x x x x x x ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = - 8 2.2. Sử dụng đẳng thức dạng đặc biệt: a) Phương pháp - Tìm ĐKXĐ của phương trình - Sử dụng đẳng thức để đưa về dạng tích ( ) ( ) 1 1 1 0u v uv u v+ = + ⇔ − − = ( ) ( ) . 0au bv ab uv u b v a+ = + ⇔ − − = GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 11 [...]... Liêm – THCS Đại Hưng 12 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ e) 4x =4 x x+3 x+3 + (x = 1) 3 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI a Phương pháp + Tìm ĐKXĐ của phương trình + Biến đổi phương trình về dạng: A 2 ( x) + B 2 ( x) + + D 2 ( x) = m ⇔ A( x) + B ( x) + + D( x) = m + Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta tìm được nghiệm của phương trình (là những giá trị... 20 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 6.1 Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế là rời nhau khi đó phương trình vô nghiệm Ví dụ 1 Giải phương trình: x − 1 − 5 x − 1 = 3x − 2 (1) ĐKXĐ: x ≥ 1 Với x ≥ 1 ta có x < 5 x ⇔ x − 1 < 5 x − 1 ⇔ x − 1 < 5 x − 1 do đó VT < 0 mà VP > 0 nên không có giá trị của x để hai vế bằng nhau do đó phương trình (1) vô nghiệm Lời bình: Với bài này ta có thể giải theo phương pháp. .. Giải phương trình: x2 − 4 x + 4 = 8 − x (1) ĐK: x ≤ 8 ( 1) ⇔ ( x − 2 ) 2 =8− x ⇔ x −2 =8− x x − 2 = 8 − x ⇔ x − 2 = −( 8 − x)  ( 1') ( 2') Giải phương trình (1’) ta được x = 5 (thỏa mãn) Giải phương trình (2’) ta được 0x = - 6 (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5 Lời bình: Trong bài toán trên học sinh có thể giải bằng cách bình phương hai vế của phương trình Ví dụ 2 Giải phương trình: .. .Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - Giải phương trình tích nhận được b) Các ví dụ Ví dụ 1 Giải phương trình: x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x 2 + 3x + 2 3 (1) ĐKXĐ: R 2 Ta có x + 3 x + 2 = ( x + 1) ( x + 2 ) nên (1) ⇔ ( 3  ⇔    ( ( )( x +1 −1 3 3 3 ) x + 2 −1 = 0 ) ⇔ x = 0  x = −1  x + 2 − 1) = 0 x + 1 −1 = 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0; x = - 1 Ví dụ 2 Giải phương trình: ... 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 dẫn đến thiếu nghiệm của phương trình Đây là một sai lầm ta thường gặp ở học sinh c Bài tập áp dụng Giải các phương trình sau: a) x 2 − 6x + 9 = 5 − x (x = 4) GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 14 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ b) x + 2 x + 3 + 4 + x − 2 x + 3 + 4 = 2 (x = - 2) c) x + 3 + 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 5 (1 ≤ x ≤ 10 ) 4 PHƯƠNG PHÁP... 36 ⇔ 2 x = 44 ⇔ x = 22 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 22 Lời bình: Trong hai ví dụ trên ta đã sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng của BĐT Caychy và BunhiaCôpxki để chỉ ra nghiệm của phương trình c Bài tập tự giải Giải các phương trình sau GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 22 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ a) x − 2 − 3x − 2 = 5 x − 1 (vô nghiệm) b) x − 2 + 10 − x = x 2 −... Vậy phương trình có ba nghiệm như trên Lời bình : Lời giải bài toán trên có được là nhờ vào việc phải nhận biết được tính đối xứng của biểu thức trong và ngoài dấu căn , từ đó mà tìm cách đặt ẩn phụ GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 16 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ để đưa về hệ phương trình đối xứng Để giải được cách này thì học sinh phải được cung cấp cách giải hệ phương trình đối xứng... Dấu “=” xảy ra khi x = - 1 2 Từ đó suy ra để phương trình có nghiệm thì VT = VP = 5 Khi đó x = - 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = - 1 6.3 Sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng đối với bất đẳng thức Ví dụ 3 Giải phương trình: x 2 − 3 x + 4 = ( x 2 − 2 x + 3)( x 2 − 4 x + 5) GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng (3) 21 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ ĐKXĐ: R Ta có: x 2 − 2 x + 3 = ( x −...  Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 c Bài tập áp dụng Giải các phương trình sau : a) x + 1 + x − 2 + 2 x 2 − x − 2 = 13 − 2 x (x = 3) b) 2 x 2 + 3x + 2 x 2 + 3x + 9 = 33 (x = 3; x = c) x −1 + 2x − 1 = 5 d) 8+ x + 5− x =5 ( x = 1) e) 2 − x + 2 + x + 4 − x2 = 2 −9 ) 2 (x = ±2 ) (x = 5) 5 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 17 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 5.1 Liên hợp... Bình phương hai vế ta có: 2 2 2 x − 3x + 5 = 3 x − 2 Bình phương hai vế ta có: 8 x 2 − 12 x + 20 = 9 x 2 − 12 x + 4 ⇔ x2 =16 ⇒ x = 4 (do x > 0) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4 Ví dụ 2: Giải phương trình x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5 (2) ĐKXĐ: R (2) ⇔ x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 Đề phương trình có nghiệm ta thấy VT > 0 do đó x > GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 5 3 18 Một số phương pháp giải . pháp giải phương trình vô tỉ II- Phương pháp tiến hành II.1. Mô tả giải pháp của đề tài. Giải pháp được cụ thể hoá thông qua các phương pháp giải phương trình vô tỉ và một số ví dụ cụ thể. 1. PHƯƠNG. chính là: " ;Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ”. II. Phương pháp tiến hành. 1. Cơ sở lý luận. Giải phương trình nói chung và giải phương trình vô tỉ nói riêng là một vấn đề lớn,. Hưng 12 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ e) 4 3 4 3 x x x x + + = + (x = 1) 3. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI a. Phương pháp + Tìm ĐKXĐ của phương trình +