SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP & HÌNH KHÔNG GIAN Chuyên đề: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau GV hướng dẫn: Ngô Hải Dương Người thực hiện: Nhóm 2. GVHD: Ngô Hải Dương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Năm học: 2014 - 2015 MỤC LỤC Phần 1: DANH SÁCH NHÓM 2 3 I. Lý thuyết 4 3.Phương pháp: II. Bài tập 9 III. DẠng bài tẬp liên quan 27 Nhóm 2 2 GVHD: Ngô Hải Dương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phần 1: DANH SÁCH NHÓM 2 1. Từ Thị Hồng Linh (nhóm trưởng) 2. Hoàng Nữ Khánh Huyền 3. Trần Phương Hà 4. Ngô Thị Minh Hạnh 5. Trần Hải Yến 6. Hà Thị Khánh Huyền 7. Trần Thị Thanh Tâm 8. Hà Thị Huyền Trang Nhóm 2 3 GVHD: Ngô Hải Dương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau I. LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Nếu đường thẳng ∆ cắt cả a và b lần lượt tại M và N, đồng thời vuông góc với cả a và b thì đường thẳng ∆ được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. 2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua a và vuông góc với a. Mặt phẳng (Q) cắt b tại N và cắt (P) theo giao tuyến a’. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (P) thì ∆ nằm trong (Q) và cắt a tại M. Như vậy ∆ cùng vuông góc với cả a và B nên ∆ chính là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b, còn độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Nhận xét: • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại. ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) b d a b d a a song song α α α ⊂ ⇒ = • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,b ( , ) ( , ) ( ) a d a b d song song β α β α α β ⊂ ⊂ ⇒ = 3. Phương pháp: 1. Nếu a ⊥ b thì ta dựng đoạn vuông góc chung của a và b như sau: - Dựng mặt phẳng (α) chứa b và vuông góc với a. - Tìm giao điểm O= a (α) - Dựng OH ⊥ b - Đoạn OH chính là đoạn vuông góc chung của a và b. Nhóm 2 4 GVHD: Ngô Hải Dương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Ví dụ : Minh Hạnh Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA ⊥ mp(ABCD) và SA= a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1, SB và AD; 2, BD và SC; Giải: 1) Ta có DA ⊥ mp(SAB) tại A. Gọi AH là đường cao của tam giác vuông SAB thì AH là đường vuông góc chung của SB và AD. Vậy d(SB;AD) = AH. Vì tam giác SAB vuông cân nên 1 2 2 2 a AH SB = = 2) Ta có BD ⊥ mp(SAC) tại tâm O của hình vuông ABCD. Kẻ OK ⊥ SK (K ∈ SC) thì OK là đường vuông góc chung của BD và SC. Như vậy d (BD;SC) = 1 2 OK AI = (ở đó AI là đường cao của tam giác vuông SAC), mặt khác 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 6 2 3 a AI AI AS AC a a = + = + ⇒ = Vậy 6 ( ; ) 6 a d BD SC = . Nhóm 2 5 GVHD: Ngô Hải Dương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 2. Nếu a, b không vuông góc với nhau thì có thể dựng đoạn vuông góc chung của a và b theo hai cách sau: Cách 1: - Dựng mặt phẳng (α) chứa b và song song với a. - Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ (α) trên(α). - Trong (α) dựng đường thẳng a’ đi qua A’ và song song với a cắt b tại M, từ M dựng đường thẳng song song với AA’ cắt a tại N. Đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung của a và b. Ví dụ 1:Phương Hà Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA vuông góc với đáy góc tạo bởi SC và (SAB) là ° 30 . Gọi E,F là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF. Giải: Vì    ⊥ ⊥ SACB ABCB ⇒⊥⇒ )(SABCB BCS ˆ = ° 30 330cot. aBCSB =°=⇒ 2aSA =⇒ Từ C dựng CI song song với DE ta có CI = DE = 2 a . Ta có mặt phẳng (CFI) chứa CF và song song với DE. Nhóm 2 6 GVHD: Ngô Hải Dương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Ta có d(DE,CF)= d(DE,(CFI))= d(D,(CFI))= d(H,(CFI)) với H là chân đường cao hạ từ F lên AD Dựng 22 )/( . )( HFHK HFHK HRdFCIHR FKHR CIHK CFIH + ==⇒⊥⇒    ⊥ ⊥ Ta có 13 3 2 3 2 3 . . . 2 1 . 2 1 2 2 a aa aa CI HICD HKHICDCIHK =       + ==⇒= Ta có FH = a aa aa HR a 31 313 13 3 2 2 13 3 . 2 2 2 2 2 2 =         +         =⇒ Nhận xét : Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ bản là : Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI). Việc làm này giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Ví dụ 2: Hoàng.Khánh Huyền (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính ( , )d AB SN Giải: + Gọi I là trung điểm của BC. Do MN//BC nên N là trung điểm của AC. Do đó, IN//AB hay ( , ) ( ,( ))d AB SN d AB SNI = + Trong mp(ABC) kẻ ,( ) (*)AJ IN J IN ⊥ ∈ Trong mp(SAJ) kẻ ,( ) (1)AH SJ H SJ ⊥ ∈ Nhóm 2 7 GVHD: Ngô Hải Dương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau + Theo giải thiết ta có: ( ) ( ) ( ) (**) ( ) ( ) SAB ABC SA ABC SA IN SAC ABC ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Từ (*), (**) ta có: ( ) (2)IN SAJ IN AH ⊥ ⇒ ⊥ . Từ (1), (2) ta có: ( ) ( , )AH SIN d AB SN AH ⊥ ⇒ = . + Ta có: · 0 0 (( ),( )) 60 .tan 60 2 3SBC ABC SBA SA AB a= = ⇒ = = ; AJ BI a = = . + Xét tam giác vuông SAJ có: 2 2 2 2 1 1 1 13 12 . 13 12 AH a AH SA AJ a = + = ⇒ = . Vậy . 156 ( , ) 13 a d AB SN AH = = Cách 2: - Dựng mặt phẳng (α) vuông góc với a tại O, (α) cắt b tai I. - Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên (α). - Trong (α) dựng OH ⊥ b tại H. - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B. - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A. Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của a và b. Ví dụ : Huyền Trang Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF không cùng thuộc một mặt phẳng và AB = a, AD = AF = a . AC vuông góc với BF. Tính khoảng cách giữa AC và BF. Vẽ AK ⊥ BF . Từ K kẻ KH ⊥ AC (1) Ta có : BF ⊥ (AKC) ⇒ BF ⊥ KH (2) Từ (1) và (2) suy ra HK là đường vuông góc chung của AC và BF.(theo định nghĩa) ∆ABF vuông tại A ⇒ AK = = = Ta có : AC ⊥ (BHK) ⇒ AC ⊥ BH ∆ABC vuông tại B ⇒ AB 2 = AH.AC ⇒ AH = = Nhóm 2 8 GVHD: Ngô Hải Dương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆AHK vuông tại H ⇒ HK 2 = AK 2 – AH 2 = - = ⇒ d(AC,BF) = HK = II. BÀI TẬP Bài 1: (ĐH khối B năm 2002) –Hà.Khánh Huyền Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A 1 B và B 1 D. Giải : Ta có AB 1 ⊥ A 1 B (vì BAA 1 B 1 là hình vuông) A 1 B ⊥ AD (vì AD ⊥ (BAA 1 B 1 )) ⇒ A 1 B ⊥ (B 1 AD) ⇒ A 1 B ⊥ B 1 D (1) Vì DD 1 ⊥ (A 1 B 1 C 1 D 1 ) ⇒ DD 1 ⊥ A 1 C 1 Do A 1 B 1 C 1 D 1 là hình vuông nên A 1 C 1 ⊥ B 1 D 1 Từ đó A 1 C 1 ⊥ (B 1 DD 1 ) ⇒ A 1 C 1 ⊥ B 1 D (2) Từ (1) và (2) suy ra : B 1 D ⊥ (A 1 BC 1 ) (3) Bây giờ ta tìm giao điểm của B 1 D với (A 1 BC 1 ) . Gọi H là giao điểm của AB 1 và A 1 B. Trong mặt chéo (B 1 A 1 DA) rõ ràng : HC 1 ∩ B 1 D = G. Do B 1 H = HA = 1 2 C 1 D ⇒ GH = 1 2 GC 1 ⇒ G là trọng tâm của tam giác A 1 BC 1 . Vì A 1 BC 1 là tam giác đều nên GH ⊥ A 1 B , còn GH ⊥ B 1 D vì B 1 D ⊥ (A 1 B 1 C 1 ). Như thế GH là đường vuông góc chung của A 1 B và B 1 D nên nó chính là khoảng cách giữa A 1 B và B 1 D. Nhóm 2 9 GVHD: Ngô Hải Dương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Ta có : 1 1 1 1 1 2. 3 6 6 ( , ) 3 3 6 6 6 a a a GH C H d A B B D = = = ⇒ = Nhóm 2 10 [...]... = 3 3 28 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau GVHD: Ngô Hải Dương Bài 2 (Minh Hạnh) Đường thẳng AM tạo với mặt phẳng chứa tam giác đều ABC một 600 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AM và đường thẳng BC, biết rằng cạnh của tam giác đều bằng a và = Giải: Vì = nên hình chiếu của đường thẳng AM trêm mp (ABC) là đường phân giác của góc AH của Dễ thấy BC ⊥ mp ( AHM ) , từ đó chính là góc giữa AM với... BH Dựng hình chữ nhật BHKP => KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng A’B và AD’ Xét ∆IBE vuông tại B = ó Nhóm 2 + = + ó BH = 25 GVHD: Ngô Hải Dương Nhóm 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 26 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau GVHD: Ngô Hải Dương III DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN Bài 1(Minh Hạnh) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c 1, Tính khoảng cách từ điểm... (AHM) kẻ đường cao HK của tam giác AHM thì HK chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC a 3 a 3 3 3a Ta có AH = =60 , từ đó HK= AH.sin600 hay HK = , = 2 2 2 4 Vậy khoảng cách giữa AM và BC bằng Nhóm 2 3a 4 29 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau GVHD: Ngô Hải Dương Bài 3: (Minh Hạnh) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AD’, điểm N thuộc đoạn thẳng BD... tại D: = Nhóm 2 + = + = 22 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau GVHD: Ngô Hải Dương Bài 11: (Trần Yến)Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a) AD và SB b) SA và BD Giải: a) Gọi I là hình chiếu của S lên (ABCD) M là trung điểm của BC Ta có => AD ⊥ (SIM) => BM ⊥ (SIM) Lại có =>SM là hình chiếu của SB trên (SIM)... trên (SIM) Từ I dựng IH ⊥SM => IH là khoảng cách giữa SB và AD Dựng hình chữ nhật HKIP => KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SB và AD d(AD,SB) = IH Xét ∆SIM vuông tại I có: = ó Nhóm 2 = + + 23 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau GVHD: Ngô Hải Dương ó ó IH = = b) Gọi O là tâm của đáy (ABCD) E là giao điểm của đường thẳng song song với DB cùng và đường thẳng song song với AC L và J là trung... 9.Hồng Linh Cho hình lập phương ABCD.A”B’C’D’ cạnh a Gọi M, N là trung điểm BC và DD’ Tính khoảng cách của hai đường thẳng BD và MN Nhóm 2 19 GVHD: Ngô Hải Dương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Gọi I là giao điểm của AD’ và A’D →I là trung điểm A’D Lại có N là trung điểm DD’ → NI là đường trung bình ∆A’D’D → NI= A’D’ Mặt khác : MB = BC BC, A’D’ song song và bằng nhau → MBIN là hình bình hành... Dương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Bài 3:(ĐH khối B năm 2007) Hà.Khánh Huyền Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo a Giải : Gọi P là trung điểm của AB Khi đó MP // AB (1) ⇒ SE // BC Ta có SE // DA và SE = DA Có SE = BC ⇒ SEBC là hình. .. ra (A’NL) ⊥ B’C ⊂ (MB’J) Nhóm 2 18 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau GVHD: Ngô Hải Dương → (A’NL) ⊥ (MB’J) theo giao tuyến KG (**) (G=A’N đều A’B’C’) Từ (*),(**) suy ra d(A’,KG)=d(A’B,B’C) B’M→ G là trọng tâm ∆ Từ A’ kẻ A’H ⊥ KG Ta có: - A’N là đường trung tuyến của ∆ đều A’NL → A’N = - NL là đường trung bình của ∆B’DC’→NL= - A’L= = - = G là trọng tâm ∆ đều A’B’C’→ GN= A’N= Trong ∆ vuông GNK... Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’; 3, Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’C) và (A’C’D); Giải: 1, Kẻ BH ⊥ AC( H ∈ AC) Do mp(ABCD) ⊥ mp(ACC’A’) nên BH ⊥ mp(ACC’A’) Vậy d(B;mp(ACC’A’)) = BH Vì BH.AC = BA.BC nên BH = BA.BC từ đó BH= AC ab a2 + b2 2, Ta có BB’ và AC’ là hai đường thẳng chéo nhau mà BB’// mp(ACC’A’) nên D(BB;AC’) = d(BB’; mp(ACC’A’)) = d(B;mp(ACC’A’)) = ab a2 + b2 3, Cách. .. AL’=AH - L’H=a - Áp dụng định lí Talet cho ∆AIL’ có JK//IL’: = = = →JK= IL’= = Ta có KM//HO( cùng vuông góc với AC) → = = = → MK= = = = Mà SDMJ=SDKM – SMJK = DK.MK - JK.MK = (DK – JK).MK = ( - ) = Mà SDMJ= DL.MJ → DL= MJ= →DL= Nhóm 2 = = = = = 17 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau GVHD: Ngô Hải Dương Bài 8 Hồng Linh Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Tính khoảng . dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Nhận xét: • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng. và b thì đường thẳng ∆ được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. 2. Cách tìm đường vuông. THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP & HÌNH KHÔNG GIAN Chuyên đề: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau GV hướng dẫn: Ngô Hải Dương Người thực hiện: Nhóm 2. GVHD: Ngô Hải Dương Khoảng cách giữa