Dạng 3: (đã biết điểm đi qua, cần tìm một điểm khác ) Bài 18: Viết phương trình đường thẳng  qua N(4;1;2),  vuông góc với đường thẳng (d 1 ) : x 1 1  = y 2 3   = z 1 1  và cắt đường thẳng (d 2 ): x 2 2  = y 1 = z 3 3  . Giải : + Mặt phẳng (α) qua N và vuông góc với (d 1 ) , n   = 1 u  =(1;3;1) : Phương trình mp(α) : (x4) 3(y1) +(z+2) =0 <=> x3y +z +1=0 + Giao của mp(α) và (d 2 ) là M : x 3y z 1 0 x 2 2t y t z 3 3t                  => (2+2t) 3t +3+3t +1=0 <=> t=1 => M(4;1;0) Đường thẳng  qua M, N có VTCP MN  =(8;2;2) Phương trình  : x 4 y 1 z 8 2 2      Bài 19: Viết phương trình đường thẳng  qua C(3;1;5) ,  vuông góc và cắt đường thẳng (d) : x 1 2  = y 2 1   = z 1 Giải : + Gọi H là hình chiếu của C lên đường thẳng (d) Ta có H  (d) => H( 1+2t ;2t ; t) CH  =(4+2t ; 3t ; t5) ; u  =(2;1;1) CH  . u  =0 <=> 2(4+2t) (3t) +t5=0 <=> t=1 Suy ra H( 1;1;1) + Đường thẳng  đi qua C và H có CH  =(2;2;6) là VTCP Phương trình : x 3 y 1 z 5 2 2 6        Bài 20: Cho đường thẳng (d) x 2 y 1 z 3 1 2 4       và () : x3y+2z 5=0 . Viết phương trình đường thẳng  qua M(2;0;1) , biết  // mp() và  cắt đường thẳng (d) . Giải : + Mp() qua M và song song với mp() có phương trình là : (x+2) 3(y0) +2(z1) =0 <=> x3y +2z =0 d 1 d 2 α N * M C H d + Gọi N là giao của mp) và đường thẳng (d) : x 3y 2z 0 x 2 t y 1 2t z 3 4t                  => (2t)3(1+2t) +2(3+4t) =0 <=> t=1 => x 1 y 1 z 1            . Điểm N(1;1;1) + Đường thẳng  qua M,N có VTCP MN  =(1;1;2) Phương trình  : x 2 y z 1 1 1 2       Bài 21: Cho đường thẳng (d 1 ) x 1 y z 1 3 2 1     ; (d 2 ) x y 1 z 2 1 5 1      và C(3;1;1) . Viết phương trình đường thẳng  qua C và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) . Giải : (d 1 ) qua M 1 (1;0;1) và có VTCP 1 u  =(3;2;1) (d 2 ) qua M 2 (0;1;2) và có VTCP 2 u  =(1;5;1) Giả sử  cắt (d 1 ) tại A(1+3t 1 ; 2t 1 ; 1+t 1 )  cắt (d 2 ) tại B(t 2 ; 1+5t 2 ; 2t 2 ) Ta có CA  =(4+3t 1 ; 2t 1 1; t 1 ) ; CB  =(t 2 3;2+5t 2 ; 3t 2 ) Vì C, A, B thẳng hàng => CA  =k. CB  <=> 1 2 1 2 1 2 4 3t k(t 3) 2t 1 k( 2 5t ) t k( 3 t )                 <=> 2 1 1 1 1 1 kt 3t 3k 4 2t 1 2k 5(3t 3k 4) t 3k (3t 3k 4)                    <=> 2 1 5 t 12 31 t 13 12 k 13               => CA  =( 41 13 ; 49 13 ; 31 13 ) là VTCP // u  =(41;49;31) Phương trình đường thẳng  qua A nhận u  làm VTCP : x 3 y 1 z 1 41 49 31      d α M * N  Bài 22: Cho (d) : x y 1 z 1 2 3 1     và () : 2x y +z3=0 a) Xác đònh giao điểm A của (d) và () b) Viết phương trình đường thẳng  đi quaA,  nằm trong mp() sao cho góc tạo bởi  và (d) là nhỏ nhất . Giải : a) Giao điểm của (d) và () : 2x y z 3 0 x 2t y 1 3t z 1 t                  => 2(2t) (1+3t) +(1+t) 3=0 => t= 5 2 . Vậy A( 5; 17 2 ; 3 2 ) b) C 1 + đường thẳng qua M(0;1;1) , VTCP d u  =(2;3;1) + Gọi (d’) là hình chiếu của (d) lên mp() ; H là hình chiếu của M lên mp() ( điểm H  (d’) Gọi K là hình chiếu của M lên đường thẳng  . Ta có MH  MK =>  MAH   MAK ( vì sin  MAH = MH AM ; sin  MAK = MK AM ) + Góc tạo bởi hai đường (d) và  nhỏ nhất bằng góc tạo bởi (d) và (d’) Suy ra : đường thẳng  trùng (d’)  Tìm tọa độ H : Đường thẳng (d 2 ) qua M, vuông góc với () nhận n   =(2;1;1) là VTCP : Phương trình (d 2 ) : x 0 2t y 1 t z 1 t             . Tọa độ H là giao của (d 2 ) và () là : 2x y z 3 0 x 2t y 1 t z 1 t                  => t= 5 6 Điểm H( 5 3 ; 1 6 ; 1 6 ) ; AH  = 10 25 5 ; ; 3 3 3       // AH u  =(2;5;1) d α M * A d’ H K  Đ. thẳng  cần tìm đi qua A, nhận AH u  làm VTCP: 17 3 y z x 5 2 2 2 5 1      C 2 : ( Giải bằng phương pháp đại số ) Gọi u   = (a;b;c ) với a 2 +b 2 +c 2 ≠ 0 Vì   mp() => u    n   <=> u   . n   =0 <=> 2a b+c=0 hay b =2a+c Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng  và (d) : Ta có: cos  = 2 2 2 2 2 2 2a 3b c 2 3 1 . a b c       = 2 2 2 2a 3(2a c) c 14. a (2a c) c       = 2 2 4. 2a c 14. 5a 4ac 2c    = 2 2 2 4 (2a c) 5a 4ac 2c 14    Xét biểu thức T = 2 2 2 (2a c) 5a 4ac 2c    = 2 2 2 2 4a 4ac c 5a 4ac 2c     + Nếu c= 0 thì T = 4 5 + Nếu c≠ 0, đặt a= kc thay vào ta có : T= 2 2 2 2 2 2 2 2 4k c 4kc c 5k c 4kc 2c     T= 2 2 4k 4k 1 5k 4k 2     ( coi k là ẩn ) <=> T(5k 2 +4k+2) =4k 2 +4k +1 <=> (5T4).k 2 + 4(T1).k +2T1=0 (*) Khi: 5T4=0  T= 4 5 pt có nghiệm k= 3 4 Khi 5T4≠ 0 . Điều kiện pt (*) có nghiệm là ’ 0 4(T1) 2 (5T4)(2T1)  0 <=> 6T 2 +5T  0 <=> 0  T  5 6 Với  (0; 2  ) , góc  nhỏ nhất <=> cos lớn nhất <=> T lớn nhất Khi đó T = 5 6 . Suy ra k =2 và a= 2c Chọn c=1 , a=2 và b=5 , VTCP u   =(2;5;1) Đường thẳng  cần tìm đi qua A, có VTCP u   : 17 3 y z x 5 2 2 2 5 1      Bài 23: Cho mặt cầu (S) : (x+1) 2 +(y2) 2 +(z+3) 2 =16 và A(1;2;1) (d) : x 1 y 1 z 1 3 2 2       . Viết phương trình đường thẳng  qua A , biết  vuông góc với (d) và  cắt mặt cầu (S) theo một dây cung có độ dài ngắn nhất. Giải : Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) , bán kính R=4 Ta có : (1+1) 2 +(22) 2 +(1+3) 2 < 16 => điểm A ở trong hình cầu + Giả sử  cắt mặt cầu (S) theo một dây cung MN Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng  ( H là trung điểm MN)  IH  IA và MN=2MH= 2 2 R IH  = 2 16 IH  MN nhỏ nhất <=> IH lớn nhất <=> IH = IA Khi đó IA    , với IA  =(2;0;4) (d)   ; d u  =(3;2;2) Suy ra u   =[ IA  , d u  ]=(8;8;4) Phương trình đường thẳng  qua A nhận u   là VTCP : x 1 y 2 z 1 8 8 4       Bài 24: Cho mặt cầu (S) : (x2) 2 +(y3) 2 +(z+1) 2 =25 và B(3;2;1) (): 2xy+5z 1=0 . Viết phương trình đường thẳng  qua B , biết  song song với () và  cắt mặt cầu (S) theo một dây cung có độ dài ngắn nhất Giải : Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;1) , bán kính R=5 Ta có : (32) 2 +(23) 2 +(1+1) 2 < 25 => điểm B ở trong hình cầu + Giả sử  cắt mặt cầu (S) theo một dây cung MN Gọi H à hình chiếu của I lên đường thẳng  ( H là trung điểm MN)  IH  IB và MN=2MH= 2 2 R IH  = 2 25 IH  MN nhỏ nhất <=> IH lớn nhất <=> IH = IB Khi đó IB    , với IB  =(1;1;2) () //  ; n     , với n   =(2;1;5) ; Suy ra u   =[ IB  , n   ]=(3;1;1) P/ trình đường thẳng  qua B nhận u   là VTCP : x 3 y 2 z 1 3 1 1         I  M N A * H  I  M N B * H . 1 kt 3t 3k 4 2t 1 2k 5(3t 3k 4) t 3k (3t 3k 4)                    <=> 2 1 5 t 12 31 t 13 12 k 13               => CA  =( 41 13 ; 49 13 ; 31 13 ). <=> x3y +z +1=0 + Giao của mp(α) và (d 2 ) là M : x 3y z 1 0 x 2 2t y t z 3 3t                  => (2+2t) 3t +3+ 3t +1=0 <=> t=1 => M(4;1;0) Đường thẳng. y z 3 0 x 2t y 1 3t z 1 t                  => 2(2t) (1+3t) +(1+t) 3= 0 => t= 5 2 . Vậy A( 5; 17 2 ; 3 2 ) b) C 1 + đường thẳng qua M(0;1;1) , VTCP d u  =(2 ;3; 1)