Thông tin tài liệu
1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,0 điểm) Nội dung Điểm Phương trình tương đương: 3sin 2 3 1 1 cos2x x . 1 3 3 cos2 sin 2 2 2 2 x x . 3 cos 2 3 2 x . 12 4 x k k x k Vậy phương trình có nghiệm là 12 x k hoặc ( ) 4 x k k . Câu 2. (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm). Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 4 4 3 x mx m x m . 2 0 3 1 0 (1) x x mx Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 2 9 4 0 m 2 3 2 3 m m . Vậy các giá trị cần tìm của m là 2 3 m hoặc 2 3 m . 2 b) (1,0 điểm). Ta có 2 ' 3 6y x mx ; ' 0 0 y x hoặc 2x m . Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 0 m (*) Các điểm cực trị của đồ thị là 4 4 3 0; ; 2 ; 4 A m B m m m . Suy ra 4 4 1 1 AC m m ; , 2C Oy d B AC m . Do đó 4 1 . , 1 2 ABC S AC d B AC m m ; 4 2 1 2 ABC S m m . Đặt 0m t ta được 5 4 3 2 2 0 ( 1)( 2) 0 1t t t t t t t t Do đó 1 m (thỏa mãn điều kiện (*)). Vậy 1 m . Câu 3. (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm). Với m=2 ta có hệ 3 2 2 2 2 2 3 3 4 ( )(3 ) 4 2 4 ( ) (3 ) 4 x x y x xy x x x y x x y x x x y Đặt 2 ;3 x x a x y b , ta có hệ: 4 2 4 ab a b a b . Giải hệ 4 4 ab a b ta được 2 a b . Suy ra 2 2 3 2 x x x y . Giải hệ ta được ( ; ) ( 1;5);(2; 4) x y . Vậy hệ có hai nghiệm ( ; ) ( 1;5);(2; 4) x y . Chú ý: HS có thể làm theo phương pháp thế. b) (1,0 điểm). Hệ tương đương 2 2 ( )(3 ) 2 ( ) (3 ) 6 x x x y m x x x y m Đặt 2 1 , ;3 4 x x a a x y b , ta có hệ: 2 6 ab m a b m 2 6 2 (6 ) 2 (1) 2 6 6 6 a a ab m a m a m m a a b m b m a b m a Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn 1 4 a . Xét hàm số 2 6 1 ( ) ; 2 4 a a f a a a . Ta có 2 2 4 12 '( ) ( 2) a a f a a . 3 Với 1 4 a thì '( ) 0 2 f a a . Bảng biến thiên: 2 ∞ - 25 28 + 0 +∞ 2 -1 4 f(a) f'(a) a Suy ra giá trị cần tìm của m là: 2 m . Câu 4. (2,0 điểm) 60° 30° S A B C K C B B' M H I Nội dung Điểm 2 0 1 3 . .sin120 2 4 HBC a S HB HC . Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC. Ta có 0 0 3 sin 30 .sin 60 2 4 a a AH HM HB AK AH . 4 Góc giữa (SHC) và (ABC) là 0 0 3 60 .tan 60 4 a SKA SA AK Vậy 2 3 . 1 1 3 3 3 . . . 3 3 4 4 16 S HBC HBC a a a V SA S . Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là '.BCB Gọi I là hình chiếu của A trên SK ( )AI SHC . Ta có ' ( ,( )) 2 ( ,( )) 2 ( ,( )) 2BB d B SHC d M SHC d A SHC AI . Trong tam giác vuông SAK, ta có 2 2 2 . 3 3 2 3 3 . ' . 16 8 4 3 AK AS a a a AI BB a AK AS Do đó 0 ' 3 3 3 sin ' 4.2 8. .cos30 4 BB a a BCB BC BM HB . Vậy 3 13 cos ' 1 . 16 4 BCB Câu 5 (1,0 điểm) Nội dung Điểm H 1 1 E I A D B C Gọi I AC BD , H là hình chiếu của B trên CD. Ta có 0 1 1 1 1 1 1 1 1 tan tan 2 3 tan tan 1 45 1 1 1 tan tan 1 . 2 3 D C AID D C AID D C . Đường thẳng AC có dạng: 2 2 ( 4) ( 2) 0 4 2 0 ( 0) a x b y ax by a b a b . Góc giữa AC và BD bằng 0 45 nên 0 2 2 2 2 2 cos45 3 8 3 0 . 5 a b a ab b a b Chọn b=1 ta được 1 ; 3 3 a a . Từ đó suy ra phương trình AC là 3 10 0 x y hoặc 3 10 0 x y . Gọi E BH AC , ta có 3 2 2 BE AB IA AD EH CH IE BE . Ta có 2 3 . 10 2 2 ABCD AD AD AD S AD . Từ đó tìm được 4 10 5 AI . 5 * Nếu : 3 10 0 AC x y , suy ra 17 11 ; 5 5 I . Gọi 10 3 ;A t t thì từ 4 10 5 AI ta có 2 2 17 11 32 7 10 3 3; 5 5 5 5 t t t t . Suy ra 29 7 1;3 ; ; 5 5 A A Do 2 1;3 A x A . * Nếu :3 10 0 AC x y , suy ra 21 13 ; 5 5 I . Gọi ;3 10 A t t thì từ 4 10 5 AI ta có 2 2 21 13 32 17 3 10 5; 5 5 5 5 t t t t (không thỏa mãn 2 A x t ). Vậy điểm A cần tìm là 1;3 A . Chú ý: Nếu HS chỉ tính được cạnh 2AD thì cho 0,25 điểm. Câu 6. (1,0 điểm) Nội dung Điểm Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 2 a b c a b a c b c a b c a a a Suy ra 2 3 2bc a a . 2 2 2 2 2 2 3 9 3 3 2013 3 3 3 2 2013 3. a b c a b c a b c P abc a a a a Xét hàm 2 2 ( ) 3 3 2 2013 3; 0;1 f a a a a a . Ta có 2 2 2 2 2 2 18 1 2 '( ) 3 2 3 2 . 2013 2013 18 1 2013 3 2 3 2 a a a f a a a a a a a a . Ta có 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 4 1 .2 1 1 2 2 3 27 a a a a a a a a Suy ra 2 2 1 3 3 a a 2 '( ) 18. 2013 4 3 2013 0 3 3 f a . Suy ra ( )f a nghịch biến trên đoạn 0;1 . Do đó ( ) (1) 2013 f a f . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1a b c . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2013 khi 1a b c . ………. Hết………. . 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013- 2014 Môn: TOÁN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình. phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong. không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Ngày đăng: 18/06/2015, 09:34
Xem thêm: Đáp án đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013 và 2014, Đáp án đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013 và 2014