Thông tin tài liệu
Chuyen đề tổ hợp- xác suất HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN I Lưu ý Quy tắc cộng thực chất quy tắc đếm số phần tử hợp hai tập hợp không giao nhau: Nếu tập hợp hữu hạn A, B A B Khi số phần tử A B số phần tử A cộng với số phần tử B, tức là: | A B| = |A| + |B| Tuy nhiên nhiều tốn , phải tính số phần tử hai tập hợp A B có giao khác rỗng Nếu trƣờng hợp ta lầy số phần tử tập A cộng với số phần tử tập B số phần tử A B đƣợc tính hai lần Cho nên, trƣờng hợp kết phải trừ số phần tử A B Vậy: Nếu cho tập hợp hữu hạn A B giao khác rỗng.Khi số phần tử A B số phần tử A cộng với số phần tử B trừ số phần tử A B, tức là: | A B| = |A| + |B| - | A B| Quy tắc gọi quy tắc cộng mở rộng II BÀI TẬP II.1 Phương pháp giải II.1.1 Sử dụng qui tắc cộng để giải toán đếm Để sử dụng qui tắc cộng toán đếm, ta thực theo bƣớc: Bước 1: Phân tách cách giải công việc thành k phƣơng án độc lập với nhau: A1,A2, … ,Ak Bước 2: Nếu: A1 có n1 cách khác A2 có n2 cách khác …… Ak có nk cách khác Bước 3: Khi đó, ta có n1 + n2 + … + nk cách II.1.2 Sử dụng qui tắc nhân để giải toán đếm Để sử dụng qui tắc nhân toán đếm, ta thực theo bƣớc: Bước 1: Phân tách công việc thành k công việc nhỏ liên tiếp: A1,A2, … ,Ak Bước 2: Nếu: A1 có n1 cách khác Ứng với cách thực A1, A2 có n2 cách khác …… Ứng với cách thực A1,…,Ak-1 Ak có nk cách khác Bước 3: Khi đó, ta có n1 n2 … nk cách Chú ý: Điều quan trọng đọc đề bài, biết đƣợc phải dùng qui tắc cộng hay qui tắc nhân o Thông thƣờng, tốn mà cơng việc giải theo nhiều phƣơng án hay có nhiều trƣờng hợp xảy ta thƣờng dùng qui tắc cộng, o Cịn tốn mà cơng việc đƣợc thực công việc nhỏ liên tiếp, nhiều công đoạn trƣờng hợp nhỏ liên kết với trƣờng hợp nhỏ ta thƣờng dùng qui tắc nhân Trong nhiều trƣờng hợp cần kết hợp hai qui tắc để giải toán đếm Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất II.2 Bài tập vận dụng II.2.1 Các toán sử dụng qui tắc cộng (qui tắc cộng mở rộng) Bài Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 40 Áo cỡ 39 có màu khác nhau, áo cỡ 40 có màu khác Hỏi bạn có lựa chọn (về màu cỡ áo)? Giải Ngƣời mua có hai phƣơng án chọn Phƣơng án thứ chọn áo cỡ 39, áo cỡ 39 có màu nên phƣơng án có cách chọn Phƣơng án thứ hai chọn áo cỡ 40, áo cỡ 40 có màu nên phƣơng án có cách chọn Vậy ngƣời mua áo có: + = cách chọn mua áo Bài Trong trƣờng THPT, khối 12 có : 160 em học sinh tham gia câu lạc Toán, 140 tham gia câu lạc Tin, 50 em tham gia hai câu lạc Hỏi khối 12 có học sinh? Giải Gọi tập hợp học sinh tham gia câu lạc Toán Tin lần lƣợt A B Vậy tập hợp em HS lớp A B tập hợp em tham gia hai câu lạc A B => |A B| = 50 Theo đề ta có |A| = 160, |B| = 140 Theo quy tắc cộng mở rộng ta có: | A B| = |A| + |B| - |A B| => | A B| = 160 + 140 - 50 => | A B| = 250 Vậy số HS khối 12 trƣờng 250 em Bài Một lớp có 40 HS, đăng ký chơi hai mơn thể thao: bóng đá cầu lơng Có 30 em đăng ký mơn bóng đá, 25 em đăng ký mơn cầu lơng Hỏi có em đăng ký hai môn thể thao? Giải Gọi tập hợp em HS đăng ký mơn bóng đá mơn cầu lơng lần lƣợt A B Vậy tập hợp em HS lớp A B tập hợp em đăng ký hai môn thể thao A B Mà số HS lớp 40 nên ta có |A B|=40 |A| = 30, |B| = 25 Theo quy tắc cộng mở rộng ta có: | A B| = |A| + |B| - |A B| => |A B| = |A| + |B| - | A B| => |A B| = 30 + 25 - 40 => |A B| = 15 Vậy số HS đăng ký hai môn thể thao 15 em Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất II.2.2 Các toán sử dụng qui tắc nhân Bài Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vng, trịn, elip) bốn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây? Giải Để chọn đồng hồ, ta phải chọn mặt dây Một mặt đồng hồ đƣợc chọn từ kiểu mặt nên có cách chọn Ứng với cách chọn kiểu mặt đồng hồ dây đƣợc chọn từ kiểu dây nên có cách chọn Vậy ta có: 3.4 = 12 cách chọn mua đồng hồ Bài Một ngƣời vào cửa hàng ăn Ngƣời muốn chọn thực đơn gồm ăn 10 món, loại hoa tráng miệng loại hoa loại nƣớc uống loại nƣớc uống Hỏi có cách chọn thực đơn bữa ăn? Giải Một thực đơn gồm ăn, loại hoa quả, loại nƣớc uống Một ăn đƣợc chọn từ 10 nên có 10 cách chọn Ứng với cách chọn ăn, loại hoa đƣợc chọn từ loại nên có cách chọn Ứng với cách chọn ăn loại hoa loại nƣớc uống đƣợc chọn từ loại nên có cách chọn Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 10.5.4=200 cách chọn thực đơn Bài Trong đội văn nghệ có bạn nam bạn nữ Hỏi có cách chọn đôi song ca nam – nữ? Giải Để chọn đôi song ca nam – nữ, chọn nam từ bạn nam nên có cách chọn Ứng với cách chọn bạn nam, bạn nữ đƣợc chọn từ bạn nữ nên có cách chọn Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 8.6=48 cách chọn đơi song ca Bài Từ số 1,5,6,7 lập đƣợc số tự nhiên a) Có chữ số (khơng thiết khác nhau)? b) Có chữ số khác nhau? Giải Gọi A= ,5,6,7 Một số có chữ số hình thành từ tập A có dạng: abcd , với a,b,c,d A a) Có chữ số (không thiết khác nhau) a đƣợc chọn từ tập A mà tập A có phần tử nên có cách chọn Ứng với cách chọn a b đƣợc chọn từ tập A nên có cách chọn Ứng với cách chọn a,b c đƣợc chọn từ tập A nên có cách chọn Ứng với cách chọn a,b,c d đƣợc chọn từ tập A nên có cách chọn Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.4.4.4 = 256 số b) Có chữ số khác a đƣợc chọn từ tập A mà tập A có phần tử nên có cách chọn Ứng với cách chọn a b đƣợc chọn từ tập A\ a nên có cách chọn Ứng với cách chọn a,b c đƣợc chọn từ tập A\ a, b nên có cách chọn Ứng với cách chọn a,b,c d đƣợc chọn từ tập A\ a, b, c nên có cách chọn Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.3.2.1 = 24 số Bài Có số tự nhiên có chữ số chữ số cách chữ số đứng giống nhau? Giải Gọi A= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Một số có chữ số hình thành từ tập A có dạng: abcde , với a,b,c,d,e A Nhƣng chữ số cách chữ số đứng nên ta có a=e, b=d a đƣợc chọn từ tập A\ 0 có phần tử nên có cách chọn Ứng với cách chọn a b đƣợc chọn từ tập A nên có 10 cách chọn Ứng với cách chọn a,b c đƣợc chọn từ tập A nên có 10 cách chọn Vì d=b nên d có cách chọn Vì e=a nên a có cách chọn Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.10.10 = 900 số Bài Có số tự nhiên có tính chất: a) Là số chẵn có hai chữ số (không thiết khác nhau)? b) Là số chẵn có hai chữ số khác nhau? c) Là số lẻ có hai chữ số (khơng thiết khác nhau)? d) Là số lẻ có hai chữ số khác nhau? Giải Gọi A= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Một số có chữ số hình thành từ tập A có dạng ab với a,b A a) a đƣợc chọn từ tập A\ 0 có phần tử nên có cách chọn b phải số chẵn nên b có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có: 9.5=45 số b) Số chẵn có hai chữ số khác số chẵn câu a) trừ số chẳn 2,4,6,8 Vậy ta có: 45-4 = 41 số c) a đƣợc chọn từ tập A\ 0 có phần tử nên có cách chọn b phải số lẻ nên b có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có: 9.5=45 số d) Số lẻ có hai chữ số khác số lẻ câu c) trừ số lẻ 1,3,5,7,9 Vậy ta có: 45-5 = 40 số II.2.3 Các toán sử dụng kết hợp qui tắc cộng qui tắc nhân Bài Từ số 1,2,3,4,5,6 lập đƣợc số tự nhiên bé 100? Giải Gọi A= ,2,3,4,5,6 Các số tự nhiên bé 100 gồm có chữ số hai chữ số TH1) Có số tự nhiên có chữ số TH2) Giả sử số tự nhiên có hai chữ số có dạng ab với a,b thuộc A a đƣợc chọn từ tập A có phần tử nên có cách chọn Ứng với cách chọn a, b đƣợc chọn từ tập A có phần tử nên có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có: 6.6 = 36 cách chọn Vậy theo quy tắc cộng ta có: 36+6=42 cách chọn Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất Bài Có số ngun dƣơng gồm khơng chữ số khác nhau? Giải Gọi A= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 TH1) Số nguyên dƣơng có chữ số đƣợc chọn từ tập A\ 0 nên có cách chọn TH2) Giả sử số ngun dƣơng có chữ số hình thành từ tập A có dạng ab với a,b A a đƣợc chọn từ tập A\ 0 có phần tử nên có cách chọn Ứng với cách chọn a b đƣợc chọn từ tập A\ a nên có cách chọn Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.9 = 81 số TH3) Giả sử số ngun dƣơng có chữ số hình thành từ tập A có dạng abc với a,b,c A a đƣợc chọn từ tập A\ 0 có phần tử nên có cách chọn Ứng với cách chọn a b đƣợc chọn từ tập A\ anên có cách chọn Ứng với cách chọn a,b c đƣợc chọn từ tập A\ a, b nên có cách chọn Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.9.8 = 648 số Theo qui tắc cộng ta có: 9+81+648 = 738 số Bài Một tổ gồm HS nam HS nữ Giáo viên chọn HS để trực thƣ viện Có cách chọn a) Chọn HS đƣợc? b) Trong HS đƣợc chọn có HS nữ đƣợc chọn? c) Trong HS đƣợc chọn có HS nữ đƣợc chọn? Giải a) HS1 đƣợc chọn từ 10 HS nên có 10 cách chọn HS2 đƣợc chọn từ HS cịn lại nên có cách chọn HS3 đƣợc chọn từ HS lại nên có cách chọn Nhƣng chọn nhƣ có cách chọn bị trùng lại Nên ta có (10.9.8) : = 120 cách chọn b) Một HS nữ đƣợc chọn từ HS nữ nên có cách chọn Một HS nam đƣợc chọn từ HS nam nên có cách chọn Một HS nam cịn lại đƣợc chọn từ HS nam lại nên có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có: 4.5.6 = 120 cách chọn c) TH1) Trong HS đƣợc chọn có HS nữ, theo câu b) ta có 120 cách chọn TH2) Trong HS đƣợc chọn có hai HS nữ: Một HS nữ đƣợc chọn từ HS nữ nên có cách chọn Một HS nữ thứ hai đƣợc chọn từ HS nữ cịn lại nên có cách chọn Một HS nam đƣợc chọn từ HS nam nên có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có: 4.3.6 = 72 cách chọn TH3) HS đƣợc chọn HS nữ: HS nữ thứ đƣợc chọn từ HS nữ nên có cách chọn HS nữ thứ hai đƣợc chọn từ HS nữ lại nên có cách chọn HS nữ thứ ba đƣợc chọn từ HS nữ nên có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có: 4.3.2 = 24 cách chọn Vậy, theo quy tắc cộng ta có 120+72+24 = 216 cách chọn Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất Bài Một đồn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách bƣớc lên tàu Hỏi? a) Có trƣờng hợp cách chọn toa hành khách? b) Có trƣờng hợp mà toa có ngƣời lên? c) Có trƣờng hợp mà toa có ngƣời lên, toa có ngƣời lên hai toa cịn lại khơng có lên? Giải a) Ngƣời thứ có cách chọn toa Tƣơng tự, ngƣời thứ hai, ba, tƣ có bốn cách chọn toa Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.4.4.4 = 256 cách chọn b) Ngƣời thứ có cách chọn toa Ngƣời thứ hai có cách chọn toa Ngƣời thứ ba có cách chọn toa Ngƣời thứ tƣ có cách chọn toa Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.3.2.1 = 24 cách chọn Bài Biển đăng ký xe tơ có chữ số hai chữ 26 chữ (không dùng chữ I O) Chữ số khác Hỏi số ô tô đăng ký nhiều Giải Biển đăng ký xe có: Hai chữ 24 chữ nên ta có: 24.24 = 576 cách chọn Chữ số khác nên ta có: cách chọn Năm chữ số cịn lại khơng thiết phải khác trùng nên ta có: 10.10.10.10.10 = 100000 cách chọn Vậy theo quy tắc nhân ta có: 576.9.100000 = 518400000 cách chọn HOÁN VỊ - TỔ HỢP- CHỈNH HỢP I Sử dụng hoán vị thực tốn đếm: Để nhận dạng tốn đếm có sử dụng hoán vị n phần tử, thƣờng dựa dấu hiệu đặc trƣng sau: a Tất n phần tử có mặt b Mỗi phần tử xuất lần c Có phân biệt thứ tự phần tử d Gọi Pn số hốn vị n phần tử, ta có Pn = n! II Sử dụng chỉnh hợp để giải tốn đếm: Để nhận dạng tốn đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k n phần tử, thƣờng dựa dấu hiệu đặc trƣng sau: a Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trƣớc b Có phân biệt thứ tự k phần tử đƣợc chọn III Sử dụng tổ hợp để giải toán đếm: Để nhận dạng tốn đếm có sử dụng tổ hợp chập k n phần tử, thƣờng dựa dấu hiệu đặc trƣng sau: a Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trƣớc b Không phân biệt thứ tự k phần tử đƣợc chọn Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất Hoán vị: 1) Có cách xếp ngƣời khách gồm nam nữ ngồi vào hàng ghế nếu: a) họ ngồi chỗ đƣợc? b) họ ngồi kề nhau? c) nam ngồi kề nhau, nữ ngồi kề hai nhóm có ghế trống? 2) Có cách xếp chỗ ngồi cho ngƣời khách a) vào ghế xếp thành dãy b) vào ghế chung quanh bàn trịn, khơng có phân biệt ghế 3) Mƣời ngƣời muốn chụp ảnh chung Họ muốn chụp nhiều ảnh khác cách đổi chỗ đứng lẫn Cho lần đổi chỗ chụp ảnh phút, hỏi cần để chụp tất ảnh khác nhau? 4) Có số tự nhiên gồm ba chữ số khác khác biết tổng ba chữ số 8? 5) Một dãy ghế dành cho nam sinh nữ sinh Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) họ ngồi chỗ đƣợc b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề c) có nữ sinh ngồi kề 6) Có số tự nhiên gồm ba chữ số khác biết tổng ba chữ số 12? Một phịng khách có chỗ đặt tranh, ảnh tƣợng Chủ nhà muốn trang trí cách xếp đặt tranh khác vào chỗ, ảnh khác vào chỗ thứ hai tƣợng khác vào chỗ lại Hỏi có cách trang trí phịng khách? 7) Ta muốn mời ngƣời ngồi vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Có ngƣời bọn họ muốn ngồi kề nhau? b) Có ngƣời bọn họ khơng muốn ngồi kề nhau? c) Có ngƣời bọn họ không muốn ngồi kề đôi một? 8) Một bàn dài có 12 ghế, bên ghế Ngƣời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 ngƣời khách gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) họ ngồi chỗ đƣợc ? b) nam ngồi bên, nữ ngồi bên ? c) nam nữ ngồi đối diện ? d) nam nữ ngồi xen kẽ đối diện ? Chỉnh hợp: 9) Cho số 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập đƣợc số gồm chữ số khác đƣợc lấy từ số cho, cho: a) Số chẵn b) Số chia hết cho c) Ln có mặt chữ số 10) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập đƣợc số gồm chữ số khác đƣợc lấy từ chữ số cho cho số lẻ đứng liền 11) Cho số : 0,1,2,3,4,5,6 a) Có thể lập đƣợc số gồm chữ số đƣợc lấy từ số cho cho số có mặt lần, số khác có mặt lần b) Có thể lập đƣợc số có chữ số đƣợc lấy từ số cho cho số có mặt lần, số khác có mặt vài lần 12) Cho số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập đƣợc số từ số khác đƣợc lấy từ số cho Sao cho: a) Luôn có mặt chữ số b) Số chia hết cho c) Không chữ số 13) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập đƣợc số có chữ số đƣợc lấy từ số cho cho: a) Số đầu số cuối giống nhau, số khác b) chữ số đầu chữ số cuối giống Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất 14) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6,7 a) Có thể lập đƣợc số gồm 10 chữ số cho số có mặt lần, số có mặt lần Các số khác có mặt lần b) Có thể lập đƣợc số gồm chữ số cho số có mặt lần, số khác có mặt vài lần 15) Cho số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập đƣợc số gồm chữ số cho số chẵn không đứng liền 16) Một nhóm ngƣời thành lập cơng ty Họ muốn chọn ban điều hành gồm giám đốc,một phó giám đốc thủ qũy Có 10 ngƣời hội đủ điều kiện để đƣợc chọn Hỏi có cách chọn ban điều hành? 17) Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lƣu 11m Có cách chọn nếu: a) Cả 11 cầu thủ có khả nhƣ nhau? ( Kể thủ mơn) b) Có cầu thủ bị chấn thƣơng thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số 4? 18) Một ngƣời muốn xếp đặt số tƣợng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu: a) Ngƣời có tƣợng khác nhau? b) Ngƣời có tƣợng khác nhau? c) Ngƣời có tƣợng khác nhau? 19) Với năm số 1,2,3,4,5 lập đƣợc số gồm chữ số số có mặt hai lần số cịn lại số có mặt lần? 20) Có số tự nhiên gồm chữ số khác biết rằng: a) số chia hết cho 5? b) số phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ? 32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập số gồm bốn chữ số khác a) Có số nhỏ 5000 ? b) Có số chẵn nhỏ 7000 ? III – Tổ hợp: 21) Một lớp học có 30 học sinh Trong có 12 nữ, cần thành lập tổ cơng tác gồm ngƣời Có cách lập cho tổ có nữ 22) Trong không gian cho tập hợp gồm điểm khơng có điểm đồng phẳng Hỏi lập đƣợc hình tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp cho 23) Một đề thi có 15 câu hỏi Mỗi thí sinh phải rút câu (4 câu rút “ đề thi ” thí sinh này) a) Có đề thi khác nhau? ( Hai đề thi đƣợc coi khác có câu khác ) b) Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh Chứng tỏ có thí sinh gặp đề thi 24) Một tổ trực gồm nam sinh nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn học sinh để trực thƣ viện Có cách chọn nếu: a) Chọn học sinh đƣợc? b) Có nữ sinh đƣợc chọn? c) Có nữ sinh đƣợc chọn? 25) Một họ n đƣờng thẳng song song cắt họ m đƣờng thẳng song song Hỏi có hình bình hành đƣợc tạo thành 26) Cho tập X = {a, b, c, d } Có tạp X a) Không chứa phần tử a? b) Chứa phần tử a? 27) Một bình đựng viên bi xanh, viên bi đỏ, chúng khác màu Lấy hai viên a) Có kết khác nhau? b) Có cách lấy đƣợc viên bi xanh?, hai viên bi đỏ? Hai viên bi khác màu? Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất 28) Giáo viên hƣớng dẫn lao động muốn chia học sinh làm nhóm gồm 4, 3, học sinh Có cách chia? 29) Cho đa giác lồi có n đỉnh ( n ) a) Tính số đƣờng chéo đa giác này; b) Biết ba đƣờng chéo khơng qua đỉnh khơng đồng quy, tính số giao điểm ( khơng phải đỉnh ) đƣờng chéo 30) Một tổ trực gồm nam sinh nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn nhóm học sinh Có cách chọn nhóm phải có nữ sinh? 31) Giám đốc công ty muốn chọn nhóm ngƣời vào hội đồng tƣ vấn Trong cơng ty có 12 ngƣời hội đủ điều kiện để đƣợc chọn, có hai cặp vợ chồng Hỏi có cách chọn nếu: a) Hội đồng có cặp vợ chồng? b) Hội đồng gồm vợ lẫn chồng ( có )? 32) Tính số đƣờng chéo đa giác lồi có n cạnh Tìm đa giác có số cạnh số đƣờng chéo 33) (ĐH-B-2002) Cho đa giác A1 A2 A2 n (n 2, n Z ) nội tiếp đƣờng tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n , tìm n? 34) (ĐH-B-2004) Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đƣợc đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) số câu hỏi dễ khơng 2? 35) (ĐH-B-2005) Một đội niên tình nguyện có 15 ngƣời gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ? PHẦN Sử dụng hoán vị thực toán đếm: Để nhận dạng toán có sử dụng hốn vị n phần tử, ta thƣờng dựa dấu hiệu đặc trƣng sau: Tất n phần tử có mặt Mỗi phần tử xuất lần Có phân biệt thứ tự phần tử Gọi Pn số hốn vị n phần tử, ta có Pn = n! Sử dụng chỉnh hợp để giải tốn đếm: Để nhận dạng tốn đếm có sử dụng chỉnh hợp, thƣờng dựa dấu hiệu đặc trƣng sau: a) Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trƣớc b) Có phân biệt thứ tự k phần tử đƣợc chọn c) Gọi Ank số phần tử chập k n phần tử, ta có k An n(n 1) (n k 1) Sử dụng tổ hợp để giải toán đếm: Để nhận dạng tốn đếm có sử dụng tổ hợp,chúng ta thƣờng dựa dấu hiệu đặc trƣng sau: A Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trƣớc B Không phân biệt thứ tự k phần tử đƣợc chọn Bài tập: (Ba toán chọn bản) A/ Bài toán đếm số phƣơng án liên quan đến kiến thức thực tế B/ Bài toán đếm số phƣơng án có liên quan đến hình học C/ Bài tốn đếm số phƣơng án có liên quan đến số tự nhiên Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TẾ < > Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ ( hoa xem nhƣ đôi khác ), ta chọn bó gồm bơng a Có cách chọn bó hoa có bơng hồng đỏ ? b Có cách chọn bó hoa có hồng vàng hồng đỏ ? < > ( HVKTQS –2000 ): Một lớp có 20 em h/s có 14 nam nữ Hỏi có cách lập đội gồm h/s đó: a Số nam nữ b Có nữ < > (ĐHYHN - 2000): Có nhà tốn học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam Lập đồn cơng tác ngƣời cần có nam nữ, cần có nhà tốn học nhà vật lý Hỏi có cách? < > (ĐHĐN - 2000): Một tổ có h/s nam h/s nữ xếp thành hàng dọc a Có cách xếp khác ? b Có cách xếp cho khơng có h/s giới đứng cạnh ? < > (ĐHHuế - 2000): Một lớp có 30 h/s nam 15 h/s nữ Có h/s đƣợc chọn để lập tốp ca Hỏi có cách lập khác : a Nếu phải có nữ ? b Nếu chọn tuý ý ? < > (ĐHThái Nguyên – 2000 ): Một đội văn nghệ có 20 ngƣời, có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn ngƣời cho: a Có nam ngƣời b Có nam 1nữ ngƣời < > (HVKTQS - 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có ngƣời Trong ngày cần cử ngƣời làm nhiệm vụ địa điểm A, ngƣời làm nhiệm vụ địa điểm B, ngƣời lại trực đồn Hỏi có cách phân cơng? < > (ĐHGTVT – 2000): Một lớp học có 20 học sinh, có cán lớp Hỏi có cách cử ngƣời dự hội nghị sinh viên trƣờng cho trong3 ngƣời có cán lớp? < > (HVCTQGHCM – 01 - 02): Một đội văn nghệ có 10 ngƣời có nữ nam a Có cách chia đội văn nghệ thành nhóm có số ngƣời nhóm có số nữ nhƣ ? b Có cách chọn ngƣời mà có khơng q nam ? 10 < 10* > (ĐHCần Thơ - 01 - 02): Một nhóm gồm 10 h/s có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 h/s thành hàng dọc cho h/s nam phải đứng liền ? a Có cách xếp khác ? b Có cách xếp cho khơng có h/s giới đứng cạnh ? 11 < 11 > > (ĐHHHHCM– 99- 2000): Có cách xếp h/s A, B, C, D, E vào ghế dài cho: a Bạn C ngồi ? b Hai bạn A, E ngồi đầu ghế ? 12 < 12 > (ĐHHuế – 2000): Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Ngƣời ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy không đủ mầu ? 10 Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất < > Tính tổng P C 3C1 32 C (3)10 C10 10 10 10 10 ( CĐSPKT Vinh- D- 03- 04) Cn < > Tính tổng S Cn C1 Cn n n n 1 n n Biết n Z+ Thoả mãn điều kiện : Cn Cn 1 Cn 2 79 ( CĐGT- 02- 03) < > Cho n số nguyên dƣơng Tính tổng: n 1 n S Cn 1C1 1Cn Cn n n 1 ( ĐHCĐ- B- 03 - 04) < > Viết khai triển Niu tơn biểu thức : (3x - 1)16 Từ CMR: 316C 315C1 314C C16 216 16 16 16 ( ĐHBKHN- 98-99-) 16 < >Tính Giá trị biểu thức : S C C1 C C C C C 6 6 6 6 S C 2C1 2 C 23 C C 25 C 5 5 5 2 n S n C n n C n n C n C n 3 n S n 1C1 n C n n C n C n n C 2001 C1 C 2001 C k C 2001 k C 2001.C 2002 2002 2002 2001 2002 2002 k 2002 < >Tính tổng S C < 10 >Tính tổng sau a / S 317 C 41.316 C1 2.315 C 43.314 C 417.C17 17 17 17 17 17 b / S C C C C C10 C11 11 11 11 11 11 11 c / S 10C1 10 2.C 103.C 10 2n 1.C 2n 10 2n 2n 2n 2n 2n d / S C C C C C10 10 10 10 10 10 2000 e / S5 C2000 2C2000 3C2000 2001.C2000 A0 A1 An1 n n n f / S6 0! 1! n! 2 3 n n h / S7 Cn 3Cn Cn Cn Cn 2n i / S8 C2n C2n C2n C2n C2n 3 n n k / S9 2Cn 2Cn Cn ( 2) Cn 1 n Cn Cn ) < 11 > Tính S 3n (C C1 n n (3) n 32 < 12 > Tính a 26 2 2 2n S1 C2n C2n C2n C2n Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 n n C2n ĐS: S1 1 Chuyen đề tổ hợp- xác suất 2n S2 C2n C2n C2n C2n 2 3 n n c, S3 Cn 6Cn Cn Cn Cn ĐS b d S2 S3 7n ĐS n S4 C1 3n1 2Cn 3n2 nCn n ĐS 2n1 S4 n.4n1 e 17 16 15 17 17 S5 C17 C17 C17 C17 g 1 C n 1 S6 Cn C1 n n 2n h 2 n n S7 2Cn Cn Cn i S8 2 n 1 n ĐS : S7 n1 ĐS : S8 n.3 m 1 1 n S10 Cn Cn Cn Cn n 1 S9 n1 1 ĐS : S10 n 1 n S11 C2000 2C2000 3C2000 2001C2000 n k ĐS : n z n1 n1 n3 n Cn Cn 3.2 Cn nCn n1 n S9 Cn 2Cn 3Cn 4Cn 1 nCn 17 ĐS S5 2000 Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 S6 ĐS : ĐS: S11 =1001.2 2000 27 Chuyen đề t hp- xỏc sut Nhị thức newton ứng dụng I Nhị thức newton Công thức nhị thức Newton: Với cặp số a, -b số nguyên d-ơng ta có: (a + b)n = an + c1n an – b + c2n c1n – b2 + … + cnn-1 abn – + cnnbn n k Cn a nk b k (*) k n – C¸c nhËn xÐt vỊ công thức khai triển: + Số số hạng bên phải công thức (*) n + 1, n số mũ nhị thức vế trái + Tổng số mũ a, b số hạng n + Các hệ số khai triển lần l-ợt là: C0n; C1n; C2n; Cn-1n; Với chó ý: Ckn = Cnn–k k Cn Cnn; < k < n n k k Cn k Một số dạng đặc biệt: + Dạng 1: Thay a = b = x vào (*) ta đ-ợc (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + …+ Cn-1n xn-1 + Cnn xn + D¹ng 2: Thay a = b = -x vào (*) ta đ-ợc (2) (1 - x)n = C0n - C2n x+ C2nx2 + …(-1) kCkn xk + …+ (-1)n Cnn xn (3) – Một số hệ thức hệ số nhị thức + Thay x = vào (2) ta đ-ợc C0n + C1n x + C2n + …+ Cnn = 2n + Thay x = -1 vào (3) ta đ-ợc: C0n - C1n x + C2n - …+ (-1)n Cnn = A - áp dụng I Viết khai triển tính biểu thức sử dụng khai triển đó: Bµi 1: Thùc hiƯn khai triĨn: (3x – 4)5 CT: Ta cã (3x – 4)5 C k 0 28 k (3x)5k (4) k Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất = 35 C05 x5 + 4.34 C15 x4 + … + 45 C55 Trong khai triển + Có số hạng + Các hệ số có tính đối xứng + Ta có hệ số hệ số đầu công thức khai triển hệ số C05 = C15 = C25 = 10 VËy (3x – 4)5 = 243x5 – 1620 x4 + 4320 x3 – 5760 x2 + 3840 x – 1024 Bµi 2: Tính giá trị biểu thức sau: a: S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66 b: S2 = C05 + 2C15 + 22 C25 + … +25 C55 c: S3 = 317 C017 – 41 316 C117 + 42 315 C217 – 43.314 C37 + …-417.C1717 d: S4 = C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111 e: 2001 2000 k 2001 k 2001 S4 C2002C2002 C2002C2001 C2002C2002k C2002C10 Gi¶i:a ta cã S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66 = (1 + 1)6 = 26 = 64 b:Ta cã (1 + x)5 C k 0 k x k (1) Thay x = vµo (1) ta đ-ợc: S2 = C05 + 2C15 + 22 C25 + … +25 C55 = 35 = 243 c:Ta cã: S3 = 317 C017 – 41 316 C117 + 42 315 C217 – 43.314 C37 + …-417.C1717 = C017.317+ C117.316(-4)1 + C217 315 (-4)2 + C317 314 (-4) + …+ C1717 (-14)17 = (3 – 4)17 = (3 – 4)17 = -1 d: Ta cã (1 + 1)11 = C011 + C111 + C211 + … + C611 + C211 ++ C1111 Mặt khác Ck11 = C1111-k với k (0,1,2,…11) Do vËy: (1 + 1)11 = (C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111) = 2S4 →S4 = 210 k 2001 k C 2002.C 2002k e: Ta cã 2002! (2002 k )! k!(2002 k )! (2001 k )! 2002!2002! k 2002C 2001 k!(2001 k )! Tõ ®ã: S5 = 2002 2001 ( C2001 C2001 C2001 ) 2002(1 1) 2001 Bài 3: Tìm số nguyên d-ơng n cho: Con + C1n + C2n + … + 2n Cnn = 243 (1) Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 29 Chuyen đề tổ hợp- xác suất Gi¶i: Ta cã Con + C1n + C2n + … + 2n Cnn = (1 + 2)n = 3n VËy (1) 3n = 243 = 35 n = Bài tập t-ơng tự Bài 4: Viết khai triển (3x – 1)16 vµ chøng minh r»ng 316 Co16 – 315 C116 + … + C1616 = 216 Bµi 5: Tính giá trị biểu thức sau: a: S1 = 2n C0n + 2n-2 C2n + 2n-4 C4n + … + Cnn b: S2 = 2n-1 C1n + 2n-3 C3n + 2n-5 C5n + … +Cnn c: S3 = C610 C710 + C810 + C910 + C1010 Bµi 6: TÝnh tæng 2000 S = C2000 C2000 3C2000 2001C2000 II T×m hƯ sè (tìm số hạng) khai triển Ph-ơng pháp: Với yêu cầu hệ số khai triển NEWTON, ta cÇn l-u ý: n – Ta cã: (a + b)n = Cn a n i b i i Do hệ số số hạng thứ i Cin, số hạng thứ i: Cin an-i bi n (x b ) C (x ) – Ta cã n i 0 i n n i n i ( x ) i C n x ( n i ) i 0 Do ®ã: HƯ sè xk khai triển Cin với i nghiệm ph-ơng trình ( n i) + i = k Đặc biệt k = số hạng không phụ thuộc x Ví dụ 1: Cho biÕt hƯ sè cđa sè h¹ng thø cđa kiÕn thøc nhÞ thøc n n x i x2 x x / x 2 / Cn ( x / ) n1 ( x 2 / ) x i 0 Tõ ®ã, hƯ sè cđa sè h¹ng thø , cđa khai triển nhị thức là: C n 36 n! 36 n(n 1) 72 2!(n 2) n n 72 n VËy thø h¹ng thø ®-ỵc cho bëi C9 ( x / ) ( x 2 / ) 84 x / x VÝ dô 2: Trong khai triĨn nhÞ thøc n h·y x x 28/15tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết Cnn + Cn-1n + Cn-2n = 79 Gi¶i: + XÐt PT: Ta cã PT (1) Cnn + Cn-1n + Cn-2n = 79 (1) 1 n n 12 Khi ®ã: 30 n(n 1) 79 n n 156 (do n N) k x3 x x 28/15 )12 k 0 Cn ( x / )12k ( x 28/ ) k 12 Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất 12 k C12 k 0 4(12 k ) 28k 15 Số hạng thứ k + không phụ thuéc x khai triÓn 4(12 k ) 28k 0k 5 15 T/m VËy hƯ sè kh«ng phô thuéc x b»ng C512 VÝ dô 3: Cho biÕt ba số hạng KT ( x x )n Có hệ số hạng liên tiếp cấp số cộng Tìm tất hạng tử hữu tỷ khai triển đà cho Gi¶i: Ta cã: ( x n n k ) n ( x1/ 1 x 1/ ) n Cn ( x1/ ) nk (2 1 x 1/ ) n x n 3 k k x k k Ta có ba hàng tử khai triển có hệ số là: c0n; c1n 2-1; c2n 2-2; Ba hƯ sè liªn tiÕp theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng 1 C0n + C2n 2-2 = 2C1n 2-1 n n a) n(n 1) n n 9n x x Với n = ta đ-ợc hạng tử hữu tỷ k x c8 c k x x k 0 b) n = ta đ-ợc: 163k Số hạng thứ k + hệ số hữu tỷ ( 16 – 3k)/4 N, < k < k k 16 – 3k = 4i; i N 0 Vậy tk đạt giá trị lớn k = có giá trị 1792 6 C8 2187 3 3 VÝ dơ 7: Khai triĨn ®a thøc Px = ( + 2x)12 Thành dạng P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a20x10 Max (a1 a2 … a12) 12 Gi¶i: Ta cã (1 + 2x)12 = k C12 (2 x) k k 0 k 0 k C12 2k x k ak = Ck12 2k víi k = 1,12 Suy : k 12 k 1 n k ak C ak 1 C k 1 XÐt 12 Tõ (1), suy ra: 12! k 1 k!(12 k )! 12 ! 2(12 k ) (1) ( k 1) (11 k )! ! ak + < ak ak k 1 23 1 1 k a k 1 2(12 k ) ak + > ak ak k 1 23 1 1 k a k 1 2(12 k ) Vậy ak đạt giá trị lớn k = có giá trị C812 88 = 126720 VD 8: Tìm n k khai triển Giải: Ta cã x biÕt h¹ng tư thø cã hƯ sè lín nhÊt ( )n 5 x n ( ) ( x 2) n 5 5n Vì không thay đổi nên h/s khai triển thay đổi phụ thuộc vào (x+2)n XÐt khai triÓn (x+2)n = n 5n k k nk C x H¹ng tư thø cã h.s C8n 28 lớn ntrong hệ số k 0 Cn 8 C n 2C n 9 2 25 C n C n Cn 11 n n 12 8 7 C n C n Cn C n C n Cn VD9: Cho khai triÓn ( x) n Biết tổng hai hệ số đầu hai lần hệ số số hạng thứ khai triĨn b»ng T×m hƯ sè lín nhÊt hệ số khai triển nhị thức – BiÕt h¹ng tư thø 11 cã hƯ sè lớn Tìm n Giải: Ta có 2 1 n ( x) n C n n C n n1 x C n n2 x C n ( ) n x n 3 2 1285 1 C n n C n n1 Phạm Ngọc2Chuyên n11/2/2014 2C n n 2 33 Chuyen đề tổ hợp- xác suất Theo gt (tho¶ m·n) hc n = -26,75 (l) 27 2 k ( x) 27 C27 ( ) 27k ( ) k x k k 0 2 k k HST9: ak C27 ( ) 27k ( ) k C27 2 k 273k (0 k 27) ( k 1) 27 ( k 1) 27 k LËp tØ sè: ak 1 k 1 C27 k k 27 k k 15 ak k 1 C27 VËy n = ta có khai triển : Do (ak) tăng < k < 15 => (ak) max = a15 Do (ak) giảm 16 < k < 27 => (ak) max = a16 Mµ a16 a15 17 15 a16 a15 16 -15 Nªn (ak) max = a15 = C272 2) KÕt qu¶: n 17, 18, 19 làm t-ơng tự VD8 VD10: Tìm hạng tử sè nguyªn khai triĨn x ( )n 5 Gi¶i: ta cã 19 19 k k ( )19 C19 ( )19k (3 ) k C19 Để hạng tử làksố nguyên 19 k k 23 k 0 kN m, k N m, k N k 19 0m6 k 19 m 1 k k 19 19 k 19 3m N m 5 k 9 N k 3m 19 3k 19 k N m k 15 k kN N 3m 19 N VËy c¸c hạng tử số nguyên C 2; C919 35 23; C1519 32 25 19 VD11: BiÕt r»ng khai triÓn (x - )n = C01 x4 – C1n xn-1 n HƯ sè cđa h¹ng tư thứ ba Trong KT : + C2n xn-2 - …(1)n Cnn ( )n n! 45 n(n 1) 90 2!(n 2)! C2n = n2 – n – 90 = n = 10 hc n = -9 (loại) Khi n = 10 khai triển (x - )10 sÏ cã 11 sè h¹ng Do số hạng số hạng thứ ®ã lµ: 28 C10 x ( ) x 27 III – TÝnh tổng Ckn cmđt chứa Ckn Bài 1: Với n số nguyên d-ơng CMR a) C1n + C2n + … + (n – 1) Cn-1n + n Cnn = n 2n-1 b) 2.1 C2n + 3.2 C3n + … + n (n – 1) Cnn = n (n – 1) 2n-2 CM: Víi mäi x vµ n lµ số nguyên d-ơng ta có; 34 Phm Ngc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất (1 + x)n = C0n + C1n x+ C2n x2 + … + Cn-1n xn-1 + Cnn xn (1) LÊy đạo hàm vế (1) theo x ta đ-ợc n(1 + x)n-1 = C1n + 2C2n x + … + (n - 1) Cn-1n xn-2 + n Cnn xn-1 (2) a) thay x = vào (2) ta đ-ợc n 2n-1 = C1n + C2n + … + (n – 1) Cn-1n + n Cnn (§PCM) b) LÊy đạo hàm vế (2) theo x Ta đ-ợc: n(n –1) (1 + x)n-2 = 2.1 C2n + C2n x + … + (n – 1) (n – 2) Cn-1n xn-3 + n (n – 1) Cnn xn-2 (3) Thay x = vµ (3) ta ®-ỵc n(n –1) 2n-2 = 2.1 C2n + C2n x + … + (n – 1) (n – 2) Cn-1n + + n(n-1) Cnn (§PCM) * Chó ý: (1) Nếu phải tính tổng có dạng: S1 = C1n + 2C2n + C3n + … + (n-1) Cn-1n n-2 + n Cnn n-2 n + XÐt khai triÓn (1 + x)n = k 0 k C n xn (1) + Lấy đạo hàm vế (1) theo x đ-ợc: n n(1 + x)n-1 = k 0 k C n x k 1 (2) + Thay x = vµo (2) kÕt + Nếu phải tính tổng dạng S1 = 1C2n + 3.2C3n + … + (n-1) (n-2) Cnn-1 n-3 + n (n-1)(n – 2)Cnn-1 n-3 + n(n-1) Cnn n-2 Ph-ơng pháp: + Xét khai triển (1) + Lấy đạo hàm vế (1) theo x đ-ợc (2) + Lấy đạo hàm vế (2) theo x ®-ỵc n n(n-1) (1+x)n-2 = k 0 k k (k 1)Cn x k 2 (3) Thay x = vào (3) kết Chẳng hạn tính tổng: C1n + 22 C2n + C3n22 + … + (n-1) Cnn-1 cn-2 + n Cnn 2n-1 = n(1+ 2) n-2 = n3n-2 VD2: CM đẳng thức sau: C1n3n-1 + C2n 3n-2 + … + (n-1) Cnn-1 + n Cnn = n 4n-1 (1) Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 35 Chuyen đề tổ hợp- xác suất H-íng dÉn: k Ckn 3n-l = k Ckn 3-k+1 3n-1 = k 3n-1 Ckn C1: Để ý: Từ (1) C1n 3n-1 + C2n 3n-1 + 3n-1 n Cnn + … + (n – 1) Cnn-1 n–2 3 1= n 4n-2 n-1 n C1n + C2n + … + ( n – 1) Cnn-1 ( )n-2 + n C1n n-1 = n (1 + )n-1 =n( ) 3 Thay x = k 1 31 k-1 3 vào (2) ta đ-ợc đpcm Cách 2: §Ó ý : n 4n-1 = n (3+ 1)n-1 XÐt khai triÓn n k (3 x) n Cn 3nk x k (1) k 0 + LÊy ®/h vÕ cđa (1) theo biÕn x ta ®c n k (3 x) n1 kCn 3nk x k 1 (2) k 0 + Thay x = vào (2) ta đ-ợc n(3 + 1)n-1 = C1n 3n-1 + C2n 3n-2 + … + n Cnn 3n-1 điều phải chứng minh * Chú ý: Tính tỉng cã d¹ng S3 = C1n n - + Cn2 n-2 +… + (n-1) Cnn-2 + n Cnn n k 1 kCn nk x k(1) C¸ch 1: + XÐt khai triĨn ( + x)n k 0 + LÊy ®/h vÕ cđa (1) theo biÕn x n Ta đ-ợc n( + x)n-1 k kCn nk x k 1 (2) k 0 Trong (2) thay x = vào ta đ-ợc kết VD3: CMR 2n-1 C1n + 2n-1 C2n + 3.2n-3 C3n + 2n-4 C4n + … + n Cnn = n 3n-1 (làm t-ơng tự VD2 với = VD4: Chøng minh c¸c hƯ thøc sau: Con + C1n + C2n + … + (n + 1) Cnn = (n + 2) 2n-1 2) TÝnh tæng : S = C1n + C2n + … + n (n – 1) Cnn-1 + (n + 1) n Cnn Giải: a) Cách 1: XÐt khai triÓn: (1 + x)n = Con + C1n + C2n x2 … + Cnn-1 xn-1 + Cnn cn f(x) = x (1 + x)n = Con x + C1nx2 + C2n x3 + … + Cnn-1- xn +Cnn xn+1 (1) 36 Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề t hp- xỏc sut Lấy đạo hàm vế (1) ta đ-ợc (1 + x)n + xn (1 + x)n-1 = C0nx + C1nx2 + C2nx3 +…+n Cnn-1 xn-1 + + n(n+1) Cnn xn (2) Thay x = vào (2) ta đ-ợc 2C1n + C2n + … + n(n-1) Cnn-1 + (n + 1) n Cnn = (2 + n) 2n-1 ®pcm b) LÊy đạo hàm vế (2) ta đ-ợc n(1+x)n-1 + n (1+ x)n-1 + n x (n –1) (1 + x)n-2 = C1n + 3.2 C2n x + … + n (n-1) Cnn-1 cn-2 (n+1) n Cnn xn-1 (3) Thay x = vào (3) ta đ-ợc S = C1n + C2n + … + n (n-1) Cnn-1 + (n+ 1) n Cnn = 2n 2n-1 + n (n-1) 2n-2 = n n-2 (n + 1) Chó ý: TÝnh tỉng: (1) S4 = Con + C1n + C2n2 + … + n Cnn-1 n-1 + (n+1) Cnn n Ph-ơng pháp: -XÐt khai triÓn: n (1 + x)n k Cn x k (1) k 0 + Nh©n vÕ (1) với x ta đ-ợc x (1 + x)n n k C n x k 1 (2) k Lấy đạo hàm vế (2) theo biến x ta đ-ợc (1 + x)n + nx (1 + x)n-1 n k (k 1)Cn x k (3) k 0 Thay x = vµo (3) kÕt qu¶ tỉng S4 (2) S5 = C1n + C2n + … + n (n – 1) Cnn-1 n-2 + (n + 1) n Cnn n-1 Ph-ơng pháp: Lấy đạo hàm vế (3) sau thay x = => kết VD5: Tính tæng S1 = C1n + 22 C2n + 4.3 C2n 22 +…+ n (n-1) Cnn-1 2n-2 + + (n+1) n Cnn 2n-1 S2 = 12 C1n + 22 C2n + 33 C3n 42 C4n +…+ p2 Cpn + …+ n2 Cnn HD : §Ĩ ý p2Cpn = p.p Cpn = p [(p+1) –1] Cpn = p(p+1) Cpn – p Cpn S2 = [2 C1n + C2n + … + p (p+1) Cpn + … + (n + 1) n Cnn] - [ C1n + c2n + … + pCpn + … + n Cnn ] Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 37 Chuyen đề tổ hợp- xác suất Gi¶i: XÐt f(x) = (1 + x)n = Con + C1nx + C2n x2 + C3n x3 + … + Cnn xn Vµ g(x) = x (1 + x)n = Conx + C1x x2 + C2n x3 + C3n x4 + … + Cnn xn+1 Ta cã f(x) = n (1 + x)n-1 = C1n + C2nx + C3n x2 + … + n Cnn xn-1 f(1) = n 2n-1 = C1n + C2n + C3n + … + n Cnn (1) g’(x) = (1+ x)n + nx (1 + x)n-1 = Con + C1nx + x C2n x2 + C3n x3 + … + (p + 1) Cpn xp + … + (n-1) Cnn xn g’’(x) = 2n (1 + x)n-1 + n (n – 1) x (1 + x) n-2 = C1n + C2n + C3n x2 + … + (p + 1) p Cpn xp-1 + … + (n + 1) n Cnn xn-2 g’’ (1) = 2n 2n-1 + n (n-1) 2n-2 = C1n+ C2n + C3n + … + (= + 1) p Cpn + … + (n + 1) n Cnn LÊy (2) – (1) S2 = 2n 2n-1 + n ( n- 1)n-2 – n 2n-1 = n 2n – (3n 1) VD6: Với n nguyên d-ơng hÃy chứng minh (1) 4n Con – 4n-1 C1n + n-2 C2n + … + (-1)n Cnn = Con + C1n + … + n 2n-1 Cnn + … + 2n Cnn (2) C1n + C2n + … + n.2n-1 Cnn = n 4n-1 Con – (n-1) 4n-2 C1n + (n-2) 4n-3 C2n + … + (-1)n-1 Cnn-1 Gi¶i (1) với x n số nguyên d-ơng ta cã (4 – x)n = Con + 4n – C1n 4n-1 x + 4n-2 C2n x2 + … + (-1)n Cnn xn Thay x = vµ (1) 3n = Con 4n- C1n 4n-1 + C2n 4n-2 + … + (-1)n Cnn (*) Víi mäi x vµ n lµ số nguyên d-ơng ta có: (1 + x)n = Con + C1n x + … + Cnn xn (2) Thay x = vào (2) ta đ-ợc; 3n = Con C1n + 22 C2n + … + 2n Cnn (**) Từ (*) (**) đpcm (2) với x n số nguyên d-ơng ta có: (1 + x)n = Con + C1nx + C2n x2+ … + Cnn-1 xn-1 + Cnn xn (1) Lấy đạo hàm vế (1) theo biến x ta đ-ợc: 38 Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 (1) Chuyen đề tổ hợp- xác suất n (1 + x)n-1 = C1n + C2n x + … + (n-1) Cnn-1 xn-2 + n Cnn xn-1 (2) Thay x = vào (2) ta đ-ợc n 3n-1 = C1n + C2n + … + ( n- 1) Cnn-1 xn-2 + n Cnn xn-1 (3) Với x n nguyên d-ơng ta có (x – 1)n = Con xn - C1nxn-1 + … + (-1)n Cnn (4) Lấy đạo hàm vế (4) theo biÕn x (x – 1)n-1 = n Con xn-1 - (n-1)C0n xn-2 + … + (-1)n-1 Cnn-1 (5) Thay x = vào (5) ta đ-ợc n 3n-1 = n 4n-1 Con – (n-1) 4n-2 C1n + (n-2) 4n-3 (C2n + … +(-1)n-1 Cnn-1 (6) Tõ (3) vµ (6) => điều phải chứng minh n k kC n Chó ý; Nh- vËy ®Ĩ tÝnh tỉng cã d¹ng n k (k 1)C k k k n Ta lấy đạo hàm hai lần nhị thức Niu tơn Bài tËp lun tËp: TÝnh c¸c tỉng sau: 1) S1 = 2006 32005 C02006 + 2005 32004 C12006 + C22006 + … + 2005 C2006 HDG: + XÐt khai triÓn (x + 1)2006 = x2006 C02006 + x2005 C12006 + …+ 2005 C2006 (1) + Lấy đạo hàm vế (1) 2006 (x + 1)2005 = 2006.x2005 C02006 + 2005 x2004 C12006 + … + 2005 C2006 (2) + Thay x = vµo (2) => S1 = 2006.42005 2) S2 = 52005 C12006 + 2.52004 4.C22006 + 3.52003 42 C32006 +…+2006.42005 HDG: + XÐt khai triÓn : (5 + x)2006 = 2006 C + Lấy đạo hàm vế (1) ta đ-ợc k 2005 C2006 (1) 52006k x k k 2006 2006 k 2006(5 x) 2005 C2006.52006k x k 1 (2) k 0 + Thay x = => S2 = 2006.92005 3) S3 = 99.398 C099 – 98 397 C199 + 97 396 C299 - … + C9899 HDG: + XÐt KT (x + 1)99 = 99 k 0 k C99.x 99k 99 C + Lấy đạo hàm vế (1) theo x đ-ợc (2) = (x + 1)98 = k + Thay x = -3 vào (2) đ-ợc S3 = 99.298 4) S4 = C02006 + 2C12006 + 3C22006 + 4C32006 + …+ 2007 (99 k ) x 98k 2006 C2006 HDG: + T¸ch S4 = I + J; I = C02006 + C12006 + …+ Vµ J = C12006 +2C22006 + 3C32006 + …+ 2006 k 99 2006 C2006 2006 C2006 C2: Nh©n vÕ khai triĨn (1 + x)2006 víi x lÊy ®/h vÕ theo x sau thay x = => kết 5) S5 = C02006 + 4C12006 + 5C22006 + …+ 2009 2006 k 0 2006 C2006 Phạm x k C k Ngọc Chuyên 11/2/2014 2006 39 Chuyen đề tổ hợp- xác suất HDG: + XÐt KT: (1 + x) 2006 = (1) 2006 + Nh©n vÕ (1) víi x3: x3 (1 + x)2006 = k 0 k C2006.x k 3 (2) + LÊy ®/h vế (2) theo x đ-ợc (3) + Chọn k = => kÕt qu¶ S5 = 22005 2012 6) S6 =4.53 C02007 + 5.54 C12007 + 6.55 C22007 +…+ 2011.52010 Xét KT : x4 (1 + x)2007 làm t-ơng tù VD5 40 Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 2007 C2007 ... Nhiều tốn đếm phức tạp khơng thể giải sử dụng quy tắc nhân quy tắc cộng Nhưng giải sử dụng quy tắc 12 Phạm Ngọc Chuyên 11/2/2014 Chuyen đề tổ hợp- xác suất < 23 > Gọi P tổng số mật Theo quy tắc cộng... phần tử đƣợc chọn Bài tập: (Ba toán chọn bản) A/ Bài toán đếm số phƣơng án liên quan đến kiến thức thực tế B/ Bài tốn đếm số phƣơng án có liên quan đến hình học C/ Bài tốn đếm số phƣơng án có... 10.10.10.10.10 = 100000 cách chọn Vậy theo quy tắc nhân ta có: 576.9.100000 = 518400000 cách chọn HOÁN VỊ - TỔ HỢP- CHỈNH HỢP I Sử dụng hoán vị thực toán đếm: Để nhận dạng tốn đếm có sử dụng hốn vị n phần
Ngày đăng: 18/06/2015, 18:47
Xem thêm: bài tập quy tắc đếm và tổ hợp, bài tập quy tắc đếm và tổ hợp
