Trng THCS Trn Quang Khi Nguyn Minh Hiu ON TAP HOẽC KYỉ 2 PHN I : HèNH HC PHNG A/. KIN THC C BN 1).L Ta-let: (Thun & o) 2). H qu ca L Ta lột : 3). Tớnh cht tia phõn giỏc ca tam giỏc : 4). Tam giỏc ng dng: * N : * Tớnh cht : - ABC ABC - ABC ABC => ABC ABC - ABC ABC; ABC ABC thỡ ABC ABC * nh lớ : 5). Cỏc trng hp ng dng : a). Trng hp c c c : b). Trng hp c g c : c) Trng hp g g : 6). Cỏc trng hp .dng ca tam giỏc vuụng : a). Mt gúc nhn bng nhau : b). Hai cnh gúc vuụng t l : c). Cnh huyn - cnh gúc vuụng t l : 7). T s ng cao v t s din tớch : - ABC ABC theo t s k => ' ' A H k AH = - ABC ABC theo t s k => ' ' ' 2 A B C ABC S k S = Hng dn ụn tp HK2 Mụn : Toỏn 8 Trang 1 ABC ; ' ' ;B AB C AC BC// BC ' 'AB AC AB AC = ; ' ' '; ' ; ' ' ' ' ' ' '/ / ABC A B C B AB C AC AB AC B C B C BC AB AC BC = = AD l p.giỏc => DB AB DC AC = ABC ABC à à à à à à ' ; ' ; ' ' ' ' ' ' ' A A B B C C A B B C C A AB BC CA = = = = = ABC ; AMN MN // BC => AMN ABC ' ' ' ' ' 'A B B C A C AB BC AC = = ABC ABC à à ' ' ' ' ' A A A B A C AB AC = = ABC ABC à à à à ' ' A A B B = = ABC ABC à à 'B B= => vuụng ABC vuụng ABC ' ' ' 'A B A C AB AC = => vuụng ABC vuụng ABC ' ' ' 'B C A C BC AC = => vuụng ABC vuụng Trường THCS Trần Quang Khải Nguyễn Minh Hiếu B/. BÀI TẬP ƠN : Bài 1 : Cho tam giác ABC vng tại A, AB = 36cm ; AC = 48cm và đường cao AH a). Tính BC; AH b). HAB HCA c). Kẻ phân giác góc B cắt AC tại F . Tính BF Hướng dẫn : a) p dụng ĐL Pitago : BC = 60cm - Chứng minh ∆ ABC ∆ HBA => HA = 28,8cm b). Chứng minh · · BAH ACH= => ∆ vuông ABC ∆ vuông HBA (1 góc nhọn) c). p dụng t/c tia p/giác tính AF => AF = 1 / 2 AB = 18cm mà 22 AFABBF += = 1296 324 40,25cm+ = Bài 2 : Cho tam giác ABC; có AB = 15cm; AC = 20cm; BC = 25cm. a). Chứng minh : ABC vng tại A b). Trên AC lấy E tuỳ ý , từ E kẻ EH ⊥ BC tại H và K là giao điểm BA với HE. CMR : EA.EC = EH.EK c). Với CE = 15cm . Tính BCE BCK S S Bài 3 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ A xuống BD. a). Chứng minh ∆ HAD đồng dạng với ∆ CDB. b).Tính độ dài AH. c). Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; AH; DH . Tứ giác BMPN là hình gì ? vì sao ? Hướng dẫn : a). · · DAH BDC= (cùng bằng với · ABD ) => ∆ vuông HAD ∆ vuông CDB (1 góc nhọn) b). – Tính BD = 15cm Do ∆ vuông HAD ∆ vuông CDB => AH = 7,2cm c). NP // AD và NP = ½ AD BM // AD và NP = ½ BM => NP // BM ; NP = BM => BMPN là hình bình hành Bài 4 : Cho hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm và · · DAB DBC= a). CMR : ABD BDC b). Tính cạnh BC; DC c). Gọi E là giao điểm của AC và BD. Qua E kẻ đường thẳng bất kỳ cắt AB; CD lần lượt tại M; N. Tính ? ME NE = a). ABD BDC (g – g) b). ABD BDC => AB AD BD BD BC DC = = => BC = 7cm; DC = 10cm c). Áp dụng ĐL Talet : 2,5 1 10 4 ME MA MB NE NC ND = = = = Hướng dẫn ơn tập HK2 Mơn : Tốn 8 Trang 2 Trường THCS Trần Quang Khải Nguyễn Minh Hiếu PHẦN II : ĐẠI SỐ A/. KIẾN THỨC CƠ BẢN : I/. Phương trình bậc nhất một ẩn : 1). Phương trình một ẩn : - Dạng tổng qt : P(x) = Q(x) (với x là ẩn) (I) - Nghiệm : x = a là nghiệm của (I)  P(a) = Q(a) - Số nghiệm số : Có 1; 2; 3 … vơ số nghiệm số và cũng có thể vơ nghiệm. 2). Phương trình bậc nhất một ẩn : - Dạng tổng qt : ax + b = 0 ( 0≠a ) - Nghiệm số : Có 1 nghiệm duy nhất x = b a − 3). Hai quy tắc biến đổi phương trình : * Chuyển vế : Ta có thể chuyển 1 hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. * Nhân hoặc chia cho một số : Ta có thể nhân (chia) cả 2 vế của PT cho cùng một số khác 0. 4). Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình - ĐKXĐ của PT Q(x) : { /x mẫu thức } 0≠ - Nếu Q(x) là 1 đa thức thì ĐKXĐ là : x R ∀ ∈ II/. Bát phương trình bậc nhất một ẩn : 1). Liên hệ thứ tự : Với a; b; c là 3 số bất kỳ ta có * Với phép cộng : - Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c - Nếu a < b thì a + c < b + c * Với phép nhân : - Nhân với số dương : + Nếu a ≤ b và c > 0 thì a . c ≤ b . c + Nếu a < b và c > 0 thì a . c < b . c - Nhân với số âm : + Nếu a ≤ b và c < 0 thì a . c ≥ b . c + Nếu a < b và c < 0 thì a . c > b . c 2). Bất phương trình bật nhất một ẩn : - Dạng TQ : ax + b < 0 ( hoặc 0; 0; 0ax b ax b ax b+ > + ≤ + ≥ ) với 0≠a 3). Hai quy tắc biến đổi bất phương trình : * Chuyển vế : Ta có thể chuyển 1 hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. * Nhân hoặc chia cho một số : Khi nhân (chia) cả 2 vế của BPT cho cùng một số khác 0, ta phải : - Giữ ngun chịều BPT nếu số đó dương. - Đổi chiều BPT nếu số đó âm. B/. BÀI TẬP : Chủ đề 1 : Giải phương trình Dạng 1 : PT đưa được về dạng ax + b = 0 ( 0 ≠ a ) * PP: - Chuyển các hạng tử chứa ẩn về 1 vế và hạng tử có chứa hệ số tự do về vế còn lại. * p dụng : Giải các phương trình sau : 1). 3x – 5 = x + 7  3x – x = 7 + 5  2x = 12  x = 12 : 2 = 6 Vậy x = 6 là nghiệm của phương trình . 2). 3.(x + 1)(x – 1) – 5x = 3x 2 + 2 ( NX : PT có thể đưa được về bậc I vì VT có 3x 2 và VP cũng có 3x 2 )  3.(x 2 – 1) – 5x = 3x 2 + 2  3x 2 – 3 – 5x = 3x 2 + 2  3x 2 – 5x – 3x 2 = 2 + 3  -5x = 5  x = -1 Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình . * Bài tập tự giải : 1). 2(x – 3) + 1 = x – 8 (ĐS : x = - 3) 2). (x – 1) 2 – (x + 1)(x – 1) = 3x – 5 (ĐS : x = 7 / 5 ) 3). 8 21 4 12 2 1 2 xx x − − + =− (ĐS : x = 1 / 2 ) Dạng 2 : Giải phương trình tích PP : - Đưa PT về dạng có VP = 0 - Phân tích VT thành nhân tử để PT có dạng : A (x) .B (x) = 0 <=> A (x) .=0 hoặc B (x) .= 0 *p dụng : Giải các phương trình sau 1). 4x 2 – 9 = 0 (NX: VT có chứa 4x 2 không thể triệt tiêu để đưa về PT bậc nhất => giải PT tích)  (2x) 2 – 3 2 = 0  (2x + 3)(2x – 3) = 0  2 3 ±=x Vậy 2 3 ±=x là nghiệm của PT Hướng dẫn ơn tập HK2 Mơn : Tốn 8 Trang 3 Trường THCS Trần Quang Khải Nguyễn Minh Hiếu 2). (x – 6)(x + 1) = 2.(x + 1) ( NX : khi nhân để khai triển thì VT có x 2 ; VP không có nên PT không thể đưa về bậc I )  (x – 6)(x + 1) – 2(x + 1) = 0  (x + 1).[(x – 6) – 2] = 0  (x + 1)(x – 8) = 0  x + 1 = 0 hoặc x – 8 = 0  x = - 1 hoặc x = 8 Vậy x = -1 và x = 8 là nghiệm của phương trình. Bài tập tự giải : 1). x 3 – 6x 2 + 9x = 0 (ĐS : x = 0; x = 3) 2). (2x 2 + 1)(2x + 5) = (2x 2 + 1)(x – 1) (ĐS : x = 6 vì 2x 2 + 1 > 0 với mọi x) Dạng 3 : Phương trình chứa ẩn ở mẫu * PP : - Tìm ĐKXĐ của PT - Qui đồng và khử mẫu - Giải PT vừa tìm được - So sánh với ĐKXĐ để chọn nghiệm và trả lời. * p dụng : Giải các phương trình sau 1). 1 3 2 1 5 = − + − − xx x (I) - TXĐ : x ≠ 1 ; x ≠ 3  )3)(1(1 )3)(1(1 )1)(3( )1(2 )3)(1( )3)(5( −− −− = −− − + −− −− xx xx xx x xx xx  (x – 5)(x – 3) + 2(x – 1) = (x – 1)(x – 3)  x 2 – 8x + 15 + 2x – 2 = x 2 – 4x + 3  x 2 – 6x – x 2 + 4x = 3 – 13  - 2x = -10  x = 5 , thoả ĐKXĐ Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình. * Bài tập tự giải : 1). 2 5 3 2 5 3 x x x x + + + = + (ĐS : x = -6) 2). )1)(3( 4 1 1 3 2 −+ = − + + + + xxx x x x ( ĐS : x = - 3 ∉ TXĐ. Vậy PT vô nghiệm) 3). ( ) ( ) 2 1 6 2 1 1 2 ( 2) x x x x x x x − − + = − − − − (ĐS : 0 ; 1x TXD x TXD= ∈ = ∉ ) Chủ đề 2 : Giải bất phương trình * PP : Sử dụng các phép biến đổi của BPT để đưa các hạng tử chứa ẩn về 1 vế , hệ số về vế còn lại . * p dụng : Giải các bất phương trình sau : 1). 3 – 2x > 4  -2x > 4 – 3 (Chuyển vế 3 thành -3)  -2x > 1  x < 2 1 − (Chia 2 vế cho -2 < 0 và đổi chiều BPT)  x < 2 1− Vậy x < 2 1− là nghiệm của bất phương trình. 2). 5 7 3 54 xx − ≥ −  3.5 3).7( 5.3 5).54( xx − ≥ − (quy đồng)  20x – 25 ≥ 21 – 3x (Khử mẫu)  20x + 3x ≥ 21 + 25 ( chuyển vế và đổi dấu)  23x ≥ 46  x ≥ 2 (chia 2 vế cho 23>0, giữ nguyên chiều BPT) Vậy x ≥ 2 là nghiệm của BPT . * Bài tập tự giải : 1). 4 + 2x < 5 (ĐS : x < 1 / 2 ) 2). (x – 3) 2 < x 2 – 3 (ĐS : x > 2) 3). 32 21 xx − ≥ − ( ĐS : x ≤ 4 3 ) Chủ đề 3 : Giải phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối * VD : Giải các phương trình sau : 1). 83 += xx (1) * Nếu 003 ≥⇔≥ xx khi đó (1)  3x = x + 8  x = 4 > 0 (nhận) * Nếu 003 <⇔< xx khi đó (1)  -3x = x + 8  x = -2 < 0 (nhận) Vậy x = 4 và x = -2 là nghiệm của PT. * Bài tập tự giải : 1). 952 −= xx (ĐS : x = 3 nhận; x = 9 / 7 loại) 2). 2 2x x− = + (ĐS : x = 0) Hướng dẫn ơn tập HK2 Mơn : Tốn 8 Trang 4 Trường THCS Trần Quang Khải Nguyễn Minh Hiếu Chủ đề 4 : Giải toán bằng cách lập PT : * PP : - B1 : Lập phương trình + Chọn ẩn, đơn vò & ĐK cho ẩn. + Biểu thò số liệu chưa biết theo ẩn. + Lập PT biểu thò mối quan hệ các đòa lg. - B2 : Giải phương trình. - B3 : Chọn nghiệm thoả ĐK của ẩn và trả lời. * p dụng : 1). Hiện nay mẹ hơn con 30 tuổi , biết rằng 8 năm nữa thì tuổi mẹ sẽ gấp ba lần tuổi con . Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi ? Giải : Gọi x (tuổi) là tuổi của con hiện nay. (ĐK : x nguyên dương) x + 30 (tuổi) là tuổi của mẹ hiện nay. Và x + 8 (tuổi) là tuổi con 8 năm sau . x + 38 (tuổi) làtuổi của mẹ 8 năm sau . Theo đề bài ta có phương trình : 3(x + 8) = x + 38  3x + 24 = x + 38  2x = 14  x = 7 ,thoả ĐK Vậy tuổi con hiện nay là 7 tuổi và tuổi mẹ là 37 tuổi . 2). Lúc 6h sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1h, một ơtơ cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy là 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9h30’ sáng cùng ngày. Tính độ dài qng đường AB. Qng đường(km) = Vận tốc(Km/h) * Thời gian(h) v (km/h) t(h) S(km) Xe máy x 7 2 7 2 .x Ơtơ x + 20 5 2 5 2 (x + 20) Giải : Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy (x > 20) x + 20 (km/h) là vận tốc của ơtơ 7 2 .x là qng đường xe máy đi được 5 2 (x + 20) là qng đường ơtơ đi được Ta có hệ phương trình : 7 2 .x = 5 2 (x + 20) => x = 50 (thoả ĐK) Vậy qng đường AB là : 50. 3,5 = 175km * Bài tập tự giải : 1). Tuổi ông hiện nay gấp 7 lần tuổi cháu , biết rằng sau 10 năm nửa thì tuổi ông chỉ còn gấp 4 lần tuổi cháu . Tính tuổi mỗi người hiện nay. ( ĐS : Cháu 10 tuổi ; ông 70 tuổi) 2). Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm một chữ số 4 vào cuối của số đó thì số ấy tăng thêm 1219 đơn vò . (ĐS : số 135) 3). Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình15km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 12km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính độ dài qng đường AB. 4). Một canơ xi dòng từ bến A đến bến B mất 5 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 6 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2km/h. Hướng dẫn ơn tập HK2 Mơn : Tốn 8 Trang 5 Trường THCS Trần Quang Khải Nguyễn Minh Hiếu PHẦN III : ĐỀ THAM KHẢO : ĐỀ SỐ 1 : Bài 1 : Giải phương trình và bất phương trình sau : 1). 1 2 2 5 3 4 x x− + = − 2). ( 1)(2 1) (1 )x x x x− − = − 3). 3 1 2 5 5 x x − + > − Bài 2 : Ơng của An hơn An 56 tuổi. Cách đây 5 năm, tuổi của ơng gấp 8 lần tuổi An. Hỏi tuổi của An hiện nay bao nhiêu tuổi. Bài 3 : Cho tam giác ABC vng tại A, AB = 36cm ; AC = 48cm và đường cao AH a). HAB ABC và AB 2 = BH.BC b). Tính BC; AH c). Kẻ phân giác góc B cắt AH tại E và AC tại F . CMR : AEF cân ĐỀ SỐ 2 : Bài 1 : Giải các phương trình sau : 1). (x + 1)(x – 5) – x(x – 6) = 3x + 7 2). 2 2 2 2 1 11 2 3 3 x x x x x x x − − − − = + + Bài 2 : Cho biểu thức A = 2 7 8 1 x x − + . Hãy tìm giá trị của x để biểu thức A dương. Bài 3 : Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH. a). CMR : ∆ HAB ∆ HCA b). Cho AB = 15cm, AC = 20cm. Tính BC, AH c). Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AH. CMR : CN vuông góc AM ĐỀ SỐ 3 : Bài 1 : Giải các phương trình sau : a). 6x – 3 = 4x + 5 b). 2 3 6 2 1 x x x + − = + c). 3 2 4x x− = Bài 2 : Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số 11 3( 1) 2( 3) 5x x− + > − − Bài 3 : Cho tam giác ABC vng tại A, AB = 1, AC = 3. Trên cạnh AC lấy các điểm D; E sao cho AD = DE = EC. a). Tính độ dài BD. b). CMR : Các tam giác BDE và CDB đồng dạng c). Tính tổng : · · DEB DCB+ ĐỀ SỐ 4 : Bài 1 : Giải các phương trình sau a). 15 8 9 5x x− = − b). ( ) 1 2 5 0 2 x x   − − =  ÷   b). 2 1 1 3 12 2 2 4 x x x x − + = + − − Hướng dẫn ơn tập HK2 Mơn : Tốn 8 Trang 6 Trường THCS Trần Quang Khải Nguyễn Minh Hiếu Bài 2 : Tìm x sao cho giá trị của biểu thức 2 3 x + không lớn hơn giá trị của biểu thức 2 3 2 x − . Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 21cm. Trên cạnh AB lấy E sao cho AE = 7cm, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm, Chưng minh : a). ABD ACE b). Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng mimh :IB.ID = IC.IE c). Tính tỉ số diện tích tứ giác BCDE và diện tích tam giác ABC. ĐỀ SỐ 5 : Bài 1 : Giải bất phương trình 1 2( 1) 3 2x x+ − ≥ − Bài 2 : Giải các phương trình sau : a). 2 4 4 1 0x x− + = b). 1 5 15 1 2 ( 1)(2 )x x x x − = + − + − Bài 3 : Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 35km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút. Tính độ dài quãng đường AB. Bài 4 : Cho ∆ ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH và trên tia HC xác định điểm D sao cho HD = HB . Gọi E là hình chiếu của điểm C trên đường thẳng AD. a).Tính BH , biết AB = 30cm AC = 40cm. b). Chứng minh AB . EC = AC . ED c).Tính tỉ số CDE ABC S S Hướng dẫn ôn tập HK2 Môn : Toán 8 Trang 7 . = 28 ,8cm b). Chứng minh · · BAH ACH= => ∆ vuông ABC ∆ vuông HBA (1 góc nhọn) c). p dụng t/c tia p/giác tính AF => AF = 1 / 2 AB = 18cm mà 22 AFABBF += = 129 6 324 40 ,25 cm+ = Bài 2. 3x 2 + 2  3x 2 – 3 – 5x = 3x 2 + 2  3x 2 – 5x – 3x 2 = 2 + 3  -5x = 5  x = -1 Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình . * Bài tập tự giải : 1). 2( x – 3) + 1 = x – 8 (ĐS : x = - 3) 2) đồng)  20 x – 25 ≥ 21 – 3x (Khử mẫu)  20 x + 3x ≥ 21 + 25 ( chuyển vế và đổi dấu)  23 x ≥ 46  x ≥ 2 (chia 2 vế cho 23 >0, giữ nguyên chiều BPT) Vậy x ≥ 2 là nghiệm của BPT . * Bài tập