ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC HOÀNG MẠNH TUẤN LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC HOÀNG MẠNH TUẤN LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TS. Đặng Quang Á Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TS Đặng Quang Á, người đã dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Em xin phép được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô giáo, các anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung và khoa Toán - Cơ - Tin học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ em trong thời gian em học tập, nghiên cứu tại trường. Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các anh chị và các bạn trong chuyên nghành Toán ứng dụng vì những động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân em trong thời gian qua. Lời cảm ơn sâu sắc và đặc biệt nhất xin được gửi đến gia đình và những người thân vì những điều tốt đẹp nhất dành cho tôi trong cuộc sống, trong học tập và nghiên cứu khoa học. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế, vì thế, bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn. Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2015. Học viên Hoàng Mạnh Tuấn 1 Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 Mở đầu 4 1 Lược đồ sai phân khác thường 8 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính . . . . . . . . . 17 1.3 Rời rạc hóa hệ động lực học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Lược đồ sai phân chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5 Lược đồ sai phân khác thường . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân 44 2.1 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa trên rời rạc hóa không địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.2 Các lược đồ bảo toàn các tính chất đơn điệu . . . . . . 46 2.1.3 Xây dựng một vài lược đồ sai phân khác thường . . . 49 2.1.4 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2 Lược đồ sai phân khác thường cho phương trình vi phân có ba điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.2 Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường . . . . . . 60 2.3 Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường bằng cách tái chuẩn hóa mẫu số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2 2.3.1 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.2 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân 72 3.1 Lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính chất ổn định cho hệ động lực học nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.1 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.2 Thử nghiệm số trong trường hợp hai chiều . . . . . . . 75 3.1.3 Thử nghiệm số trong trường hợp ba chiều . . . . . . . 82 3.2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai . . 90 3.2.1 Xây dựng hệ điều kiện cho lược đồ chính xác cấp hai . 90 3.2.2 Lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai cho hệ Lotka - Voltera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.2.3 Các thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Tài liệu tham khảo 116 3 Mở đầu Việc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân là một trong những vấn đề quan trọng của Toán học nói chung và Toán học tính toán nói riêng. Do nhu cầu của thực tiễn và sự phát triển của lý thuyết toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều những phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân. Một trong những kỹ thuật truyền thống được sử dụng rộng rãi trong việc giải gần đúng phương trình vi phân, đặc biệt là các phương trình vi phân đạo hàm riêng là sử dụng các lược đồ sai phân bình thường (Standard Difference Scheme). Các lược đồ sai phân bình thường được xây dựng dựa trên việc rời rạc hóa các đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân bằng các công thức sai phân. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp hạn chế của các lược đồ sai phân bình thường là không bảo toàn được các tính chất của nghiệm của phương trình vi phân tương ứng. Hiện tượng nghiệm của phương trình sai phân (thu được từ các lược đồ sai phân) không phản ánh chính xác, hay chính xác hơn là không bảo toàn được các tính chất của nghiệm của phương trình vi phân tương ứng được gọi chung là hiện tượng không ổn định số (Numerical Instabilities, xem [13, 16]). Chẳng hạn, ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số x  (t) = −y(t), x(0) = r, y  (t) = x(t), y(0) = 0. Trong trường hợp này, ta dễ dàng chỉ ra rằng nghiệm của hệ có tính chất x 2 (t) + y 2 (t) = r 2 , ∀t, tức là, quỹ đạo tương ứng với đường tròn tâm O(0, 0), bán kính r 2 . Nếu sử dụng các lược đồ sai phân bình thường như các lược đồ thu được từ phương 4 pháp Euler hiển, Euler ẩn, hình thang ẩn thì chúng ta thấy rằng: Phương pháp Euler hiển cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc ra, phương pháp Euler ẩn cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc vào. Chỉ có phương pháp hình thang bảo toàn tính chất bất biến của bài toán. Đây là một ví dụ đơn giản cho hiện tượng bất ổn định số. Các phân tích cũng cho thấy rằng, hiện tượng không ổn định số cũng xảy ra khi ta sử dụng các kỹ thuật tinh vi hơn để xây dựng các lược đồ sai phân bình thường, chẳng hạn sử dụng phương pháp Taylor hoặc phương pháp Runge - Kutta. Nhìn chung, các lược đồ sai phân bình thường chỉ bảo toàn được các tính chất nghiệm của phương trình vi phân khi ta sử dụng bước lưới h nhỏ. Tức là, hiện tượng không ổn định số sẽ xảy ra khi bước lưới h được chọn lớn hơn giá trị h ∗ nào đó. Thông thường giá trị h ∗ rất nhỏ. Vì thế, việc sử dụng các lược đồ sai phân bình thường không có lợi thế khi giải các phương trình vi phân trên đoạn tìm nghiệm lớn, chẳng hạn như đối với các hệ động lực học, thời gian có thể tiến ra ∞. Các phân tích cũng chỉ ra rằng, hiện tượng không ổn định số xảy ra khi phương trình sai phân (rời rạc) không bảo toàn được các tính chất ổn định tuyến tính cho các điểm bất động hay còn gọi là nghiệm hằng hoặc điểm cân bằng của phương trình vi phân (liên tục). Chẳng hạn, phương trình sai phân và phương trình vi phân không có cùng tập hợp điểm bất động. Các phương pháp Runge - Kutta hoặc phương pháp Taylor thường sinh ra thêm các điểm bất động giả (phụ thuộc vào bước lưới). Trong trường hợp phương trình sai phân và phương trình vi phân có cùng tập hợp điểm bất động thì xảy ra trường hợp có thể y(t) ≡ ¯y là điểm ổn định tuyến tính của phương trình vi phân nhưng y k ≡ ¯y lại không phải điểm ổn định tuyến tính của phương trình sai phân tương ứng. Tổng quát hơn, hiện tượng bất ổn định số xảy ra khi nghiệm của phương trình sai phân không thỏa mãn các điều kiện mà nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn. Các tính chất chúng ta quan tâm ở đây là tính chất đơn điệu, tính bị chặn, tính dương, tính tuần hoàn và các tính chất bất biến. Nói chung, khi sử dụng cỡ bước lớn thì các lược đồ sai phân bình thường không bảo toàn được các tính chất này. Trong các phần trình bày của luận văn, 5 chúng ta sẽ phân tích rõ hơn vấn đề này. Lược đồ sai phân khác thường được được đề xuất bởi R. E. Mickens vào năm 1980. Lược đồ sai phân khác thường là lược đồ sai phân được xây dựng dựa trên một bộ quy tắc xác định, các quy tắc này được đưa ra bởi R. E. Mickens dựa trên các phân tích hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng các lược đồ sai phân bình thường. Hai quy tắc quan trọng trong việc xây dựng các lược đồ sai phân khác thường là 1. Các đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân nên được rời rạc hóa bằng công thức phức tạp hơn các công thức rời rạc hóa thông thường, chẳng hạn, như công thức sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung tâm . 2. Các số hạng phi tuyến xuất hiện trong vế phải của phương trình vi phân nên được rời rạc hóa không địa phương, tức là rời rạc hóa hàm số dựa trên giá trị của hàm tại một số điểm trên lưới rời rạc thay vì rời rạc hóa địa phương trong các lược đồ sai phân bình thường. Đây là sự khác biệt lớn nhất giữa các lược đồ sai phân bình thường và các lược đồ sai phân khác thường. Ưu thế của các lược đồ khác thường so với lược đồ bình thường là bảo toàn tính chất nghiệm của bài toán với mọi cỡ bước h > 0. Tuy nhiên, nhược điểm của các lược đồ khác thường là khó có thể đưa ra các lược đồ có cấp chính xác cao như các lược đồ bình thường và thời gian thực hiện tính toán có thể lâu hơn vì đạo hàm và hàm vế phải được rời rạc hóa phức tạp hơn. Vì thế, việc sử dụng các lược đồ khác thường có lợi thế khi chúng ta giải các bài toán trên đoạn tìm nghiệm lớn và cần bảo toàn chính xác các tính chất nghiệm của bài toán. Hiện nay, các lược đồ sai phân khác thường được các nhà toán học xây dựng và sử dụng rộng rãi cho cả phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng như phương trình đạo hàm thường và các bài toán biên. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của luận văn, chúng ta chủ yếu tập trung vào việc xây dựng các lược đồ sai phân khác thường cho bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân thường. Nội dung chính của luận văn hệ thống lại các kết quả 6 tiêu biểu của các tác giả nước ngoài trong vòng 20 năm trở lại đây. Cấu trúc của luận văn bao gồm ba chương.  Chương 1: Lược đồ sai phân khác thường. Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân và phương pháp số giải phương trình vi phân. Trên cơ sở kết hợp việc phân tích hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng các lược đồ sai phân bình thường và việc xây dựng các lược đồ sai phân chính xác (exact scheme) chúng ta đưa ra các quy tắc tổng quát để xây dựng các lược đồ sai phân khác thường.  Chương 2: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân. Chương này đề cập việc xây dựng các lược đồ sai phân giải một số phương trình vi phân trong trường hợp một chiều. Các lược đồ được xây dựng dựa trên cả hai cách rời rạc hóa không địa phương và lựa chọn cách rời rạc hóa đạo hàm phù hợp.  Chương 3: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân. Chương cuối này, dành cho việc xây dựng các lược đồ sai phân khác thường bảo toàn các tính chất của hệ động lực học. Các mô hình được xét đến là mô hình thú - mồi (predator - prey system), mô hình Vắc - Xin (Vaccination model) và hệ Lotka - Volterra. Trong các phần trình bày đều có các thử nghiệm số đi kèm để minh họa cho tính hiệu quả của các lược đồ được xây dựng. Mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện có hạn và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên trong luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô. Em xin chân thành cảm ơn! 7 Chương 1 Lược đồ sai phân khác thường 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong phần trình bày của luận văn, ta chủ yếu nghiên cứu việc giải gần đúng bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân cấp một, hay còn gọi là bài toán Cauchy      Dy = dy dt = f(t, y), t 0 ≤ t ≤ T, y(t 0 ) = y 0 , y, f ∈ R n , (1.1) trong đó hàm y(t) : [t 0 , T ] → R n là hàm số cần xác định, giá trị ban đầu y 0 ∈ R n và hàm vế phải f : [t 0 , T ] × R n → R n cho trước. Ta giả thiết rằng thời gian ban đầu t 0 là hữu hạn, nhưng thời gian T có thể tiến đến vô cùng đối với hệ động lực học. Để đơn giản, ta giả sử rằng t 0 = 0. Trong trường hợp f = f(y) thì phương trình được gọi là dừng (au- tonomous). Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết một phương trình là dừng. Vì nếu phương trình không ở dạng dừng thì ta đưa thêm biến phụ y n+1 = t và đặt ˆy = (y 1 , y 2 , . . . , y n+1 ). Khi đó phương trình được viết lại dưới dạng ˆy  = ˆ f(ˆy), ˆ f(ˆy) =  f(y), 1  T . (1.2) Các kết quả liên quan đến bài toán giá trị ban đầu (1.1) như sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu ban đầu . . . được trình bày trong hầu hết các giáo trình về phương trình vi phân (xem [3, 9, 10]) nên chúng ta không trình bày lại ở đây. Từ giờ cho tới hết phần 8 [...]... trong phương trình vi phân 2 Hàm vế phải nên được rời rạc hóa không địa phương trên lưới Đây là các quy tắc quan trọng trong vi c xây dựng các lược đồ sai phân khác thường Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ đưa ra khái niệm lược đồ sai phân chính xác và xây dựng các lược đồ sai phân chính xác cho một số phương trình vi phân cụ thể Từ đó đưa ra các quy tắc tổng quát để xây dựng lược đồ sai phân khác thường. .. (1.50) Định nghĩa 1.5 Lược đồ sai phân được gọi là lược đồ sai phân chính xác nếu phương trình sai phân có nghiệm tổng quát tương đương với nghiệm của phương trình vi phân tương ứng, tức là yk = y(tk ), 33 ∀h > 0 Nghiệm số thu được từ lược đồ sai phân chính xác bằng đúng với nghiệm của phương trình vi phân Tức là sai số toàn cục tại các nút lưới là bằng 0 Sự tồn tại của lược đồ sai phân chính xác được... rạc khác với dáng điệu của nghiệm chính xác Như vậy, trong trường hợp này, hiện tượng bất ổn định số xảy ra do lược đồ sai phân không bảo toàn được tính chất ổn định cho điểm bất động của phương trình vi phân Nhìn chung, đây cũng là nhược điểm chung của các lược đồ sai phân bình thường Vi c không bảo toàn tính chất điểm bất động của phương trình vi phân thường xảy ra trong hai khả năng sau 1 Phương trình. .. Chứng minh Xem [30] Trong rất nhiều các giáo trình về phương trình sai phân, Định lý 1.2 được lấy làm định nghĩa điểm bất động ổn định tuyến tính cho phương trình sai phân Các phương pháp sai phân bình thường chủ yếu được xây dựng dựa trên vi c rời rạc hóa đạo hàm bằng các công thức sai phân hữu hạn Chẳng hạn, công thức sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung tâm yn+1 − yn yn − yn−1 yn+1 − yn−1... tới 26 phương trình sai phân cấp hai có hệ nghiệm cơ bản gồm hai hàm r− (h) và r+ (h) Trong khi, hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân cấp một chỉ gồm một hàm Vì vậy, không nên sử dụng các công thức rời rạc hóa đạo hàm có cấp chính xác cao hơn cấp của đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân Đây cũng chính là một trong những quy tắc quan trọng trong vi c xây dựng các lược đồ sai phân khác thường. .. 1 Phương trình sai phân (tương ứng với lược đồ sai phân) và phương trình vi phân không có cùng tập hợp điểm bất động (phương pháp Runge Kutta và phương pháp Taylor thường sinh ra thêm các điểm bất động giả (phụ thuộc vào bước lưới) 2 Điểm bất động y(t) ≡ y là điểm ổn định tuyến tính của phương trình vi ¯ phân nhưng yk ≡ y lại không phải điểm ổn định tuyến tính của phương ¯ trình sai phân và ngược lại... tượng không ổn định số Ta xét phương trình phân rã tuyến tính và phương trình Logistic trong phần sau đây 1.2 Rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính Để minh họa cho hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng các lược đồ sai phân bình thường, ta xét phương trình phân rã tuyến tính (decay equation) xác định bởi dy = −λy, dt y(0) = y0 , λ > 0, (1.13) trong đó λ là một tham số dương và y0 là điều... toán Mô hình rời rạc hóa cho phương trình vi phân được gọi là xảy ra hiện tượng không ổn định số nếu tồn tại những nghiệm của phương trình sai phân (thu được từ mô hình rời rạc hóa) không tương ứng với bất kỳ nghiệm nào của phương trình vi phân Hiện tượng không ổn định số cho thấy nghiệm của phương trình rời rạc không bảo toàn được các tính chất nghiệm của phương trình vi phân mà ta quan tâm.Để minh... đây Định lý 1.3 Đối với phương trình vi phân cấp một (1.44) dy = f (y, t, λ), dt y(t0 ) = y0 , luôn tồn tại lược đồ sai phân chính xác được xác định bởi yk+1 = φ(λ, yk , tk , tk+1 ), (1.51) trong đó hàm φ thỏa mãn (1.45) Chứng minh Xem [16], Theorem 1.1, p 6 Kết quả sau đây thường được sử dụng để xây dựng các lược đồ sai phân chính xác cho hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một Định lý 1.4 Giả sử... phương trình vi phân Tuy nhiên, phương trình vi phân có một điểm ổn định tuyến tính, một điểm ổn định không tuyến tính nhưng cả hai điểm bất động của phương trình sai phân đều không ổn định tuyến tính Đây cũng chính là nguyên nhân gây ra hiện tượng không ổn định số Kết luận chính của chúng ta qua ví dụ này là: Vi c sử dụng công thức sai phân trung tâm chính xác cấp hai để rời rạc hóa đạo hàm cấp một dẫn . khác thường.  Chương 2: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân. Chương này đề cập vi c xây dựng các lược đồ sai phân giải một số phương trình vi phân trong trường hợp một. Chương 1: Lược đồ sai phân khác thường. Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân và phương pháp số giải phương trình vi phân. Trên cơ sở kết hợp vi c phân. Lược đồ sai phân chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5 Lược đồ sai phân khác thường . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình