UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2009 - 2010 MÔN TOÁN - LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1. (3,5 ñiểm) Cho biểu thức: P = ( ) ( ) 2 2 2 3 3 x - 1 1 - 2x + 4x 1 2x - + : x - 1 x - 1 x + x 3x + x - 1             (v ớ i x ≠ 0, x ≠ 1) a) Rút g ọ n P. b) V ớ i x b ằ ng bao nhiêu thì P ñạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t ñ ó. Câu 2. (4,5 ñiểm) Gi ả i các ph ươ ng trình sau: a) x 2 - 10x + 16 = 0 b) 327 −=− xx c) 2 2 2 1 1 1 3 + + = 40 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 Câu 3. (4,5 ñiểm) a) Tìm số tự nhiên n ñể 2 n + 7 n + 8 là số tự nhiên. b) Chứng minh rằng nếu b là số nguyên khác 1 thì biểu thức 5 2 b - 5b + 4 b + 1 - 2b là số nguyên c) Tìm số nguyên m lớn nhất ñể phương trình 2x – 1 = 3m – 6 có nghiệm x là số âm. Câu 4. (6,0 ñiểm) 1. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC, N là trung ñiểm của cạnh AC. Các ñường trung trực của cạnh BC và AC cắt nhau tại O, H là trực tâm và G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh rằng: a) ∆ABH ñồng dạng với MNO. ∆ b) ∆AHG ñồng dạng với MOG. ∆ c) Ba ñiểm H, G, O thẳng hàng. 2. Cho tam giác ABC có góc A gấp hai lần góc B, AC = 9cm, BC = 12cm. Tính ñộ dài cạnh AB? Câu 5. (1,5 ñiểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 5x 2 + 2y 2 - 4xy - 8x - 4y + 19 Hết ĐỀ CHÍNH THỨC UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHÁO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2009 - 2010 MÔN TOÁN - LỚP 8 (Hướng dẫn này gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a) (2,0 ñiểm) P = ( ) ( ) 2 2 2 3 3 x - 1 1 - 2x + 4x 1 2x - + : x - 1 x - 1 x + x 3x + x - 1             P ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 4 1 2 : 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x   − + − +   = − +   − + + − + + +     (0,5 ñiểm) P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 4 1 2 : 1 1 1 x x x x x x x x x x x − − + − − + + + + = + − + + (0,5 ñiểm) P ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 4 1 2 : 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x − + − + − − + − + + + = + − + + (0,5 ñiểm) P ( ) ( ) 3 2 2 2 1 1 1 . 2 2 1 1 x x x x x x − + + = = − + + (0,5 ñiểm) b) (1,5 ñiểm) P ñạt giá trị nhỏ nhất khi 2 1 2 x + ñạt giá trị nhỏ nhất (0,5 ñiểm) P = 2 1 2 x + 2 1 1 2 2 2 x = + ≥ ∀ x (vì 2 0; 2 >0 x ≥ ∀ x) (0,5 ñiểm) 1 (3.5 ñiểm) P = 1 2 khi x = 0 mà x = 0 không thuộc tập xác ñịnh vậy P không có giá trị nhỏ nhất. (0,5 ñiểm) a) (2,0 ñiểm) x 2 - 10x + 16 = 0 ⇔ x 2 - 2x - 8x + 16 = 0 (0,25 ñiểm) ⇔ (x 2 - 2x) - (8x - 16) = 0 (0,25 ñiểm) ⇔ x( x - 2 ) -8 (x - 2 ) = 0 (0,25 ñiểm) ⇔ (x - 2)(x - 8) = 0 (0,25 ñiểm) ⇔ x - 2 = 0 hoặc x - 8 = 0 (0,5 ñiểm) ⇔ x = 2 hoặc x = 8 (0,25 ñiểm) Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 và x = 8 (0,25 ñiểm) b) (1,5 ñiểm) 327 −=− xx TH1: 7 x ≥ ta có x - 7 = 2x - 3 (0,5 ñiểm) x = - 4 (loại) (0,25 ñiểm) TH2: 7 x < ta có 7 - x = 2x - 3 (0,25 ñiểm) 2 (4.5 ñiểm) x = 10 3 (nhận) (0,25 ñiểm) Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 10 3 (0,25 ñiểm) c) (1,0 ñiểm) 2 2 2 1 1 1 3 + + = 40 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 (1) (ĐK x 2; 3; 4; 5 ≠ − − − − ) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 2 3 3 4 4 5 40 x x x x x x ⇔ + + = + + + + + + (0,25 ñiểm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 3 2 3 3 4 4 5 40 x x x x x x ⇔ − + − + − = + + + + + + (2) (2) 1 1 3 2 5 40 x x ⇔ − = + + (0,25 ñiểm) ( ) ( ) ( )( ) 3 3 2 5 40 2 5 40 x x x x ⇔ = ⇒ + + = + + ( ) ( ) 2 7 30 0 3 10 0 x x x x ⇔ + − = ⇔ − + = (0,25 ñiểm) ⇔ 3 10 x x  =   = −  Thỏa mãn ñiều kiện 2 (4.5 ñiểm) Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { } -10; 3 (0,25 ñiểm) a) (1,5 ñiểm) Vì n là số tự nhiên => 2 n 7 n 8 + + là số tự nhiên ( ) ( ) 2 7 8 n n ⇔ + + ⋮ (0,25 ñiểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n - 64 +71 n + 8 n - 8 (n + 8) + 71 n+8             ⇔ ⇔⋮ ⋮ (0,25 ñiểm) ( ) 71 8 n ⇔ + ⋮ (0,25 ñiểm) Hay n + 8 là ước của 71 (0,25 ñiểm) n + 8 - 1 - 71 1 71 n - 9 (lo¹i) - 79 (lo¹i) - 7 (lo¹i) 63 (nhËn) (0,25 ñiểm) Vậy n = 63 thì 2 n 8 n 8 + + là số tự nhiên. (0,25 ñiểm) b) (1,5 ñiểm) vì 2 b +1 - 2b = (b - 1) 2 nên b khác 1 thì biểu thức có nghĩa. (0,25 ñiểm) ta có 5 2 b - 5b + 4 b +1 - 2b ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 1 2 3 4 1 b b b b b − + + + = = − (0,25 ñiểm) = 3 2 2 3 4 b b b + + + (0,5 ñiểm) vì b là số nguyên => 3 2 2 3 4 b b b + + + là số nguyên (0,25 ñiểm) hay 5 2 b - 5b + 4 b +1 - 2b là số nguyên khi b là số nguyên khác 1 (0,25 ñiểm) c) (1,5 ñiểm) 2x – 1 = 3m – 6 ⇔ x = 2 53 − m (0,5 ñiểm) 3 (4.5 ñiểm) x < 0 ⇔ 2 53 − m < 0 (0,5 ñiểm) M H O G N C B A ⇔ m < 5 3 => m = 1 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. (0,5 ñiểm) 1) (4,0 ñiểm) Vẽ ñúng hình ý a cho 0,25 ñiểm a) (1,75 ñiểm) Ta có OM // AH (Vì cùng vuông góc với BC) (0,25 ñiểm) MN //AB (vì MN là ñường trung bình của ABC ∆ ) (0,25 ñiểm) Hai góc nhọn HAB và OMN có các cạnh tương ứng song song . Vậy   HAB = OMN (*) (0,25 ñiểm) (0,25 ñiểm) Tương tự ta có   HBA = ONM (0,5 ñiểm) => ∆ABH ñồng dạng với MNO ∆ (g-g) (0,25 ñiểm) b) (1,0 ñiểm) Ta có AH//MO (vì cùng vuông góc với BC) =>   HAG = OMG (ở vị trí so le trong) (0,25 ñiểm) Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABC nên ( ) 1 MG 1 = AG 2 (0,25 ñiểm) ∆ABH ñồng dạng với MNO ∆ ( ) 2 OM MN 1 = = AH AB 2 ⇒ (0,25 ñiểm) Từ (1) và (2) ta có MG OM = AG AH (0,25 ñiểm) Vậy ∆AHG ñồng dạng với MOG ∆ c) (1,0 ñiểm) Từ câu b, suy ra  AGH =  OGM , (0,25 ñiểm) hai góc này bằng nhau mà hai cạnh AG, GM nằm trên ñường thẳng AM. Hai cạnh GH và GO nằm ở hai phía của AM nên cũng phải nằm trên một ñường thẳng. (0,5 ñiểm) nghĩa là ba ñiểm H; G; O thẳng hàng. (0,25 ñiểm) C D 2) (2,0 ñiểm) A B Kẻ phân giác AD, ta có ∠ CAD = ∠ DAB = ∠ B ( cùng bằng nửa góc A) (0,25 ñiểm) suy ra tam giác ADB cân tại D (0,25 ñiểm) ⇒ AD = BD (0,25 ñiểm) 4 6.0 ñiểm) Suy ra tam giác ACD ñồng dạng với tam giác BCA AC CD BC AC ⇒ = (0,25 ñiểm) 2 81 27 12 4 AC CD BC ⇒ = = = (0,25 ñiểm) 4 21 4 27 12 =−=⇒ BD (0,25 ñiểm) Mặt khác, áp dụng tính chất ñường phân giác trong tam giác ta có: AC CD AB BD = (0,25 ñiểm) 4 6.0 ñiểm) . 21 27 9. : 7 4 4 AC BD AB CD ⇒ = = = (cm) (0,25 ñiểm) A = 5x 2 + 2y 2 - 4xy - 8x - 4y + 19 = (4x 2 + y 2 + 1 - 4xy - 4x + 2y) + (x 2 - 4x + 4) + (y 2 - 6y + 9) + 5 (0,5 ñiểm) = (2x - y - 1) 2 + ( x - 2) 2 + (y - 3) 2 + 5 (0,5 ñiểm) => A ≥ 5 với mọi x, y (0,25 ñiểm) 5 1.5 ñiểm) => Giá trị nhỏ nhất của A bằng 5  x = 2 và y = 3 (0,25 ñiểm) Chú ý: - Hướng dẫn trên chỉ ñưa ra một ñáp án, nếu thí sinh làm cách khác mà ñúng thì cho ñiểm tối ña, tương ñương. - Trong bài hình nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai thì không chấm. - Các ý của câu 2 và câu 3 bắt buộc phải chấm ñiểm kết luận. - Học sinh có thể sử dụng kiến thức lớp trên hoặc kiến thức trong giới hạn ôn tập ở công văn số 1088 của sở GD & ĐT Ninh Bình. - Điểm bài thi không làm tròn. . 2 n 7 n 8 + + là số tự nhiên ( ) ( ) 2 7 8 n n ⇔ + + ⋮ (0,25 ñiểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n - 64 +71 n + 8 n - 8 (n + 8) + 71 n +8             ⇔ ⇔⋮ ⋮ (0,25 ñiểm) ( ) 71 8 n ⇔. - 2x - 8x + 16 = 0 (0,25 ñiểm) ⇔ (x 2 - 2x) - (8x - 16) = 0 (0,25 ñiểm) ⇔ x( x - 2 ) -8 (x - 2 ) = 0 (0,25 ñiểm) ⇔ (x - 2)(x - 8) = 0 (0,25 ñiểm) ⇔ x - 2 = 0 hoặc x - 8 = 0 (0,5. - 4xy - 8x - 4y + 19 Hết ĐỀ CHÍNH THỨC UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHÁO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2009 - 2010 MÔN TOÁN - LỚP 8 (Hướng