Câu 1: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một khẩu pháo là 0,6 biết rằng mục tiêu bị tiêu diệt khi bị 3 quả đạn pháo bắn trúng. Gọi X là số đạn bắn đến khi mục tiêu bị diệt. Tìm a) P( K = x) với x = 3; 4; 5;6 b) Tìm E(x) Giải a) Gọi X là số đạn bắn trúng khi mục tiêu bị tiêu diệt theo đề bài X nhận các giá trị x = 3, 4, 5, 6. Vậy số viên đạn mà khẩu pháo bắn ra là 6 viên trong đó xác suất trúng mỗi viên là 0,6. Nên có thể xem đây là 1 dãy có 6 phép thử độc lập với xác suất mỗi phép thử là 0,6 X có phân phối nhị thức X ~ B (6 ; 0,6) 3 3 3 6 ( 3) .(0,6) .(0,4) 0,27648P X C= = = 4 4 2 6 ( 4) .(0,6) .(0,4) 0,31104P X C = = = 5 5 1 6 ( 5) .(0,6) .(0,4) 0,1866P X C= = = 6 6 0 6 ( 6) .(0,6) .(0,4) 0,0467P X C= = = b ) E(X) = 3.0,27648 + 4. 0,31104 + 5. 0,1866 + 6. 0,0467 = 3,2868 Câu 2: Năng suất lúa ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì vọng 42tạ/ha và 3 δ = tạ/ha . Tìm xác suất để khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng thì có 2 thửa có năng suất sai lệch so với trung bình không quá 1 tạ/ha Giải Gọi X là năng suất của lúa ở một địa phương có phân phối chuẩn X ~ N ( 2 , µ δ ) Với kì vọng (năng suất trung bình) ( ) 42E X µ = = tạ/ha và 3 δ = tạ/ha Hay X ~ N (42 , ) Ta có: (41 43)P X ≤ ≤ là năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 1 tạ/ha (41 43)P X ≤ ≤ = 43 42 41 42 3 3 ϕ ϕ − −     −  ÷  ÷     1 1 1 2 2.0,1293 0,2586 3 3 3 ϕ ϕ ϕ       = − − = = =  ÷  ÷  ÷       Vậy (41 43)P X ≤ ≤ = 0,2586 Câu 3: Cho hàm mật độ của BNN (X) như sau a) Kiểm chứng là hàm mật độ b) Tìm kì vọng của BNN X Giải a) f(X) là hàm mật độ nếu thật vậy : 100 3 100 2000 ( ) 0.f X dx dx dx x +∞ +∞ −∞ −∞ = + ∫ ∫ ∫ = 3 2 100 2000 1 2000 2 dx x x +∞   = −  ÷   ∫ 100 +∞ = 1 Nên f(x) là hàm mật độ b) E(X) = 100 3 100 2000 . ( ). .0. . .x f x dx x dx x dx x +∞ +∞ −∞ −∞ = + ∫ ∫ ∫ 2 100 20000 1 . 20000.dx x x +∞ = = − ∫ 100 +∞ = 200 Vậy E(X) = 200 Câu 4: Ba học sinh cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8 . Của sinh viên B là 0,7 . Của sinh viên C là 0,6. Tìm xác suất của biến cố sau: a) Có 2 sinh viên làm được bài b) Nếu có 2 sinh viên làm được bài hãy tìm xác suất để sinh viên A không làm được bài Giải: a) Gọi E là biến cố của 2 sinh viên làm được bài thì E = C ABC AB ABC ∪ ∪ mà A,B,C độc lập và xung khắc từng đôi 1 P(E)=P( ) + P( C) + P( )ABC AB ABC⇒ = P(A).P(B).() + P(A).P().P(C) + P(). P(B).P(C) = 0,8.0,7.0,4 + 0,8.0,3.0,6 + 0,2.0,7.0,6 = 0,452 b) Gọi P( A /E) = ( . ) ( ) P A E P E = 0,2.0,7.0,6 0,18584 0,452 = Câu 5: Một xạ thủ có 4 viên đạn. Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng mục tiêu hoặc hết cả 4 viên thì thôi. Gọi X là số viên đạn đã bắn. Mốt Mod [X] ? Giải: Gọi xác suất bắn trúng của xạ thủ đó là p thì ( p) Gọi X là số viên đạn đã bắn. Thì X nhận các giá trị x = 1, 2, 3, 4 P(X=1) = p P(X=2) = qp ( q = 1- p) P(X=3) = qqp = p P(X=4) = qqqp= p P(X=1) = p có xác suất là lớn nhất. Nên ( ) 1Mod X = Câu 6: Cho 2 Y X= , Biết luật phân phối X -1 0 1 2 X P 0,1 0,3 0,4 0,2 Giải: Xét 2 Y X= X 1 0 1 4 X P 0,1 0,3 0,4 0,2 Hay Câu 7: Cho Z = 2X – Y + 5 biết (X,Y) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,0) (2,1) ij P 0,1 0,15 0,05 0,3 0,2 0,2 Xét : Z = 2X – Y + 5 Z 8 7 6 10 9 8 Z P 0,1 0,15 0,05 0,3 0,2 0,2 Hay bảng phân phối của Z là: Z 6 7 8 9 10 Z P 0,05 0,15 0,3 0,2 0,3 Câu 8: X có luật phân phối Y 0 1 4 Y P 0,3 0,5 0,2 X 1 2 3 4 X P 0,1 0,1 0,2 0,3 Phương sai Var(2X + 1) ? Giải: Ta có: Var(2X + 1) = D(2X + 1) = D(2X) = 4D(X) Với ( ) ( ) [ ] 2 2 ( )D X M X M X= − M(X) = 1.0,1 + 2.0,4 + 3.0,2 + 4.0,3 = 2,7 M() = .0,1 + .0,4 + .0,2 + .0,3 = 8,3 ⇒ D(X) = 8,3 - ( ) 2 2,7 = 1,01 Nên D(2X + 1) = 4. 1,01 = 4,04 Câu 9 :Hai biến cố A, B có ? Giải Câu 10/ Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu , mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có 1 lựa chọn đúng . Mỗi câu sinh viên làm đúng được 1 điểm . Tính sác xuất để sinh viên làm được đúng 5 điểm . Giải Đề thi có 10 câu mỗi câu có 4 lựa chọn trong đó chỉ có 1 lựa chọn đúng . Vậy trong 10 câu thì tỉ lệ đúng mỗi câu là = 0,25 . Gọi X là sỗ câu đúng đánh được ( cũng chính là số điểm đạt được) Thì X có phân phối nhị thức X B ( 10 ; 0,25) Vậy xác suất để sinh viên được 5 điểm là P( X =5) = . . = 0,058 = 5,8% II Gọi B là biến cố chọn được sinh viên nam Đây là một hệ đầy đủ a) a) ) Câu 14: Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ chính phẩm 0,95. Tìm xác suất để số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong khoảng từ 900 đến 980. Giải: Gọi X là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn . X có phân phối nhị thức X ~ B(1000 ; 0,95) nhưng vì n = 1000 ( sản phẩm ) là lớn và p = 0,95 không quá gần 0 và 1 nên : X ~ B(1000 ; 0,95) → X ~ H(, 2 δ ) Với : = np = 1000.0,95 = 950 2 δ = npq = 1000.0,95.0,05 = 47,5 = Vậy : P(900 ≤≤ X 980) = ( 47,5 950980 − ) – ( 5,47 950900 − ) = (4,35) - (-7,25) = 0,49999 + 0,5 = 0,99999 Câu 15: Có 2 lô hàng, mỗi lô gồm 10000 sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm loại I của lô thứ nhất, thứ hai tương ứng là 70% , 80%. Người ta lần lượt lấy từ mỗi lô ra 10 sản phẩm để kiểm tra (lấy không hoàn lại). Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra có từ 8 sản phẩm loại I trở lên thì mua lô hàng đó. a) Tìm xác suất để lô hàng thứ nhất được mua b) Tìm xác suất để ít nhất một lô hàng được mua Giải: A 1 là biến cố lô hàng thứ nhất được mua A 2 là biến cố lô hàng thứ hai được mua X i là số sản phẩm lấy ra để kiểm tra Theo đề bài thì lô hàng thứ nhất và thứ hai có quy luật phân bố siêu bội .(lấy không hoàn lại) X I ~ H(10000;7000;10) X II ~ H(1000;8000;10) Nhưng vì số tổng sản phẩm là N = 10000 rất lớn trong khi đó số sản phẩm lấy ra n = 10 rất nhỏ nên có thể coi 2 lô hàn có quy luật phân phối nhị thức. X I ~ B(10;0,7) (P = N N A =0,7) X II ~ B(10;0,8) (P = N N A = 0,8) a/ Xác suất để lô hàng thứ nhất được mua là: P(A 1 ) = P(8 ≤≤ X 10) = P( X =8) + P( X =9) + P( X =10) [...]... hàng gồm 10000 sản phẩm , trong đó có 40000 sản phẩm loại II Chọn ngẫu nhiên 2400 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại để kiểm tra a) Tính xác suất để trong số 2400 sản phẩm chọn ra kiểm tra có không quá 960 sản phẩm loại II b) Tính số sản phẩm loại II trung bình có trong 2400 sản phẩm được chọn Nếu chọn theo phương thức không hoàn lại thì kết quả thay đổi thế nào? Giải: Lô hàng gồm 100000 sản phẩm,... M thì xác suất bắn trúng bia bằng súng A là 0,8 và bằng súng B là 0,7 Nếu trong 100 viên đạn đó trúng 80 viên thì được thưởng 1 tivi, có 50 viên trúng thì được thưởng 1 catxet Nếu có trên 80 viên trúng thì được 1 đồng hồ treo tường Nếu dưới 40 viên thì phát 50 ngàn đồng Tính xác suất của các biến cố a) b) c) d) Được thưởng tivi Được thưởng catxet Được thưởng đồng hồ tường Bị phạt 50 ngàn đồng Giải: ... biến cố mà xạ thủ M bị phạt 50 ngàn đồng Vậy: P(T4) 0 Tìm kỳ vọng , phương sai của BNN X Giải: Câu 19: X,Y là hai BNN có hàm mật độ đồng thời là: 1 , 2 x2 y f ( x, y ) x ≥ 1, 1 ≤ y≤ x x = 0 a) Kiểm chứng f(x,y) là hàm mật độ xác suất b) Tìm hàm mật độ lề của X, Y ( y) , f ( Y x) f X c) Tìm hàm mật độ có điều kiện Giải: Xét hàm mật độ đồng thời x y ( , )= f  1  2  2x y 0  x ≥ 1, x y ( , ) là hàm... không hoàn lại thì X ~ H(100000;40000;2400) X có phân phối siêu bội X < 906) µ = 100000  n = 2400 Vì Nên X → X (N rất lớn ; n nhỏ) ~ B(2400;0,4) ⇒ E( X ) = np = 0,4.2400 = 960 không có gì thay đổi Câu 17: Trong ngày lễ quân đội, người ta đưa hai khẩu súng A và B Xạ thủ M vào chơi sẽ được rút ngẫu nhiên 4 cây bài trong 52 cây (trong đó có 4 cây At At ) Nếu có ít nhất 1 cây thì M lấy được súng A, ngược... phẩm nhưng theo phương thức có hoàn lại nên: Gọi X là số sản phẩm được kiểm tra thì X có phân phối nhị thức X ~ B(2400; 40000 100000 ) hay X ~ B(2400 ; 0,4) Nhưng vì số sản phẩm được kiểm tra n = 2400 rất lớn trong khi đó p = 0,4 không quá gần 0 và 1 Nên Với X ~ B(2400;0,4) → X ~ H(, δ2 ) µ = np = 2400.0,4 = 960  2 δ = npq = 960.0,6376 = 576 µ = 960 ⇒ δ = 24 a/ Xác suất để số sản phẩm loại II... (0,7) ( 0,3) + C (0,7) (0,3) = 0,233 + 0,121 + 0,028 = 0,382 b/ Xác suất để lô hàng thứ hai được mua là: P(A2) = P(8 ≤X≤ 8 10 10) = P( 8 X =8) + P( 9 10 2 X =9) + P( 9 X =10) 10 10 1 10 0 = C (0,8) (0,2) + C (0,8) ( 0,2) + C (0,8) (0,2) = 0,302 + 0,268 + 0,107 = 0,677 Gọi A là biến cố có ít nhất một lô hàng được mua ⇒ là biến cố không có lô hàng nào được mua − P(A) A = 1 - P( ) = 1 – P( − − A A 1... chuồng là 3,5 Kg thì có thể tin lời tuyên bố đó không? (với α = 1%) c) Giả sử người ta dùng một loại thức ăn mới và trọng lượng trung bình của giống gia súc này khi xuất chuồng là 3,9 kg Cho kết luận về loại thức ăn này (với 1%) Giải: Xét trọng lượng 15 con gia súc : 3.259(kg ) 3.8 2.5 4 3.75 3.8 3.9 4.02 3.2 3.82 3.4 3.6 3.75 3.5 Từ đó ta tính được : a/ Trọng lượng con gia súc có phân phối chuẩn :... 99% và độ chính xác 0,22g thì cần cân them bao nhiêu trái cây nữa? c) Người ta quy ước những trái cây có trọng lượng nhỏ hơn 60g là thuộc loại II Hãy ước lượng tỉ lệ trái cây loái II với độ tin cậy 95% d) Sau đợt kiểm tra, người ta bón them một loại phân hóa học mới làm cho trọng lượng trung bình một trái cây là 70g Hãy cho kết luận về tác dụng của loại phân này với mức ý nghĩa 1% Giải: Trọng lượng... được khẩu súng B P(A1) = 1P(A2) Mà P(A1) = 10.72 = 0.28 Vậy: P(A1) =0.28 ; Gọi XA là số đạn bắt trúng của xạ thủ M khi dùng khẩu súng A vì n=100 khá lớn và pA=0.8 không quá gần 0 và 1 nên có thể xem 1 cách gần đúng X A có phân phối chuẩn là : với Vậy: Tương tự:Gọi XB là số đạn bắt trúng của xạ thủ M khi dùng khẩu súng B a/ Gọi T1 là biến cố mà xạ thủ M được thưởng tivi Vậy: P(T1)=0,033 hay b/ Gọi T2 là... x) 45 65 f (y ) x 1 2x 2 y ln x x2 3 Câu 20: Ở một cửa hàng bảng số lít trung bình bán ra trong một ngày : 1 2 y ln x = với x ≥1 Từ bảng ta có:  xn = 62,3215, n = 160  ∧2 ∧ s = 17,59 ⇒ s = 309,4081  s = 17.65 ⇒ s 2 = 311,5225   a/ (*) Độ tin cậy : 1 - Ta có : + xn = +1⇒ tα = 0,99 và δ2 = 132,25 ⇒ δ = 11,5 n = 160 > 30  δ = 11,5 62,3125 α = 0,99 ⇒ (tα ) = 1−α 2 =0,495 = 2,58 ⇒ ε = tα ⇒ α δ . cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8 . Của sinh viên B là 0,7 . Của sinh viên C là 0,6. Tìm xác suất của biến cố sau: a) Có 2 sinh viên làm được bài b) Nếu có 2 sinh. 3,2868 Câu 2: Năng suất lúa ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì vọng 42tạ/ha và 3 δ = tạ/ha . Tìm xác suất để khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng thì có 2 thửa có năng suất sai lệch. làm được bài b) Nếu có 2 sinh viên làm được bài hãy tìm xác suất để sinh viên A không làm được bài Giải: a) Gọi E là biến cố của 2 sinh viên làm được bài thì E = C ABC AB ABC ∪ ∪ mà A,B,C độc