Đang tải... (xem toàn văn)
Kí hiệu C là trường số phức và xét các không gian tuyế tính trên số phức
Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Đại số von Neumann và vết . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Phép tính liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn . . . . 6 1.2 Toán tử đo được theo một vết . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Các tính chất cơ bản của phổ . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặn . . . . . . . 9 1.2.3 Mở đầu về phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Lý thuyết về toán tử τ− đo được . . . . . . . . . 12 1.3 Không gian L p theo một vết . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1 Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann . . . . 24 1.3.2 Các kiểu hội tụ hầu chắc chắn trong đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Dạng không giao hoán của định lý Egoroff . . . . 28 1.3.4 Khái niệm về luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann 31 2.1 Tính độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Hội tụ hầu đầy đủ trong đại số von Neumann . . . . . . 32 2.3 Định lý giới hạn mạnh cho dãy trực giao . . . . . . . . . 34 2.4 Mở rộng không giao hoán của định lý Glivenko-Cantelli . 41 2.5 Bất đẳng thức Kolmogorov đối với vết và một số hệ quả 44 2.6 Luật mạnh số lớn đối với vết . . . . . . . . . . . . . . . . 47 i MỤC LỤC 1 2.7 Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . 62 2.8 Chú ý và chú thích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 72 Lời nói đầu Các tài liệu khoa học hiện tại đưa ra nhiều bằng chứng rằng các phương pháp đại số vốn đã cách mạng hóa toán học thuần thúy thì nay lại đang gây ảnh hưởng tương tự đối với khoa học vật lý. Tiếp cận đại số đối với cơ học thống kê và lý thuyết trường lượng tử là một ví dụ cho định hướng mới này. Gần đây nhiều tác giả đã mở rộng các định lý hội tụ điểm cơ bản trong lý thuyết xác suất và lý thuyết ergodic sang (ngữ cảnh) đại số von Neumann.Họ đã cung cấp một số công cụ mới cho vật lý toán và đồng thời tạo ra nhiều kĩ thuật hấp dẫn cho lý thuyết đại số toán tử. Mục đích chính của đề tài là trình bày bản chất của một số ý tưởng và kết quả từ lĩnh vực nói trên,chuyển các kết quả cổ điển đã biết trong lý thuyết xác suất đến các phiên bản không giao hoán của chúng, đưa vào các ứng dụng trong lý thuyết trường lượng tử. Đại số von Neumann là một sự tổng quát hóa không giao hoán rất tự nhiên của đại số L ∞ và những cấu trúc tốt của nó đem lại khả năng thu được các phiên bản hầu chắc chắn của các định lý giới hạn .Trong đại số von Neumann, ta có thể đưa ra khái niệm hội tụ hầu đều tương đương với khái niệm hội tụ hầu chắc chắn trong đại số L ∞ .Kiểu hội tụ này sẽ là nền tảng cho toàn bộ đề tài. Nội dung của đề tài gồm hai chương : Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu chương 2 bao gồm các kiến thức nền tảng về giải tích và xác suất.Một số tính chất của hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann. Chương 2 Nội dung chính của đề tài: Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann Trình bày các kết quả của Batty ,cùng một số kết quả khác. Nếu như trong xác suất cổ điển các dạng hội tụ theo xác suất ,hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ trung bình của dãy biến nhiên đóng vai trò then chốt 2 Lời nói đầu 3 trong Luật số lớn thì ở đây chúng ta được tiếp cận với 1 kiểu hội tụ hoàn toàn mới hội tụ hầu đều .Các định lý được chứng minh đối với trạng thái , đối với vết. Vì một trạng thái thì không cộng tính dưới trên dàn các phép chiếu nên các qui tắc và các kĩ thuật đối với trạng thái không vết khác nhiều và khó khăn hơn nhiều so với các qui tắc đối với vết. Đáng chú ý ở đây là các lập luận cần dùng đối với vết thường rất giống trường hợp cổ điển. Nhưng trong một số thường hợp thì chúng ta cần hướng tiệm cận mới . Hầu hết các kết quả được trình bày trong đề tài là kết quả mới. Một số nội dung của đề tài là một trong số các bài giảng tại Đại Học Tenessee ở Knoxville và tại Trung Tâm Quá Trình Ngẫu Nhiên (Centerfor Stochastic Processes) tại đại học North Carolina ở Chapel Hill (bởi R.Jajte) Nội dung của đề tài vẫn đang là hướng quan tâm của nhiều nhà toán học và vật lý học trong các lĩnh vực đại số toán tử và các ứng dụng của chúng như Lance 1976-1978 ; Goldstein 1981; Watanabe 1979; Yeadon 1975-1980; Kiinrinerre 1978; . Trong quá trình tìm hiểu , nghiên cứu nội dung các công trình của người khác chúng tôi đã hệ thống , giới thiệu nhằm phác họa triển vọng ứng dụng các kết quả nghiên cứu của mình trong tương lai. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình là PGS. TS. Phan Viết Thư, người đã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu bản luận này. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, và các thầy cô giáo ở Viện Toán học -Viện KHCNVN đã tận tình giảng dạy ,tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian Tác giả học tập và nghiên cứu. Hà Nội, năm 2009 Học viên Vũ Thị Hương Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày một số kiến thức cho việc nghiên cứu ở chương 2. Các khái niệm ,định nghĩa đưa ra để hiểu rõ các từ khóa của đề tài. Một vài khái niệm được trình bày theo nghĩa cổ điển ( và theo nghĩa mở rộng ). Nội dung bao gồm hai phần chính: Phần 1: Nghiên cứu về tính đo được theo một vết τ trên một đại số von Neumann (sự trình bày được chỉnh sửa từ tài liệu của E.Nelson [ 6 ] ). Phần 2: Trình bày lý thuyết về không gian L p kết hợp với đại số von Neumann . Cụ thể là xây dựng không gian L p theo một vết , cốt yếu của việc xây dựng các không gian L p là lý thuyết toán tử đo được theo một vết trên đại số von Neumann ( lý thuyết này được phát triển bởi Haagerup ); Các khái niệm về hội tụ điểm .Tất cả các kiến thức trong chương này đều đã có, không thuộc phần sáng tạo của đề tài. Các khái niệm ,thuật ngữ , kết quả được dùng đều có thể tra cứu trong các tài liệu tham khảo kèm theo. 1.1 Đại số von Neumann và vết 1.1.1 Đại số Banach Kí hiệu C là trường số phức và xét các không gian tuyến tính trên trường phức. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử A là không gian tuyến tính (phức) và trong 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 A có phép nhân: A × A −→ A (x, y) −→ xy thỏa mãn các tính chất sau : 1. x(yz) = (xy)z; 2. (x + y)z = xz + yz; x(y + z) = xy + xz; 3. α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y, z ∈ A, α ∈ C Khi đó , A được gọi là một đại số phức. Hơn nữa , nếu A là một không gian Banach (với chuẩn ||.||) thỏa mãn các tính chất sau : 4. ||xy|| ≤ ||x||.||y||; (x ∈ A, y ∈ B) 5. A chứa phần tử đơn vị e sao cho xe = ex = x (x ∈ A); 6. ||e|| = 1; thì A được gọi là một đại số Banach. Nếu phép nhân giao hoán thì gọi là đại số (đại số Banach) giao hoán . 1.1.2 Phép tính liên hợp Định nghĩa 1.1.2. Giả sử A là một đại số phức , ánh xạ x ∈ A → x ∗ gọi là phép liên hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau : (i) (x + y) ∗ = x ∗ + y ∗ (ii) (λx) ∗ = ¯ λx ∗ (iii) (xy) ∗ = y ∗ x ∗ (iv) (x ∗ ) ∗ = x Đại số phức A đóng đối với phép liên hợp gọi là ∗− đại số . Nếu A là đại số Banach đóng đối với phép liên hợp thì gọi là một ∗− đại số Banach . Nếu A là một ∗− đại số Banach thỏa mãn điều kiện ||x|| = ||x ∗ || thì A gọi là đại số Banach liên hợp. Nếu ∗− đại số Banach thỏa mãn điều kiện ||xx ∗ || = ||x|| 2 , ∀x ∈ A thì gọi là một C ∗ − đại số CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 Phần tử x ∈ A (A là ∗− đại số ) gọi là chuẩn tắc nếu xx ∗ = x ∗ x. Gọi là Hermit nếu x ∗ = x, unitar nếu x ∗ x = xx ∗ = e, (e là đơn vị của A). Nếu A là C ∗ − đại số thì ||x|| = ||x ∗ ||, ∀x ∈ A. Vậy mọi C ∗ − đại số đều là đại số Banach liên hợp. 1.1.3 Đại số von Neumann Định nghĩa 1.1.3. Giả sử H là không gian Hilbert, B(H) là đại số các toán tử bị chặn. A ∈ B(H) là một đại số con. Đại số A ∈ B(H) gọi là đại số von Neumann nếu: (i) A là kín đối với phép lấy liên hợp; (ii) I ∈ A (iii) A đóng đối với topo hội tụ yếu, tức là A n w −→ A nếu :< A n x, y >→< Ax, y > với mọi x, y ∈ H Như vậy đại số von Neumann là một C ∗ − đại số. 1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn Định nghĩa 1.1.4. (*) Giả sử A là đại số von Neumann. Phiếm hàm tuyến tính : Φ : A −→ C gọi là dương nếu: Φ(xx ∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ A (*) Φ gọi là phiếm hàm dương chính xác (đúng) nếu: Φ(xx ∗ ) ≥ 0 và từ Φ(xx ∗ ) = 0 suy ra x = 0 Đặc biệt : ||Φ|| = Φ(I) (*) Nếu Φ(I) = 1 thì Φ gọi là trạng thái Định nghĩa 1.1.5. Kí hiệu : A + = {x ∈ A : x ≥ 0} . Ánh xạ τ : A + → [0, ∞] thỏa mãn tính chất : (i) τ(x + y) = τ(x) + τ(y), x, y ∈ A + CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 (ii) τ(λx) = λτ(x), λ ≥ 0; x ∈ A + (quy ước 0.∞ = 0) (iii) Nếu U là unitar thì : τ(UxU −1 ) = τ(x), ∀x ∈ A + Khi đó τ gọi là vết của đại số A . Nếu : τ(x) < ∞, ∀x ∈ A + thì τ gọi là vết hữu hạn. Nếu : τ(x) = sup{τ (y)|y ≤ x; τ(y) < ∞} thì τ gọi là vết nửa hữu hạn . Nếu : τ(x) = 0, x ≥ 0 mà suy ra x = 0 thì τ gọi là vết chính xác (hay vết đúng) Vết τ gọi là chuẩn tắc (Normal) nếu: τ(T ) = sup α τ(T α ) trong đó T α là dãy các toán tử tăng tới T. Đại số von Neumann gọi là hữu hạn (hay nửa hữu hạn) nếu với mọi x ∈ A, x = 0 tồn tại vết chuẩn tắc hữu hạn sao cho τ(x) = 0. Trên đại số von Neumann nửa hữu hạn luôn tồn tại một vết chuẩn tắc , chính xác nửa hữu hạn. 1.2 Toán tử đo được theo một vết Phần này ta sẽ định nghĩa khái niệm về tính đo được theo một vết τ trên một đại số von Neumann A và chỉ ra rằng tập ˜ A các toán tử τ đo được là một ∗− đại số topo đầy đủ. Giả sử A là một đại số von Neumann nửa hữu hạn hoạt động trên không gian Hilber H và τ là trạng thái nửa hữu hạn chuẩn đúng trên A. 1.2.1 Các tính chất cơ bản của phổ Định nghĩa 1.2.1. Giả sử A là đại số Banach . G = G(A)− là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của đại số A . Khi đó G lập thành một CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 nhóm . Phổ σ(x) của x ∈ A là tập hợp tất cả các số phức λ sao cho λe− x không có khả nghịch . C/σ(x)− được gọi là tập hợp chính quy của phần tử x. C/σ(x) = {λ : (λe − x) −1 ∃} Số ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)} được gọi là bán kính phổ của phần tử x. Ta luôn chứng minh được rằng σ(x) = ∅, ∀x ∈ A. Định nghĩa 1.2.2. Giả sử a là toán tử tuyến tính với miền xác định D(a) . Kí hiệu D(a ∗ ) = {g : ∃ ! g ∗ , < g|af >=< g ∗ |f > ∀f ∈ D(a)} với giả thiết D(a) = H. Khi đó D(a ∗ ) là không gian con và toán tử a ∗ g = g ∗ , g ∈ D(a ∗ ), g ∗ là phần tử duy nhất để < g|af >=< g ∗ |f > là một toán tử tuyến tính. a ∗ gọi là liên hợp của toán tử a. Nếu a ⊂ a ∗ thì a gọi là toán tử đối xứng . Nếu a = a ∗ thì a gọi là tự liên hợp. Khi a là toán tử đóng và D(a) = H thì khi đó D(a ∗ ) = H và a ∗∗ = a. Chú ý. Đại số con A của đại số B(H) gọi là chuẩn tắc nếu nó giao hoán và nếu T ∈ A thì T ∗ ∈ A. Định nghĩa 1.2.3. Toán tử P được gọi là toán tử chiếu nếu D(P ) = H; P ∗ = P = P 2 Như vậy , toán tử chiếu P là bị chặn và có sự tương ứng một - một giữa các toán tử chiếu và các không gian con đóng trong không gian Hilbert. Định nghĩa 1.2.4. Xét H là không gian Hilbert . (Ω, Σ) là một không gian đo, Σ là σ− trường. P là tập hợp các toán tử chiếu trong không gian Hilbert H. Ánh xạ E : Σ → P được gọi là một khai triển đơn vị trên (Ω, Σ) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn : 1. E(∅) = 0, E(Ω) = I CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 2. E(AB) = E(A)E(B) 3. E(A ∪ B) = E(A) + E(B) nếu AB = ∅ 4. ∀x, y ∈ H hàm tập hợp E x,y xác định bởi công thức E x,y (A) =< E(A)x, y > là một độ đo phức trên Ω Định lý 1.2.5. (Về biểu diễn Phổ) Nếu T ∈ B(H) và T là toán tử chuẩn tắc thì tồn tại đúng một khai triển đơn vị trên các tập con Borel của phổ σ(T ) của toán tử T sao cho T = σ(T ) λdE(λ) Nếu T là tự liên hợp thì σ(T ) ⊂ R. Khi đó T = b a λdE λ Nếu T là toán tử unitar T T ∗ = T ∗ T = I . Khi đó σ(T ) nằm trong vòng tròn đơn vị . Khi đó T = 2π 0 e iφ dE(φ) 1.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặn Với các toán tử (tuyến tính) a, b trên H ta có thể định nghĩa tổng a + b và tích ab là các toán tử trên H với miền xác định : D(a + b) = D(a) ∩ D(b) D(ab) = {ξ ∈ D(b) bξ ∈ D(a)} Các phép toán này có tính chất kết hợp, vì thế a+b+c và abc là các toán tử được định nghĩa tốt. Hơn nữa ,với mọi a, b, c ta có : (a + b)c = ac + bc và c(a + b) ⊇ ca + cb [...]... A nếu φ là trạng thái vết ) được gọi là độc lập nếu các đại số von Neumann W ∗(x) và W ∗ (y) lần lượt sinh ra bởi x và y là độc lập ˜ Dãy {xn } các phần tử từ A ( hay A nếu φ là một vết ) được gọi là độc lập liên tiếp nếu với mỗi n , đại số W ∗ (xn) độc lập với W ∗(x1, x2, , xn−1) Định nghĩa 2.1.3 Họ {Bλ , λ ∈ Λ} của các đại số von Neumann con ˜ của A ( hay trong A nếu φ là vết ) gọi là độc lập yếu... trong đại số von Neumann Khái niệm hội tụ hầu đều là sự tổng quát của khái niệm hội tụ hầu chắc chắn cho đại số von Neumann Ta có thể xét các phiên bản không giao hoán khác của khái niệm này Định lý 1.3.4 Giả sử A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn đúng φ Với mọi dãy bị chặn (xn) trong A, các điều kiện sau là tương đương (i) Với mọi ε > 0 , tồn tại phép chiếu p trong A với φ(1 − p) < ε và số. .. sườn của đại số von Neumann (giao hoán) Đối với một không gian xác suất (Ω, F, µ) , gọi L∞ (Ω, F, µ) là đại số (các lớp tương đương ) tất cả các hàm nhận giá trị phức, bị chặn cốt yếu và F − đo được trên Ω Nó có thể coi là một đại số von Neumann giao hoán hoạt động trong L2(Ω, F, µ) nếu ta đồng nhất hàm g ∈ L∞ với toán tử nhân ag : f → f g, với f ∈ L2 Đại số A = L∞ (Ω, F, µ) có trạng thái vết chuẩn... tử ( xem [14] ) và cho ta một số thông tin về biến thiên tiệm cận của dãy quan sát được không tương quan 31 CHƯƠNG 2 LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 32 Nếu trạng thái φ là vết thì ta sẽ thiết lập được một số định lý cho ˜ ˜ dãy toán tử đo được Chính xác hơn, ta sẽ xét dãy (xn) ⊂ A ,với A là *- đại số tô pô các toán tử đo được theo nghĩa Segal-Nelson Các thuật ngữ và một số kết quả liên quan... ∈ A sao cho q ≥ p và ||(xn − x)q|| → 0 khi n → ∞ Rõ ràng trong trường hợp đại số von Neumann giao hoán L∞ (Ω, F, µ) cả 4 điều kiện vừa thành lập đều tương đương với hội tụ µ− hầu chắc chắn Định lý 1.3.5 Nếu φ là một trạng thái vết chuẩn đúng ( tức A là đại số von Neumann hữu hạn ) thì cả 4 điều kiện trên là tương đương Giả sử φ là một vết ( hữu hạn hoặc nửa hữu hạn ) Xét ∗− đại số A các toán tử đo... hầu đầy đủ trong đại số von Neumann Từ đây ta sẽ sử dụng một số kiểu hội tụ trong A Ta công nhận định nghĩa sau: CHƯƠNG 2 LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG ĐẠI SỐ VON NEUMANN 33 Định nghĩa 2.2.1 Dãy {xn} trong A được gọi là hội tụ hầu đầy đủ tới x nếu với mọi ε > 0 ,tồn tại dãy (qn ) các phép chiếu trong A sao cho φ(1 − qn ) < ∞ n và ||(xn − x)qn|| < ε; n = 1, 2, Trước hết ta lưu ý rằng nếu φ là vết thì hội tụ... gian Hilbert H2 = H ⊕ H đại số von A A được trang bị vết nửa hữu hạn chuẩn đúng τ2 Neumann A2 = A A CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ xác định bởi τ2 x11 x12 x21 x22 16 = τ (x11) + τ (x22) Kí hiệu pa và pb là các phép chiếu lên đồ thị G(a) và G(b) của a và b Vì a và b kết hợp với A nên G(a) và G(b) bất biến dưới tất cả các phần tử của A2 = { y 0 0 y |y ∈ A } và do đó pa , pb ∈ A2 ... động trên một không gian phức CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 25 (khả ly) Đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H là một đại số von Neumann Trường hợp cổ điển dẫn ta đến đại số von Neumann giao hoán L∞ (U, Bu, µ) các hàm đo được bị chặn trên một không gian đo (U, Bu, µ) Khi đó các hàm đo được không bị chặn sẽ được gắn vào L∞(U, Bu, µ) một cách tự nhiên Độ đo µ sau khi thác triển duy nhất... chắn về E(X) Tức là P limn→∞ Yn (ω) = E(X) = 1 30 Chương 2 Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann Trong chương này chúng ta sẽ đề cập đến một số kết quả được coi là mở rộng của định lý cổ điển cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập ( hay không tương quan ) Dĩ nhiên ta sẽ cần khái niệm tổng quát tương ứng về tính độc lập trong đại số von Neumann Việc thiết lập lại định nghĩa cổ điển không khó Nhưng điều... đo được có thể xem thêm tài liệu trong phần phụ lục 2.1 Tính độc lập Cho A là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ ( faithful normal state φ ) Kí hiệu A1 , A2 là các đại số von Neumann con của A Theo Batty [11] ta có 2 phiên bản của khái niệm φ− độc lập đối với dãy toán tử Định nghĩa 2.1.1 Các đại số con A1 , A2 được gọi là độc lập ( liên quan đến φ ) nếu φ(xy) =φ(x)φ(y) với mọi . H Như vậy đại số von Neumann là một C ∗ − đại số. 1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn Định nghĩa 1.1.4. (*) Giả sử A là đại số von Neumann. Phiếm. trong các tài liệu tham khảo kèm theo. 1.1 Đại số von Neumann và vết 1.1.1 Đại số Banach Kí hiệu C là trường số phức và xét các không gian tuyến tính trên trường