CHƯƠNG O CHƯƠNG O a = Rez, b = Im z 1. Dạng đại số của số phức : Biểu thức dạng : z = a + bi trong đó a, b là những số thực, i là đơn vò ảo : hoặc i 2 = - 1, được gọi là số phức, a được gọi là phần thực, b là phần ảo. Ký hiệu : (0.1) SỐ PHỨC  1−=i (0.2) Nếu a = 0, số 0 + ib được gọi là thuần ảo. Nếu a = 0, số 0 + ib được gọi là thuần ảo. • Hai số phức z = a + ib và z = a – ib gọi là 2 số phức liên hợp. • Hai số phức z 1 = a 1 + ib 1 và z 2 = a 2 + ib 2 gọi là bằng nhau và viết z 1 = z 2 , nếu a 1 = a 2 và b 1 = b 2 . Số phức bằng không z = a + ib = 0 nếu và chỉ nếu a = 0 và b = 0. Nếu b = 0, ta có số thực a + i0 = a. Nếu b = 0, ta có số thực a + i0 = a. 2. Biểu diễn số phức bằng hình học : 2. Biểu diễn số phức bằng hình học : Số phức z = a + ib có thể biểu diễn trong mặt phẳng Oxy bằng điểm M (a,b) có tọa độ a, b và ngược lại, mọi điểm M (x, y) của mặt phẳng Oxy có thể xem là hình ảnh hình học của số phức z = x + iy. Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức z. Trục Ox được gọi là trục thực (b = 0), trục Oy được gọi là trục ảo (a = 0). Nối điểm A (a,b) với gốc tọa độ ta thu được vectơ OA. Ta có thể đồng nhất số phức z = a + ib với vectơ OA. 3. Dạng lượng giác của số phức : 3. Dạng lượng giác của số phức : Biểu thò ϕ và r (r ≥ 0) là các tọa độ cực của điểm A (a,b). Ta có : a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. a + ib = r (cos ϕ + i sin ϕ) (0.3) z = r (cos ϕ + i sin ϕ) (3) được gọi là dạng lượng giác của số phức z = a + ib, r và ϕ được gọi tương ứng là module và argument của số phức, ký hiệu : zzr arg, == ϕ Ta có : Ta có : Vậy : Hướng dương của argument tính từ hướng dương của trục Ox quay ngược chiều kim đồng hồ, nếu quay chiều ngược lại ta có argument âm. Argument được xác đònh không duy nhất mà sai khác nhau 2kπ, k là số nguyên. a b arctgbar =+= ϕ , 22 a b arctgibaz baibaz =+= +=+= )arg(arg // 22 4. Các phép toán đối với số phức : 4. Các phép toán đối với số phức :  Cộng hai số phức : z 1 = a 1 + ib 1 và z 2 = a 2 + ib 2 . z 1 + z 2 = (a 1 + ib 1 ) + (a 2 + ib 2 ) = (a 1 + a 2 ) + i (b 1 + b 2 )  Trừ hai số phức : z 1 = a 1 + ib 1 và z 2 = a 2 + ib 2 . z 1 - z 2 = (a 1 + ib 1 ) - (a 2 + ib 2 ) = (a 1 - a 2 ) + i (b 1 - b 2 )  Nhân hai số phức : Ta có : i 2 = -1, i 3 = -i, i 4 = (-i) i = - i 2 = 1; i 5 = i, … Một cách tổng quát, với k là số nguyên, ta có : Một cách tổng quát, với k là số nguyên, ta có : i 4k = 1, i 4k+1 = i, i 4k+2 = -1, i 4k+3 = -i. Áp dụng các kết quả trên, ta có : z 1 z 2 = (a 1 + ib 1 ) (a 2 + ib 2 ) = a 1 a 2 + ib 1 a 2 + ia 1 b 2 + i 2 b 1 b 2 = (a 1 a 2 - b 1 b 2 ) + i(b 1 a 2 + a 1 b 2 ) Nếu z 1 ,z 2 được cho dưới dạng lượng giác : z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) z z 1 1 z z 2 2 = r = r 1 1 (cos (cos ϕ ϕ 1 1 + isin + isin ϕ ϕ 1 1 ) r ) r 2 2 (cos (cos ϕ ϕ 2 2 + isin + isin ϕ ϕ 2 2 ) ) = r = r 1 1 r r 2 2 (cos (cos ϕ ϕ 1 1 cos cos ϕ ϕ 2 2 + isin + isin ϕ ϕ 1 1 cos cos ϕ ϕ 2 2 ) ) + i cos + i cos ϕ ϕ 1 1 + sin + sin ϕ ϕ 2 2 + i + i 2 2 sin sin ϕ ϕ 1 1 sin sin ϕ ϕ 2 2 ) ) = r = r 1 1 r r 2 2 [(cos [(cos ϕ ϕ 1 1 cos cos ϕ ϕ 2 2 - sin - sin ϕ ϕ 1 1 sin sin ϕ ϕ 2 2 ) ) + i (sin + i (sin ϕ ϕ 1 1 cos cos ϕ ϕ 2 2 + cos + cos ϕ ϕ 1 1 sin sin ϕ ϕ 2 2 )] )] z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 +ϕ 2 ) + isin (ϕ 1 +ϕ 2 )] (0.4) Dễ dàng nhận thấy rằng : hoặc 2 2 22 ))(( zzzz baibaibazz == +=−+= • Chia 2 soá phöùc : C Caùc chæ tieâu theo doõi : .0 ,, 2 2 2 2 2222111 ≠+= +=+= ba zibazibaz )5.0( )()( )()( ))(( ))(( 22 2112 22 2121 2 1 22 21122121 2222 2211 22 11 2 1 ba baba i ba bbaa z z ba babaibbaa ibaiba ibaiba iba iba z z + − = + + = + −++ = −+ −+ = + + = )'5.0()]sin()[cos( )sin(cos )sin(cos 2121 2 1 2 1 222 111 2 1 ϕϕϕϕ ϕϕ ϕϕ −+−= + + = i r r z z ir ir z z Trường hợp các số phức được biểu diễn dưới dạng Trường hợp các số phức được biểu diễn dưới dạng lượng giác : lượng giác : z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) Ta có : Để kiểm tra kết quả trên, ta nhân thương với số chia sẽ thu được số bò chia. [...]... thức (0. 4), (0. 5), (0. 6) và (0. 8) 6 Đa thức và phương trình đại số :  Đònh nghóa : Đa thức cấp n là hàm số có dạng : pn (z) = anzn + an-1zn-1 + …+ a1z + a0 (0. 17) Trong đó z ∈ C (tập hợp các số phức) , a0, a1 … an là các hệ số (nói chung là số phức) , hơn nữa a n ≠ 0, n ∈ N Phương trình đại số cấp n là phương trình có dạng : = anzn + an-1zn-1+…+ a1z + a0 = 0 (0. 18) Nghiệm của đa thức (0. 17) hoặc của... sinϕ và cosϕ Chẳng hạn, cho n = 3, ta có : cos3ϕ + i3cos2ϕsinϕ - 3cosϕsin2ϕ - isin3ϕ = cos3ϕ + isin3ϕ Từ đây ta thu được : cos3ϕ = cos3ϕ - 3cosϕsin2ϕ = 4cos3ϕ - 3cosϕ sin3ϕ = -sin3ϕ - 3cos2ϕsinϕ = -4 cos3ϕ - 3sinϕ  Khai căn các số phức : Ta gọi căn bậc n của số phức là một số phức mà khi nâng lên luỹ thừa bậc n của số phức này, thu được số phức dưới dấu căn, tức là : r (cos ϕ + i sin ϕ ) = p (cosψ +... chia hết cho (z – z0)k+1, thì z0 được gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức pn (z) và khi đó : pn (z) = (z – z0)k qn-k (z) trong đó : qn-k (z) ≠ 0 Đònh lý Gauss có thể phát biểu : Đa thức cấp n có n nghiệm, nếu ứng với mỗi nghiệm bội ta lấy số nghiệm bằng bậc bội Nếu các hệ số của đa thức (0. 17) là những số thực và z0 = r0 + iy0 là nghiệm của đa thức thì số phức liên hợp z0 = r0 + iy0 cũng là nghiệm của... phương trình (0. 18) là số z0 thỏa pn (z0) = 0  Đònh lý Gauss (đònh lý cơ bản của đại số) Đa thức bất kỳ cấp khác không có ít nhất một nghiệm (nói chung là số phức) Số z0 là nghiệm của đa thức pn (z) nếu và chỉ nếu pn (z) chia hết (không còn số dư) cho nhò thức z – z0, nghóa là : pn (z) = (z – z0) qn-1 (z) Trong đó : qn-1 (z) là đa thức cấp n–1 Nếu pn (z) chia không còn dư cho (z – z0)k, k ≥ 0, nhưng không... số phức dưới dạng hàm mũ ta dễ dàng thực hiện các phép toán nhân, chia, luỹ thừa và khai căn các số phức Cho z1 = r1eiϕ1, z2 = r2eiϕ2 z1z2 = r1eiϕ1 r2eiϕ2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2) (0. 13) iϕ 1 z1 r1e r1 i = iϕ 2 = e (ϕ1 − ϕ 2) z2 r2e r2 iϕ n n inϕ (0. 15) (1 = 0, 1,2, , n − 1) (0. 16) z = (re ) = r e n n iϕ z = re = re n n ϕ = 2 kn n (0. 14) Các công thức (0. 13), (0. 14), (0. 15), (0, 16) trùng với các công thức (0. 4),... 2kπ  + i sin n        (0. 8) 5 Công thức Euler và dạng hàm mũ của số phức :  Công thức Euler có dạng : eiϕ = cosϕ + i sinϕ (0. 9) Trong công thức (0. 9) thay ϕ bằng - , ta thu được : e-iϕ = cosϕ - i sinϕ (0. 10) Từ (0. 9) và (0. 10) ta thu được biểu thức của sinϕ và cosϕ : iϕ e +e cos ϕ = 2 − iϕ iϕ e −e , sin ϕ = 2i − iϕ (0. 11) Người ta thường dùng các công thức (0. 11) để hạ bậc luỹ thừa của sinϕ... 2  iϕ (e = i 2ϕ − iϕ     2 ) e −e   2i  −i 2ϕ 2 −e 2 4 x 4i  Dạng hàm mũ của số phức : Số phức có dạng lượng giác : z = r (cosϕ + isinϕ) p dụng công thức Euler : eiϕ = cosϕ + isinϕ iϕ − iϕ     2 1 1 = − cos 4ϕ + 8 8 Ta biểu diễn số phức dưới dạng hàm mũ : z = reiϕ (0. 12) Thí dụ : Biểu thò 1, i, -2 , -i dưới dạng hàm mũ : 1 = cos 2kπ + i sin 2kπ = e 2 kπi i = cos π + i sin π π = e2 i 2... của đa thức, hơn nữa z0 và z0 có cùng bậc bội Giả sử đa thức pn (z) có các nghiệm z1, z2, …, zn (m ≤ n), với các bậc tương ứng k1, k2, …, km (k1 + k2, + … + km = n) Khi đó ta có thể khai triển pn(z) thành tích của các nhò thức pn(z) = an(z-z1)k1 (z-z2)k2 … (z-zm)km Nếu tất cả các hệ số của đa thức đều là những số thực, thì sau khi hợp nhất các dấu ngoặc tương ứng với các số phức liên hợp, ta thu được... với các số phức liên hợp, ta thu được khai triển là tích số các thừa số cấp một và cấp hai với các hệ số là số thực 7 Một số thí dụ : Thí dụ 1 : Tính 4 16 2kπ 2kπ   16 = 2 cos + i sin , k = 0, 1,2,3 4 4   z0 = 2.z1 = −2i, z 2 = −2, z3 = −2i 4 Thí dụ 2 : Tính 4 − 16 π + 2kπ   π + 2kπ − 16 = 2 cos + i sin , k = 0, 1,2,3 4 4   π  π z0 = 2 cos + i sin  = 2 + i 2 4  4 4 3π   3π z1 = 2... sin , k = 0, 1,2 3 3 z0 = cos 0 + i sin 0 = 1, 3 2π 2π 1 3 z1 = cos + i sin = +i 3 3 2 2 4π 4π 1 3 z 2 = cos + i sin = − −i 3 3 2 2 2kπ 2kπ n = 4, 1 = cos + i sin , k = 0, 1,2,3 4 4 z0 = cos 0 + i sin 0 = 1, 4 π π z1 = cos + i sin = i 2 2 z2 = cos π + i sin π = −1 3π 3π z3 = cos + i sin = i 2 2 Thí dụ 5 : Tìm nghiệm của đa thức : p6 (z) = z6 + 2z3 + 1 và khai triển đa thức thành tích các thừa số z6 + 2z3 . thức (0. 13), (0. 14), (0. 15), (0, 16) trùng Các công thức (0. 13), (0. 14), (0. 15), (0, 16) trùng với các công thức (0. 4), (0. 5), (0. 6) và (0. 8). với các công thức (0. 4), (0. 5), (0. 6) và (0. 8). . hiệu : (0. 1) SỐ PHỨC  1−=i (0. 2) Nếu a = 0, số 0 + ib được gọi là thuần ảo. Nếu a = 0, số 0 + ib được gọi là thuần ảo. • Hai số phức z = a + ib và z = a – ib gọi là 2 số phức liên. a n n z z n n + a + a n-1 n-1 z z n-1 n-1 + …+ a + …+ a 1 1 z + a z + a 0 0 . . (0. 17) (0. 17) Trong đó z Trong đó z ∈ ∈ C (tập hợp các số phức) , a C (tập hợp các số phức) , a 0 0 , a , a 1 1