ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010 MÔN: TOÁN- LỚP 11 Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian giao đề) I.PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH ( 7,0 điểm ) Câu 1:(1,5 điểm) Tìm giới hạn của các hàm số sau: 1) 2 2 3 2 lim 2 x x x x →− + + + 2) 0 1 2 1 lim x x x → + − 3) 2 lim ( 1) x x x x →−∞ + − + Câu 2:(1,0 điểm) Xét tính liên tục trên ¡ của hàm số:  − + +  = +   + ≤  2 2 10 nÕu x > -2 ( ) 2 4 17 nÕu x -2 x x f x x x Câu 3:(1,5 điểm) Tính đạo hàm của hàm số: 1) y = x(1 – x)(x 2 + 2) tại x 0 = -1 2) y − = − + 2 2 3 1 x x x tại x 0 = 1 Câu 4:(3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ mp (ABCD). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SD lần lượt là I, H. 1) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông. 2) Chứng minh: AI ⊥ SC, AH ⊥ SC II.PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm) Học sinh chỉ được làm một trong hai phần sau:( phần 1 hoặc phần 2 ) Phần 1: Theo chương trình chuẩn Câu 5a:(2,0 điểm) 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: + = − 2 2 x y x tại điểm có hoành độ x 0 = 1 2) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m: (m 2 – m + 1)x 2010 – 2x – 4 = 0 Câu 6a:(1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh m. Tính góc giữa hai đường thẳng BD’ và AC Phần 2: Theo chương trình nâng cao Câu 5b:(2,0 điểm) 1)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − + 2 1 2 4 x x đi qua điểm M( 7 ;0 2 ) 2)Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: (m 2 – m + 4)x 2010 + 2x – 1 = 0 Câu 6b:(1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh m. Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AB’ Hết Câu Nội dung Điểm 1 (1,5) 1) (0,5) 2 2 3 2 lim 2 x x x x →− + + + = 2 ( 1)( 2) lim 2 x x x x →− + + + = 2 lim( 1) 1 x x →− + = − 0,25 0,25 2) (0,5) 0 0 1 2 1 (1 2 ) 1 lim lim ( 1 2 1) x x x x x x x → → + − + − = + + = 0 2 lim 1 1 2 1 x x → = + + 0,25 0,25 3) (0,5) 2 2 1 lim ( 1) lim 1 x x x x x x x x x →−∞ →−∞ − + − + = − − + = 2 2 1 1 1 1 lim lim 2 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ − − = = − − + + − + 0,25 0,25 2 (1,0) 3 (1,5) (1,0) 1) (0,75) * x > - 2: − + + = + 2 2 10 ( ) 2 x x f x x liên tục trên (-2;+∞) x< - 2: f(x) = 4x + 17 liên tục trên (-∞; - 2) * Tại x = - 2: + + + → − → − → − − + + = = − + = + ( 2) ( 2) ( 2) ( 2 5)( 2) lim ( ) lim lim ( 2 5) 9 2 x x x x x f x x x − − → − → − = + = ( 2) ( 2) lim ( ) lim (4 17) 9 x x f x x f(-2)= 9 * + → −( 2) lim ( ) x f x = − → − = − = ( 2) lim ( ) ( 2) 9 x f x f ⇒ f(x) liên tục tại x = -2 * y = (x – x 2 )(x 2 + 2) = - x 4 + x 3 – 2x 2 + 2x * y’ = - 4x 3 + 3x 2 – 4x + 2 * y’(- 1) = 4 + 3 +4 + 2 = 13 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2) (0,75) *y’ = − − + − − − − + 2 2 2 3( 1) (2 1)(2 3 ) ( 1) x x x x x x = − + − − − + − − − = − + − + 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ( 6 7 2) 3 4 1 ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x * y’(1) = -2 0,25 0,25 0,25 4 (3,0) 0,5 (Hình vẽ đúng: 0,5 đ) 1) (1,5) * SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AD ⇒∆ SAB, ∆SAD vuông tại A * BC ⊥ SA ( vì SA ⊥ (ABCD) ) BC ⊥ AB (gt) ⇒ BC⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒∆ SBC vuông tại B * Tương tự: CD ⊥ SA ( vì SA ⊥ (ABCD) ) CD ⊥ AD (gt) ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD⊥ SD ⇒∆ SCD vuông tại D 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 2) (1,0) * BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AI AI ⊥ SB (gt) ⇒ AI ⊥ (SBC) ⇒ AI ⊥ SC * Tương tự: CD ⊥ (SAD)⇒ CD ⊥ AH AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ AH ⊥SC 0,25 0,25 0,5 5a (2,0) 1) (1,0) * x 0 = 1 ⇒ y 0 = - 3 *y’ = 2 4 ( 2)x − − * y’(1) = -4 * Phương trình tiếp tuyến tại M 0 (1;-3) : y + 3 = - 4(x – 1) ⇔ y = - 4x + 1 0,25 0,25 0,25 0,25 2) (1,0) * Đặt: f(x) = (m 2 – m + 1)x 2010 – 2x – 4 * f(0) = - 4 < 0 f(-2) = (m 2 – m + 1).2 2010 = [(m- 1 2 ) 2 + 3 4 ].2 2010 > 0, m∀ ∈¡ ⇒ f(-2).f(0) < 0 m∀ ∈¡ * Mặt khác hàm số f(x) = (m 2 – m + 1)x 2010 – 2x – 4 liên tục trên ¡ , nên liên tục trên [-2;0] * Do đó theo tính chất của của hàm số liên tục, tồn tại số c∈ (-2;0) sao cho f(c) = 0, tức là phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm âm thuộc khoảng (-2;0) với mọi giá trị của tham số m 0,25 0,25 0,25 0,25 6a (1,0) C A D B S I H * Đặt: ; ' ; . . . 0BA a BB b BC c a b b c c a= = = ⇒ = = = uuur uur uuur uur uuur ur r r r r r r 2 2 2 2 a b c m= = = r r r * ' ;BD a b c AC BC BA c a= + + = − = − uuuur r r ur uuur uuur uuur r r * 2 2 2 2 '. 0BD AC a c m m= − + = − + = uuuur uuur r r 0 ( , ') 90BD AB⇒ = uuur uuur ⇒ Góc giữa hai đường thẳng BD’ và AC bằng 90 0 0,25 0,25 0,25 0,25 5b (2,0) 1) (1,0) * Giả sử M 0 (x 0 ;y 0 ) ∈ (P): y = − + 2 1 2 4 x x Ta có: y’ = 1 2 x – 1; M∉ (P) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại M 0 (x 0 ;y 0 ) : y = 0 0 1 ( 1)( ) 2 x x x− − + 2 0 0 1 2 4 x x− + ⇔ y = 2 0 0 1 1 ( 1) 2 2 4 x x x− − + (1) * Tiếp tuyến đi qua M nên: 0 = 2 0 0 1 7 1 ( 1) 2 2 2 4 x x− − + ⇔ 0 2 0 0 0 1 7 6 0 6 x x x x =  − + − = ⇔  =  * x 0 = 1 (1) ⇒ PT tiếp tuyến: y = - 1 7 2 4 x + * x 0 = 6 (1) ⇒ PT tiếp tuyến: y = -2x -7 0,25 0,25 0,25 0,25 2) (1,0) * Đặt: f(x) = (m 2 – m + 4)x 2010 + 2x – 1 * f(0) = - 1 < 0 f(-2) = m 2 – m + 1 = (m- 1 2 ) 2 + 3 4 > 0, m∀ ∈¡ ⇒ f(-1).f(0) < 0 m∀ ∈¡ * Mặt khác hàm số f(x) = (m 2 – m + 4)x 2010 + 2x – 1 liên tục trên ¡ , nên liên tục trên [-1;0] * Do đó theo tính chất của của hàm số liên tục, tồn tại số c∈ (-1;0) sao cho f(c) = 0, tức là phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) mọi giá trị của tham số m 6b (1,0) c b a C D B C ' A ' D ' B ' A * Đặt: ; ' ; . . . 0BA a BB b BC c a b b c c a= = = ⇒ = = = uuur uur uuur uur uuur ur r r r r r r 2 2 2 2 a b c m= = = r r r * ; ' 'BD a c AB BB BA b a= + = − = − uuur r r uuur uuur uuur r r * 2 . ' 1 os( , ') . ' 2 2. 2 BD AB m c BD AB BD AB m m − = = = − uuur uuur uuur uuur 0 ( , ') 120BD AB⇒ = uuur uuur * Vậy góc giữa hai đường thẳng BD và AB’bằng 60 0 0,25 0,25 0,25 0,25 c b a C D B C ' A ' D ' B ' A . ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010 MÔN: TOÁN- LỚP 11 Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian giao đề) I.PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH