TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. Lý thuyết Đường tròn lượng giác sin tan cos   x x x cos cot sin   x x x Bảng giá trị của các góc đặc biệt:  Góc    GTLG  0 0  (0) 30 0  ( 6  ) 45 0 ( 4  ) 60 0 ( 3  )  90 0 ( 2  )  sin   0  1 2  2 2  3 2  1  cos   1  3 2  2 2  1 2  0  tan   0 1 3  1  3   cot    3  1  1 3  0 Hằng đẳng thức lượng giác                                                          2 2 2 2 2 2 sin cos 1 R tan .cot 1 k ,k Z 2 1 1 tan ;cot cot tan 1 1 tan k ,k Z cos 2 1 1 cotg k ,k Z sin Các góc cung lượng giác có liên quan đặc biệt  và –          sin sin cos cos tan tan cot cot                    Hai cung đối nhau  và  -          sin sin cos cos tan tan cot cot                        Hai cung bù nhau  và 2    sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2                                             Hai cung phụ nhau  và 2    sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2                                                Hai cung hơn kém nhau 2   và  +          sin sin cos cos tan tan cot cot                       Hai cung hơn kém nhau   và  + 2k          sin 2 sin cos 2 cos tan 2 tan cot 2 cot k k k k                     Hai cung hơn kém nhau 2  Công thức lượng giác 1. Công thức cộng:  cos(a–b)=cosa.cosb+sina.sinb  cos(a+b)=cosa.cosb–sina.sinb  sin(a–b)=sina.cosb–cosa.sinb  sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb  tan(a–b)= tan tan 1 tan .tan   a b a b   tan(a+b)= tan tan 1 tan .tan   a b a b  2. Công thức nhân đôi:  sin2a=2sina.cosa 1 sina.cosa= sin2  2 a   cos2a=cos 2 a–sin 2 a=2cos 2 a–1=1–2sin 2 a  tan2a= 2 2tan 1 tan  a a  3. Công thức nhân ba:  sin3a=3sina–4sin 3 a  cos3a=4cos 3 a–3cosa 4.Công thức hạ bậc: sin  2  0  3 2  cos  0  TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 -  cos 2 a= 1 cos2 2 a    sin 2 a= 1 cos2 2 a    2 1 cos2 tan 1 cos2     a a  Hệquả  3 3sin sin 3 sin 4        3 cos 3 3cos cos 4       5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan 2 x : sinx= 2 2 1 t t  cosx= 2 2 1 1 t t     tanx= 2 2 1 t t  cotx= 2 1 2 t t   Hệ quả: Công thức tính sin2x, cos2x,tan2x theo t=tanx: sin2x= 2 2 1 t t  cos2x= 2 2 1 1 t t     tan2x= 2 2 1 t t  cot2x= 2 1 2 t t   6. Công thức biến đổi tổng thành tích  a b a b cosa cosb 2cos cos 2 2                   a b a b cosa cosb 2sin sin 2 2                    a b a b sina sinb 2sin cos 2 2                   a b a b sina sinb 2cos sin 2 2                   sin( ) tan tan ( , , ) cos .cos 2       a b a b a b k k Z a b     sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin      a b a b a b k k Z a b     sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin       a b a b a b k k Z a b   Hệ quả  sin cos 2sin( ) 2 ( ) 4 4     a a a cos a     sin cos 2sin( ) 2 ( ) 4 4     a a a cos a     cos sin 2 ( ) 2sin( ) 4 4      a a cos a a    7. Công thức biến đổi tích thành tổng   1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b        1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b        1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b         1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 b a a b a b       B. Các dạng bài tập Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị lượng giác Tínhcácgiátrịcònlạicủagóccunglượng giáckhibiết a. 3 sin 5   và 0; 2           b. cos 0,6   và  thuộcvàogócphântư thứIV c. tan 5   và  thuộcvàogócphầntưthứ III d. cot 10    và  thuộcvàogócphầntư thứII Rút gọn biểu thức     sin sin sin 2 A a b a b             1 os cos sin 4 4 2 B c a a a                                        os sin sin 2 2 C c a b a b        2 sin 2 sin 4 2 sin 2 sin 4 D              2 1 os tan sin sin c E                                        sin cos 4 4 sin cos 4 4 F TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 -      sin 5 sin 3 2 os2 G c           sin sin 3 sin 5 os + os3 os5 H c c c Chứng minh đẳng thức lượng giác a.     os a-b cot cot 1 os a+b co t cot 1 c a b c a b              2 2 2 2 .sin sin sin sin os os b a a b a b a b c a c b c. 1 osx+ os2x cotx sin2x-sinx c c   d. x sinx+sin x 2 tan x 2 1+cosx+cos 2  e.          2 2 os2x-sin4x tan 2 os2x+sin4x 4 c x c f.   sin x-y t anx-tany= cosx.cosy 4 4 6 6 sin cos 1 2 sin cos 1 3            2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 cos cos sin 1 cot cot cot 1 2sin sin sin sin                           4 4 4 4 3 5 7 3 sin sin sin sin 16 16 16 16 2         0 0 0 0 16sin10 .sin30 .sin 50 .sin 70 1  8 4 tan 2 tan tan cot 8 16 32 32         1 1 1 1 cot cot16 sin 2 sin 4 sin 8 sin16 x x x x x x      3 0 2 0 8sin 18 8sin 18 1     4 4 1 sin cos 3 cos 4 4 x        1 sin 6 cos6 5 3cos 4 8 x x x      8 8 1 sin cos 35 28cos 4 cos8 64 x x x x     3 3 3 sin 3 .sin cos3 .cos cos 2 x x x x x   0 0 0 0 0 3 1 cos12 cos18 4cos15 .cos21 .cos24 2      0 0 0 0 0 8 3 tan 30 tan 40 tan 50 tan 60 cos 20 3     Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau 1.     3 3 1 cot sin 1 tan cos sin cos            2. 2 2 2 2 sin 2cos 1 sin cot         3. 2 2 6 2 2 sin tan tan cos cot         4.   2 2 sin cos 1 2 tan cot sin cos            5. 1 cos 1 cos 2cos 1 cos 1 cos sin              6. 1 cos 1 cos 2 1 cos 1 cos sin             7. sin sin 2 tan 1 cos cos2           8. 1 cos cos2 cot sin 2 sin           9. sin sin 3 sin5 tan 3 cos cos3 cos5              10. 2 1 cos cos 5 5 2      11. 0 0 0 0 cos15 sin15 3 cos15 sin15     12. 2 4 6 1 cos cos cos 7 7 7 2        13. 3 3 3 sin 2 .sin 6 cos 2 .cos6 cos 4 x x x x x    14. 0 0 0 0 tan 20 .tan40 .tan 60 .tan80 3   15. 2 5 8 3 tan tan tan tan cos 6 9 18 3 3 9           16. 7 2 3 4 5 6 7 1 cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos 15 15 15 15 15 15 15 2         17. tan .tan . tan tan3 3 3 x x x                    18. 0 0 0 0 tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 3     TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - 19. 0 0 0 0 tan 5 .tan 55 . tan 65 .tan 75 1   Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào x                   sin os 4 4 A x c x                   os sin 6 3 B c x x                   2 sin os . os 3 3 C x c x c x    1 os2x+sin2x .cotx 1 os2x+sin2x c D c         6 6 4 4 2 sin cos 3 sin cos E x x x x      4 4 4 sin cos os4x F x x c 4 4 2 2 2 2 cos sin sin .cos 3sin G x x x x x     2 cot 1 tan 1 cot 1 x H x x          4 2 4 2 2 2 sin 1 sin cos 1 cos 5sin .cos 1 I x x x x x x           8 8 6 6 4 3 sin cos 4 cos 2sin 6sin K x x x x x                2 2 cos sin 2cos sin sin L x a x b x a x b a b         2 2 2 2 2 3 cos cos cos 3 3 2 M x x x                      Áp dụng công thức lượng giác trong tam giác Bài tập 1: Chứngminhrằng:  ABCvớiR làbánkínhđườngtròncủa  ABC,rlàbán kínhđườngtrònnộitiếp  ABC,taluôn có 4 .sin sin sin 2 2 2 A B C r R  Bài tập 2: Chứngminhrằng:  ABCcân khivàchỉkhithỏamãnđẳngthức tan tan 2cot 2 A B C   Bài tập 3: Cho  ABCvớibagócnhọn a.Chứngminhrằng tan tan tan tan .tan .tan A B C A B C     b.Đặt tan tan tan T A B C    . Chứngminhrằng 3 3 T  .Dấubằngxẩyra khinào? Bài tập 4: Chứngminhrằngtrongtamgiác ABCcóbagócnhọnthì       2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 4 A B C      Bài tập 5: Chứngminhrằng  ABCvuông khivàchỉkhithỏamãnđẳngthức 2 2 2 sin sin sin A B C    Bài tập 6: Trong  ABCcócácgóclàA, B,Cvàcáccạnhlàa,b,c.Chứngminh rằng:   2 2 2 sin sin A B a b C c     Bài tập 7: ChotamgiácABC.Chứngminh rằng cos cos cos 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C A B C     Bài tập 8: ChứngminhrằngtamgiácABC vuôngkhivàchỉkhithỏamãn 2 2 2 cos cos cos 1 A B C  Bài tập 9: Trongtamgiác,Chứngminh rằng 1 sin sin sin 2 2 2 8 A B C                     Bài tập 10: ChotamgiácABCkhôngphải làtamgiácvuông.Chứngminhrằng 2 2 2 cot cot cot tan .tan .tan sin2 sin2 sin2 A B C A B C A B C       Bài tập 11:CácgóccủatamgiácABCthỏa mãnđiềukiện   2 2 2 2 2 2 sin sin sin 3 A B C cos A cos B cos C      ChứngminhrằngtamgiácABClàtamgiác đều Bài tập 12: TínhgócCcủatamgiácABC nếu:     1 cot 1 cot 2 A B     Bài tập 13: Cho tam giác ABC. Chứng minhrằngnếu 2 2 tan sin tan sin B B C C  , thì tam giác ABC vuông hoặccân. Bài tập 14: Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu điều kiện sau đượcthỏamãn 3 3 3 2 2 cosa b C b c a a b c a            TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - Bài tập 15: Chotamgiác,cóđộdàicácBC, CA,   , a b  theo thứ tự lập thành cấp số cộng.Tínhgiátrịcủabiểuthức  cot cot 2 2 A C P  Bài tập 16: Cho tam giác ABCcóba góc thỏa mãn điều kiện sin cos sin cos sin cos 1 A A B B C C       . ChứngminhrằngtamgiácABClàtamgiác vuông Bài tập 17: ChoA,B,Clàbagóccủatam giácABC.Chứngminhrằng tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A     Bài tập 18: ChotamgiácABCcóbacạnh tươngứngvớicác góclàa,b,cvàđường caoứngvớigócAlà a h .Chứngminhrằng nếu 3 2 a a h b c     thì tam giác ABC là tamgiácđều Bài tập 19: ChotamgiácABCthỏamãn điềukiện   2 2 2 sin a b A B c     ChứngminhrằngtamgiácABCcânhoặc vuông Bài tập 20: Chứngminhrằngnếutamgiác ABCthỏamãnđiềukiện   2 3 3 3 2 sin sin sin 3 S R A B C    thìtamgiác ABClàtamgiácđều Bài tập 21: ChotamgiácABCthỏamãn điềukiện sin sin 2sin 2 2 2 A C B    Chứngminhrằng 1 tan tan tan tan 2 2 2 2 3 A B B C    Bài tập 22: Chứngminhrằngvớimọitam giácABCtađềucó       cot cot cot 0 2 2 2 C A B a b b c c a        Bài tập 23: ChotamgiácABCcócáccạnh thỏamanchệthức 2 b a c   .Chứngminh rằng cot cot 3 2 2 A C   Bàitập24:Chứngminhrằngtrongmọi tamgiáctacócácđẳngthứcsau: a. 3 cos cos cos tan tan tan 2 2 2 sin sin sin A B C A B C A B C         sin sin sin 2 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C B C C A B A     Bàitập25:ChotamgiácABCtrongđó cot ,cot ,cot 2 2 2 A B C theothứtựđólậpthành cấpsốcộng.Chứngminhrằng cot .cot 3 2 2 A C    Để thực hiện tốt các bài tập này học sinh cần nắm vững các kiến thức sách giáo khoa và các bài tập trong đó. Bạn cũng có thể tham khảo tất cả các bài hướng dẫn giải trên Xuctu.com thông qua hình ảnh hoặc Video. Chương trình được thực hiện bởi Xuctu.com website chuyên nghiệp về toán học kết hợp với Trung tâm giáo viên & gia sư tại Huế. Biên soạn: Nguyễn Quốc Tuấn .   B. Các dạng bài tập Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị lượng giác Tínhcácgiátrịcònlạicủagóccung lượng giác khibiết a. 3 sin 5   và 0; 2      .   b. cos 0,6   và  thuộcvàogócphântư thứIV c. tan 5   và  thuộcvàogócphầntưthứ III d. cot 10    và  thuộcvàogócphầntư thứII Rút gọn biểu thức     sin.   Bài tập 10: Chotam giác ABCkhôngphải làtam giác vuông.Chứngminhrằng 2 2 2 cot cot cot tan .tan .tan sin2 sin2 sin2 A B C A B C A B C       Bài tập 11:Cácgóccủatam giác ABCthỏa mãnđiềukiện