CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc BÀI TẬP LÝ THUYẾT SAI SỐ. Giáo viên: Đoàn Thị Bích Ngọc. Sinh viên: Nguyễn Văn Nhựt MSSV: 0250030258 Biên Hòa, ngày 7 tháng 5 năm 2015 CHƯƠNG I: Khái quát các thành phần lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Bài tập 1: Hãy xác định xác suất xuất hiện 3 lần sai số âm trong 10 lần đo, nếu như xác suất xuất hiện sai số âm trong một lần đo là P = 0.5 Bài tập 2: Cho biến ngẫu nhiên x tuân theo luật phân bố chuẩn với kỳ vọng 25 và phương sai 10. Xác định xác suất : P(16.75 ≤ x ≤ 23.82). Bài tập 3: Theo kết quả khảo sát máy đo dài vật lý CBB-1 có khoảng cách D và sai số m như sau: D(km) 8.7 3.7 5.1 4.9 6.1 5.6 6 2.7 m(cm) 8 3 4 4 5 3 4 3 Xác định hệ số tương quan giữa D và m, lập phương trình hồi quy. BÀI GIẢI: Bài 1: Tóm tắt: Xác suất xuất hiện sai số âm 3 lần đo n=10 trong 10 lần đo là: k=3 p=0.5 ⇔ 733 10 )3( 10 qpCP = => q= 0.5 Với 120 )!3!10(!3 !10 3 10 = − =C 1172.0 128 15 )5.0()5.0(120 73)3( 10 ≈=××= P Vậy xác suất xuất hiện sai số âm 3 lần đo trong 10 lần đo là 11.72％ kknk n k n pqCP )( − = Bài 2: Theo đề ta có: M(X)= 25 D(X)= 10 ⇒ 10 = σ Tính: 25.82575.16)( 11 −=−=−= XMx ξ 61.2 10 25.8 1 1 1 −= − == σ ξ t 18.12582.23)( 22 −=−=−= XMx ξ 37.0 10 18.1 )( 2 2 −= − == X t σ ξ Tra bảng “Phụ lục 2” ⇒ 005.0)61.2()( 1 =−= FtF 345.0)37.0()( 2 =−= FtF 3434.0005.0345.0)()()( 1221 ==−=−=≤≤ tFtFxxxP ％ Vậy xác suất 1 lần thử để X rơi vào khoảng từ 16.75 đến 23.82 là 34％. Bài 3: Di mi t= Di - D tb k=mi - m tb t.k t 2 k 2 λ b 8.7 8 3.35 3.75 12.56 11.22 14.06 3.7 3 -1.65 -1.25 2.06 2.72 1.56 5.1 4 -0.25 -0.25 0.06 0.06 0.06 4.9 4 -0.45 -0.25 0.11 0.20 0.06 6.1 5 0.75 0.75 0.56 0.56 0.56 0.76 0.16 5.6 3 0.25 -1.25 -0.31 0.06 1.56 6 4 0.65 -0.25 -0.16 0.42 0.06 2.7 3 -2.65 -1.25 3.31 7.02 1.56 D tb m tb ∑ ∑ ∑ 5.35 4.25 18.20 22.28 19.50 1.78 1.67 Với 1 1 2 − = ∑ n t n D σ 1 1 2 − = ∑ n k n m σ mD n n kt σσ λ . 1 ∑ = Và: b= m tb - λD tb ⇒ Phương trình hồi quy: m i =λD i +b ⇒ y=0.76D i + 0.16 CHƯƠNG 2: Cơ sở lý thuyết sai số đo đạc Bài 1: Một góc β được đo 10 lần cùng một loại máy kinh vĩ. Kết quả thu được ghi trong bảng bên dưới. Giả thiết sai số trung phương cần đo góc trên là m = 2”.0 và mặt bằng tin cậy α = 0.01. Hãy đánh giá độ tin cậy của dãy kết quả đo trên theo các phương pháp: a. Phương pháp độ lệch cực đại. b. Phương pháp kiểm tra hiệu chênh. Bài tập 2: Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0, 2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương một lần đo. STT i β  ( 0 ‘ “ ) STT i β ( 0 ‘ “ ) 1 80 30 45.7 6 80 30 46.9 2 80 30 48.0 7 80 30 46.7 3 80 30 44.9 8 80 30 44.8 4 80 30 45.3 9 80 30 47.0 5 80 30 47.2 10 80 30 45.9 Bài tập 3: Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0, 2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương giá trị trung bình cộng khoảng cách. Bài tập 4: Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0, 2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách 100m. Bài tập 5: Đo hai góc trong một tam giác với sai số trung phương tương ứng là 4" và 5" . Góc thứ ba trong tam giác được tính trên cơ sở hai góc vừa đo. Hãy tính sai số trung phương của góc thứ 3. Bài tập 6: Trị trung bình cộng đo từ 14 lần đo góc A là ''12'3090 0 , sai số trung phương đo góc mỗi lần đo là 3". Hãy xác định sai số trung phương và khoảng tin cậy của trị trung bình cộng với xác suất 95%. Bài tập 7: Để xác định diện tích một lô đất hình bình hành ABCD, ta tiến hành đo 2 cạnh S AB , S AD và góc kẹp giữa hai cạnh này với các kết quả như sau: S AB = 130 m , S AD = 160 m , góc 0 50= β . Sai số trung phương tương đối đo cạnh 10000 1 = S m s , sai số trung phương đo góc "6= β m . Hỏi: + Diện tích lô đất. + Tính sai số trung phương và sai số trung phương tương đối xác định diện tích. Bài tập 8: Biết điểm A có tọa độ x A = 500.00m; y A = 500.00m, khoảng cách AB là S AB = 500.00m, sai số trung phương đo cạnh AB là mmm AB S 2±= ; phương vị cạnh AB là 0 30 = AB α và sai số trung phương phương vị "3±= AB m α . Đo khoảng cách BC được S BC = 1000.00m và sai số trung phương đo cạnh S BC là mmm BC S 7 ±= , góc 0 125= β và sai số trung phương đo góc "5= β m Tính: + Tọa độ điểm B và C. + Tính sai số trung phương vị trí điểm B và C Giả sử điểm A không có sai số. Bài tập 9: Trong tam giác ABC người ta đo: + Góc A = với sai số trung phương 20" + Góc B= với sai số trung phương 20" + Cạnh BC = 135.45 m với sai số trung phương tương đối 1/2000 a. Tính sai số trung phương góc B. b.Tính sai số trung phương tương đối độ dài cạnh AC. "'0 493050 "'0 295060 BÀI GIẢI Bài 1:  Phương pháp độ lệch cực đại.   β max = 80 0 30’48” ; β min = 80 0 30’44.8”  Độ lệch cực đại trong dãy 10 trị đo: R n =β max - β min = 80 0 30’48”- 80 0 30’44.8”= 3.2”  Với "2== σ m ; n=10 99.001.011 =−=−= αβ  Tra bảng D-simow ⇒ d n, α = d 0.01,10 = 5.16  Xác định R max cho phép: R max = = n d , . α σ 2 x 5.16= 10.32”  Ta thấy: R n = 3.2” < R max = 10.32” ⇒ Kết quả đo góc có thể chấp nhận được. Sai số thô không tồn tại trong dãy trị đo.  Phương pháp kiểm tra hiệu chênh .  β max = 80 0 30’48” ; β min = 80 0 30’44.8”  Trị trung bình cộng không tính đến cực đại: x 1 = 80 0 30’46.04”  Trị trung bình cộng không tính đến cực tiểu: x 2 = 80 0 30’46.4”  Hiệu chênh giữa cực đại và trị trung bình cộng: "96.1"04.46'3080"48'3080 00 1max1 =−=−= x βδ  Hiệu chênh giữa cực tiểu và trị trung bình cộng: "6.1"4.46'3080"8.44'3080 00 min22 =−=−= βδ x  T pmax = 98.0 "2 "96.1 1 == σ δ  8.0 "2 "6.1 2 min === σ δ p T  Với 99.001.011 =−=−= αβ và n=10  Tra bảng “ phân bố Student” với số bậc tự do n- 1= 9 25.3 01.0),9(),1( ==⇒ − pnp tt α Ta thấy: T pmax < t p(n-1), α T pmin < t p(n-1), α Vậy không có cơ sở để nói rằng trong dãy trị đo β max , β min có tồn tại sai số thô => Không có cơ sở để loại bỏ dãy trị đo. Bài 2:  Sai số trung phương 1 lần đo: [ ] mm)(9.4 10 49 ±=±=±= n m εε )(21.2 mmm ±≈ Vậy sai số trung phương 1 lần đo là: )(21.2)(9.4 mmmmm ±=±= Bài 3:  Lập mối quan hệ hàm số: S= 10 1 S + 10 2 S + 10 3 S + 10 4 S + 10 5 S + 10 6 S + 10 7 S + 10 8 S + 10 9 S + 10 10 S  Tính đạo hàm: i S S ∂ ∂ = 10 1 với i= 101 ÷  Công thức: STT ε εε 1 -1 1 2 3 9 3 -2 4 4 0 0 5 2 4 6 -2 4 7 1 1 8 -3 9 9 4 16 10 -1 1 ∑ 49 2 2 10 2 2 1 2 101 SSS m S S m S S m ×         ∂ ∂ ++×         ∂ ∂ = Vì các trị đo cùng độ chính xác )(9.4 mmm ±= (Tính ở bài 2) Nên )(7.0 10 9.4 mm n m m S ±=±=±= Vậy sai số trung phương giá trị trung bình cộng khoảng cách là )(7.0 mmm S ±= [...]... tồn tại sai số thô còn dư => Sai số trung phương của một lần đo chênh cao là: [ dd ] = ± 101 = ±2.37(mm) mL = ± 2n 18 = >Sai số trung phương trị trung bình cộng của 2 lần đo là: [ dd ] = ± 101 = ±1.67(mm) mx = ± 4n 36 Bài 2:  Chọn sai số trung phương trọng số đơn vị là sai số trung phương của chênh cao tuyến từ 1 lần đo có 10 trạm đo ⇒ µ = m1TĐ × 10  Sai số trung phương của chênh cao tuyến từ số trạm... 4: Cơ sở lý thuyết bình sai trị đo lưới trắc địa Bài 1: Viết hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh ( phương pháp bình sai điều kiện) và hệ phương trình số hiệu chỉnh ( theo phương pháp bình sai tham số) cho lưới độ cao sau: A h1 B 2 h3 h2 Số liệu gốc: h4 C h5 1 D Số liệu đo: STT H(m) A 3.000 B 2.000 C 4.000 D 5.000 Bài 2: Viết hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh ( phương pháp bình sai điều kiện)... 1 Sai số trung phương tương đối của chênh cao gần đúng nhất: = T 1000 Bài 3:  Chọn sai số trung phương trọng số đơn vị là sai số trung phương của chênh cao tuyến từ 1 lần đo có 10 trạm đo ⇒ µ = m1TĐ × 10  Sai số trung phương của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính: mi = m1TĐ × m STĐ  Trọng số của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính: ( ) 2 µ2 m1TĐ × 10 Pi = 2 = mi m1TĐ × STĐ... trình số hiệu chỉnh ( theo phương pháp bình sai tham số) cho lưới độ cao sau: h2 I h7 h1 A II h4 h 3 4 h5 III h6 B Số liệu gốc: HA= 1.000 (m) ; HB= 3.000 (m) Số liệu đo: STT 1 2 3 4 5 6 7 hi (m) 2.470 1.350 1.075 -0.275 2.74 -0.745 1.815 Bài giải: Bài 1:  Phương pháp bình sai tham số: Gọi H1, H2 là độ cao sau bình sai của các điểm 1, 2 0 H10 , H 2 là giá trị gần đúng của các điểm 1, 2 dH1, dH2 là gia số. .. 41.667 2 188.635  Tính sai số trung phương trọng số đơn vị : [ Pvv] = ± 188.635 = ±4.856(mm) µ =± n −1 8  Tính sai số trung phương của chênh cao gần đúng nhất: µ 4.856 mhAB = ± =± = ±1.304(mm) [ P] 13.873  Tính sai số trung phương tương đối của chênh cao gần đúng nhất: 1 mhAB 1.304 ×10 −3 1 1 = = = = T hAB 1.356 1039.877 1000 Vậy chênh cao gần đúng nhất: hAB= 1.356(m) 1 1 Sai số trung phương tương... 206265  2 ⇔ mS AC = 6091.09( mm ) ⇔ mS AC = ±78.04( mm ) Vậy sai số trung phương tương đối độ dài cạnh AC: 1 mS AC 78.04 1 = = = 3 T S AC 153.26 ×10 1964 Chương 3: Xử lí số liệu đo lặp đo kép Bài 1: Cho kết quả đo chênh cao giữa các điểm theo phương pháp thay đổi chiều cao máy như trong bảng Hãy tính sai số của một lần đo chênh cao và sai số trung phương của trị trung bình cộng của hai lần đo Trạm đo... = 0  mm Hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là: v1 − v2 + −5 = 0  mm − v4 + v5 − 5 = 0 Bài 2:  Phương pháp bình sai tham số: Gọi H1, H2, H3 là độ cao sau bình sai của các điểm I, II, III 0 H 10 , H 2 , H 30 là độ cao gần đúng của các điểm I, II, III dH1, dH2, dH3 là gia số độ cao các điểm I, II, III hiđo là chênh cao đo hibs là chênh cao sau bình sai vi là số hiệu chỉnh vào chênh cao đo H.. .Bài 4: Với mS = 0.7( mm) = 7x10-4 (m) (Tính ở bài 3) S= 100 (m) ⇒ Sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách 100m là: 1 mS 7 × 10 −4 1 1 = = = ≈ T S 100 142857 140000 Vậy sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách 1 1 100m là = T 140000 Bài 5:  Lập quan hệ hàm:  Tính đạo hàm: β 3 = 1800 − β1 −... +  130 ×160 × cos 50 ×     206265      ( ) 2 mS = 5.2289 ⇒ mS = 2.29(m 2 ) 2 Vậy sai số trung phương xác địnhdiện tíchlà : mS = 2.28( m )  Sai số trung phương tương đối xác định diện tích: 1 mS 2.28 1 = = = T S 15933.72 6988.47 Vậy sai số trung phương tương đối xác định diện tích là: 1 1 = T 6988.47 Bài 8: x A = 500m; y A = 500m S AB = 500m; mS AB = ±2mm α AB = 300 ; mα AB = ±3" BC = 1000m;... mm v2 = dH1 − 5  Hệ phương trình số hiệu chỉnh: v3 = dH 2 − dH 1  mm v4 = −dH 2 − 5 v5 = − dH 2   Phương pháp bình sai điều kiện:  Số trị đo cần thiết: t = 2  Tổng số phương trình điều kiện: r = 5 - 2 = 3 => Lưới có 3 phương trình điều kiện hiệu độ cao 2 điểm gốc bs Gọi hi là chênh cao sau bình sai các điểm độ cao vi là số hiệu chỉnh vào độ cao sau bình sai hiđo là chênh cao đo => Hệ phương . C. + Tính sai số trung phương vị trí điểm B và C Giả sử điểm A không có sai số. Bài tập 9: Trong tam giác ABC người ta đo: + Góc A = với sai số trung phương 20" + Góc B= với sai số trung. và thống kê toán học. Bài tập 1: Hãy xác định xác suất xuất hiện 3 lần sai số âm trong 10 lần đo, nếu như xác suất xuất hiện sai số âm trong một lần đo là P = 0.5 Bài tập 2: Cho biến ngẫu nhiên. 45.9 Bài tập 3: Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0, 2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương giá trị trung bình cộng khoảng cách. Bài tập