Mục lục Lời cảm ơn 3 Mở đầu 4 1 Qúa trình ngẫu nhiên 6 1.1 Qúa trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Phân phối hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Quá trình Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Tính không khả vi của các quỹ đạo của chuyển động Brown . 17 1.6 Bộ lọc và thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Martingales 25 2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Martingales thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Biến đổi martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Khai triển Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.5 Các định lý dừng tùy chọn . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Martingales thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 Upcrossings trong thời gian liên tục . . . . . . . . . . 40 2.3.2 Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.3 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.4 Các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.5 Tùy chọn dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Ứng dụng chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.1 Biến phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.2 Bất đẳng thức mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1 MỤC LỤC 2.4.3 Luật loga lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.4 Phân bố các lần chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Quá trình Markov 56 3.1 Định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Sự tồn tại của một bản sao chính tắc . . . . . . . . . . . . . 59 3.3 Quá trình Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.1 Hàm chuyển trạng thái Feller và các giải thức . . . . . 63 3.3.2 Sự tồn tại của một bản sao cadlag . . . . . . . . . . . 68 3.3.3 Sự tồn tại của một bộ lọc tốt. . . . . . . . . . . . . . 71 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 2 Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình và tận tâm của PGS. TS Phan Viết Thư. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Hà nội, tháng 03 năm 2014 3 Mở đầu Lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục là một trong những lĩnh vực quan trọng của chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Nói một cách đơn giản, quá trình ngẫu nhiên là một hiện tượng có thể được coi như phát triển trong thời gian một cách ngẫu nhiên. Ví dụ thường thấy là vị trí của một hạt trong một hệ thống vật lý, giá của một cổ phiếu trong một thị trường tài chính, lãi suất,. . . Một ví dụ cơ bản là sự chuyển động thất thường của hạt phấn hoa lơ lửng trong nước, gọi là chuyển động Brown, được đặt theo tên tiếng Anh nhà thực vật học R. Brown, người đầu tiên quan sát được nó vào năm 1827. Sự chuyển động của các hạt phấn hoa được cho là do tác động của các phân tử nước bao quanh nó. Những va chạm này xảy ra với một số lượng lớn, trong mỗi khoảng thời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, và tác động của một va chạm duy nhất là rất nhỏ so với tổng hiệu lực. Điều này cho thấy sự chuyển động của các hạt có thể được xem như là một quá trình ngẫu nhiên. Trong khuôn khổ hạn chế, luận văn này chỉ đề cập đến một phần xung quanh vấn đề tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục. Nội dung chính của luận văn : " Tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục" giới thiệu một số các khái niệm cơ bản của quá trình ngẫu nhiên, bao gồm các định lý, định nghĩa, bổ đề có chứng minh, sử dụng mô hình toán học của chuyển động Brown, và các kiến thức có liên quan các Martingale và quá trình Markov. Bố cục của luận văn này gồm 3 chương: 4 MỤC LỤC Chương 1: Quá trình ngẫu nhiên. Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên (định lý, định nghĩa, bổ đề, hệ quả), phân phối hữu hạn chiều, điều kiện liên tục của Kolmogorov, quá trình Gaussian, tính không khả vi của các quỹ đạo chuyển động Brown, bộ lọc và thời điểm dừng. Chương 2: Các Martingale. Mục đính của chương này là giới thiệu định nghĩa và cung cấp các ví dụ về Martingale, lý thuyết Martingale với thời gian rời rạc, Martingale thời gian liên tục và ứng dụng của chuyển động Brown. Chương 3: Quá trình Markov. Chương này trình bày các định nghĩa cơ bản, sự tồn tại của một bản sao chính tắc, quá trình Feller. 5 Chương 1 Qúa trình ngẫu nhiên 1.1 Qúa trình ngẫu nhiên Nói một cách đơn giản, quá trình ngẫu nhiên là một hiện tượng có thể được coi như phát triển trong thời gian một cách ngẫu nhiên. Ví dụ thường thấy là vị trí của một hạt trong một hệ thống vật lý, giá của một cổ phiếu trong một thị trường tài chính, lãi suất,. . . Một ví dụ cơ bản là sự chuyển động thất thường của hạt phấn hoa lơ lửng trong nước, gọi là chuyển động Brown, được đặt theo tên tiếng Anh nhà thực vật học R. Brown, người đầu tiên quan sát được nó vào năm 1827. Sự chuyển động của các hạt phấn hoa được cho là do tác động của các phân tử nước bao quanh nó. Những va chạm này xảy ra với một số lượng lớn, trong mỗi khoảng thời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, và tác động của một va chạm duy nhất là rất nhỏ so với tổng hiệu lực. Điều này cho thấy sự chuyển động của các hạt có thể được xem như là một quá trình ngẫu nhiên với những đặc tính sau: (i) Sự di chuyển trong khoảng thời gian bất kỳ [s,t] là độc lập với những gì xảy ra trước thời gian s. (ii) Di chuyển như vậy có một phân phối Gaussian, mà chỉ phụ thuộc vào độ dài của khoảng thời gian [s,t]. (iii) Sự chuyển động là liên tục. Mô hình toán học của chuyển động Brown sẽ là đối tượng chính đề cập đến trong luận văn này. Hình 1.1 cho thấy một thể hiện cụ thể của quá trình 6 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên ngẫu nhiên này. Hình ảnh cho thấy chuyển động Brown có một số điểm đáng chú ý, và chúng ta sẽ thấy rằng điều này thực sự đáng để nghiên cứu. Hình 1.1: Biểu diễn các chuyển động Brown Định nghĩa 1.1.1. Cho T là một tập hợp và (E, E) là một không gian đo được. Một quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số T, lấy giá trị trong (E, E), là một tập hợp X = (X t ) t∈T , của những ánh xạ đo được X t từ một không gian xác suất (Ω, F, P) vào (E, E). Không gian (E, E) được gọi là không gian trạng thái của quá trình. Chúng ta coi t như một tham số thời gian, và xem các bộ chỉ số T như tập hợp tất cả các thời điểm có thể. Trong luận văn này chúng ta thường gặp T = Z + = {0, 1, . . .} hoặc T = R + = [0, ∞). Trong trường hợp đầu chúng ta gọi thời gian là rời rạc, trong trường hợp sau chúng ta gọi thời gian là liên tục. Lưu ý rằng một quá trình thời gian rời rạc có thể được xem như là một quá trình liên tục mà nó là hằng số trên khoảng [n − 1, n) với mọi n ∈ N. Không gian trạng thái (E, E) thường dùng nhất là không gian ơclid R d , được trang bị σ-đại số Borel B(R d ) . Nếu E là không gian trạng thái của một quá trình, chúng ta gọi là quá trình E-giá trị. Với mọi t ∈ T cố định, quá trình ngẫu nhiên X cho chúng ta một phần tử ngẫu nhiên E- giá trị X t trên (Ω, F, P). Chúng ta cũng có thể cố định ω ∈ Ω và xét các ánh xạ t → X t (ω) trên T. Những ánh xạ này được gọi là các quỹ đạo, hoặc quỹ đạo mẫu của quá trình. Các quỹ đạo mẫu là các hàm từ T vào E, tức là các phần tử của E T . Do đó, chúng ta có thể coi quá trình 7 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên X là một phần tử ngẫu nhiên của không gian hàm E T . (Khá thường xuyên, các quỹ đạo mẫu là các phần tử của một số tập hợp con tốt của không gian này.) Mô hình toán học của chuyển động Brown là một quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.1.2. Quá trình ngẫu nhiên W = (W t ) t ≥ 0 được gọi là một chuyển động Brown tiêu chuẩn, hoặc quá trình Wiener, nếu (i) W 0 = 0, h.c.c (ii) W t − W s độc lập với (W u : u ≤ s) với mọi s ≤ t, (iii) W t − W s có phân phối N (0, t − s) cho tất cả các s ≤ t, (iv) Hầu tất cả các quỹ đạo mẫu của W là liên tục Chúng ta viết tắt chuyển động Brown là BM. Tính chất (i) nói rằng một BM tiêu chuẩn bắt đầu ở 0. Một quá trình với tính chất (ii) được gọi là một quá trình với số gia độc lập. Tính chất (iii) thể hiện rằng sự phân bố của gia số W t − W s chỉ phụ thuộc vào t − s. Được gọi là tính dừng của gia số. Một quá trình ngẫu nhiên có tính chất (iv) được gọi là quá trình liên tục. Tương tự như vậy, chúng ta gọi một quá trình ngẫu nhiên là liên tục phải nếu gần như tất cả các quỹ đạo mẫu của nó là hàm liên tục phải. Chúng ta sẽ thường sử dụng các từ viết tắt cho các quá trình với quỹ đạo là liên tục phải có những giới hạn bên trái hữu hạn ở mọi thời điểm. Từ định nghĩa không khẳng định rằng BM thực sự tồn tại! Chúng ta sẽ phải chứng minh rằng tồn tại một quá trình ngẫu nhiên mà thỏa mãn tất cả các tính chất của Định nghĩa 1.1.2. Mệnh đề 1.1.3. Quá trình W thỏa mãn các tính chất (i), (ii), và (iii) của Định nghĩa 1.1.2 nếu và chỉ nếu với mọi t 1 , , t n ≥ 0 vector (W t 1 , , W t n ) có phân phối Gaussian n chiều với vector trung bình 0 và ma trận hiệp phương sai (t i ∧ t j ) i,j=1, ,n . 8 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên 1.2 Phân phối hữu hạn chiều Trong phần này, chúng ta nhớ lại định lý Kolmogorov về sự tồn tại của quá trình ngẫu nhiên với các phân phối hữu hạn chiều đã cho. Chúng ta sử dụng nó để chứng minh sự tồn tại của một quá trình có tính chất (i), (ii) và (iii) Định nghĩa 1.1.2. Định nghĩa 1.2.1. Cho X = (X t ) t∈T là một quá trình ngẫu nhiên. Phân phối của các vectơ hữu hạn chiều có dạng (X t 1 , , X t n ) được gọi là phân phối hữu hạn chiều (fdd) của quá trình. Có thể dễ dàng kiểm tra được fdd của một quá trình ngẫu nhiên tạo thành một họ các độ đo, thể hiện bởi các định nghĩa dưới đây. Định nghĩa 1.2.2. Cho T là một tập hợp và (E, E) là một không gian đo được. Với mọi t 1 , , t n ∈ T , cho µ t 1 , , t n là một độ đo xác suất trên (E n , E n ). Bộ các độ đo được gọi là nhất quán nếu nó có các tính chất sau: (i) Với mọi t 1 , , t n ∈ T , mọi hoán vị π của {1, , n} và mọi A 1 , , A n ∈ E µ t 1 , ,t n (A 1 × ×A n ) = µ t π(1) , ,t π(n) (A π (1) × ×A π (n) ) (ii) Với mọi t 1 , , t n+1 ∈ T và A 1 , , A n ∈ E µ t 1 , , t n+1 (A 1 × × A n × E) = µ t 1 , , t n (A 1 × × A n ) . Định lý Kolmogorov về tính nhất quán khẳng định ngược lại, dưới điều kiện chính quy nhẹ, mọi họ nhất quán của các độ đo trong thực tế là họ của fdd của một quá trình ngẫu nhiên. Một số giả thiết là cần thiết trên không gian trạng thái (E, E). Chúng ta giả thiết E là một không gian Polish ( không gian metric khả ly đủ ) và E là σ-đại số Borel của nó, tức là σ-đại số được tạo ra bởi các tập mở. Rõ ràng, không gian Euclid (R n , B(R n )) phù hợp với nội dung này. Định lí 1.2.3. (Định lý nhất quán của Kolmogorov). Giả sử E là một không gian Polish và E là σ-đại số Borel. Cho T là một tập hợp và với mọi t 1 , , t n ∈ T , lấy µ t 1 , ,t n là một độ đo trên (E n , E n ). Nếu độ đo µ t 1 , ,t n tạo thành một hệ nhất quán, khi đó trên không gian xác suất (Ω, F, P) nào đó tồn tại một quá trình ngẫu nhiên X = (X t ) t∈T có độ đo µ t 1 , ,t n là fdd của nó. Chứng minh. Xem ví dụ Billingsley (1995). 9 Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên Bổ đề sau đây là bước đầu tiên trong việc chứng minh sự tồn tại của BM. Hệ quả 1.2.4. Tồn tại một quá trình ngẫu nhiên W = (W t ) t≥0 thỏa mãn các tính chất (i), (ii) và (iii) của Định nghĩa 1.1.2. Chứng minh. Chúng ta hãy lưu ý đầu tiên là một quá trình W có tính chất (i), (ii) và (iii) của Định nghĩa 1.1.2 khi và chỉ khi với mọi t 1 , , t n ≥ 0 vectơ (W t 1 , , W t n ) có phân phối Gaussian n chiều với vectơ trung bình 0 và ma trận hiệp phương sai (t i ∧ t j ) i,j=1 n ( Mệnh đề 1.1.3). Vì vậy, chúng ta phải chứng minh rằng tồn tại một quá trình ngẫu nhiên có phân bố như trên trùng với fdd của nó. Đặc biệt, chúng ta phải chỉ ra rằng ma trận (t i ∧ t j ) i,j =1 n là một ma trận hiệp phương sai hợp lệ, tức là nó xác định không âm. Điều này thực sự là thích hợp, do với mọi a 1 a n , ta có : n  i=1 n  j=1 a i a j (t i ∧ t j ) = ∞  0  n  i=1 a i 1 [0,t i ] (x)  2 dx ≥ 0. Điều này suy ra rằng với mọi t 1 , , t n ≥ 0 tồn tại một véc tơ ngẫu nhiên (X t 1 , , X t n ) có phân phối Gaussian n chiều µ t 1 , ,t n với trung bình 0 và ma trận hiệp phương sai (t i ∧ t j ) i,j =1 n . Khi đó suy ra các độ đo µ t 1 , ,t n tạo thành một hệ nhất quán. Do đó, theo định lý nhất quán của Kolmogorov, tồn tại một quá trình W có các phân phối µ t 1 , ,t n như các fdd của nó. Để chứng minh sự tồn tại của BM, còn cần phải xem xét tính liên tục (iv) trong định nghĩa của BM. Đây là chủ đề của mục tiếp theo. 1.3 Tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov Theo hệ quả 1.2.4 tồn tại một quá trình W có tính chất (i) - (iii) của Định nghĩa 1.1.2. Chúng ta muốn quá trình này cũng có cả tính chất liên tục (iv) của định nghĩa. Tuy nhiên, chúng ta đi vào vấn đề mà không có lý do cụ thể tại sao tập {ω: t → W t (ω) là liên tục} ⊆ Ω có thể đo được. Do đó, xác suất để quá trình W có đường quỹ đạo mẫu liên tục nói chung không được xác định rõ. Một cách giải quyết vấn đề này là liệu chúng ta có thể thay đổi được quá trình W theo cách như quá trình kết quả, ký hiệu là ˜ W, có quỹ đạo mẫu liên 10 [...]... một biến ngẫu nhiên Gauss tiêu chuẩn Điều này có nghĩa là tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov (1.1) thỏa mãn với α = 4 và β = 1 Vì vậy, T với mỗi giá trị T ≥ 0, tồn tại một chỉnh sửa liên tục WT = (Wt )t ∈[0,T ] của quá trình (Wt )t∈[0,T ] Bây giờ ta định nghĩa quá trình X = (Xt )t ≥0 bởi ∞ Wn 1[n−1,n) (t) t Xt = n=1 13 Chương 1 Qúa trình ngẫu nhiên Quá trình X là một chuyển động Brown 1.4 Quá trình Gaussian... τ là một thời điểm tùy chọn liên quan đến (Ft ) khi và chỉ khi nó là một thời điểm dừng đối với (Ft+ ) Mọi thời điểm dừng đều là thời điểm tùy chọn 20 Chương 1 Qúa trình ngẫu nhiên Cái gọi là thời điểm chạm tạo thành một lớp quan trọng của thời điểm dừng và thời điểm tùy chọn Thời điểm chạm của một tập B là thời điểm đầu tiên một quá trình thăm tập đó Bổ đề 1.6.10 Cho (E, d) là một không gian metric... ≤ t Một quá trình ngẫu nhiên X xác định trên (Ω, F, P) và đánh chỉ số bởi T được gọi là thích nghi với bộ lọc nếu với mọi t ∈ T , biến ngẫu nhiên Xt là Ft - đo được Chúng ta nên coi của một bộ lọc như một dòng chảy thông tin Các σ -đại số Ft bao gồm các biến cố có thể xảy ra ‘tính đến thời điểm t’ Một quá trình thích nghi là quá trình đó ‘không nhìn vào tương lai’ Nếu X là một quá trình ngẫu nhiên, ... quá trình liên tục E giá trị và B là một tập đóng trong E Khi đó, biến ngẫu nhiên σB = inf{t ≥ 0 : Xt ∈ B} là một (FtX ) -Thời điểm dừng.2 Chứng minh Kí hiệu khoảng cách của một điểm x ∈ E đến tập B là d (x, B), do đó d (x, B) = inf{d (x, y) : y ∈ B} Vì X là liên tục, quá trình giá trị thực Yt = d (Xt , B) cũng liên tục Hơn nữa, vì B đóng, suy ra Xt ∈ B khi và chỉ khi Yt = 0 Bằng cách sử dụng tính liên. .. triển Doob Một quá trình thích nghi, khả tích X luôn luôn có thể được viết như một tổng của một martingale và một quá trình dự đoán được Điều này được gọi là khai triển Doob của quá trình X Định lí 2.2.8 Cho X là một quá trình thích nghi, khả tích Khi đó tồn tại một martingale M và một quá trình dự đoán được A sao cho A0 = M0 = 0 và X = X0 + M + A Các quá trình M và A là h.c.c, duy nhất Quá trình X là... bởi X, hoặc bộ lọc tự nhiên của X Bằng trực giác, bộ lọc tự nhiên của một quá trình theo dõi những “lịch sử” của quá trình này Một quá trình ngẫu nhiên là luôn luôn phù hợp với bộ lọc tự nhiên của nó Nếu (Ft ) là một bộ lọc, khi đó cho t ∈ T , chúng ta xác định σ -đại số ∞ Ft+ = Ft+1/n n=1 Đây là σ -đại số Ft , gia tăng thêm với các sự kiện xảy ra ngay lập tức ‘tính sau thời gian t’ Tập hợp (FtX )t∈T... BM và với x > 0, xét các biến ngẫu nhiên τx = inf {t > 0 : Wt = x} Vì x > 0 và W là liên tục, τx có thể được viết như τx = inf {t ≥ 0 : Wt = x} Theo bổ đề 1.6.10 đây là một (FtX ) - thời điểm dừng Hơn nữa, sự lặp lại của BM (xem Hệ quả 1.4.6), τx là một thời gian dừng hữu hạn Chúng ta thường muốn xét một quá trình ngẫu nhiên X, đánh giá ở một thời điểm dừng hữu hạn τ Tuy nhiên, không phải rõ ràng từ... tôi giới thiệu và nghiên cứu một lớp rất quan trọng của quá trình ngẫu nhiên: các martingales Martingales sinh ra tự nhiên trong nhiều ngành của lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên Đặc biệt, chúng là những công cụ rất hữu ích trong nghiên cứu của BM Trong mục này, tập chỉ số T là một khoảng thời gian tùy ý của Z+ hoặc R+ Định nghĩa 2.1.1 Một quá trình giá trị thực, (Ft )-thích nghi M được gọi là martingale... dụ về martingales Một trong những vấn đề quan trọng nhất được thể hiện trong ví dụ sau Ví dụ 2.1.4 Cho W là một BM Khi đó, các quá trình sau đây là martingales liên quan tới cùng một bộ lọc (i) W chính nó, (ii) W2 − t, t (iii)Với mỗi a ∈ R, các quá trình exp (aWt − a2 t/2) Trong mục tiếp theo, chúng ta đầu tiên phát triển lý thuyết cho martingales thời gian rời rạc Tổng quát cho thời gian liên tục. .. Kí hiêu M τ là quá trình bị dừng tại thời điểm τ Cho M là một martingale (dưới, trên) và τ một thời điểm dừng Khi đó, quá trình bị dừng M τ cũng là một martingale (dưới, trên) Chứng minh Định nghĩa quá trình X bởi Xn = 1{τ ≥n} và xác nhận rằng M τ = M0 + X · M Vì τ là thời điểm dừng, chúng ta có {τ ≥ n} = {τ ≤ n − 1} c ∈ Fn−1 , dẫn đến quá trình X là dự đoán được Nó cũng là một quá trình bị chặn, . trình ngẫu nhiên. Trong khuôn khổ hạn chế, luận văn này chỉ đề cập đến một phần xung quanh vấn đề tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục. Nội dung chính của luận văn : " Tìm. Nội dung chính của luận văn : " Tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục& quot; giới thiệu một số các khái niệm cơ bản của quá trình ngẫu nhiên, bao gồm các định lý, định nghĩa,. sao chính tắc, quá trình Feller. 5 Chương 1 Qúa trình ngẫu nhiên 1.1 Qúa trình ngẫu nhiên Nói một cách đơn giản, quá trình ngẫu nhiên là một hiện tượng có thể được coi như phát triển trong thời gian một