PHNG GD-ĐT GIÁ RAI TRƯỜNG THCS THẠNH BÌNH CHUYÊN ĐỀ: MT S PHƯƠNG PHP TÌM HỆ S CỦA ĐA THỨC MT BIẾN VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MY TÍNH CASIO Ngưi thc hin: Phạm Văn Lợi Tổ : Toán-Lí N¨m häc : 2011 - 2012 1 A. PHẦN MỞ ĐẦU Chúng ta biết rằng máy tính bỏ túi (MTBT) là một trong những công cụ tích cực trong việc dạy và học toán, giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết được nhiều vấn đề được coi là khó đối với chương trình phổ thông đang học. Học sinh có thể dùng máy tính thực hiện các phép tính phức hợp nhanh chóng, chính xác và tiết kiệm được nhiều thời gian. Thực tế hiện nay trong việc thi cử đòi hỏi học sinh phải thực hiện việc tính toán nhanh chóng và chính xác (ví dụ như các môn thi trắc nghiệm :Toán,Vật lí,Hóa học….) nếu không có MTBT hỗ trợ thì học sinh khó có thể hoàn thành bài thi một cách tốt nhất. Trong thực tế thời gian giảng dạy ,cũng như ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn“Giải toán bằng máy tính bỏ túi” ở trường THCS tôi thấy đã có rất nhiều tài liệu,bài viết… về việc “giải toán bằng MTBT “ nói chung và “Tìm hệ số của đa thức một biến” nói riêng ,trong phạm vi hiểu biết của bản thân, tôi xin hệ thống lại “Phương pháp tìm hệ số của đa thức một biến” mà một số tài liệu đã trình bày và xin nêu ra một cách mới để thực hiện công việc này. Đây là một vấn đề mới, một hướng mới trong quá trình dạy và học toán, nhưng tôi cũng mạnh dạn xin đưa ra đây để các anh chị em đồng nghiệp xem xét và góp ý. B. NOÄI DUNG I.Bài toán ví dụ : Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.Tìm các hệ số a ; b ; c ; d của đa thức trên. Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) Giải 1.Các phương pháp thưng dùng để giải bài toán trên: Cách 1 : (Dùng phương pháp đồng nhất thức) Đặt P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + a ’ (x-1) (x-2) (x-3) + b ’ (x-1) (x-2) + c ’ (x-1) + d ’ Với x=1 => P(1)= d ’ =5 x=2 => P(2)= c ’ +5=7 => c ’ =2 x=3 => P(3)= 2b ’ + 4+5=9 => b ’ =0 x=4 => P(4)= 6a ’ +6+5=11 => a ’ =0 Do đó P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + 2(x-1) + 5= x 4 -10x 3 + 35x 2 - 48x + 27 Vậy a = -10 ; b = 35 ; c = -48 ; d = 27 Nhập biểu thức x 4 -10x 3 + 35x 2 - 48x + 27 vào máy ta tính được: P(10)=3047 ; P(11)=5065 ; P(12)=7947; P(13)=11909 Cách 2 : (Lập h phương trình) Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.Tìm các hệ số a ; b ; c ; d của đa thức trên. Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) 1 Giải Ta có x=1 => 1+a+b+c+d=5 (1) x=2 => 16+8a+4b+2c+d=7 (2) x=3 => 81+27a+9b+3c+d=9 (3) x=4 => 256+64a+16b+4c+d=11 (4) Giải hệ phương trình trên ta được a = -10 ; b = 35 ; c = -48 ; d = 27 Vậy P(x) = x 4 -10x 3 + 35x 2 - 48x + 27 Và từ đây ta tính được P(10); P(11); P(12); P(13) như cách 1 Cách 3 : (Tìm quy luật số dư) Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.Tìm các hệ số a ; b ; c ; d của đa thức trên .Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) Giải Ta có 5=2.1 + 3 ; 7 = 2.2 + 3 ; 9 = 2.3+3 ; 11 = 2.4+3 5,7,9,11 là giá trị của 2x+3 khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2,3,4 => P(1)- 2.1 + 3=0 ; P(2)- 2.2 + 3=0 ; P(3)- 2.3 + 3=0 ; P(4)- 2.4 + 3=0 Đặt Q(x)= P(x) - (2x+3) => Q(1)= Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0 Điều này chứng tỏ 1 ; 2 ; 3 ; 4 là nghiệm của Q(x ) Suy ra : Q(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (hệ số bậc cao nhất bằng 1) => P(x) = Q(x)+(2x+3) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)+(2x+3) = x 4 -10x 3 + 35x 2 - 48x + 27 Vậy : a = -10 ; b = 35 ; c = -48 ; d = 27 Và từ đây ta tính được P(10); P(11); P(12); P(13) như cách 1 2.Phương pháp giải đề xuất thêm : Cách 4 : Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d và cho biết P(1) = 5; P(2) = 7 ; P(3) = 9; P(4) = 11.Tìm các hệ số a;b;c;d của đa thức trên .Tính P(10) ; P(11) ; P(12) ; P(13) Giải Đặt P(x)= (x-1) (x-2) (x-3) (x- 4) + g(x) => P(1) = g(1); P(2) = g(2); P(3) = g(3) (*) Ta thấy bậc của g(x) không lớn hơn 3 (vì bậc của P(x) là 4 ), giả sử g(x)=Ax 2 +Bx+C kết hợp với (*) ta có hệ sau : Với P(1) = g(1) ⇔ A+B+C = 5 (1) P(2) = g(2) ⇔ 4A+2B+C = 7 (2) P(3) = g(3) ⇔ 9A+3B+C = 9 (3) Giải hệ ta được : A = 0 ; B = 2 ; C = 3 2 Vậy g(x)= 2x + 3 Suy ra P(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x- 4) + 2x + 3 = x 4 -10x 3 + 35x 2 - 48x + 27 Vậy : a = -10 ; b = 35 ; c = -48 ; d = 27 II.Kết quả thực hiện : Trong năm học 2010-2011,2011-2012 vừa rồi,trong việc ơn học sinh giỏi mơn MTBT ,tơi đã áp dụng phương pháp thứ tư nêu trên để tìm h số của đa thức một biến thấy nó rất hiệu quả : 100% học trò giải quyết tốt các bài tốn tìm h số của đa thức một biến .Và giờ đây,việc tìm h số của đa thức một biến khơng còn là vấn đề khó đối với chúng tơi nữa. III.Bài học kinh nghiệm: Qua ví dụ trên ta thấy, có rất nhiều cách khác nhau để tìm hệ số của đa thức một biến.Mỗi cách giải đều có tính ưu việt cũng như hạn chế của nó.Việc chọn cách giải quyết nào thì tùy thuộc vào từng bài tốn cụ thể và còn tùy thuộc vào thế mạnh riêng của từng người. Tuy nhiên qua thực tế ứng dụng cách giải thứ 4 trong tài liệu này thì có thể giải quyết tốt dạng tốn trên,tiết kiệm thời gian hơn rất nhiều so với ba phương pháp còn lại,tuy nhiên nếu bài tốn cho có số ẩn nhỏ hơn 3 thì ta nên dùng cách 2 (lập hệ phương trình) thì hiệu quả sẻ nhanh hơn C. KẾT LUẬN Trên đây là một số phương pháp tìm h số của đa thức một biến mà trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng HS, trao đổi cùng đồng nghiệp mà bản thân tôi đã tổng hợp được. Hy vọng việc làm này của tơi sẽ giúp ích được các em học sinh,các đồng chí,đồng nghiệp có thêm tài liệu học tập và nghiên cứu về mơn MTBT .Vì khả năng và thời gian hạn chế nên tơi xin dừng vấn đề tại đây .Rất mong được sự góp ý của các bạn để tài liệu này được hồn thiện và mang tính áp dụng rộng rãi hơn. Tân Phong,ngày 12 tháng 04 năm2012 Người viết Phạm Văn Lợi 3 MUC LWC 1. Lyự do choùn ủe taứi 02 2. Nụi dung 02 3. Kờt lun 06 4.Tai liu tham kho 07 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Hướng dẫn sử dụng và giải toán bằng MTBT của vụ THPT. 2.Giải toán trên máy tính điện tử Casio fx-500 MS ,fx-570MS của TS Tạ Duy Phượng –NXB GD. 3.Một số đề thi các cấp về Giải toán bằng MTBT…… 5 . MTBT “ nói chung và Tìm hệ số của đa thức một biến nói riêng ,trong phạm vi hiểu biết của bản thân, tôi xin hệ thống lại Phương pháp tìm hệ số của đa thức một biến mà một số tài liệu đã trình. phương pháp thứ tư nêu trên để tìm h số của đa thức một biến thấy nó rất hiệu quả : 100% học trò giải quyết tốt các bài tốn tìm h số của đa thức một biến .Và giờ đây,việc tìm h số của đa thức. S PHƯƠNG PHP TÌM HỆ S CỦA ĐA THỨC MT BIẾN VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MY TÍNH CASIO Ngưi thc hin: Phạm Văn Lợi Tổ : Toán-Lí N¨m häc : 2011 - 2012 1 A. PHẦN MỞ ĐẦU Chúng ta biết rằng máy