Đang tải... (xem toàn văn)
tìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm mapletìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm maple
Tìm hiểu và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức bằng phần mềm maple Lê Văn Tân 1 Lớp TNK32 - Khoa Toán - Tin học, Đại học Đà Lạt GVHD: Võ Tiến 5/2012 1 Đề tài Khoá Luận Tốt Nghiệp Toán Học năm học 2011 - 2012 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Một vài khái niệm và kết quả chuẩn bị 4 1.1 Một vài quy -ớc ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đa thức v không gian affin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Ideals 6 1.4 Thứtựtừ 10 1.5 Từ khởi đầu, đơn thức đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Cơ sở Grăobner 14 2 Một số giải thuật tính toán về ideal đa thức 20 2.1 Tổngcácideal 20 2.2 Tíchcácideal 22 2.3 Giaocácideal 23 2.3.1 Idealkhử 23 2.3.2 Giaocácideal 24 2.4 Th-ơngcácideal 28 2.5 Căncácideal 31 2.5.1 Đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.2 Căncácideal 32 Kết luận và h-ớng nghiên cứu 39 Tài liệu tham khảo 40 2 3 Lời nói đầu Tính toán hình thức (symbolic computation), hay còn gọi là Đại số máy tính (Computer Algebra) là một chuyên ngành kết hợp chặt chẽ toán học và khoa học máy tính. Nó ra đời d-ới ảnh h-ởng của sự phát triển và phổ cập hóa máy tính cá nhân. Một mặt, sự phát triển này đòi hỏi phải xây dựng các lý thuyết toán học làm cơ sở cho việc thiết lập thuật toán và các phần mềm toán học. Mặt khác, khả năng tính toán mỗi ngày một tăng của máy tính giúp triển khai tính toán thực nhiều thuật toán. Sự phát triển của Đại số máy tính cũng có tác dụng tích cực trở lại trong nghiên cứu toán học lý thuyết. Hiện nay mỗi ng-ời nghiên cứu toán học đều có khả năng tiếp cận máy tính và các loại phần mềm khác nhau để phục vụ công tác nghiên cứu. Ideal đa thức là lớp ideal đặc biệt trong vành đa thức nhiều biến. Lớp ideal này rất quan trọng vì nó là cơ sở cho nhiều vấn đề trong Đại số giao hoán. Ngoài ra, các phép toán và tính chất về ideal đa thức có nhiều ứng dụng quan trọng. Chẳng hạn, việc nghiên cứu căn của ideal gắn chặt với việc nghiên cứu nghiệm của hệ ph-ơng trình đa thức. Đề tài luận văn nhằm tìm hiểu, tiếp cận lý thuyết và cài đặt một số giải thuật tính toán về ideal đa thức. Hiện nay, có nhiều phần mềm xử lý toán học nh- Maple, Macaulay, CocoA, Mathematica, Matlab, với nhiều gói chuyên dụng cho từng bộ môn Toán học. Luận văn này chọn phần mềm Maple để cài đặt các giải thuật đ-a ra vì bên cạnh những lợi ích của nó, phần mềm này còn rất dễ sử dụng và quen thuộc với sinh viên chúng ta. Trên cơ sở đó nội dung luận văn gồm hai ch-ơng: Ch-ơng 1: Trình bày một số khái niệm và kết quả chuẩn bị giúp đọc giả dễ dàng nắm bắt đ-ợc các cơ sở lý thuyết và giải thuật tính toán ở ch-ơng 2. Mở đầu sẽ là một số quy -ớc ký hiệu. Sau đó sẽ trình bày khái niệm đa thức, ideal, thứ tự từ và từ khởi đầu, đơn thức đầu, cũng nh- định nghĩa và một số tính chất cơ bản của cơ sở Grăobner. Ch-ơng 2: Đây là ch-ơng cốt lõi của luận văn. Ch-ơng này sẽ trình bày một số khái niệm, tính chất xuất phát điểm để xây dựng một số giải thuật tính toán về ideal đa thức, bao gồm: Tổng các ideal, tích các ideal, giao các ideal, th-ơng các ideal và căn các ideal. Ch-ơng 1 Một vài khái niệm và kết quả chuẩn bị 1.1 Một vài quy -ớc ký hiệu Ta quy -ớc một số ký hiệu th-ờng dùng sau: Ký hiệu k là một tr-ờng (chẳng hạn, k là tr-ờng số hữu tỷ (Q), k là tr-ờng số thực (R), k là tr-ờng số phức (C)). Ta định nghĩa tập các số hạng theo x bởi: T n = {x 1 i 1 x n i n : i 1 , , i n N} 1.2 Đa thức v không gian affin Cho k là một tr-ờng. Định nghĩa 1.2.1. Đơn thức theo các biến x 1 ,x 2 , , x n là biểu thức có dạng x 1 1 x 2 2 x n n , trong đó các lũy thừa 1 , 2 , , n là các số nguyên không âm. Số nguyên 1 + 2 + + n gọi là bậc của đơn thức này. Để đơn giản, ta th-ờng viết := ( 1 , 2 , , n ), || := 1 + 2 + + n , x := x 1 1 x 2 2 x n n . 4 5 Định nghĩa 1.2.2. Đa thức f theo các biến x 1 ,x 2 , , x n với các hệ số trong k là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các đơn thức với các hệ số trong k; tức là f = a x ,a k, trong đó là tập con hữu hạn của tập N n . Ký hiệu k[x 1 ,x 2 , , x n ] là tập tất cả các đa thức theo các biến x 1 ,x 2 , , x n với các hệ số trong k. Ghi chú. Khi số biến là 1, 2 và 3 ta sẽ ký hiệu một cách đơn giản là k[x],k[x, y] và k[x,y,z]. Chẳng hạn, f(x,y,z)=2x 3 yz 2 + y 3 z 3 2 5 xyz là một đa thức trong vành Q[x,y,z]. Định nghĩa 1.2.3. Giả sử f,g k[x 1 ,x 2 , , x n ]. Đa thức h k[x 1 ,x 2 , , x n ] gọi là bội chung nhỏ nhất của f và g, ký hiệu là LCM(f,g), nếu thỏa mãn các điều sau (i) h chia hết cho f và h chia hết cho g. (ii) Nếu p chia hết cho f và p chia hết cho g thì p cũng chia hết cho h, với p k[x 1 ,x 2 , , x n ]. Định nghĩa 1.2.4. Giả sử f := a x là đa thức trong k[x 1 ,x 2 , , x n ]. (i) a là hệ số của đơn thức x . (ii) Nếu a =0thì a x gọi là một từ của f. (iii)Bậc của f, ký hiệu deg f, là số nguyên lớn nhất || sao cho a =0. Ví dụ 1.2.1. Giả sử f(x,y,z):=2x 3 y 2 z +5xy 3 +7xyz +9z 3 Q[x,y,z]. Ta có deg f =6. Định nghĩa 1.2.5. Cho k là một tr-ờng và n là số nguyên d-ơng. Khi đó tập hợp k n := {(a 1 ,a 2 , , a n )|a i k,i =1, 2, , n} gọi là không gian affine n chiều trên tr-ờng k. Khi n =1ta gọi k 1 là đ-ờng thẳng affine;khin=2tagọik 2 là mặt phẳng affine. 6 Định nghĩa 1.2.6. Giả sử k là một tr-ờng và f 1 ,f 2 , , f s k[x 1 ,x 2 , , x n ]. Khi đó tập hợp V (f 1 ,f 2 , , f s ):={(a 1 ,a 2 , , a n ) k n |f i (a 1 ,a 2 , , a n )=0,i=1, 2, , s} gọi là đa tạp affine xác định bởi f 1 ,f 2 , , f s . Ví dụ 1.2.2. Trong R 2 đa tạp affine V (x 2 + y 2 1) là đ-ờng tròn tâm tại gốc tọa độ bán kính đơn vị. Định nghĩa 1.2.7. Tr-ờng k gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức khác hằng trong k[x] có nghiệm thuộc k. Ví dụ 1.2.3. Tr-ờng các số thực R không đóng đại số vì đa thức x 2 +1 không có nghiệm trong R. Tr-ờng các số phức C là đóng đại số. 1.3 Ideals Định nghĩa 1.3.1. Cho I k[x 1 ,x 2 , , x n ]. I gọi là ideal đa thức nếu: (i) 0 I. (ii) Nếu f, g I thì f + g I. (iii) Nếu f I và g k[x 1 ,x 2 , , x n ] thì fg I. Ví dụ 1.3.1. Tập {xf + yg|f, g k[x, y]} là một ideal trong vành k[x, y]. Định nghĩa 1.3.2. Cho f 1 ,f 2 , , f s là các đa thức trong k[x 1 ,x 2 , , x n ]. Khi đó ta ký hiệu f 1 ,f 2 , , f s := s i=1 f i g i |g 1 ,g 2 , , g s k[x 1 ,x 2 , , x n ] . Định nghĩa 1.3.3. Cho I là một ideal trong k[x 1 ,x 2 , , x n ] . I gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại các đa thức f 1 ,f 2 , , f s sao cho I = f 1 ,f 2 , , f s . Khi đó ta nói f 1 ,f 2 , , f s là một tập sinh (hay hệ sinh, cơ sở) của I. Ideal sinh bởi một phần tử gọi là ideal chính. Ví dụ 1.3.2. Ideal {xf + y 2 g|f,g k[x, y]} sinh bởi các đa thức x và y 2 . 7 Bổ đề 1.3.1. Cho f 1 ,f 2 , , f s k[x 1 ,x 2 , , x n ], thì f 1 ,f 2 , , f s là một ideal trong k[x 1 ,x 2 , , x n ]. Chúng ta gọi f 1 ,f 2 , , f s là ideal sinh bởi f 1 ,f 2 , , f n . Chứng minh: Ta có, 0 f 1 ,f 2 , , f s vì 0= s i=1 0.f i . Giả sử f = s i=1 p i f i , g = s i=1 q i f i f 1 ,f 2 , , f s , và cho h k[x 1 ,x 2 , , x n ]. Khi đó ta có các ph-ơng trình f + g = s i=1 (p i + q i )f i f 1 ,f 2 , , f s , hf = s i=1 (hp i )f i f 1 ,f 2 , , f s . Điều này chỉ ra rằng f 1 ,f 2 , , f s là một ideal. Ghi chú. Vì 0 là ideal bé nhất chứa nên ta quy -ớc =0. Nếu ideal là hữu hạn sinh thì làm việc với các phần tử sinh mới thuận tiện. Do vậy lớp vành sau đây đóng vai trò quan trọng. Định lý 1.3.1. Cho R là một vành. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng: (i) Mọi tập khác rỗng các ideal trong R đều có phần tử lớn nhất. (ii) Mọi dãy tăng các ideal trong R: I 1 I 2 I n I n+1 , đều dừng lại sau hữu hạn b-ớc, tức là tồn tại k 1 để I k = I k+1 = (iii) Mọi ideal của R đều hữu hạn sinh. Chứng minh: (ii) (i): Giả sử ta có (ii). Cho A là một tập khác rỗng các ideal của R. Giả sử A không có phần tử cực đại. Lấy I 1 là phần tử tùy ý của A.VìI 1 không là phần tử cực đại nên chọn đ-ợc I 2 Asao cho I 1 I 2 . Vì I 2 không là phần tử cực đại nên chọn đ-ợc I 3 Asao cho I 2 I 3 . Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng đ-ợc một dãy tăng gồm vô hạn các ideal. Điều này mâu thuẫn với (ii). (i) (iii): Cho I là một ideal trong R. Ký hiệu F là tập các ideal hữu hạn sinh chứa I. Vì 0 Fnên tập này khác rỗng, và theo (i) nó chứa 8 một phần tử cực đại J. Nếu J I thì tồn tại a I\J.VìJ =(a 1 , , a n ), nên J =(a 1 , , a n ,a) I là ideal hữu hạn sinh và thực sự chứa J. Do đó, J F. Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của J. Vậy I = J F. (iii) (ii): Cho dãy tăng các ideal trong R: I 1 I 2 I n I n+1 Đặt I = n1 I n . Nếu a, b I thì tồn tại p, q 1 để a I p và b I q . Không mất tính tổng quát có thể giả sử p q.VìI p I q nên a I q và a + b I q I. Với mọi r R ta cũng có ra I p I. Vậy I là ideal. Theo (iii) tồn tại a 1 , , a m sao cho I =(a 1 , , a m ). Do a i I nên có thể chọn đ-ợc p i 1 sao cho a i I p i ,i =1, , m. Chọn p = max{p 1 , , p m }. Vì I p i I p nên a i I p ,i =1, , m. Suy ra I I p . Nh-ng I p I p+n I nên phải có I = I p = I p+n , với mọi n 1. Định nghĩa 1.3.4. Một vành thỏa mãn một trong ba điều kiện t-ơng đ-ơng trên gọi là vành Noether. Định lý 1.3.2. (Định lý Hilbert về cơ sở) Cho R là vành Noether và x là tập n biến. Khi đó vành R[x] cũng là vành Noether. Chứng minh: Quy nạp theo số biến, chỉ cần chứng minh cho vành một biến R[x]. Cho I 0 I 1 I j là một dãy tăng các ideal của R[x]. Với mỗi ideal I của R và i N, đặt L i (I)={a i R|a i1 , , a 0 R : i j=0 a j x j I}. Rõ ràng L i (I) là ideal của R.Tacó L i (I 1 ) L i (I 2 ) L i (I j ) và với mọi j N : L 0 (I j ) L 1 (I j ) L i (I j ) 9 Vì R là vành Noether nên tồn tại p, q N sao cho L p (I q ) là phần tử cực đại của họ các ideal {L i (I j )|i, j N}. Từ các dãy tăng trên suy ra với mọi i p và j q ta có L i (I j )=L p (I q )=L i (I q ). Xét dãy tăng thứ nhất ở trên, ta thấy tồn tại q sao cho với mỗi i =0, , p 1 cũng có L i (I j )=L i (I q ) j q . Đặt t = max{q, q } ta có L i (I j )=L i (I t ) j t i N. Ta sẽ chứng tỏ I j = I t nếu j t. Giả sử I t I j . Trong số các đa thức khác 0 của tập hợp I j \ I t ta chọn đa thức có bậc nhỏ nhất, chẳng hạn f(x)=a 0 + +a m x m , với a 0 , , a m R, a m =0. Vì a m L m (I j )=L m (I t ) nên tồn tại g(x)=b 0 + +b m1 x m1 +a m x m I t . Rõ ràng (f g) (I j \I t ), nh-ng deg(f(x) g(x)) < deg(f(x)), điều này mâu thuẫn với cách chọn f. Vậy I j = I t với mọi j t, hay R[x] là vành Noether. Định nghĩa 1.3.5. Cho V k n là đa tạp affine. Khi đó ký hiệu I(V ):={f k[x 1 , , x n ]|f(a 1 , , a n )=0, với mọi (a 1 , , a n ) V }. Ví dụ 1.3.3. Giả sử V = {(0, 0)}k 2 . Khi đó I(V )=x, y. Bổ đề 1.3.2. Nếu V k n là một đa tạp affine, thì khi đó I(V ) k[x 1 , , x n ] là một ideal. Ta gọi I(V ) là ideal của V . Chứng minh: Dễ thấy rằng 0 I(V ) vì đa thức không triệt tiêu trên mọi k n , và đặc biệt nó triệt tiêu trên V . Giả sử f,g I(V ) và h k[x 1 , , x n ]. Cho (a 1 , , a n ) là một điểm tùy ý của V . Khi đó f(a 1 , , a n )+g(a 1 , , a n )=0+0=0, h(a 1 , , a n )f(a 1 , , a n )=h(a 1 , , a n ).0=0, và điều này chỉ ra rằng I(V ) là một ideal. 10 1.4 Thứ tự từ Định nghĩa 1.4.1. Thứ tự từ là một thứ tự toàn phần trên tập T n thoả mãn các tính chất sau: (i) 1 <x với mọi x T n ,x =1. (ii) Nếu x <x , thì x x <x x , với mọi x T n . Ta định nghĩa một số thứ tự từ quan trọng sau: Định nghĩa 1.4.2. Một thứ tự từ điển (Lexicographic Order) trên T n với x 1 >x 2 > > x n và =( 1 , , n ), =( 1 , , n ) đ-ợc định nghĩa nh- sau: x < lex x thành phần đầu tiên i và i trong và kể từ bên trái, khác nhau, thoả i < i . Ví dụ 1.4.1. Trong tr-ờng hợp hai biến x 1 ,x 2 với x 1 >x 2 , ta có: 1 < lex x 2 < lex x 2 2 < lex x 2 3 < lex < lex x 1 < lex x 2 3 x 1 < lex < lex x 1 2 < lex Định nghĩa 1.4.3. Một thứ tự từ điển phân bậc (Graded Lex Order) trên T n với x 1 > >x n và =( 1 , , n ), =( 1 , , n ) đ-ợc định nghĩa nh- sau: x < grlex x n i=1 i < n i=1 i hoặc là n i=1 i = n i=1 i và đồng thời x <x theo thứ tự từ điển lex. Ví dụ 1.4.2. Trong tr-ờng hợp hai biến x 1 ,x 2 với x 1 >x 2 , ta có: 1 < grlex x 2 < grlex x 1 < grlex x 2 2 < grlex x 1 2 x 2 < grlex x 1 3 < grlex Định nghĩa 1.4.4. Một thứ tự từ điển ng-ợc (Graded Reverse Lex Order) trên T n với x 1 >x 2 > >x n và =( 1 , , n ), =( 1 , , n ) đ-ợc định nghĩa nh- sau: x < grevlex x n i=1 i < n i=1 i hoặc là n i=1 i = n i=1 i và thành phần đầu tiên i và i trong và kể từ bên phải là khác nhau và thoả i > i . [...]... 2.3.3 Cho hai ideal I, J k[x1 , x2 , , xn ] Tập hợp I J := {f |f I và f J } gọi là giao của I và J 25 Bài toán 2.3.1 (Bài toán tìm giao hai ideal) Cho I := f1, f2 , , fr và J := g1 , g2 , , gs là hai ideal trong vành đa thức k[x1 , x2 , , xn ] Tìm cơ sở của ideal I J Cơ sở để giải bài toán trên là: Mệnh đề 2.3.2 Giả sử I và J là các ideal trong k[x1 , x2 , , xn ] Khi đó I J cũng là một ideal Chứng... và g J } gọi là tổng của I và J Bài toán 2.1.1 (Bài toán tìm tổng hai ideal) Cho I := f1 , f2 , , fr và J := g1 , g2 , , gs là hai ideal trong vành đa thức k[x1 , x2 , , xn ] Tìm cơ sở của ideal I + J Để giải bài toán này ta dựa vào mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.1 Cho hai ideal I, J k[x1 , x2 , , xn ] Khi đó I + J là ideal nhỏ nhất chứa I và J Hơn nữa, nếu I = f1 , f2 , , fr và J = g1 , g2 , , gs thì I... y, và f3 = y 2 y là rút gọn theo F Ta thêm f3 vào F, và đặt F = {f1 , f2 , f3} Khi đó, F S(f1 , f2 ) 0, S(f1 , f3 ) = yf1 xf3 = 0, và F F S(f2 , f3 ) = y 2f2 x2 f3 = y 3 + x2 y x2 y y 2 0 o Vì vậy {f1, f2 , f3 } là một cơ sở Grăbner Ch-ơng 2 Một số giải thuật tính toán về ideal đa thức 2.1 Tổng các ideal Định nghĩa 2.1.1 Cho hai ideal I, J k[x1 , x2 , , xn ] Tập hợp I + J := {f + g|f I và. .. By} = x, y Bài toán 2.4.1 (Bài toán tìm th-ơng hai ideal) Cho I := f1 , f2 , , fr và J := g1 , g2 , , gs là hai ideal trong vành đa thức k[x1 , x2 , , xn ] Tìm cơ sở của ideal I : J Mệnh đề 2.4.1 Giả sử I, J là hai ideal trong k[x1 , x2 , , xn ] Khi đó I : J là một ideal trong k[x1 , x2 , , xn ] và I : J chứa I Chứng minh: Vì I là một ideal, nếu f I, thì f g g k[x1 , x2 , , xn ] và, do đó f g I... y Bài toán 2.5.1 (Bài toán tìm căn của ideal chính) Cho ideal I = f k[x1 , x2 , , xn ] Tìm cơ sở của ideal I Bổ đề 2.5.2 Cho I là một ideal trong k[x1 , x2 , , xn ] Khi đó các khẳng định sau đúng: (i) I I (ii) Ideal I là ideal căn thức nếu và chỉ nếu I = I (iii) I là một ideal Hơn nữa I là ideal căn thức 33 Chứng minh: (i) Ta có I theo định nghĩa trên I vì với mọi f I thì f 1 I và, do... từ đó ta có (2.5.4), và mệnh j j đề đ-ợc chứng minh Dựa vào mệnh đề trên chúng ta sẽ giải đ-ợc bài toán tìm căn của ideal chính nhờ vào việc tìm ra fred Ghi chú Ta có: GCD(f, g) = fg LCM (f,g) trong đó, LCM(f, g) = f g Thuật toán 2.5.1 (Thuật toán tìm căn ideal chính) Input: Cho ideal I := f k[x1 , x2 , , xn ] Output: f := h : đa thức trong k[x1 , x2 , , xn ] Ta ký hiệu tt là một trong ba thứ tự... phần tử thứ j của J vào T h := 1; T; end proc: Ví dụ 2.1.1 Giả sử I := x2 + y và J := z là hai ideal trong k[x, y, z] Khi đó, I + J = x2 + y, z 22 2.2 Tích các ideal Định nghĩa 2.2.1 Cho hai ideal I, J k[x1 , x2 , , xn ] Tập hợp I.J := {f.g|f I và g J } gọi là tích của I và J Bài toán 2.2.1 (Bài toán tìm tích hai ideal) Cho I := f1 , f2 , , fr và J := g1 , g2 , , gs là hai ideal trong vành đa thức. .. g J Vì I là một ideal nên (f1 + f2)g = f1g + f2g I, g J Vì vậy, f1 + f2 I : J Giả sử f I : J và h k[x1 , x2 , , xn ], thì f g I và hfg I(vì I là một ideal) , g J , điều này chỉ ra rằng hf I : J Do đó, I : J là một ideal 29 Trong tr-ờng hợp f là một đa thức và I là một ideal, ta viết I : f thay cho I : f Chú ý rằng: r I : f1 , f2 , , fr = (I : fi ) i=1 Cơ sở để giải bài toán trên là định... thì f g = ri hi với mọi đa thức ri Vì mỗi hi g nên mỗi hi /g là một đa thức, và ta có đ-ợc f = ri (hi/g), từ đó f h1 /g, h2 /g, , hp /g Nh- vậy, định lý này cùng với ph-ơng pháp tính giao của các ideal sẽ cho ta thuật toán tính cơ sở của th-ơng ideal Thật vậy, cho I = f1 , f2 , , fr và J = g1 , g2 , , gs = g1 + + gs Để tính cơ sở của I : J, đầu tiên chúng ta cần tính một cơ sở cho I : gi , i... cần tính một cơ sở của f1 , , fr gi Để làm việc này ta cần tìm cơ sở Grăbner của tf1 , , tfr , (1 t)gi theo thứ o tự từ điển, trong đó t đứng tr-ớc mọi xt và giữ lại tất cả các phần tử cơ sở không phụ thuộc vào t (theo cách tính giao của các ideal) Theo giải thuật chia, chúng ta chia mỗi phần tử này cho gi để có đ-ợc một cơ sở cho I : gi Cuối cùng, ta tính một cơ sở cho I : J bằng việc áp dụng thuật . toán về ideal đa thức 20 2.1 Tổngcácideal 20 2.2 Tíchcácideal 22 2.3 Giaocácideal 23 2.3.1 Idealkhử 23 2.3.2 Giaocácideal 24 2.4 Th-ơngcácideal 28 2.5 Căncácideal 31 2.5.1 Đa thức bất khả quy. điểm để xây dựng một số giải thuật tính toán về ideal đa thức, bao gồm: Tổng các ideal, tích các ideal, giao các ideal, th-ơng các ideal và căn các ideal. Ch-ơng 1 Một vài khái niệm và kết quả chuẩn. f s là một ideal. Ghi chú. Vì 0 là ideal bé nhất chứa nên ta quy -ớc =0. Nếu ideal là hữu hạn sinh thì làm việc với các phần tử sinh mới thuận tiện. Do vậy lớp vành sau đây đóng vai trò quan