BÀI GIẢNG MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Mai Cẩm Tú Bộ môn Toán kinh tế 1 PHẦN THỨ NHẤT LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CHƢƠNG 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 1. MỞ ĐẦU - Nội dung chương 1 • Các khái niệm nền tảng của xác suất • Các định nghĩa xác suất • Hai nguyên lý cơ bản của xác suất • Các định lý XS dùng để tìm XS của biến cố phức hợp. 2 Chương 1 2. Phép thử, biến cố 2. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ 2.1. Phép thử và biến cố + Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát hiện tượng nào đó có xảy ra hay không được gọi là thực hiện phép thử. + Hiện tượng có thể xảy ra (hoặc không xảy ra) trong kết quả của phép thử gọi là biến cố. Ví dụ 1.1. Tung 1 con xúc xắc cân đối, đồng chất trên mặt phẳng cứng. + Phép thử: tung 1 con xúc xắc + Điều kiện cơ bản: … + Biến cố: A 6 = “xuất hiện 6 chấm”; B = “xuất hiện lẻ chấm” 3 Chương 1 2. Phép thử, biến cố 2. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ 2.2. Các loại biến cố + Biến cố chắc chắn (U) + Biến cố không thể có (V) + Biến cố ngẫu nhiên (A, B, A 1 , A 2 ,…) Ví dụ 1.1. Tung 1 con xúc xắc U = “xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7” V = “xuất hiện 7 chấm” A 6 = “xuất hiện 6 chấm” (b/c ngẫu nhiên) B = “xuất hiện lẻ chấm” ( ) 4 Chương 1 3.Xác suất của biến cố 3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử. Kí hiệu xác suất của biến cố A là P(A) Ví dụ 1.1. Tung 1 con xúc xắc A 6 = “xuất hiện 6 chấm” → P(A 6 ) = 1/6 B = “xuất hiện lẻ chấm” → P(B) = 3/6 = 1/2 = 0,5 Theo khả năng tìm XS có thể chia biến cố thành 2 loại: + Biến cố đơn giản + Biến cố phức hợp 5 Chương 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS 4. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT 4.1. Thí dụ 4.2. Định nghĩa cổ điển về xác suất Xác suất xuất hiện biến cố A trong 1 phép thử là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho A (kí hiệu: m) và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó (kí hiệu: n). () m PA n  4.3. Các tính chất của xác suất 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(U) = 1; P(V) = 0 6 Chương 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS 4. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT 4.4. Các phƣơng pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển. a. Phương pháp suy luận trực tiếp Ví dụ 1.2. Hộp có 10 quả cầu gồm 3 quả trắng và 7 quả đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 quả cầu. Tìm xác suất lấy được cầu trắng. b. Phương pháp dùng sơ đồ • Dùng sơ đồ cây Ví dụ 1.3. Tung 1 đồng xu đối xứng, đồng chất trên mặt phẳng cứng 3 lần. Tìm xác suất có đúng 1 lần xuất hiện mặt sấp. 7 Chương 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS b. Phương pháp dùng sơ đồ • Dùng sơ đồ dạng bảng Ví dụ 1.4. Tung 1con xúc xắc cân đối, đồng chất trên mặt phẳng cứng 2 lần. Tìm xác suất a. Tổng số chấm xuất hiện là 8. b. Tổng số chấm xuất hiện là 8 biết rằng có (ít nhất 1) lần xuất hiện mặt 6 chấm • Dùng sơ Venn Ví dụ 1.5. Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 30 học sinh giỏi Toán, 20 học sinh giỏi Văn, 15 học sinh giỏi cả Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tìm xác suất chọn được học sinh không giỏi Toán và không giỏi Văn. (không giỏi môn nào) 8 Chương 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS c. Phương pháp dùng công thức của giải tích tổ hợp • Tổ hợp chập k của n phần tử: C n k (0≤ k ≤ n) • Chỉnh hợp chập k của n phần tử: A n k (0≤ k ≤ n) • Hoán vị của k phần tử: P k • Chỉnh hợp lặp k của n phần tử: (0≤ k ≤ n) Quy ước: 0! = 1 Ví dụ 1.6. Một hộp có 10 sản phẩm (6 chính phẩm và 4 phế phẩm). Lấy đồng thời 2 sản phẩm. Tìm xác suất a. Lấy được 2 chính phẩm. b. Lấy được đúng 1 chính phẩm k n A 9 Chương 1 4. Định nghĩa cổ điển về XS 4.5. Ƣu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển • Ưu điểm: Không cần thực hiện phép thử • Hạn chế: + Đòi hỏi số kết cục hữu hạn. + Các kết cục phải thỏa mãn tính duy nhất, đồng khả năng. c. Phương pháp dùng công thức của giải tích tổ hợp Ví dụ 1.7. Một hộp có 10 sản phẩm (2 sản phẩm xanh, 3 màu đỏ, 5 màu vàng). Lấy đồng thời 4 sản phẩm. Tìm xác suất a. Lấy được 4 sản phẩm cùng màu. b. Lấy được đủ 3 màu. c. Lấy đồng thời 5 sản phẩm. Tìm XS lấy được đủ 3 màu. 10 [...]... nghĩa khác về XS 6 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA KHÁC VỀ XÁC SUẤT 6.1 Định nghĩa hình học về xác suất 6.2 Định nghĩa chủ quan về xác suất 6.3 Định nghĩa tiên đề về xác suất 12 Chương 1 7 Nguyên lý xác suất 7 NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT 7.1 Nguyên lý xác suất nhỏ + Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra + Mức xác suất được coi là nhỏ tùy thuộc vào từng bài...Chương 1 5 Định nghĩa thống kê về XS 5 ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT 5.1 Định nghĩa tần suất Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện (k) và tổng số phép thử được thực hiện: k f ( A)  n 5.2 Định nghĩa thống kê về xác suất Xác suất xuất hiện biến cố A trong 1 phép thử là một số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n... các biến cố 8.6 Xác suất có điều kiện Định nghĩa 14 Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A Kí hiệu: P(A/B) Ví dụ 1.22 Hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm Lấy lần lượt 2 sản phẩm theo phương thức không hoàn lại Ai = “ lần thứ i lấy được chính phẩm” → P(A2 / A1) = 6 / 9 27 Chương 1 9 Định lý nhân xác suất 9 ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT Định lý 1 Nếu... Tìm xác suất lấy được 2 sản phẩm cùng loại Ví dụ 1.27 Trong hộp có 10 chi tiết, trong đó có 3 chi tiết hỏng Lấy ngẫu nhiên 5 chi tiết Tìm xác suất lấy được không quá 2 chi tiết hỏng 33 Chương 1 10 Định lý cộng xác suất Định lý 4 Nếu A và B không xung khắc với nhau thì P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) Ví dụ 1.28 Mạch có 2 bóng điện mắc nối tiếp hoạt động độc lập với nhau, với xác suất hỏng đều là 0,2 Tìm xác. .. lại) 31 Chương 1 10 Định lý cộng xác suất 10 ĐỊNH LÝ CỘNG XÁC SUẤT Định lý 3 Nếu A và B xung khắc với nhau thì P(A+B) = P(A) + P(B) Hệ quả 1 Nếu A1, A2,…, An xung khắc từng đôi thì n  n  P   Ai    P( Ai )  i 1  i 1 Hệ quả 2 A1, A2,…, An là nhóm đầy đủ các biến cố thì n  P( A )  1 i 1 i Hệ quả 3 P(A) + P(Ā) = 1 → P(A) = 1 – P(Ā) 32 Chương 1 10 Định lý cộng xác suất Ví dụ 1.26 Có 2 hộp sản... suất được coi là nhỏ tùy thuộc vào từng bài toán và gọi là mức ý nghĩa + Nguyên lý XS nhỏ là cơ sở của phương pháp kiểm định 7.2 Nguyên lý xác suất lớn + Nếu một biến cố có xác suất rất lớn thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ xảy ra + Mức xác suất đủ lớn gọi là độ tin cậy + Nguyên lý XS lớn là cơ sở của phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy 13 Chương 1 8 Liên hệ giữa các biến... đạn b, Xạ thủ dùng 3 viên đạn 28 Chương 1 9 Định lý nhân xác suất Định lý 2 Nếu A và B phụ thuộc nhau thì P(AB) = P(A).P(B / A) = P(B).P(A / B) Hệ quả 1 Nếu P(B) > 0 thì P( AB) P( A / B)  P( B) Nếu P(B) = 0 thì P(A/B) không xác định Hệ quả 2 Nếu P(A1A2 … An-1) > 0 thì P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2 /A1)…P(An / A1A2 …An-1) 29 Chương 1 9 Định lý nhân xác suất Ví dụ 1.24 Một hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm Lấy... mua được chính phẩm thì XS mua được chính phẩm ở lần tiếp theo là 0,95 Nếu lần trước mua được phế phẩm thì XS mua được chính phẩm ở lần tiếp theo là 0,9 Tìm xác suất a, Mua được 3 chính phẩm b, Mua được 3 phế phẩm 30 Chương 1 9 Định lý nhân xác suất Chú ý • Nếu bài toán cho biết số sản phẩm (ví dụ 7 cp và 3 pp) thì phép lấy lần lượt không hoàn lại tương tự như lấy cùng một lúc • Nếu bài toán không cho... loại ở vòng 1 trong số những thí sinh bị loại 35 Chương 1 11 Các hệ quả 11 CÁC HỆ QUẢ CỦA ĐL CỘNG VÀ ĐL NHÂN XÁC SUẤT 11.1 Công thức Bernoulli a Lược đồ Bernoulli Bài toán được gọi là thỏa mãn lược đồ Bernoulli nếu thỏa mãn các điều kiện sau: + Có n phép thử độc lập + Trong mỗi phép thử xác suất biến cố A xảy ra không thay đổi là p 36 ... P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) Ví dụ 1.28 Mạch có 2 bóng điện mắc nối tiếp hoạt động độc lập với nhau, với xác suất hỏng đều là 0,2 Tìm xác suất mạch bị mất điện do bóng điện hỏng ? Làm VD trên cho trường hợp 5 bóng điện mắc nối tiếp 34 Chương 1 10 Định lý cộng xác suất Ví dụ 1.29 Xạ thủ bắn 3 viên đạn độc lập với XS trúng lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8 a, Tìm XS xạ thủ bắn trúng đúng 1 viên b, Tìm XS xạ thủ . BÀI GIẢNG MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Mai Cẩm Tú Bộ môn Toán kinh tế 1 PHẦN THỨ NHẤT LÝ