Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu ôn thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng gồm củng cố kiến thức liên quan và bài tập. Chia bài tập làm 4 dạng, bài tập về điểm, đưởng thẳng, bài tập về tam giác, bài tập tứ giác và bài tập liên quan đường tròn. Có bài tập tự luyện kèm theo.
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ u 0≠ r r đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆. Nhận xét:– Nếu u r là một VTCP của ∆ thì ku r (k ≠ 0) cũng là một VTCP của ∆ . – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP. 2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Vectơ n 0≠ r r đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆. Nhận xét: – Nếu n r là một VTPT của ∆ thì kn r (k ≠ 0) cũng là một VTPT của ∆ . – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT. – Nếu u r là một VTCP và n r là một VTPT của ∆ thì u n⊥ r r . 3. Phương trình tham số của đường thẳng Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y 0 0 0 ( ; ) và có VTCP u u u 1 2 ( ; )= r . Phương trình tham số của ∆: x x tu y y tu 0 1 0 2 = + = + (1) ( t là tham số). Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R: x x tu y y tu 0 1 0 2 = + = + . – Gọi k là hệ số góc của ∆ thì: k = u u 2 1 , với u 1 0≠ . 4. Phương trình chính tắc của đường thẳng Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y 0 0 0 ( ; ) và có VTCP u u u 1 2 ( ; )= r . Phương trình chính tắc của ∆: x x y y u u 0 0 1 2 − − = (2) (u 1 ≠ 0, u 2 ≠ 0). Chú ý: Trong trường hợp u 1 = 0 hoặc u 2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc. 5. Phương trình tổng quát của đường thẳng PT ax by c 0+ + = với a b 2 2 0+ ≠ đgl phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax by c 0+ + = thì ∆ có: VTPT là n a b( ; )= r và VTCP u b a( ; )= − r hoặc u b a( ; )= − r . – Nếu ∆ đi qua M x y 0 0 0 ( ; ) và có VTPT n a b( ; )= r thì phương trình của ∆ là: a x x b y y 0 0 ( ) ( ) 0 − + − = • ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình của ∆ : x y a b 1+ = . (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) . • ∆ đi qua điểm M x y 0 0 0 ( ; ) và có hệ số góc k: Phương trình của ∆ : y y k x x 0 0 ( )− = − (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) 6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x b y c 1 1 1 0+ + = và ∆ 2 : a x b y c 2 2 2 0+ + = . Toạ độ giao điểm của ∆ 1 và ∆ 2 là nghiệm của hệ phương trình: a x b y c a x b y c 1 1 1 2 2 2 0 0 + + = + + = (1) • ∆ 1 cắt ∆ 2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔ a b a b 1 1 2 2 ≠ (nếu a b c 2 2 2 , , 0≠ ) “Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 1 Thầy. Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng • ∆ 1 // ∆ 2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔ a b c a b c 1 1 1 2 2 2 = ≠ (nếu a b c 2 2 2 , , 0≠ ) • ∆ 1 ≡ ∆ 2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ a b c a b c 1 1 1 2 2 2 = = (nếu a b c 2 2 2 , , 0≠ ) 7. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x b y c 1 1 1 0+ + = (có VTPT n a b 1 1 1 ( ; )= r ) và ∆ 2 : a x b y c 2 2 2 0+ + = (có VTPT n a b 2 2 2 ( ; )= r ). · n n khi n n n n khi n n 0 1 2 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 ( , ) ( , ) 90 ( , ) 180 ( , ) ( , ) 90 ∆ ∆ ≤ = − > r r r r r r r r · · n n a b a b n n n n a b a b 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 . cos( , ) cos( , ) . . ∆ ∆ + = = = + + r r r r r r Chú ý: • ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ a a b b 1 2 1 2 0+ = . • Cho ∆ 1 : y k x m 1 1 = + , ∆ 2 : y k x m 2 2 = + thì: + ∆ 1 // ∆ 2 ⇔ k 1 = k 2 + ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ k 1 . k 2 = –1. 8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và điểm M x y 0 0 0 ( ; ) . ax by c d M a b 0 0 0 2 2 ( , ) ∆ + + = + • Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và hai điểm M M N N M x y N x y( ; ), ( ; ) ∉ ∆. – M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ M M N N ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + > . – M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ M M N N ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + < . • Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x b y c 1 1 1 0+ + = và ∆ 2 : a x b y c 2 2 2 0+ + = cắt nhau. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 là: a x b y c a x b y c a b a b 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 + + + + = ± + + II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 1. Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: x a y b R 2 2 2 ( ) ( ) − + − = . Nhận xét: Phương trình x y ax by c 2 2 2 2 0+ + + + = , với a b c 2 2 0+ − > , là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a b c 2 2 + − . 2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆. ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d I R( , ) ∆ = III. PHƯƠNG TRÌNH ELIP 1. Định nghĩa Cho F 1 , F 2 cố định với F F c 1 2 2= (c > 0). M E MF MF a 1 2 ( ) 2 ∈ ⇔ + = (a > c) F 1 , F 2 : các tiêu điểm, F F c 1 2 2= : tiêu cự. “Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 2 Thầy. Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng 2. Phương trình chính tắc của elip x y a b 2 2 2 2 1 + = a b b a c 2 2 2 ( 0, )> > = − • Toạ độ các tiêu điểm: F c F c 1 2 ( ;0), ( ;0)− . • Với M(x; y) ∈ (E), MF MF 1 2 , đgl các bán kính qua tiêu điểm của M. c c MF a x MF a x a a 1 2 , = + = − 3. Hình dạng của elip • (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng. • Toạ độ các đỉnh: A a A a B b B b 1 2 1 2 ( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )− − • Độ dài các trục: trục lớn: A A a 1 2 2= , trục nhỏ: B B b 1 2 2= • Tâm sai của (E): c e a = (0 < e < 1) • Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x a y b,= ± = ± (ngoại tiếp elip). 4. Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao) • Phương trình các đường chuẩn ∆ i ứng với các tiêu điểm F i là: a x e 0± = • Với M ∈ (E) ta có: MF MF e d M d M 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ∆ ∆ = = (e < 1) B. BÀI TẬP I. VỀ TAM GIÁC Cần nắm: 1. Về diện tích : Chủ yếu sử dụng hai công thức chính : 1 1 1 2 2 2 1 1 1 .sin .sin .sin 2 2 2 a b c S ah bh ch S ab C bc A ca B = = = = = = 2. Các khái niệm . Trực tâm là giao ba đường cao . Trọng tâm là giao ba đường trung tuyến . Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao ba đường trung trực . Tâm đường tròn nội tiếp là giao ba đường phân giác. 3. Tính chất trọng tâm : Trọng tâm của tam giác chia các đường trung tuyến thành ba phần , cách đỉnh hai phần và cách đáy 1 phần. 2 3 AG AM= 4. Tính chất đường phân giác : Chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy . DB AB DC AC = . AB DB DC AC ⇒ = − uuur uuur 5. Bài toán tam giác :Một số lưu ý: Khi giả thiết bài toán cho đường cao, nghĩ đến khai thác quan hệ vuông góc. Khi giả thiết bài toán cho trung tuyến, nghĩ đến khai thác quan hệ trung điểm. Khi giả thiết bài toán cho đường phân giác, nghĩ đến khai thác quan hệ đối xứng. Bài 1.(KB-2011- CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : 4 0x y∆ − − = và d: 2x-y-2=0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại M thỏa mãn : OM.ON=8 Giải +/ Vì M ∈∆ nên ( ) ; 4M a a − . Vì N thuộc d nên ( ) ;2 2N b b − . +/ Đường thẳng ON cắt ∆ tại M thì O,M,N thẳng hàng : ( ) 0OM kON k= ≠ uuuur uuur “Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 3 Thầy. Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng ( ) ( ) 2 4 2 4 4 2 2 4 2 2 a k a kb a kb k a k b kb k b b k = − = = ⇔ ⇔ ⇔ − − = − − = − = (1) +/ Theo giả thiết : 2 2 . 8 64OM ON OM ON= ⇔ = ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 64a a b b ⇔ + − + − = (2) Thay (1) vào (2) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 8 2 4 2 8 64 k k k k k − + − − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8 48 80 64 6 10 0 5 7 10 5 10 0 2 k k k k k k k k k k k k ⇔ − + = ⇔ − + − = = ⇔ − + − + = ⇔ = Với ( ) 2 0 0; 2k b N= ⇒ = ⇒ − . Với 6 6 2 5 ; 5 5 5 k b N = ⇒ = ⇒ = ÷ . Vậy, ( ) 0; 2N − hoặc 6 2 ; 5 5 N = ÷ . Bài 2.(KB-2011-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh 1 ( ;1) 2 B . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các diểm D,E,F . Cho D(3;1) và đường thẳng EF có phương trình 3 0y − = . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương. Giải Phương trình đường thẳng BD là: 1 0y − = . Do đó, BD//EF. Suy ra AF AE AB AC = mà AE AF= (theo tính chất tiếp tuyến từ một điểm nằm ngoài đường tròn kẻ đến đường tròn) nên ta có AB AC= . Vậy, tam giác ABC cân tại A. Suy ra D là trung điểm BC. Đường thẳng AD đi qua D và vuông góc với EF có phương trình 3 0x − = . Vì F thuộc đường thẳng 3 0y − = suy ra tọa độ có dạng : ( ) ;3F a . Theo tính chất tiếp tuyến từ một điểm nằm ngoài đường tròn kẻ đến đường tròn ta có : BD=BF 2 2 2 2 1 5 2 2 0 2 2 a a a ⇔ − + = ⇔ − − = ÷ ÷ 1 2 a a = − ⇒ = . +) Với 1a = − ( ) 1;3F⇒ = − . Suy ra đường thẳng BF có phương trình 4 3 5 0x y+ − = . Ta có A là giao điểm của AD và BF nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 3 3 0 7 4 3 5 0 3 x x x y y = − = ⇔ + − = = − . Suy ra 7 3; 3 A − ÷ . +) Với 2a = ( ) 2;3F⇒ = . Suy ra đường thẳng BF có phương trình 4 3 1 0x y− + = . Ta có A là giao điểm của AD và BF nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 3 3 13 4 3 1 0 3 x x x y y = = ⇔ − + = = . Suy ra 13 3; 3 A ÷ . Vậy, 7 3; 3 A − ÷ hoặc 13 3; 3 A ÷ . “Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 4 Thầy. Nguyễn Xuân Quân y O d:x-y-4=0 : 2 2 0x y∆ − − = N M x -4 4 1 -2 A B() C D(3;1) F E y=1 y=3 d Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Bài 3 (KD-2011-CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A có phương trình 1 0x y− − = . Tìm tọa độ đỉnh A và C Giải Đặt : 1 0d x y− − = Gọi ( ; )M x y là trung điểm của AC. Với G là trọng tâm tam giác ABC 2BG GM⇒ = uuur uuuur (1) Ta có : M(x;y) ( ) ( ) 1; 1 . 5;0GM x y BG⇒ = − − = uuuur uuur nên: ( ) ( ) 7 5 2 1 7 (1) ;1 2 2 0 2 1 1 x x M y y = − = ⇔ ⇔ ⇒ ÷ = − = Gọi D là điểm đối xứng với B qua đường phân giác d. Ta có D AC ∈ . Đường thẳng BD đi qua B và vuông góc với d nên có phương trình : 3 0x y+ + = . Gọi I là trung điểm của BD, tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình : 3 0 1 1 0 2 x y x x y y + + = = − ⇔ − − = = − . Suy ra, ( ) 1; 2I − − . Do đó, ( ) 2; 5D − . Đường thẳng AC đi qua D và M nên có phương trình 4 13 0x y− − = . Vì A là giao điểm của d và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: 4 13 0 4 1 0 3 x y x x y y − − = = ⇔ − − = = . Suy ra ( ) 4;3A . Vì M là trung điểm của AC nên ( ) 7 2. 4 3 3; 1 2 2.1 3 1 C C x C y = − = ⇒ − = − = − . Vậy, ( ) 4;3A , ( ) 3; 1C − . Bài 4.(KA-2010-CB) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1 : 3 0d x y+ = và 2 : 3 0d x y− = . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với 1 d tại A và cắt 2 d tại B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B . Viết phương trình của (T) , biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương. Giải Ta có hai đường thẳng 1 2 ,d d cắt nhau tại ( ) 0;0O . Đường thẳng 1 d có vectơ pháp tuyến ( ) 1 3;1n = ur . Đường thẳng 2 d có vectơ pháp tuyến ( ) 2 3; 1n = − uur . Ta có: ( ) 1 2 3 3 1 1 os d ; 2.2 2 c d − = = . ⇒ Góc tạo bởi hai đường thẳng 1 2 ,d d bằng 0 60 . Do đó ta có · 0 60BOA = . Ta có tam giác ABC vuông tại B suy ra AC là đường kính. Mặt khác đường tròn (T) tiếp xúc với 1 d tại A, do vậy AC 1 d⊥ tại A . Xét tam giác vuông OAB: 0 3 .sin 60 2 OA AB OA= = và tam giác vuông OAC: 0 .tan 60 . 3AC OA OA= = . Từ giả thiết : 0 1 3 1 3 3 . sin 60 3 2 2 2 2 2 ABC S AB AC OA OA= ⇔ = . Hay : 2 4 2 3 3 OA OA= ⇒ = (1) “Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 5 Thầy. Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Do A thuộc ( ) 2 2 2 2 1 ; 3 3 4d A t t OA t t t⇒ − ⇒ = + = . Từ (1), suy ra: 2 4 1 4 3 3 t t= ⇒ = ± . Vì A có hoành độ dương nên 1 3 t = . 1 ; 1 3 A ⇒ − ÷ . Đường thẳng AC đi qua A vuông góc với 1 d nên có phương trình 3 3 4 0x y− − = . Vì C là giao điểm của AC và 2 d nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình: 2 3 3 4 0 2 ; 2 3 3 3 0 2 x x y C x y y = − − − = ⇔ ⇒ = − − ÷ − = = − . Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (T). Ta có I là trung điểm của AC 1 3 ; 2 2 3 I ⇒ − − ÷ và 1 1 .2 1 2 2 R AC= = = . Vậy, phương trình đường tròn (T) là : 2 2 1 3 1 2 2 3 x y + + + = ÷ ÷ . Bài 5 . (KA-2010-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6) ; đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình : 4 0x y+ − = . Tìm tọa độ đỉnh B và C biết điểm ( ) 1; 3E − nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho . Giải Đặt : 4 0d x y+ − = . Gọi D là trung điểm của BC, H là trung điểm của AD. Ta có: AD BC⊥ (Vì tam giác ABC cân) và H d∈ . Đường thẳng AD qua A(6;6) và vuông góc với d nên có phương trình: 0x y− = . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( ) 0 2 2;2 2; 2 4 0 2 x y x H D x y y − = = ⇔ ⇒ = ⇒ = − − + − = = (Vì H là trung điểm của AD). Đường thẳng BC qua D(-2;-2) và song song với d nên có phương trình: 4 0x y+ + = . Điểm B thuộc BC suy ra ( ) ; 4B t t− − . Vì D là trung điểm của BC nên ( ) 4 ;C t t− − . Ta có : ( ) ( ) 5 ; 3 ; 6; 10CE t t AB t t= + − − = − + uuur uuur . Vì E nằm trên đường cao kẻ từ C cho nên 0CE AB = uuuruuur ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 5 6 3 10 0 2 12 0 6 t t t t t t t t = ⇔ + − + + + = ⇔ + = ⇒ = − . Với ( ) ( ) 0 0; 4 ; 4;0t B C= ⇒ − − . Với ( ) ( ) 6 6;2 ; 2; 6t B C= − ⇒ − − . Vậy, ( ) ( ) 0; 4 ; 4;0B C− − hoặc ( ) ( ) 6;2 ; 2; 6B C− − . Bài 6.(KD-2010-CB) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1) và tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) . Xác định tạo độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. Giải * Cách 1.Phương trình đường thẳng AH là 3x = . Gọi D là giao điểm của AI với đường tròn ngoại tiếp. Suy ra I là trung điểm của AD. Gọi M là giao điểm của HD và BC. Vì tứ giác BHCD là hình bình hành nên M là trung điểm của BC. “Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 6 Thầy. Nguyễn Xuân Quân A(6;6) d:x+y-4=0 B CD H E(1;-3) Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Xét tam giác ADH có IM là đường trung bình. Suy ra 1 2 IM AH= uuur uuur . Do đó ( ) 2;3M − . Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH nên có phương trình 3y = . Gọi ( ) ;3C m BC∈ , do C có hoành độ dương cho nên : 0m > . Vì M là trung điểm của BC nên ( ) 4 ;3B m− − . Ta có : ( ) ( ) 7 ; 4 , 3;10BH m AC m= + − = − uuur uuur Do BH là đường cao ( ) ( ) . 0 7 3 40 0BH AC BH AC m m⇒ ⊥ ⇔ = ⇔ + − − = uuur uuur 2 2 65( ) 4 61 0 2 65( ) m l m m m n = − − ⇔ + − = ⇔ = − + . Vậy, ( ) 2 65;3C = − + . * Cách 2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA : Với ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 7 0 74 : 2 74IA C x y= + + − − = ⇒ + + = Phương trình AH : 3x = và BC AH ⊥ suy ra (BC) có dạng ( 7)y a a= ≠ − (vì (BC) không qua A) . Do đó tọa độ B,C thỏa mãn phương trình : ( ) 2 2 2 2 2 74 4 74 0x a x x a+ + = ⇔ + + − = (1). Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất 1 nghiệm đương khi và chỉ khi: ( ) 2 1. 74 0 70a a− < ⇔ < . Do C có hoành độ dương cho nên từ (1) ta có: ( ) ( ) 2 2 2 74 ; ; 2 74 ;B a a C a a= − − − = − + − Vì ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 . 0 74 5 74 5 7 1 0AC BH AC BH a a a a⊥ ⇔ = ⇔ − − − + + + − − = uuur uuur 2 7( ) 4 21 0 3( ) a l a a a n = − ⇔ + − = ⇔ = . Vậy ( ) 2 65;3C = − + . Bài 7 (KD-2010-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(0;2) và d là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Viết phương trình đường thẳng d , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH Giải Gọi ( ) ;H a b là hình chiếu vuông góc của A trên d. Gọi K,E lần lượt là hình chiếu của H lên trục Ox, Oy. Ta có: ( ) ( ) ;0 , 0;K a E b . Xét tam giác AEH vuông tại E ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2AH AE EH b a= + = − + Mặt khác, ta có: 2 2 2 AH HK b= = (gt) Do đó: ( ) 2 2 2 2 2 4 4 0b a b a b− + = ⇔ − + = (1) Vì tam giác OAH vuông tại H nên H nằm trên đường tròn (C) có đường kính OA , có tâm I (0;1) là trung điểm của OA và bán kính bằng 2 OA =1. cho nên (C) có phương trình : ( ) 2 2 1 1x y+ − = từ đó suy ra : ( ) 2 2 2 2 1 1 2 0a b a b b+ − = ⇔ + − = (2). Từ (1) và (2) ta có hệ : 2 2 2 2 2 2 4 4 0 2 4 0 2 0 2 0 a b b b a b b a b b − + = + − = ⇔ + − = + − = “Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 7 Thầy. Nguyễn Xuân Quân y x O H K d A(0;2) E Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Suy ra ( ) 2 5 2; 5 1H − − hoặc ( ) 2 5 2; 5 1H − − − . Vậy có hai đường thẳng d: ( ) 5 1 2 5 2 0x y− − − = hoặc : ( ) 5 1 2 5 2 0x y− + − = Chú ý : Ta còn có cách giải khác : Gọi ( ) ;H a b là hình chiếu vuông góc của A trên d. Gọi K,E lần lượt là hình chiếu của H lên trục Ox, Oy. Xét tam giác vuông OAH ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2OA OH AH a b b a b= + ⇔ = + + = + (1) ( do AH=HK ) Xét tam giác vuông AEH : ( ) 2 2 2 2 2 2 2AH AE EH b b a= + ⇔ = − + (2) Từ (1) và (2), ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 0 2 4 2 2 4 2 2 4 a b b b b b b a b b b a a b + = + − = = − + − ⇔ ⇔ + = = − + + = Từ 2 1 5 2 4 0 1 5 b b b b = − + + − = ⇒ = − − * Với : 5 1b = − thay vào ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 2 5 1 4 12 4 5 4 5 2a b= − = − − = − + = − Suy ra : 2 5 2a = ± − . Do đó: ( ) 2 5 2; 5 1H − − hoặc ( ) 2 5 2; 5 1H − − − * Với : 1 5b = − − thay vào ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 2 5 1 4 12 4 5 4 5 2a b= − = − + = − − = − − (vô nghiệm ) +/ Ta cũng có kết quả trên Bài 8. (KB-2010-CB) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh C(-4;1) , phân giác trong góc A có phương trình 5 0x y+ − = . Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. Giải Đặt : 5 0d x y+ − = Gọi C' là điểm đối xứng của C qua phân giác d thì C' phải nằm trên AB và tam giác AC'C vuông cân tại A . Gọi d' là đường thẳng qua C(-4;1) và vuông góc với d. Phương trình đường thẳng d’ là : 5 0x y− + = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên d thì tọa độ H là nghiệm của hệ : ( ) 5 0 0 0;5 5 0 5 x y x H x y y − + = = ⇔ ⇔ ⇒ + − = = C' đối xứng với C qua H suy ra C'=(4;9). Vì A nằm trên d suy ra ( ) ;5A a a− . Do hoành độ A dương cho nên 0a > . Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 4 32; 4 4 2 16CH AC a a a= + = = + + − = + Xét tam giác AHC vuông cân tại H ta có: 2 2 2 2 2 16 2 32 16 32 16 4AC HC a a a a= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇒ = ( vì 0a > ) Với 4a = suy ra A(4;1). Đường thẳng AC' đi qua A(4;1) có nhận ( ) ' 0;8AC = uuuur làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là 4 1 x y t = = + . Vì B thuộc AC' suy ra B(4;1+t) 2 2 0AB t t⇒ = + = . Và 2 2 8 0 8AC = + = “Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 8 Thầy. Nguyễn Xuân Quân A B C(-4;1)d:x+y-5=0C' 0 45 0 45 H y x O H K d A(0;2) E Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng +/ Từ giả thiết : ( ) 6 (4; 5) 1 24 . 48 8 6 6 4;7 2 ABC t B S AB AC t t t B = − → − = = ⇔ = ⇒ = ⇒ = → Do , 'AB AC uuur uuuur cùng hướng suy ra : với B(4;-5) thì ( ) ( ) 0; 6 , ' 0;5AB AC= − = uuur uuuur . Hai véc tơ ngược hướng cho nên B(4;-5) loại . Vậy B(4;7) và đường thẳng BC qua B(4;7) có véc tơ chỉ phương ( ) 8; 6BC = − − uuur nên có phương trình: 3 4 16 0x y− + = . Chú ý . Bài này còn có cách giải khác Vì C' đối xứng với C qua d: x+y-5=0 suy ra C'(x;y) thỏa mãn : ( ) ( ) ( ) 4 1 0 ' 4;9 4 1 5 0 2 2 x y C x y + − − = ⇒ − + + − = . Vì A thuộc đường tròn đường kính CC' nên tọa độ A(x;y) thỏa mãn : ( ) 2 2 5 0 5 32 x y x y + − = + − = . Với x>0 suy ra A(4;1). Ta có 2 8 6. ABC S AC AB AC = ⇒ = = Vì B thuộc đường thẳng AC' : x=4 .Suy ra tọa độ có dạng B(4;m). Ta có: ( ) 2 2 5 6 36 1 36 7 m AB AB m m = − = ⇒ = ⇒ − = ⇔ = . Suy ra ( ) 4; 5B − hoặc ( ) 4;7B . Vì , 'AB AC uuur uuuur cùng hướng suy ra B(4;7) thỏa mãn. Vậy, đường thẳng BC qua B(4;7) có véc tơ chỉ phương ( ) 8; 6BC = − − uuur nên có phương trình: 3 4 16 0x y− + = . Bài 9 (KB-2009-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B,C thuộc đường thẳng : 4 0d x y− − = . Xác định tọa độ các đỉnh B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Giải Gọi H là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC cân tại A nên H là hình chiếu của A lên d. Gọi d' là đường thẳng qua A(-1;4) và vuông góc với d thì d' có phương trình 3 0x y+ − = . Ta có H là giao điểm của d và d’ nên tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình 7 3 0 7 1 2 ; 4 0 1 2 2 2 x x y H x y y = + − = ⇔ ⇒ = − ÷ − − = = − . Khoảng cách từ A đến BC: d(A;BC)=d(A;d)= 1 4 4 9 2 2 AH − − − = = Vì B thuộc d nên B(t;t-4 ), Vì H là trung điểm của BC nên C(7-t;3-t). Ta có: 2 2 7 7 7 2 2 2 2 BH t t t = − + − = − ÷ ÷ (1) Theo giả thiết thì : 1 9 .2 . 18 . 2 2 2 2 S BH AH BH BH⇒ = ⇔ = ⇒ = (2) Từ (1) và (2) : 3 7 7 2 2 2 2 2 11 2 2 2 t t t t = − = ⇔ − = ⇔ = Với 3 3 5 11 3 ; ; ; 2 2 2 2 2 t B C = ⇒ = − = ÷ ÷ “Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 9 Thầy. Nguyễn Xuân Quân A(-1;4) B CH x-y-4=0 Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Với 11 11 3 3 5 ; ; ; 2 2 2 2 2 t B C = ⇒ = = − ÷ ÷ . Bài 10 (KD-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB . Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là : 7 2 3 0x y− − = và 6 4 0x y− − = . Viết phương trình đường thẳng AC. Giải Gọi H là chân đường cao hạ từ A. Phương trình đường cao : 6 4 0AH x y− − = . Gọi N là trung điểm của AC. Phương trình trung tuyến : 7 2 3 0AN x y− − = . Tọa độ A thỏa mãn : ( ) 7 2 3 0 1;2 6 4 0 x y A x y − − = ⇒ = − − = Vì M là trung điểm AB suy ra B(3;-2) . Đường thẳng BC qua B(3;-2) vuông góc với đường cao AH nên có phương trình: ( ) ( ) 3 6 2 0 6 9 0x y x y− + + = ⇔ + + = . Vì N là giao điểm của AN và BC nên tọa độ N thỏa mãn hệ phương trình 6 9 0 3 0; 7 2 3 0 2 x y N x y + + = ⇒ − ÷ − − = . Vì C đối xứng với B qua N suy ra C(-3;-1). Vậy AC qua A(1;2) và nhận ( ) 4; 3AC = − − uuur làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình 4 5 0x y− + = . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình là 3 2 0x y− − = và hai điểm phân biệt ( ) 1; 3A và B không thuộc đường thẳng d . Lập phương trình đường thẳng AB . Biết rằng khoảng cách từ điểm B đến giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng d bằng hai lần khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d. Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trực tâm H(1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0;-2) và trung điểm cạnh AB là M(3;1). Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Đường thẳng AB có phương trình x-y=0 . Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AC. Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A . Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x+7y-31=0 , điểm 5 1; 2 N ÷ thuộc đường thẳng AC , điểm M(2;-3) thuộc đường thẳng AB . Xác định tọa dộ các đỉnh tam giác . Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung tuyến CM và đường phân giác trong BD . Biết H(-4;1), M 17 ;12 5 ÷ và : 5 0BD x y+ − = . Tìm tọa độ đỉnh A . Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A , đỉnh B thuộc đường thẳng : 4 2 0d x y− − = . Cạnh AC song song với đường thẳng d . Đường cao kẻ từ A có phương trình: 3 0x y+ + = . Điểm M(1;1) nằm trên cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16 . đỉnh A và B thuộc đường thẳng d có phương trình 2 2 2 2 0x y− − = . B và C thuộc Ox . Xác định tọa độ trọng tâm tam giác ABC. Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-3) và đường thẳng BC có phương trình : x-2y-2=0 . Tìm tọa độ B,C biết tam giác ABC vuông cân tại B. Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(5;-3), trọng tâm G(3;1) .Đỉnh B thuộc đường thẳng d có phương trình : 2x+y-4=0 . Tìm tọa độ các dỉnh B,C biết BC bằng 2 2 và B có tọa độ nguyên. Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 2x+y-1=0 , “Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 10 Thầy. Nguyễn Xuân Quân A B CH N M(2;0) 7x-2y-3=06x-y-4=0 [...]... BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 , giao điểm hai 9 3 đường chéo là I( ; ), trung điểm cạnh BC là M(3;0) và hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm C 2 2 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB có phương trình: x − y + 1 = 0 , tọa độ tâm I(1;1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ... Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) : x − ÷ + ( y − 1) = 2 Xác định tọa độ 4 các đỉnh của hình vuông ABCD biết các đỉnh B, C thuộc đường tròn (C), hai đỉnh A,D thuộc trục Ox và đỉnh B có tung độ dương 3 1 Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I ; ÷ Các đường thẳng AB 2 2 và CD lần lượt đi qua các điểm M(-4;-1),N(-2;-4) Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông,... trình x − y + 1 = 0 và 2 x + y + 5 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho tam giác AMB cân tại M Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua M(0;-1) Biết AB=2AM, đường phân giác trong AD có phương trình : x-y=0 và đường cao CH có phương trình là 2x+y+3=0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d: x-2y+3=0... đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;4) ;B(1;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d có phương trình : x+2y+1=0 , có trọng tâm G Biết diện tích tam giác GAB bằng 3, tìm tọa độ đỉnh C Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-2), đường cao CH , phân giác trong BK lần lượt có phương trình x − y... án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng phương trình AC: 3x+4y+6=0 và điểm M(1;-3) nằm trên đường thẳng BC thỏa mãn 3MB=2MC Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình cạnh BC : x − y + 4 = 0 , trung điểm cạnh AC là M(0;3) , đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm N(7;-1) Xác định tọa độ các đỉnh... phương trình đường chéo còn lại và các cạnh của hình vuông ấy Giải Thay tọa độ điểm A và phương trình 7 x – y + 8 = 0 không thỏa mãn Do đó phương trình đường chéo BD là 7 x – y + 8 = 0 Đường chéo AC đi qua A và vuông góc với BD nên có phương trình: x + 7 y − 31 = 0 Gọi I là tâm của hình chữ nhật, ta có I giao điểm của AC và BD Tọa độ điểm I là 7 x − y + 8 = 0 1 9 ⇒ I = − ; ÷ nghiệm của hệ phương. .. Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : 4 x + y − 9 = 0 , d 2 : 2 x − y + 6 = 0, d3 : x − y + 2 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết hình thoi ABCD có diện tích bằng 15, các đỉnh A,C thuộc d3 , B thuộc d1 và D thuộc d 2 và hoành độ điểm A dương Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có A(1;-2),B(-3;3) và giao điểm hai đường chéo nằm trên đường thẳng d: x-y+2=0 Tìm tọa độ. .. Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 = 0 , và đường thẳng d có phương trình : 3x+4y-20=0 Chứng minh d tiếp xúc với (C) , Tam giác ABC có đỉnh A thuộc (C), các đỉnh B và C thuộc d , trung điểm cạnh AB thuộc (C) Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C , biết trực tâm của tam giác ABC trùng với tâm của đường tròn (C) và điểm B có hoành độ dương Bài 2 Trong mặt phẳng. .. Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng r và nhận n AC = ( 1; −2 ) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x − 2 y + 1 = 0 Đường thẳng BD đi qua I và vuông góc với AC nên có phương trình: 2 x + y − 3 = 0 y −3 = 0 ⇒ A ( 5;3) Vì A là giao điểm của AB và AC nên tọa độ A thỏa mãn: x − 2 y +1 = 0 y −3 = 0 ⇒ B ( 0;3) Vì B là giao điểm của AB và BD nên tọa độ B thỏa mãn: 2... Đường thẳng AB qua M(1;5) có MF là chỉ phương nên có phương trình x − 4 y + 19 = 0 uu ur uu ur Với t = 6 ta có F = ( 6;5 ) ⇒ MF = ( 5;0 ) Đường thẳng AB qua M(1;5) có MF là chỉ phương nên có phương trình y = 5 Vậy, AB : x − 4 y + 19 = 0 hoặc AB : y = 5 Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB : x – 2 y + 1 = 0 , phương trình đường thẳng BD : x – 7 y