Giới Hạn A. Kiến thức sách giáo khoa I. Giới hạn của dãy số 1. Dãy số có giới hạn 0 a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số ( ) n u có giới hạn 0, kí hiệu ( ) n lim u 0= (hay n limu 0= ), nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. b. Tính chất: ( ) ( ) n 1 1 lim 0; lim 0 0 ; limq 0 | q | 1 n n α = = α > = < c. Định lí: Cho hai dãy số ( ) n n n n n n | u | v u ,v : limu 0 lim v 0 ≤   ⇒ =  =   (1) 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số ( ) n u có giới hạn là số thực L, kí hiệu n limu L= , nếu ( ) n lim u L 0− = ( ) n n limu L lim u L 0= ⇔ − = b. Các định lí: • Cho (u n ) mà u n = c, ∀n : n limu c= • limu n = L n 3 3 n lim | u | | L | lim u L =   ⇒  =   • Nếu n n limu L,lim v M= = thì: ( ) ( ) n n n n n n n u L lim u v L M; lim u .v L.M; lim k.u k.L (k ); lim (M 0) v M ± = ± = = ∈ = ≠¡ • ( ) n n n n n n v u w , n limu L lim v lim w L L ≤ ≤ ∀   ⇒ =  = = ∈   ¡ (2) • Dãy (u n ) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn; Dãy (v n ) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. (3) c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn • n 2 n 1 n 1 1 1 1 1 1 q S u u q u q u q u . ; 1 q − − = + + + + = − • n 2 n 1 1 1 1 1 1 n 1 u 1 q S u u q u q u q limS lim u . ; 1 q 1 q − − = + + + + + = = = − − 3. Dãy số có giới hạn vô cực a. Dãy số có giới hạn +∞ Ta nói rằng dãy (u n ) có giới hạn +∞, kí hiệu limu n = +∞, nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Kết quả: 3 limn ;lim n ;lim n= +∞ = +∞ = +∞ b. Dãy số có giới hạn - ∞ Ta nói rằng dãy (u n ) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limu n = -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. 1 c. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực • Quy tắc nhân n limu n lim v ( ) n n lim u .v n limu n lim v ( ) n n lim u .v +∞ +∞ +∞ +∞ + +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ − −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ + −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ − +∞ • Quy tắc chia n limu L 0= ≠ có dấu n n lim v 0, v 0= ≠ có dấu n n u lim v + + +∞ + − −∞ − + −∞ − − +∞ II. Giới hạn của hàm số 1. Giới hạn hữu hạn a. Giới hạn hữu hạn Cho ( ) 0 x a;b∈ và f là hàm số xác định trên tập ( ) { } 0 a;b \ x . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu ( ) 0 x x lim f x L → = , khi x dần đến 0 x (hoặc tại điểm 0 x ), nếu với mọi dãy số ( ) n x trong tập ( ) { } 0 a;b \ x mà n 0 lim x x= , ta đều có ( ) n limf x L= b. Giới hạn vô cực ( ) 0 x x lim f x → = +∞ nếu mọi dãy ( ) n x trong tập ( ) { } 0 a;b \ x mà n 0 lim x x= thì ( ) n limf x = +∞ 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( ) a;+∞ . Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞, kí hiệu ( ) x lim f x L →+∞ = , nếu với mọi dãy số ( ) n x trong khoảng ( ) a;+∞ mà n lim x = +∞ , ta đều có ( ) n limf x L= 3. Các định lí a. Định lí 1: Giả sử ( ) 0 x x lim f x L → = và ( ) ( ) 0 x x lim g x M L,M → = ∈¡ . Khi đó: • ( ) ( ) 0 x x lim f x g x L M → ± = ±    • ( ) ( ) 0 x x lim f x .g x L.M → =    • ( ) ( ) 0 x x lim k.f x k.L k → = ∈    ¡ • ( ) ( ) ( ) 0 x x f x L lim M 0 g x M → = ≠ b. §Þnh lÝ 2: Gi¶ sö ( ) 0 x x lim f x L → = . Khi đó: • ( ) 0 x x lim | f x | | L | → = ; • ( ) 0 3 3 x x lim f x L → = ; • Nếu ( ) f x 0≥ với mọi { } 0 x J \ x∈ , trong đó J là một khoảng nào đó chứa 0 x thì L 0≥ và ( ) 0 x x lim f x L → = . 2 c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa 0 x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp { } 0 J \ x . Khi đó: { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x x x x x x x J \ x : g x f x h x lim f x L lim g x lim h x L → → → ∀ ∈ ≤ ≤  ⇒ =  = =   4. Giới hạn một bên a. Định nghĩa: • Giả sử hàm f xác định trên khoảng ( ) 0 0 x ;b ,x ∈¡ . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x 0 , kí hiệu: ( ) 0 x x lim f x L + → = , nếu với mọi dãy số ( ) n x trong khoảng ( ) 0 x ;b mà n 0 lim x x= , ta đều có ( ) n limf x L= . • Giả sử hàm f xác định trên khoảng ( ) 0 0 a;x , x ∈ ¡ . Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x 0 , kí hiệu: ( ) 0 x x lim f x L − → = , nếu với mọi dãy số ( ) n x trong khoảng ( ) 0 a;x mà n 0 lim x x= , ta đều có ( ) n limf x L= . • Các định nghĩa ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x x x x x x x x lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x − − + + → → → → = +∞ = −∞ = +∞ = −∞ được phát biểu tương tự như trên. b. Định lí: • ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x x x x x x lim f x lim f x L lim f x L + − → → → = = ⇒ = • ( ) ( ) 0 0 x x x x 1 lim | f x | lim 0 f x → → = +∞ ⇒ = 5. Quy tắc tìm giới hạn vô cực a. Quy tắc nhân b. Quy tắc chia ( ) 0 x x lim f x → ( ) 0 x x lim g x L 0 → = ≠ có dấu ( ) ( ) 0 x x lim f x .g x →     ( ) 0 x x lim f x L 0 → = ≠ có dấu ( ) 0 x x lim g x 0 → = g(x) có dấu ( ) ( ) 0 x x f x lim g x → +∞ + +∞ + + +∞ +∞ − −∞ + − −∞ −∞ + −∞ − + −∞ −∞ − +∞ − − +∞ 6. Các dạng vô định Khi tìm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x lim ,lim f x g x ,lim f x g x g x −         khi 0 0 0 x x ;x x ; x x ;x ; x + − → → → → +∞ → −∞ ta gặp các dạng vô địn, kí hiệu 0 , ,0. , 0 ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ , lúc đó ta không dùng được các định lí về giới hạn cũng như các quy tắc tìm giới hạn vô cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vô định B. Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số. 3 Ví dụ 1: Tìm: 2 3 2 8n 3n lim n − Giải: 2 3 3 3 2 8n 3n 3 lim lim 8 8 2 nn − = − = = Ví dụ 2: Tìm: 2 2 2n 3n 1 lim n 2 − − − + Giải: 2 2 2 2 3 1 2 2n 3n 1 2 n n lim lim 2 2 1n 2 1 n − − − − = = = − −− + − + Ví dụ 3: Tìm: ( ) 2 lim n 1 n 1− − + Giải: ( ) 2 2 2 2n 2 lim n 1 n 1 lim lim 1 1 1 n 1 n 1 1 1 n n − − − − + = = = − − + + − + + . Dạng 2: Chứng minh n limu 0= Phương pháp giải: Sử dụng định lí: Cho hai dãy số ( ) n n n n n n | u | v u ,v : limu 0 lim v 0 ≤   ⇒ =  =   (1); ( ) n n n n n n v u w , n limu L lim v lim w L L ≤ ≤ ∀   ⇒ =  = = ∈   ¡ (2) Ví dụ: Chứng minh: ( ) n 1 cosn lim 0 n − = Giải: Ta có: ( ) n 1 cos n 1 n n − ≤ và 1 lim 0 n = nên ( ) n 1 cosn lim 0 n − = Dạng 3: Chứng minh n limu tồn tại Phương pháp giải: Sử dụng định lí Dãy (u n ) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn; Dãy (v n ) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. Ví dụ: Chứng minh dãy số ( ) n u cho bởi ( ) n 1 u n n 1 = + có giới hạn. Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) n 1 n n n 1 u 1 n . 1, n. u n 1 n 2 1 n 2 + + = = < ∀ + + + Do đó dãy ( ) n u giảm. Ngoài ra, ( ) * n 1 n : u 0, n n 1 ∀ ∈ = > + ¥ nêu dãy ( ) n u bị chặn dưới. Vậy dãy ( ) n u có giới hạn. Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải: Sử dụng công thức: 1 u S ,| q | 1 1 q = < − Ví dụ: Tính tổng 2 n 1 1 1 S 1 2 2 2 = + + + + + Giải: 4 Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với 1 q 1 2 = < và 1 u 1= . Vậy: 1 u 1 S 2 1 1 q 1 2 = = = − − Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực Ví dụ: Tìm: 3 2 2n 4n 3 lim 3n 1 − + − + Giải: Cách 1: Ta có: 3 2 3 2 3 4 3 2 2n 4n 3 n n lim lim 3 1 3n 1 n n − + − − + − = + + Lại có 2 3 2 4 3 3 1 lim 2 2 0,lim 0 nn n n     − + − = − < + =  ÷  ÷     và ( ) * 3 3 1 0 n n n + > ∀ ∈¥ nên suy ra: 3 2 3 2 3 4 3 2 2n 4n 3 n n lim lim 3 1 3n 1 n n − + − − + − = = −∞ + + Cách 2: Ta có: 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 4 3 4 3 n 2 2 2n 4n 3 n n n n lim lim lim n. 1 1 3n 1 3 n 3 n n     − + − − + −  ÷   − + −   = =   +     + +  ÷       Lại có 3 2 3 2 3 2 2 2 4 3 4 3 2 2 2 2n 4n 3 n n n n limn ;lim 0 lim lim n. 1 1 3 3n 1 3 3 n n   − + − − + −   − + − = +∞ = − < ⇒ = = −∞   +   + +     Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số Phương pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc Ví dụ 1: Tính: x 0 1 lim x.sin x →    ÷   . Giải: Xét dãy ( ) n x mà n x 0, n≠ ∀ và n lim x 0= . Ta có: ( ) n n n n 1 f x x sin | x | x = ≤ Vì ( ) n n lim | x | 0 limf x 0.= ⇒ = Do đó x 0 1 lim x.sin 0 x →   =  ÷   . Ví dụ 2: Tính: ( ) 2 x lim x x 1 x →+∞ + + − Giải: Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 x x x x 2 1 1 x x 1 x x 1 1 x lim x x 1 x lim lim lim 2 1 1 x x 1 x x x 1 x 1 1 x x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + + + − + + + − = = = = + + + + + + + + + Ví dụ 3: Tính: ( ) 2 x lim x 3x 1 x →−∞ + + + Giải: 5 Ta có: ( ) 2 2 2 x x x x 2 1 1 3 3 3x 1 3 x x lim x 3x 1 x lim lim lim 2 3 1 x 3x 1 x x 3x 1 1 1 1 x x x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ + + + + + + = = = = − + + − + + − + + − − (Chú ý: khi x → −∞ là ta xét x < 0, nên 2 x x= − ) Dạng 7: Chứng minh ( ) 0 x x lim f x 0 → = (Hoặc bằng L) Phương pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp Giả sử J là một khoảng chứa 0 x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp { } 0 J \ x . Khi đó: { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x x x x x x x J \ x : g x f x h x lim f x L lim g x lim h x L → → → ∀ ∈ ≤ ≤  ⇒ =  = =   Ví dụ: Chứng minh: 2 4 x x sin x lim 0 1 x →+∞ = + Giải: Ta luôn có: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 4 x sin x x x x | f x | f x 1 x 1 x 1 x 1 x = ≤ ⇒ − ≤ ≤ + + + + 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 x x x x x x x 4 4 1 1 x x x x x sin x x x lim lim 0; lim lim 0 lim lim 0 lim 0 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →−∞ →+∞ = = = = ⇒ = = ⇒ = + + + + + + + . Dạng 8: Tìm giới hạn một bên Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên Ví dụ 1: Cho hàm số ( ) 3 2 x x 1 f x 2x 3 x 1  < −  =  − ≥ −   víi víi . Tìm ( ) x 1 lim f x →− Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 1 x 1 lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1 + + → − → − = − = − − = − (1) ( ) ( ) ( ) 3 x 1 x 1 lim f x lim x 1 − − → − → − = = − (2) Từ (1) và (2) suy ra ( ) x 1 lim f x 1 →− = − Ví dụ 2: Cho hàm số ( ) 1 x 1 x 1 f x 1 x 1 x 1 khi khi  >   + =  −  <   + a. Tìm ( ) x 2 limf x → b. Tìm ( ) x 1 limf x → Giải: a. ( ) x 2 x 2 1 1 limf x lim x 1 3 → → = = + b. ( ) x 1 limf x → Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x 1 x 2 1 x 2 + + − − + − → → → → → → − = = = = − ⇒ ≠ + + suy ra không tồn tại ( ) x 1 limf x → (Chú ý: ( ) 0 x x lim f x → tồn tại khi và chỉ khi ( ) ( ) 0 0 x x x x lim f x lim f x L + − → → = = thì ( ) 0 x x lim f x L → = ) 6 Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực Ví dụ: Tính 2 x lim 4x 1 →−∞ − Giải: 2 2 2 2 x x x 1 1 lim 4x 1 lim x 4 lim | x |. 4 x x →−∞ →−∞ →−∞   − = − = −  ÷   Vì x lim | x | →−∞ = +∞ và 2 2 x x 1 lim 4 2 0 lim 4x 1 x →−∞ →−∞ − = > ⇒ − = +∞ Dạng 10: Khử dạng vô định Phương pháp giải 1. Khi tìm giới hạn dạng ( ) ( ) 0 x x P x lim Q x → , với ( ) ( ) 0 0 x x x x lim P x lim Q x 0 → → = = : • Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho 0 x x− • Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lượng liên hiệp. Ví dụ 1: Tìm: 2 x 2 x 9x 14 lim x 2 → − + − Giải: ( ) ( ) ( ) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 7 x 9x 14 lim lim lim x 7 5 x 2 x 2 → → → − − − + = = − = − − − Ví dụ 2: Tìm: x 0 4 x 2 lim 4x → + − Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 0 x 0 x 0 x 0 4 x 2 4 x 2 4 x 2 4 x 4 1 1 lim lim lim lim 4x 16 4x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2 → → → → + − + + + − + − = = = = + + + + + + Ví dụ 3: Tìm: 3 x 1 x 7 2 lim x 1 → + − − Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 3 x 1 x 1 x 1 2 2 3 3 3 3 x 7 2 x 7 2. x 7 4 x 7 2 x 7 2 lim lim lim x 1 x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4 → → → + − + + + + + − + − = = − − + + + + − + + + + ( ) ( ) x 1 2 3 3 1 1 lim 12 x 7 2. x 7 4 → = = + + + + Ví dụ 4: Tìm: x 2 2x 5 3 lim x 2 2 → + − + − Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 2 x 2 x 2 2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 2 2x 5 3 4 lim lim lim lim 3 x 2 2 2x 5 3 x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3 → → → → + − + + + + + − + + + + + − = = = = + − + + + − + + + + + − + + Ví dụ 5: Tìm: 3 x 1 x 3x 2 lim x 1 → − − − Giải: 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 x 1 x 1 3x 2 1 x 3x 2 x 1 3x 2 1 lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 3x 2 1 3 3 3 lim x x 1 lim x x 1 3 2 2 3x 2 1 x 1 3x 2 1 → → → → → − − − −   − − − − − = = −   − − − −     − −     = + + − = + + − = − =     − + − − +     Ví dụ 6: Tìm: 4 3 x 1 x 2 1 lim x 2 1 →− + − + − Giải: Đặt 12 12 12 t x 2 x 2 t x t 2,khi x 1 t 1 ®ã th× = + ⇒ + = ⇔ = − → − → . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 4 4 2 2 3 x 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t t 1 x 2 1 t 1 t t 1 3 lim lim lim lim 4t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 x 2 1 →− → → → − + + + − − + + = = = = − − + + + + + − Ví dụ 7: Tìm: 3 x 1 x 7 x 3 lim x 1 → + − + − Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 x 1 x 1 x 1 3 2 x 1 3 3 2 x 1 3 3 x 7 2 x 3 2 x 7 x 3 x 7 2 x 3 2 lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 7 2 x 3 4 lim x 1 x 3 2 x 1 x 7 2. x 7 4 1 1 1 1 1 lim 12 4 6 x 3 2 x 7 2 x 7 4 → → → → → + − − + −   + − + + − + − = = −   − − − −       + − + − = −     − + +   − + + + +             = − = − = −   + + + + + +   2. Khi tìm giới hạn dạng ( ) ( ) x P x lim Q x →±∞ , ta lưu ý: • Đặt m x (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x) • Sử dụng kết quả: x 1 lim 0 x α →∞ = ( với 0α > ) Ví dụ 1: Tìm: 2 2 x 3x 4x 1 lim 2x x 1 →+∞ − + − + + Giải: 2 2 2 x x 2 4 1 3 3x 4x 1 3 x x lim lim 1 1 22x x 1 2 x x →+∞ →+∞ − + − + = = − − + + − + + Ví dụ 2: Tìm: 2 x x x 1 3x lim 2 3x →−∞ + + − − Giải: 2 2 x x 1 1 1 3 x x 1 3x 1 3 4 x x lim lim 2 2 3x 3 3 3 x →−∞ →−∞ − + + − + + − − − = = = − − − Ví dụ 3: Tìm: 3 3 2 2 x 8x 3x 1 x lim 4x x 2 3x →−∞ + + − − + + Giải: 3 3 3 2 3 3 2 x x 2 3 1 8 1 8x 3x 1 x 8 1 x x lim lim 1 1 2 4 3 4x x 2 3x 4 3 x x →−∞ →−∞ + + − + + − − = = = − + − + + − − + + 8 C. Bài tập tự luận 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 1. 2 2 x 3 x 5x 6 lim x 8x 15 → − + − + 2. 2 2 1 x 2 8x 1 lim 6x 5x 1 → − − + 3. 3 2 2 x 3 x 4x 4x 3 lim x 3x → − + − − 4. 4 3 2 4 3 2 x 1 2x 5x 3x 1 lim 3x 8x 6x 1 → − + + − + − 5. 3 4 x 1 x 3x 2 lim x 4x 3 → − + − + 6. 3 2 4 2 x 2 x 2x 4x 8 lim x 8x 16 → − − + − + 7. 3 5 x 1 x 2x 1 lim x 2x 1 → − − − − 8. ( ) ( ) ( ) x 0 1 x 1 2x 1 3x 1 lim x → + + + − 9. ( ) ( ) ( ) ( ) x 0 1 x 1 2x 1 3x 1 nx 1 lim x → + + + + − 2. Tìm các giới hạn hàm số sau: 1. x 2 x 2 lim 3 x 7 → − − + 2. x 1 2x 7 3 lim x 3 2 → + − + − 3. 2 x 0 1 x 1 lim x → + − 4. 2 x 2 x 7 3 lim x 4 → + − − 5. 3 x 2 4x 2 lim x 2 → − − 6. 3 2 2 x 0 1 x 1 lim x → + − 7. ( ) 3 2 3 2 x 1 x 2 x 1 lim x 1 → − + − 8. 3 x 0 x 1 lim x 1 → − − 9. x 2 x 2 x 7 5 lim x 2 → + + + − − 10. 3 3 x 0 1 x 1 x lim x → + − − 11. ( ) 2 2 x 1 3x 2 4x x 2 lim x 3x 2 → − − − − − + 12. x 1 2x 2 3x 1 lim x 1 → + − + − 13. 2 2 2 x 3 x 2x 6 x 2x 6 lim x 4x 3 → − + − + − − + 14. x 0 x 9 x 16 7 lim x → + + + − 15. 3 2 3 2 x 1 x 2 x x 1 lim x 1 → − + − + − 3. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: 1. 3 2 x 1 x 7 x 3 lim x 3x 2 → + − + − + 2. 3 x 0 2 1 x 8 x lim x → + − − 3. 3 x 0 1 x 1 x lim x → + − − 4. 3 2 x 2 x 11 8x 43 lim 2x 3x 2 →− + − + + − 5. 3 3 2 x 1 7 x 3 x lim x 1 → + − + − 6. 2 3 x 1 x 7 5 x lim x 1 → + − − − 7. 3 x 0 1 4x 1 6x 1 lim x → + + − 8. 3 2 x 0 1 2x 1 3x lim x → + − + 4. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: 1. 3 2 4 3 2 x 2x 3x 4x 1 lim x 5x 2x x 3 →−∞ − + − − + − + 2. 2 2 x x x 1 lim 2x x 1 →+∞ + − + + 3. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 x 2x 3 4x 7 lim 3x 1 10x 9 →+∞ − + + + 4. ( ) ( ) ( ) 20 30 50 x 2x 3 3x 2 lim 2x 1 →−∞ − + + 5. 2 2 x x 2x 3x lim 4x 1 x 2 →−∞ + + + − + 6. x 5x 3 1 x lim 1 x →−∞ + − − 5. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: 1. 2 2 x lim x x 1 x x 1 →−∞   + + − − +   2. ( ) 2 x lim 2x 5 4x 4x 1 →+∞   − − − −   3. x lim x x x →+∞   + −     4. 2 x lim x. x 1 x →+∞   + −   5. 2 x lim x 4x 9 2x →−∞   + +   6. 2 4 4 x lim x 3x 5 3x 2 →∞   + − −   7. 3 3 2 x lim x 2 x 1 →+∞   + − +   8. 3 2 3 x lim x 4x 5 8x 1 →+∞   + − −   D. Bµi tËp tr¾c nghiÖm D·y sè cã giíi h¹n 0 1. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0? a. 1 n b. 1 n c. 2n 1 n + d. cosn n 2. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0? 9 a. n 5 3 ữ b. n 1 3 ữ c. n 5 3 ữ d. n 4 3 ữ 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? a. ( ) n 0,909 b. ( ) n 1,012 c. ( ) n 1,013 d. ( ) n 1,901 4. Dãy số nào sau đây không có giới hạn? a. ( ) n 0,99 b. ( ) n 1 c. ( ) n 0,99 d. ( ) n 0,89 5. Gọi ( ) n 1 L lim n 4 = + . Khi đó L bằng a. 1 5 b. 1 4 c. 1 d. 0 6. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? a. 1 2n b. 1 n c. n 4 3 ữ d. ( ) n 1 n Dãy số có giới giạn hữu hạn 7. Cho n 1 4n u 5n = . Khi đó u n bằng a. 3 5 b. 3 5 c. 4 5 d. 4 5 8. Cho n n n n 2 5 u 5 + = . Khi đó limu n bằng a. 0 b. 1 c. 2 5 d. 7 5 9. Gọi cos2n L lim 9 n = thì L bằng số nào sau đây? a. 0 b. 3 c. 3 d. 9 10. Tổng của cấp số nhân vô hạn ( ) n 1 n 1 1 1 1 , , , , , 2 4 8 2 + là a. 1 b. 1 3 c. 1 3 d. 2 3 11. Tổng của cấp số nhân vô hạn ( ) n 1 n 1 1 1 1 , , , , , 3 9 27 3 + là a. 1 4 b. 1 2 c. 3 4 d. 4 12. Tổng của cấp số nhân vô hạn ( ) n 1 n 1 1 1 1 1 , , , , , 2 6 18 2.3 + là a. 8 3 b. 3 4 c. 2 3 d. 3 8 13. Tổng của cấp số nhân vô hạn: ( ) n 1 n 1 1 1 1 1 1, , , , , , 2 4 8 2 + là a. 2 3 b. 2 3 c. 3 2 d. 2 Dãy số có giới hạn vô cực 14. Kết quả ( ) 3 L lim 5n 3n= là a. b. 4 c. 6 d. + 15. Biết ( ) 2 L lim 3n 5n 3= + thì L bằng a. b. 3 c. 5 d. + 16. ( ) 3 2 lim 3n 2n 5 + bằng a. b. 6 c. 3 d. + 17. 2 3 lim 4n 2n 1 + bằng 10 [...]... sau đây? 1 a b 5 c 0 36 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 1 − 2n n − 2n 1 − 2n a u = 5n + 3n b 5n + 3n c 5n + 3n 37 Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞? 1 + 2n n − 2n 1+ n a u = 5n + 5n b 5n + 5n c u = 5n + 5 38 Dãy số nào sau đây có giới hạn +∞? 2007 + 2008n 9n + 7n a u = n + n b u = n + 1 c u = 2008n − 2007n 39 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1? 2n − 3 2n − 3 2n − 3 a lim −2n... 39 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1? 2n − 3 2n − 3 2n − 3 a lim −2n − 4 b lim −2n − 1 c lim −2n + 2n 40 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 2n − 3 2n − 3n 2n − 3n a lim −2n − 4 b lim −2n − 1 c lim −2n + n 41 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là +∞ ? 2n + 3 2n − 3n 2n − 3n a lim n + 4 b lim 2n − 1 c lim −2n + n 2 d 1 d 2 2 2 2 2 2 2 n n 2 n n n 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3...a d 0 1 2 c 0 d +∞ b +∞ c 3 4 d 2 7 b +∞ c 1 2 d 3 11 c 5 4 d 3 4 a b 7 c 0 23 Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞ ? a u = 3n − n b u = n − 4n c u 24 Dãy số nào sau đây có giới hạn là - ∞? a u = n − 3n b u = 3n − 2n c u d +∞ 2 5n − 2n + 1 2 5 3n 3 − 2n + 1 lim 4 4n + 2n + 1 lim 4 b»ng a 19 b»ng a 0 20 lim 2n 4 − 2n + 2 4n 4 + 2n + 5 bằng... Gọi L = lim n (   a +∞ 45 ( b un = b 3 2 c 2 bằng 12 d +∞ a 47 b +∞ ( ) 29 3 c 9 có kết quả là a 1 b 2 50 Dãy số nào sau đây có giới hạn lim n 2 + 2n − n 2 − 2n n 2 − 3n 3 9n 3 + n 2 − 1 − n 2 + 2n − 5 un = 3 3n + 4n − 2 a un = b un = −2n + n 2 3n 2 + 5 c 4 1 − ? 3 c Giới hạn của hàm số 51 lim ( x − x + 7 ) bằng a 5 b 7 52 lim ( 3x − 3x − 8) bằng a −2 b 5 x − 3x + 2 53 lim x − 1 bằng a −1 b 1 3x −... bằng: c –2 b 79 Cho hàm số: lim f ( x ) x → 2− −1 Khi đó b –3 d Khi đó c 2x 3 − 2x víi x ≥ 1  f ( x) =  3  x − 3x víi x < 1  a – 4 a víi x < 2 víi x ≥ 2 b 7 77 Cho hàm số a c 1 bằng Một vài quy tăc tìm giới hạn vô cực (dạng vô định) 2x − 3x + 1 81 Cho L = lim 1 − x Khi đó 2 2 x →1 a L= 82 Cho a 84 x2 − 4 x →−2 2x + 3x − 2 L = lim 2 x 2 − 12x + 35 x→2 x −5 +∞ c L=− c L= 1 4 1 2 d − d L=− Khi đó... −∞ lim d 2 bằng a 65 4 9 b 3x 4 − 2x 5 x →+∞ 5x 4 + 3x + 2 2 − 5 3x 4 − 2x 5 lim 4 x →+∞ 5x + 3x 6 + 2 lim c 1 b a 0 −1 b 3x − 2x + 3 5x 4 + 3x + 1 4 1 3 c 35 9 d +∞ 3 8 c d +∞ d +∞ bằng bằng b 3 8 Giới hạn một bên 69 lim x → 3+ a 70 | x −3| 3x − 6 1 2 bằng b 1 − x3 3x 2 + x lim − x →1 b 0 x+2 x −1 1 − 2 x2 +1 lim x →1+ x − 1 +∞ lim x →1− lim x − 2x + 3 x 2 + 2x +∞ lim x → 0+ a 2x + x 5x − x +∞ +∞... 3 3 3 2 2 2 3 4 3 2 2 2 2 2 4 3 2 2 un = n2 − 2 5n + 3n 2 d 2 n un = n2 − 2 5n + 5n 3 d un = n2 +1 d lim 2n 3 − 3 −2n 2 − 1 d lim 3 + 2n 3 2n 2 − 1 d lim 3 + 2n 3 2n 2 − 1 1 42 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 5 ? a un = un = n 2 − 2n 5n + 5n 2 1 − 2n 5n + 5n 2 43 Nếu a L = lim n   lim ) b ) b 6 lim cos 2n +9 3n un = c 7 2 1 − 2n 2 5n + 5 d thì L bằng Khi đó L bằng c 3 d 0 d 2 bằng a 1 46 c 7 . + +∞ + − −∞ − + −∞ − − +∞ II. Giới hạn của hàm số 1. Giới hạn hữu hạn a. Giới hạn hữu hạn Cho ( ) 0 x a;b∈ và f là hàm số xác định trên tập ( ) { } 0 a;b x . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực. một cấp số nhân lùi vô hạn, với 1 q 1 2 = < và 1 u 1= . Vậy: 1 u 1 S 2 1 1 q 1 2 = = = − − Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực Ví dụ: Tìm:. Giới Hạn A. Kiến thức sách giáo khoa I. Giới hạn của dãy số 1. Dãy số có giới hạn 0 a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số ( ) n u có giới hạn 0, kí hiệu ( ) n lim u 0= (hay n limu