TR ƯỜ NG THPT NGHI SƠ N - THANH HÓA ĐỀ THI TH Ử THPT QU ỐC GIA 2015 T Ổ : T Ự NHIÊN I MÔN THI: TOÁN Th ờ i gian làm bài : 180 phút Câu 1 ( 4 đ i ể m ) Cho hàm s ố : 3 2 2 3 1 ( ) y x x C = − + a. Kh ả o sát sự bi ến thiên và v ẽ đồ th ị hàm s ố (C). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) bi ết tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhấ t. Câu 2 ( 2 đ i ểm ) Giả i ph ương trình sau : ( ) 2 cos2x cos x 2tan x 1 2 + − = Câu 3 ( 2 đ i ể m ) Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình sau: 2 1 2 2log (2 1) log (3 1) 3 x x − + + ≤ . Câu 4 ( 2 đ i ể m ) Tìm h ệ s ố c ủ a s ố h ạ ng ch ứ a 6 x trong khai tri ể n nh ị th ứ c 10 2 3 1 3 x x   −     . Câu 5 ( 2 đi ểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O c ạnh b ằng a, Góc 0 120 DAB∠ = .Hai mặ t phẳng (SAC) và (SBD ) cùng vuông góc với đáy. Góc gi ữa (SBC) và mặ t đáy bằng 0 60 . Tính thể tích kh ố i chóp S.ABCD và kho ả ng cách t ừ A đế n ( SBC). Câu 6( 2 đ i ểm ) Trong không gian v ớ i hệ trụ c t ọa độ Oxyz, cho đường th ẳ ng (d) và mặ t phẳ ng (P) l ần l ượt có phươ ng trình là 1 2 1 ( ) ,( ) 2 2 0 1 2 1 x y z d P x y z − + − = = + + + = − . Tìm A là giao điểm củ a (d) và (P), viết phươ ng trình đườ ng thẳ ng (d’) là hình chiế u vuông góc c ủa (d ) trên m ặt ph ẳng (P). Câu 7 ( 2 đ i ể m ) Trong m ặt ph ẳ ng v ớ i h ệ tr ụ c t ọ a độ Oxy, cho tam giác nhọ n ABC . Đườ ng th ẳng ch ứ a trung tuy ế n kẻ t ừ A và đườ ng thẳ ng BC lần l ượt có ph ương trình 3 5 8 0,x y + − = 4 0 x y− − = . Đườ ng thẳ ng qua A vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiế p tam giác ABC tại điểm thứ hai là (4; 2)D − . Viết phương trình các đường thẳ ng AB,AC; bi ết r ằng hoành độ củ a đi ểm B không lớ n hơ n 3. Câu 8 ( 2 đi ểm ) Giả i h ệ ph ươ ng trình sau: 3 2 2 2 2 12 25 18 (2 9) 4 3 1 3 14 8 6 4 y y y x x x x x y y  + + + = + +   + + − − = − −   . Câu 9 ( 2 đ iể m) Cho 1 1; , 1 4 x y z ≤ ≤ ≥ sao cho 1 xyz = . Tìm gía tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c: 1 1 1 1 1 1 P x y z = + + + + + . …………………… Hế t………………………. Ghi chú: - Thí sinh không s ử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 12 TR ƯỜ NG THPT NGHI S Ơ N H ƯỚ NG D Ẫ N CH Ấ M MÔN TOÁN THI T H Ử THPT QU Ố C GIA 2015 Câu Ý N ộ i dung c ầ n đạ t Đ i ể m 1 a Giám kh ả o t ự làm đ áp án 2 b 2 2 1 3 3 ' 6 6 6( ) 2 2 2 y x x x = − = − − ≥ − Ti ế p tuy ế n có h ệ s ố góc Min b ằ ng 3 2 − khi 1 1 2 2 x y = ⇒ = Pttt : 3 1 1 3 5 2 2 2 2 4 y x x   = − − + = − +     1 0.5 0.5 2 Gi ả i ph ươ ng trình : ( ) 2 cos2x cosx 2tan x 1 2 + − = (1) 2 Đ i ề u ki ệ n : cos 0 x ≠ (1) 2 2sin cos2 cos 2 cos x x x x ⇔ + − = 2 2 2 2sin cos 2 cos2 1 2sin cos 1 2sin 1 1 cos cos x x x x x x x x ⇔ − = − = +   ⇔ − = +     2 2(1 cos )(1 cos ) (1 cos )cos w . . x x x x ww mathvn com ⇔ − − = + ( ) 2 1 cos 2(1 cos ) cos 0 x x x   ⇔ + − − =   2 cos 1 cos 1 1 cos 2cos 5cos 2 0 2 2 3 x x x x x x k x k π π π π = −  = −   ⇔ ⇔   = − + =   = +   ⇔  = ± +  0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 3 Giải phương bất phương trình sau: 2 1 2 2log (2 1) log (3 1) 3 x x − + + ≤ . 2 ĐK 1 2 x > 2 2 1 2 2 2 2log (2 1) log (3 1) 3 log (2 1) log (3 1) 3 x x x x ⇔ − + + ≤ ⇔ − − + ≤ 2 2 2 (2 1) (2 1) log 3 0 8 3 1 3 1 x x x x − − ⇔ ≤ ⇔ < ≤ + + 0.25 0.25 0.5 2 1 2 www.mathvn.com 4 28 7 0 3 1 x x x x  >   ⇔  − −  ≤  +  1 7 2 14 ; 2 2 x   + ⇔ ∈       0.5 0.5 4 Tìm h ệ s ố ch ứ a 6 x trong khai tri ể n nh ị th ứ c 10 2 3 1 3 x x   −     . 2 Ta có ( ) 10 10 10 2 2 10 3 3 0 1 1 3 3 k k k x C x x x −     − = −         ∑ ( ) ( ) ( ) 10 1 (10 ) 2 2 3 1 10 10 3 1 3 3 k k k k k k k k T C x C x x − − − + +   = − = −     S ố h ạ ng ch ứ a 6 x khi 1 (10 ) 2 6 4 3 k k k − − + = ⇔ = H ệ số cần tìm bằng 4 4 10 3 www.dethithudaihoc.com C 0.5 0.5 0.5 0.5 5 Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình thoi tâm O c ạ nh b ằ ng a, 0 120 DAB ∠ = .Hai m ặ t ph ẳ ng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc v ớ i đ áy. Góc gi ữ a ( SBC ) và m ặ t đ áy b ằ ng 0 60 . Tính th ể tich kh ố i chóp S.ABCD và kho ả ng cách t ừ A đế n ( SBC). HS t ự v ẽ hình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAC ABCD SBD ABCD SO ABCD SO BC SAC SBD SO ⊥   ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥   ∩ =  K ẻ ( ) 0 ( ) ( ),( ) 60 OK BC BC SOK SBC ABCD SKO ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ∠ = 2 3 2 2 ABCD ABC a S S = = 3 . 3 3 3 ( ) 4 4 8 S ABCD a a a OK SO V dvtt = ⇒ = ⇒ = ( ) ( ,( )) 2 ( ,( )) AO SBC C d A SBC d O SBC ∩ = ⇒ = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ,( )) 1 1 1 3 www.mathvn.com 8 3 ( ,( )) 4 SBC SOK SBC SOK SK OH SBC d O SBC OH OH SK a OH OH OK OS a d A SBC ⊥   ∩ = ⇒ ⊥ ⇒ =   ⊥  = + ⇒ = ⇒ = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 6 Trong không gian v ớ i h ệ tr ụ c t ọ a độ Oxyz, cho đườ ng th ẳ ng (d) và m ặ t ph ẳ ng (P) l ầ n l ượ t có ph ươ ng trình là 1 2 1 ( ) ,( ) 2 2 0 1 2 1 x y z d P x y z − + − = = + + + = − . Tìm A là giao đ i ể m c ủ a (d) và (P), vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng (d’) là hình chi ế u vuông góc c ủ a (d ) trên m ặ t ph ẳ ng (P) www.dethithudaihoc.com 1 2 2 ( ) ( ) (0; 4;2) 1 2 2 0 x t y t A d P A z t x y z = +   = − +  = ∩ ⇒ −  = −   + + + =  (1; 2;1) ( ) M d − ∈ G ọ i H là hình chi ế u vuông góc c ủ a M trên (P) www.mathvn.com 1 2 (1; 2;1) ( ) ( ) 2 (2;1;1) 1 x t quaM MH MH y t vtcp z t = +  −   ⇒ = − +     = +  1 2 2 5 1 ( ) (0; ; ) 1 2 2 2 2 0 x t y t H MH P H z t x y z = +   = − + −  = ∩ ⇒ ⇒  = +   + + + =  ( ) 0 (0; 4;2) ( ') ' 4 3 3 (0; ; ) 2 2 2 x qua A d d y t vtcp AH z t =  −    ⇒ = − +   −   = −    0.5 0.5 0.5 0.5 7 Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ tr ụ c t ọ a độ Oxy, cho tam giác nh ọ n ABC . Đườ ng th ẳ ng ch ứ a trung tuy ế n k ẻ t ừ A và đườ ng th ẳ ng BC l ầ n l ượ t có ph ươ ng trình 3 5 8 0, x y + − = 4 0 x y − − = . Đườ ng th ẳ ng qua A vuông góc v ớ i BC c ắ t đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC t ạ i đ i ể m th ứ hai là (4; 2) D − . Vi ế t ph ươ ng trình các đườ ng th ẳng AB,AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3. G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a BC,H là tr ự c tâm c ủ a tam giác ABC, K là giao c ủ a AD và BC,E là giao c ủ a BH và AC www.mathvn.com M là giao c ủ a AM và BC nên 7 1 ( ; ) 2 2 M − AD vuông góc BC và đ i qua D nên có ph ươ ng trình x+y-2=0 A là nghi ệ m c ủ a h ệ 3 5 8 0 (1;1) 2 0 x y A x y + − =  ⇒  + − =  K là nghi ệ m c ủ a h ệ 4 0 (3; 1) 2 0 x y K x y − − =  ⇒ −  + − =  T ứ giác HKCE n ộ i ti ế p nên , BHK KCE ∠ = ∠ mà BDA KCE ∠ = ∠ Suy ra BHK BDA ∠ = ∠ nên K là trung đ i ể m c ủ a HD nên H(2 ;4) dethithudaihoc.com Vì B thuôc BC ( ; 4) (7 ;3 ) B t t C t t ⇒ − ⇒ − − Mặt khác HB vuông góc AC nên 7( ) . 0 2 t l HB AC t =  = ⇔  =    0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (2; 2), (5;1) :3 4 0, : 1 0 B C AB x y AC y ⇒ − ⇒ + − = − = 0.25 0.25 8 Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau. 3 2 2 2 2 12 25 18 (2 9) 4 3 1 3 14 8 6 4 y y y x x x x x y y  + + + = + +   + + − − = − −   2 Đ K : 2 1 3 6 4 0 x y y  ≥ −    − − ≥  Xét ph ươ ng trình 3 2 2 12 25 18 (2 9) 4 y y y x x + + + = + + (1) 3 2 3 3 2 2 2 2 12 25 18 (2 9) 4 2( 2) ( 2) 2( 4) 4 4 ( ) 2 '( ) 6 1 0 2 2 (1) ( 2) ( 4) 2 4 ( 2) 4 4 y y y x x y y x x x f t t t f t t y y f y f x y x y x x y y + + + = + + ⇔ + + + = + + + + = + ⇔ = + > ≥ − ≥ −   ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ ⇔   + = + = +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 25 18 (2 9) 4 4 3 1 6 3 14 8 0 3 1 3 14 8 6 4 4 w . . 3 1 4 6 1 3 14 5 0 4 3 5 5 ( 5)(3 1) 0 3 1 4 6 1 4 3 ( 5) 3 y y y x x x y y x x x x x x x y y x y y ww mathvncom x x x x x y y x x x x x x x y y x   + + + = + + = +   ⇔ ⇔   + − − + − − = + + − − = − −      = +  ⇔  + − − − − + − − =    = +   − − ⇔  + + − + =  + − − −   = + ⇔ − ( ) ( ) ( ) ( ) 5 1 1 (3 1) 0 1 4 6 1 3 1 1 (3 1) 0, 3 3 1 4 6 1 x y x x x x x x x   =     ⇔     = + + + =     + − − −     + + + > ∀ ≥ − + − − − V ậ y h ệ có nghi ệ m x=5,y=1 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 9 Cho 1 1; , 1 4 x y z ≤ ≤ ≥ sao cho 1 xyz = . Tìm gía tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 1 1 1 1 1 1 P x y z = + + + + + 2 Ta có 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 P y z x yz yz yz yz + ≥ ⇒ ≥ + = + + + + + + + + Đặ t 2 2 1 2 1 2 ( ) 1 1 t t yz t P f t t t x = ⇒ ≤ = ≤ ⇒ = = + + + 0.5 0.5 0.5 Facebook.com/thithudaihoc ( ) ( ) 2 2 2 2 2 '( ) 0 1 1 22 ( ) (2) www.dethithudaihoc.com 15 t f t t t f t f = − ≤ + + ≤ = Suy ra 22 1 , 2 15 4 MinP x y z = ⇔ = = = 0.25 0.25 Nế u thí sinh giả i theo cách khác nế u đ úng vẫ n cho đi ểm t ối đa . cần tìm bằng 4 4 10 3 www.dethithudaihoc.com C 0.5 0.5 0.5 0.5 5 Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình thoi tâm O c ạ nh b ằ ng a, 0 120 DAB ∠ = .Hai m ặ t. 3 2 2 2 2 12 25 18 (2 9) 4 3 1 3 14 8 6 4 y y y x x x x x y y  + + + = + +   + + − − = − −   2 Đ K : 2 1 3 6 4 0 x y y  ≥ −    − − ≥  Xét ph ươ ng trình 3 2 2 12 25 18 (2. Hế t………………………. Ghi chú: - Thí sinh không s ử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 12 TR ƯỜ NG THPT NGHI S Ơ N H ƯỚ NG D Ẫ N CH Ấ M MÔN TOÁN THI T H Ử THPT QU Ố C GIA 2015