GIẢI ĐÁP TOÁN CẤP PHẦN g ia su m in ht am c om HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT w w w CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI ( Trang – 11 ) ĐẠO HÀM ( Trang 13 – 16 ) GIỚI HẠN ( Trang 16 – 17 ) TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ( Trang 18 – 43 ) TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI c om LŨY THỪA (Giả sử biểu thức có nghĩa): m  1) a  2) a  n  n 3) a n  n a m 4)  a   a a   a a  a 5) a a   a   6)   a   8)     7)  ab   a b b a b Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số phải khác +) Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương am A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: 2) B = (0, 04) 4) D = 43 21 2 3 5) E = 1,5  (0,125)   18 27 Giải: 0,25 6) F =  1 2   4 2) B =  (0,125)       25   g ia (0, 04)  su 1) A =    2    23   23  22  12 1,5 w 4  1 3) C =  0,5   6250,25     4 w 4) D = 43 2.21 2.23 w 5) E = 6) F = 6  F3    1   8  3 2  5   4 3  19  3   21      18 27  262 2.22 81 5 12 1 2   3    53  2  121  11  2           4    19 3 (3)3 19  3   19  5    11      10 27  2   27  24  16 35.3 2.3 35 1 1  10  2   3.2 3    10 3   3  3 847 847  6 Ta áp dụng đẳng thức :  a  b   a  b3  3ab  a  b  27 27 847 847 847 847  847 847   6  6 6  33   6 27 27 27 27  27 27    Trang GV: Lienxo86 1 847 847  6 27 27 6 m 4 3) C =  0,5  625 81 5 12 3  ht 1) A =  in 2  19  3 3 TT gia su Minh Tam  F3  12  3 36  (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 847 F  12  5F  F3  5F  12    F  3  F2  3F  4  27  F = F2  3F   (vô nghiệm) Vậy F = Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa): 35 a 1   1 1 2  a  b  a  b  :  a4  b4  a 3) C =  1 1    b   a  a 2b4 a  b4     a   a a  4) D = 1    :  a2  b2    b b      5) E =  a  b    2      ab  ab  b  7) G =  ab  : a b a  ab  b  ab  a2 1  b 1    a 9) I = 2  a  a  ab  4b  a  8a b 1    3 a   a a    a   a  a     in 3 m Giải: 1) A = ht   1 2 a b a  b2   ab    8) H =  1    a b  a2  b2     b b2  :  b  2b    a a   am   3 a b   :2 a  b  6) F =     b a ab   om 1) A = 24 c  a b 4 2) B =    b a   35  4 7 1 1        b   b 5  a  b5 b                    a   b a   a   a          su  a b 2) B =    b a   35 g ia   1 1     1 1 1 2 2  ab a b   b  a  b  a  b  :  a4  b4  a   3) C = : a  b4    1 1     1  b  2 a      a4  b4    a  a  b4  a4  b4   a a b       1 w w a  b  a  a 2b2  1   a2  a4  b4    1   a b2  a2  b2  a b a   1   b a b   b  2  a  a b  a b    2 w    a a  a 4) D = 1    :  a  b   1      : b b  b       5) E =  a  b      a b  b b2    :  b  2b  a a    a a a b  b b a b     a b     b a b Trang GV: Lienxo86  a b b   : b    a     a b   b :  a    b  a b    TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 1     a3  b3  a3  b3     :2 a  b     : ab  6) F =     b a ab ab   2  a  a   3 ab a3b ab   ab a b  1 ab  ab  b a ab  ab  ab ab  7) G =  ab   : a b a  ab  b  ab a  ab ab  b b  ab   2    a  b   ab    a  b 8) H =    a b  a2  b2    a b       b   a b a b  1      1  a  b   a  a 2b2  b   1 a2  b2    a 2b      1 1       a2  b2 a2  b2   a2  b2                2 a b  a  2a b  b   1 =  1 1     2 a b  a b      3 ht 1 3 m 3  a   2 b     3 a  ab  4b 3 a a a  23 b 1  a  23 b   a3     a   g ia B BÀI LUYỆN 2  a   a  b   a   ab   b       a   a  b   a   ab   b       su  a   in  a  a  8b  a  8a b b 9) I = 1    a  2  1 a  a  ab  4b  a  a b  4b 3 a c  om a ab a b a ab  a  ab ab  b a a b am  3 3 3 3 3 2 3  a a 0 Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau:  2) B = w  3 1) A =  32    7 w 4  2  4) D =    (0, 2)0,75      23 2 (18)7 24.(50)3 (225)4 (4)5 (108) 6) F = w 5) E =        1      3) C =    :  :  :  3.2 4.3                Bài 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa): a 1) A = a a a 2) B = 3 a 3) C = a4  a4 a4  a4  b    b2 b2  b  4) D = Trang GV: Lienxo86 10 3 :10 2  (0, 25)0  10 2 (0, 01)3 ( 1) a 2 1 23.2 1  53.54  (0, 01)2 10 2 a3b a6b 2 1 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com   a  1 LÔGARIT: Giả sử biểu thức có nghĩa  log a b có nghĩa   b   1) log a  3) log a b  loga c  log a (bc) 4) log a b  log a c  log a b c log a b    log a b   6) log a b  log a b   b  log a b  log a b    log a b.log b a   log a b  log a  b 7) log a b.log b c  log a c   log c  log a c  b log a b  +) Lôgarit thập phân : log10 b  log b  lg b +) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : log e b  ln b ( e  2, 71828 ) loga b  Chú ý: am c om 5) a 2) log a a  ht A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau:    in 2) B = log 3.log3 36 2log5  log5 7) G = lg 25 1  log 27  log125 81 25 5) E=  49 1 2log2  36 e log6 ln3 8) H = 4 log8 27 3) C = log 5.log 25 6) F = log3 2  27 log9 2 log8 27 0,25 0,5log9 11) K = log (log 8) 12) L = log 2013 log (log 256)  log0,25  log9 (log 64) 13) M  log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 14) N  lg(tan10 )  lg(tan 20 )   lg(tan 880 )  lg(tan 890 ) w Giải:    1 2  log  log   log    log  log 32  2 6 3  22   w 1) A = log log w 2) B = log 3.log3 36  log 3) C = log 5.log 25 4) D = 5) E   9 3 2log5 36  log 62 62  15  3  log 1 5.log 33  (5)    log3 5.log5  27  2  2   33    3log3 1  log 27  log125 81 25 log3 3 5 1  log 1 33  log 34 5   52   log log 36 2log 71  10log99 9) I = lg  81  27        81 g ia 10) J =  log7 log6 su 4) D = m  1) A = log3 log 2 1 log5 3 log5 3 5 Trang GV: Lienxo86 1 2log5 5 log5 32  5.5  5.9  45 TT gia su Minh Tam 6) F = log 3 2  log9 2 log8 27   log 3 2  log   3  2log   log  3     log 32 7) G = lg 25  27 (08) 38 908 900 - 0967 783 633 log5  49 log7 e ln  3    log 2 2 www.giasuminhtam.com  log3 log  2     log 33    log 3        log 1  2  1  3 2      lg  52     log5    72 log7     lg  5log5 62  7log7 82              22  log log 36 2log 71   9) I = lg  81  27    lg       log 54 log 63 log 71   lg  3  3  3   lg   1 2log 10) J   36 log6 0,250,5log9  81  log  34  log3 62  99  log3    33 log 62 log 82  99   82  99  2log 71  3     54  63  71  lg  29  71  lg100  1 2log   22   2 c log3 am    10log99  32 22 4log 2 11) K = log (log 8)  log  log 23   log 3  6    62 log6 0,25  log    34 ht log8 4 log6  log3     3 7 in 8) H = log6 om  lg 62  82   lg102     1   m 12) L = log 2013 log (log 256)  log0,25  log9 (log 64)   log 2013 log (log 28 )  log 0,25 log9 (log 43 )    su  1 3 1  log 2013  log  log 0,25  log9 3   log 2013  log 22 23  log   log 2013     log 2013      2   2   2   g ia 13) M  log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log  log 7.log 6.log 5.log 4.log 3.log  log  14) N  lg(tan10 )  lg(tan 20 )   lg(tan 880 )  lg(tan 890 )  lg(tan10 )  lg(tan 89 )   lg(tan 20 )  lg(tan 880 )    lg(tan 44 )  lg(tan 460 )   lg(tan 450 )       w  lg  tan10.tan 890   lg  tan 20.tan 880    lg  tan 44 0.tan 46   lg  tan 450   lg  tan10.cot10   lg  tan 20.cot 20    lg  tan 440.cot 440   lg  tan 450  w w  lg1  lg1   lg1  lg1       Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa):  1) A = log a a a a 3) C = lg log a3 a a  2) B =  log a b  log b a   log a b  log ab b  log b a  4) D = log  2a    log a  a log a  log2 a 1 log a  3log a  1  Trang GV: Lienxo86  log a TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Giải:  1) A = log a a 24 a 35  16  14    14      log a  a  a   log a  a a   log a a               a  log a  a a a      2) B   log a b  logb a   log a b  log ab b  log b a    log a b     log a b.log b a  log ab b.log b a   log a b   log a b   1   1  log a ab     log a b  1 log a b   log b    log b 1   1  a a log a b  log a b   log a b  c  log a b  1  om log b  log a b   log a b  1 a  1  log ab a    log a b log a b a a  lg log a3 a.a  5 1  lg log  a   lg log 3 a 10  lg   lg  1 a 10 10  a3  a3 log  2a    log a  a    log a log a log a 1 am 3) C = lg log  2log a  log a  log a  1  8log a 3log a  3log a  1  log a  3log a  1 log a  3log a  2 m in log a  3log a  1  ht   4) D = Ví dụ 3: Cho log a b  ; log a c  2 Tính log a x biết: 1) x  a 3b c su 2) x  a4 b c3 3) x  log a a bc g ia Giải: Cho log a b  ; log a c  2 1) Với x  a 3b c 1  log a x  log a a 3b c  log a a  log a b  log a c   2log a b  log a c   2.3   2   2   w a4 b c3 w 2) Với x  w  log a x  log a 3) Với x  log a a4 b 1  log a a  log a b  log a c   log a b  3log a c     2   1 c 3 a bc a c b3  log a x  log a a bc a cb  log a a 2b c 1 a b 3c  log a a3c 8  log a a  log a b  log a c b3  5  log a b  log a c     2   8 3 3 Trang GV: Lienxo86 a cb3 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Ví dụ 4: Hãy biểu diễn theo a ( b c) biểu thức sau: 1) A = log 20 0,16 biết log  a 2) B = log 25 15 biết log15  a   3) C = log 40 biết log    a  5 5) E = log 35 28 biết log14  a log14  b 4) D = log (21, 6) biết log  a log  b om 6) F = log 25 24 biết log 15  a log12 18  b 49 biết log 25  a log  b 7) G = log125 30 biết lg  a lg  b 8) H = log 9) I = log140 63 biết log  a ; log3  b ; log  c 10) J = log 35 biết log 27  a ; log8  b ; log  c Giải: 2) B = log 25 15 biết log15  a Ta có: a  log15  am c 1) A = log 20 0,16 biết log  a log   3log   3a Ta có: A = log 20 0, 04  log 20  log (2 2.5)  log  a log3  3.5  1 1 a  log3     log3 a a in ht 1 a 1 log 15 log (3.5)  log a      B = log 25 15   a 1  a  log 25 log 52 2log a  3a   Ta có: a  log    log   log  log    5 22 m   3) C = log 40 biết log    a  5 g ia su 3a 3 log 40 log (23.5)  log   3a     C = log 40  log 10 log (2.5)  log  3a  3a 4) D = log (21, 6) biết log  a log  b 2.33 log  21,    3log  log   3a  b Ta có: D = log (21, 6)   log log  2.3  log 1 a w log w 5) E = log35 28 biết log14  a log14  b w Ta có: a  log14  b  log14  log7  2.7   1 1 a  log    a a  log log log  1 a  b   log  b(1  log 2)  b 1   log  7.2   log a  a   E = log 35 28  log 28 log (7.2 )  log    log 35 log (7.5)  log 1 a a  2a b ab 1 a  Trang GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 6) F = log 25 24 biết log 15  a log12 18  b log 18 log  2.3   2log (2) b  log12 18    log 12 log  22.3  log log 15 log  log (1) Ta có: a  log 15   log  log  2b b2  2b 2b  a  ab  Từ (1)  log  a 1  log 3  log   a  1 log  a   a  1 a b2 b2  2b 3 log 24 log    log b 5 b2  F = log 25 24      2b  a  ab  4b  2a  2ab  log 25 log 2log b2 c om Từ (2)  b (2  log 3)   log  (b  2) log   2b  log  7) G = log125 30 biết lg  a lg  b 49 biết log 25  a log  b log log log Ta có: a  log 25     log  ab log 25 log 2b in ht 8) H = log am lg 30 lg  3.10   lg 1 a  10  Ta có: b  lg  lg     lg  lg   b  G = log125 30     lg125 3lg 1  b  lg    5 49 72 log 49   log   2.2 ab   12ab   H = log  1 b log b log log 3 9) I = log140 63 biết log  a ; log  b ; log  c su m log g ia Ta có : log  log 3.log  ab  I = log140 63  log  32.7  log 63 log  log 2a  c    log 140 log  5.7   log  log  ab  c 10) J = log 35 biết log 27  a ; log  b ; log  c w w w log log log   a  log 27  log 27  3log  3c  log  3ac log 35 log  log 3ac  3b  2  J = log 35     log  log 1 c b  log  log  log  log  3b  log  Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức: 1) A = log b a b biết log a b  a 2) B = a4  a4 a a  Trang GV: Lienxo86 b  2  b2 b b  biết a  2013  ; b   2012 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Giải: 1  3    log a b  2) B = a4  a4 a a   a a b a 3log b  log a b a  1    log b a  2   1   log a b  1 2  log a b log a b  1 3      log a b   log a b   log a b   log a b   3    2  biết a  2013  ; b   2012 b b b  2  a 1  a    b 1  b   a 1  a  b  2  1  a   1  b   a  b  2013  1  b    2012  ht a a  b b a   b2 b b B= b b a a2  om b a b  log c  b  log a b a am A = log b biết log a b  a 1) A = log Giải: log a b  log a c  log a c Ta có: w w 1) log ac (bc)   log a c b Đặt a w 2) a logb c log 3) Nếu 4a  9b  ab lg 1 lg a 6) Nếu a  log12 18 ; b  log 24 54 thì: ab  5(a  b)  c a b 8) Trong số: log ; log log ln có số lớn a b c b c a b c a c  10 g ia 5) Nếu a  10 ; b  10 b c 7) log  log a a c b 1 lg c su 1 lg b m in Ví dụ 6: Chứng minh (với giả thiết biểu thức có nghĩa): log a b  log a c 2a  3b lg a  lg b log c log a 3) Nếu 4a  9b  4ab lg 2) a b  c b 1) log ac (bc)    log a c 4) Nếu a  4b  12ab log 2013 (a  2b)  2log 2013  (log 2013 a  log 2013 b) bc log a  bc  log a b  log a c log a bc    log ac (bc ) (đpcm)  log a c log a a  log a c log a  ac  a logb c  a t log c log a   a b  c b (đpcm) t  logb a log a log at  c  bt  c  bt b  b b  a t  2a  3b lg a  lg b  2 2 2 Ta có: 4a  9b  ab  a  12ab  9b  16ab   2a  3b  2  2a  3b   16ab     ab   2a  3b a  3b lg a  lg b  a  3b  (đpcm)  lg   lg a  lg b  lg    lg  ab   lg 4   Trang 10 GV: Lienxo86 (08) 38 908 900 - 0967 783 633 1  10) f ( x)  x ln x đoạn  ;e  e   1  x  0 e ;e      1  x  e   ;e  e   ln x x  Ta có : f '( x)  x ln x  x  x  ln x  1    ln x   ln e    1   e e e e   2  e   2e    max f ( x)  2e4 x  e2  x 1;e2     e   1  f ( x)  x  e e  x 1;e2     e  đoạn [e; e2 ] c 11) f ( x)   f   Mà :  f  f   www.giasuminhtam.com om TT gia su Minh Tam ht am  x  với x   e; e2   hàm số nghịch biến với x   e; e2  Ta có : f '( x)  ln x       ln x x ln x ln x 1   ) (Có thể tính f '( x) cách : f ( x)   ln x   f '( x)    ln x    x x ln x ln x m in  max f ( x)  x  e  xe;e2        Cách : Với e  x  e2  f (e )  f ( x )  f (e )   f ( x )  2  f ( x)  x  e2  e ; e2   x     su  max f ( x)  x  e  f ( e)   xe;e2         Cách : Ta có :  2  f (e )   f ( x)  x  e2   e ; e2   x     g ia 12) f ( x)  27 x  x  8.3x  đoạn [0;1] Đặt t  x với x   0;1  t  1;3  f ( x)  t  t  8t   g (t ) với t  1;3 t   1;3 Ta có : g '(t )  3t  2t     t   (loai)   w w w  g (1)  9  max f ( x)  7 x    x0;1 Mà :  g (2)  13    g (3)  7  x0;1 f ( x)  13 x  log   13) f ( x)  log x  log x  [10;1000] Đặt t  log x với x  10;1000  t  1;3  f ( x)  t  4t   g (t ) với t  1;3 Ta có : g '(t )  2t    t   1;3  g (1)   Mà :  g (2)  1   g (3)     xmax  f ( x)   10;1000   f ( x)   x10;1000    x  10  x  1000  x  100 Trang 29 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 14) y  x   x ln x đoạn [1; 2] (TN – 2013) x x2  x  (ln x  1)  x2  x  x2    ln x   ln x x2  3x    3x  m Giải: 3x    3x  m (*) ht 1) Xét hàm số : f ( x)  3x    3x với x  log  (*) có nghiệm : x 3  53 Ta có : lim f ( x)  lim x    3x  x  3 x  0    x   x ;log3 5   3x    3x    bảng biến thiên : g ia  x ;log3 5  w  f ( x)  2 Vậy bất phương trình có nghiệm : m  2 (2*) w 2) x  m.2 x  m    x   m  x  1 TH1 : x  bất phương trình có dạng :  (vơ lí) 4x   m (2*1) 2x 1 4x  TH3: x   x   Khi bất phương trình có dạng: x m (2*2) 1 t2  4x  Xét hàm số: f ( x )  x Đặt t  x  f ( x)   t 1  g (t ) 1 t 1 t 1 t     t  1     g '(t )    t  1  t  1 w TH2 : x   x   Khi bất phương trình có dạng: Trang 30 GV: Lienxo86 f ( x)  m  3x  3x   x   x  su x  x   in Ta có : f '( x)  3x ln 3x ln m 3x ln 2) x  m.2 x  m   am Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 1) c  x  x2  2 0 x  x   x  x  x  x    y '  với x  [1; 2] Mà  x2     ln x  x  [1; 2]  max y  y (1)  x   x1;2 Suy hàm số nghịch biến đoạn [1; 2]    x1;2 y  y (2)   ln x   om Ta có: y '  (08) 38 908 900 - 0967 783 633 +) Với x   t  lim g (t )  lim   t 1 t 1 www.giasuminhtam.com t2    ta có bảng biến thiên: t 1 (2*1)  m  f ( x)  g (t )  Vậy (2*1)  m  x 0;  (1) t1;  +) Với x    t  lim g (t )  lim   t 1 am c t 1 t2    ta có bảng biến thiên: t 1 om TT gia su Minh Tam Từ bảng biến thiên ta có: (2*2)  m  3 in ht (2)  m  3 Từ (1) (2), suy bất phương trình (2*) có nghiệm khi:  m  Ví dụ 12: Tìm m để bất phương trình: 3x    3x  m có nghiệm với x  (; log3 5] m 1) su 2) ( m  1).4 x  x 1  m   có nghiệm với x   3) m.9 x  (2m  1).6 x  m.4 x  có nghiệm với x  [0;1] 1) g ia Giải: 3x    3x  m với x  (; log3 5] (*) Xét hàm số : f ( x)  3x    3x với x  log3  (*) với x  (; log3 5] : w 3x ln Ta có : f '( x)  x  w 3 3x ln 53 Ta có : lim f ( x)  lim x     3  3x  x  x    x   0 m ax  m  m ax x ;log3 5   3x    3x    bảng biến thiên : f ( x)  Vậy bất phương trình với x  (; log3 5] : m  Trang 31 GV: Lienxo86 f ( x)  m  3x  3x   x   x  w x  x 3x ln  x ;log3 5  TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 2) ( m  1).4 x  x 1  m   với x   www.giasuminhtam.com (2*) Đặt t  x với t  Khi (2*) có dạng:  m  1 t  2t  m   với t   m  t  1  t  2t  với t   m  2t  4t  t  1 t  1    t  2t     t  1   t  2t    bảng biến thiên: t  t2 1 om g '(t )  t  2t   g (t ) với t  (2**) t2 1 lim g (t )  lim am c t  3) m.9 x  (2m  1).6 x  m.4 x  với x  [0;1] x (3*) x in 9 3 (3*)  m     2m  1    m  với x  [0;1]  4 2 ht Dựa vào bảng biến thiên: (2**)  m  Vậy bất phương trình với x   khi: m  x m  3  3 Đặt t    với x   0;1  t  1;   2  2 su  3 Khi (3*) trở thành: mt   2m  1 t  m  với t  1;   2  3  m  t  2t  1  t với t  1;   2 w g ia  3  m  t  1  t với t  1;  (3*1)  2 +) Với t  bất phương trình có dạng:  1 (luôn đúng) t  3 +) Với t  1: (3*1)  m   g (t ) với t  1;  (3*2)  2  t  1 t  3  với t  1;  lim g (t )  lim     t 1 t 1  t  1  2  t  1 t 1 w w Ta có: g '(t )  Ta có: (3*2) m  m ax g (t )  6 Vậy với m  6 bất phương trình có nghiệm với x  [0;1]  3 t1;   2 Trang 32 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com   x 1  14) x x       13) x ln x   x    x với x   b x 1 a   1  16)  a  a    2b  b  với a  b  (D – 2007)     b c  15) a b  b a với  a  b  y 19) a ab bc c  abc a b c với a, b, c  2y  x y 21) ln  với x, y    x  2x  y 23) x n  x  với x  (0;1) 2ne Giải: 1) e x   x với x  m su ba b ba với  a  b  ln  b a a in 20)  a.2 a  b.2b  c.2 c    a  b  c   2a  2b  2c  với a, b, c   22) x 17)  x  3x    y  y  với x  y  b a    với a, b, c  a  b b với x  ht ac 18)   bc x  ln 1  x   x với x  1 x 12) ln   x   ln x với x  x 10) c  9) ln( x  1)  x  với x  am ln x  với x  0; x  x 1 x 2x với x  11) ln( x  1)  x2 8) om Ví dụ 13: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 xn 1) e x   x với x  2) e x   x    với x  ; n   3) e x  x  với x   n! n  x ln a     x ln a  với x  ; a  ; n   5) ln(1  x)  x với x  4) a x   x ln a  2! n!  x2 x2 xn  7) e x  cos x   x  6) ln 1  x      x với x  x   n!  2  w w g ia (1*) (1*)  e x   x  với x  Cách Xét hàm số: f ( x)  e x   x với x  Ta có: f '( x)  e x    x  w Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x  hay e x   x  với x  (đpcm) Cách (thực chất cách trình bày khác Cách 1) Xét hàm số: f ( x)  e x   x với x  Ta có: f '( x)  e x   với x  f '( x)   x   f ( x) đồng biến với x  nên với x   f ( x)  f (0)  hay e x   x  với x  (đpcm) Trang 33 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com x2 xn với x  ; n     n! x2 xn Xét hàm số: f n ( x)  e x   x    n! Ta chứng minh: f n ( x)  (*) với x  ; n   2) e x   x  om +) Với n  : f1 ( x)  e x   x  f1 '( x)  e x   với x  f '( x)  x   hàm số f1 ( x) đồng biến với x   f1 ( x)  f1 (0)  Vậy (*) với n  +) Giả sử (*) với n  k hay f k ( x)  x2 xk x k 1     Thật vậy: k !  k  1 ! c +) Ta cần chứng minh (*) với n  k  hay f k 1 ( x)  e x   x  x2 xk f ( x)  e   x     f k ( x)  (theo giả thiết quy nạp) f k'1 ( x)  x  k!  hàm số f k 1 ( x) đồng biến với x   f k 1 ( x)  f k 1 (0)  Vậy (*) với n  k  x x2 xn   với x  ; n  N n! (đpcm) ht Theo phương pháp quy nạp  e x   x  am ' k 1 in 3) e x  x  với x   (3*) x (3*)  e  x   với x   Xét hàm số: f ( x)  e x  x  với x   Ta có: f '( x)  e x    x  x  x  x  g ia su x  m lim f ( x)  lim  e x  x  1   ; lim f ( x)  lim  e x  x  1   Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x   hay e x  x   với x   (đpcm)  x ln a    x ln a   x ln a    n w w với x  ; a  ; n   2! n! Đặt t  x ln a  a x  e x ln a  et với t  4) a x w Khi tốn phát biểu lại là: Chứng minh et   t  t2 tn   với t  ; n   (quay ý 2)) n! 5) ln(1  x)  x với x  Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x   x với x  x 1   với x  1 x 1 x  hàm số f ( x ) nghịch biến với x   f ( x)  f (0)  Ta có: f '( x )  hay ln 1  x   x  với x  (đpcm) Trang 34 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com  x2 xn  6) ln 1  x      x với x  n!    x2 xn  Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x      x với x  n!   x n 1 xn   n  1! n! Ta có: f '( x)  1   với x  x xn x2 xn  x     x    n! n! 2 om  x   7) e x  cos x   x  x2 với x   am x2 với x   Ta có: f '( x)  e x  sin x   x f ''( x)  e x  cos x   với x   c  x2 xn   f ( x ) nghịch biến với x   f ( x)  f (0)  hay: ln 1  x      x với x  (đpcm) n!   Xét hàm số: f ( x)  e x  cos x   x  ht  x   f '( x)  f '(0)   f '( x ) đồng biến với x   Do đó:   x   f '( x)  f '(0)  su m in  x2  ta có: lim f ( x)  lim  e x  cos x   x     x  x    g ia Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x   hay e x  cos x   x  x2 với x   (đpcm) ln x  với x  0; x  x 1 x x 1 Xét hàm số: f ( x)  ln x  với x  x  x x   x  1  x 1 x   x 1  Ta có: f '( x)    với x  0; x  x x x 2x x 2x x  f ( x ) nghịch biến với x  0; x  Do đó: w 8) w w  x 1  x 1 ln x  (vì x   ) x 1 x x x x 1 x 1 ln x +) Với x   f ( x)  f (1)  hay ln x    ln x    (vì x   ) x 1 x x x ln x  Từ (1) (2)  với x  0; x  (đpcm) x 1 x +) Với  x   f ( x)  f (1)  hay ln x    ln x  Trang 35 GV: Lienxo86  (1) (2) TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 9) ln( x  1)  x  với x  Xét hàm số f ( x )  ln( x  1)  x  với x  Ta có: f '( x)  1  x 1     x 1   x   x  1 x 1 x  Từ bảng biên thiên ta có: f ( x)  ln   10) am hay ln( x  1)  x  với x  (đpcm) c om lim f ( x)  lim ln( x  1)  x     ; lim f ( x)  lim  ln( x  1)  x        x  x   x 1 x 1 x  ln 1  x   x với x  1 x ht +) Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x   x với x  x 1   với x  1 x 1 x  hàm số f ( x ) nghịch biến với x   f ( x)  f (0)  in Ta có: f '( x )  Ta có: g '( x)  x với x  1 x x   với x  1  x  su +) Xét hàm số: g ( x)  ln 1  x   (1) m hay ln 1  x   x  với x  1   x 1  x 2 g ia  hàm số g ( x ) đồng biến với x   g ( x)  g (0)  x  với x  1 x x  ln 1  x   x với x  (đpcm) 1 x w Từ (1) (2)  hay ln 1  x   w 11) ln( x  1)  2x với x  x2 w Xét hàm số: f ( x)  ln( x  1)  Ta có: f '( x)  2x với x  x2 x2    với x   x  x   1  x  x  2  f ( x ) đồng biến với x   f ( x)  f (0)  hay ln( x  1)  2x với x  (đpcm) x2 Trang 36 GV: Lienxo86 (2)   12) ln   x  (08) 38 908 900 - 0967 783 633  ln x với x  x x Ta có: f '( x)    x2   x2   www.giasuminhtam.com   Xét hàm số: f ( x )  ln   x    2 1  x x  1  x   x   x x  2    x x x  x2   x2  x2   x2 x2   x2   x2  x  x2  x    hàm số đồng biến  0;        x2  x   x2   x2   x2 x2    x2   x2 x2  x2  x x2  x2 (1)   1  x2   Mặt khác: lim f ( x)  lim ln   x   ln x   lim  ln  x  x    x x  x      Từ (1) (2)  f ( x)  với x  hay ln   x     với x   1      x  (2) c   ln x với x  (đpcm) x  am    ln x với x  x om TT gia su Minh Tam    Ta có: f '( x)  ln x   x   x x 1   x2   x   x2  x 1 x   ln x   x 2 in     ht 13) x ln x   x    x với x   Xét hàm số: f ( x)  x ln x   x    x với x    Khi đó: f '( x)   ln x   x   x   x    x   x 1  x  x     x  lim f ( x)  lim  x ln x   x    x    2  x  x     x  1  x   x  x  g ia su m    Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x  R hay x ln x   x    x với x  R (đpcm)  x 1  14) x      x 1 với x  w x  x 1  Ta có: x      x 1 x 1 x 1 x 1  x 1   ln x  ln   x ln x   x  1 ln 0   x ln x   x  1 ln 2   x 1 với x  Xét hàm số: f ( x )  x ln x   x  1 ln x 1 x 1 2x Ta có: f '( x )  ln x   ln (1)   ln x  ln  ln 2 x 1 2x 2x Mà: x   x  x      ln  (2) x 1 x 1 Từ (1) (2)  f '( x)  với x  f '( x)  x   hàm số f ( x ) đồng biến với x  x w w x  f ( x)  f (1)  hay x ln x   x  1 ln x 1  (đpcm) Trang 37 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 15) a b  b a với  a  b  Ta có BĐT cần chứng minh: a b  b a  ln a b  ln b a  b ln a  a ln b  ln a ln b với  a  b   a b ln x  ln x với x   0;1 Ta có: f '( x)   với x   0;1 x x2 ln a ln b (đpcm)  f ( x ) đồng biến với x   0;1 Vậy với  a  b   f ( a )  f (b) hay  a b b om Xét hàm số: f ( x)  a   1  16)  a  a    2b  b  với a  b  (D – 2007)     b a Xét hàm số: f (t )  ln  4t  1 t ln  a  1  ln  4b  1 am  b ln  a  1  a ln  4b  1  c b a  4a  1   4b  1  4a  b  4b  a  ln 4a  b  ln 4b  a  a   b 1 Ta có:   a     b              2ab 2ab  với t  a b với a  b  in ht 4t ln  ln  4t  1 4t ln   4t  1 ln  4t  1 4t  Ta có: f '(t )    với t  t2  4t  1 t  hàm số nghịch biến với t  y x m a ln  4b  1  b su Với a  b   f (a )  f (b)  ln  a  1 (đpcm) 17)  x  3x    y  y  với x  y  x y   2 y 3 y x  y y x y    x       y     x    y       2 x 1        y 1       xy 1      xy 1       2   2                      g ia Ta có:   x x y x w   x    y    x    y    x    y   1      1      ln 1      ln 1      y ln 1      x ln 1      2   2   2   2    2   2              w w   x    y  ln 1     ln 1     x y  2         ln 1  a   ln 1  a  với a  (*)     x y x y Xét hàm số f (t )  ln 1  a t  t với t  a t ln a t  ln 1  a t  a t ln a t  1  a t  ln 1  a t   at Ta có: f '(t )    với t  t2 1  a t  t Vậy f (t ) nghịch biến với t  Nên với x  y   f ( x)  f ( y ) hay (*) (đpcm) Trang 38 GV: Lienxo86 x ac 18)   bc b c (08) 38 908 900 - 0967 783 633 b  xa Xét hàm số: f ( x)     xb  a    với a, b, c  a  b b  xa Từ (*)  ln f ( x)  ln    xb  f '( x)  xa   ln   f ( x)  xb  x b www.giasuminhtam.com xb (*) với x, a, b   xa   x  b  ln    xb ba  x  b  x  b xa xb   xa ba  xa  ba  ln   f '( x)  ln     f ( x) (1)  xb  xa   x b  x a om TT gia su Minh Tam  hàm số g ( x ) nghịch biến với x   0;   am   xa ba Mà lim g ( x)  lim ln      g ( x)  với x  (2) x  x    xb  x a Từ (1) (2)  f '( x)  với x, a, b  a b  c với a, b, c  b (đpcm) su m a b c    ln  a abbc c   ln  abc    a ln a  b ln b  c ln c    a  b  c  ln a  ln b  ln c    Xét hàm số: f ( x )  ln x đồng biến với x  a a bb cc  abc a b c a   b in 19) a ab bc c  abc b c ht  hàm số f ( x ) đồng biến với x   0;   ac Vậy với c   f ( c)  f (0) hay    bc  c b  a  ba ba  xa ba Đặt g ( x)  ln   g '( x)     với x, a, b   2  x  a  x  b   x  a   xb  xa  x  a  x  b g ia Khi với a, b, c  ta ln có:  a  b  ln a  ln b    a ln a  b ln b  a ln b  b ln a    b  c  ln b  ln c    b ln b  c ln c  b ln c  c ln b  c ln c  a ln a  c ln a  a ln c   c  a  ln c  ln a     a ln a  b ln b  c ln c   a  ln b  ln c   b(ln c  ln a )  c(ln a  ln b) (*) Cộng vế (*) với a ln a  b ln b  c ln c ta được: w  a ln a  b ln b  c ln c    a  b  c  ln a  ln b  ln c  (đpcm) w 20)  a.2 a  b.2b  c.2 c    a  b  c   2a  2b  2c  với a, b, c   w Xét hàm số: f ( x)  x đồng biến với x   Khi với a, b, c  R ta ln có:  a  b   a  2b    a.2 a  b.2b  a.2b  b.2 a   b  b c c c b  b  c       b.2  c.2  b.2  c.2  c.2c  a.2 a  c.2 a  a.2c c a   c  a         a.2a  b.2b  c.2c   a  2b  2c   b(2c  2a )  c (2 a  2b ) (*) Cộng vế (*) với a.2a  b.2b  c.2c ta được:  a.2 a  b.2b  c.2 c    a  b  c   2a  2b  2c  (đpcm) Trang 39 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 2y x y với x, y  21) ln    x  2x  y 2y x(t  1) 2(t  1) x y   với t   tx  x  y  y  x(t  1)  Đặt t  t 1 x  y x  x(t  1) x Khi tốn trở thành chứng minh: ln t   t  1 t 1 t 1 với t  với t  om Xét hàm số f (t )  ln t   t  1 Với t   f (t )  f (1)   ln t   t  1 t 1  hay ln t   t  1 t 1 ba b ba với  a  b  ln  b a a ba b ba ln b  ln a Ta có:  ln     b a a b ba a với t  (đpcm) am 22) c (t  1)2   với t   hàm số đồng biến với t  Ta có: f '(t )   t  t  12 t  t  1 g ia su m in ht f ( x ) liên tục  a; b x f (b )  f ( a ) ln b  ln a (1) Áp dụng định lý La – gơ –  c   a; b  :  f '(c )   ba ba c 1 Mặt khác:  a  c  b    (2) b c a ln b  ln a (đpcm) Từ (1) (2)    b ba a 23) x n  x  với x  (0;1) 2ne 1 Ta có: x n  x   x n 1  x    2n 1  x  x n  2ne e 2ne Xét hàm số: f ( x )  ln x với x   a; b ta có: f '( x )   2n  2nx  2nx  Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2n 1  x  x n   2n  2nx     x.x x  2n    2n w w  2n  Ta cần chứng minh:    2n   n 1  2n    ln   e  2n   n 1  ln n 1  2n     2n   n 1 e   2n  1  ln  2n   ln  n  1   1 hay ln  n  1  ln  2n     2n  1 f ( x ) liên tục  2n; 2n  1 x f (2n  1)  f (2n) Áp dụng định lý La – gơ –  c   2n; 2n  1 : (1)  f '(c )  ln  2n  1  ln  2n   2n   2n c 1 (2) Mặt khác: c  2n    c 2n  1 Từ (1) (2)  ln  2n  1  ln  2n   (đpcm) 2n  w Xét hàm số: f ( x )  ln x với x   2n; 2n  1 ta có: f '( x )  Trang 40 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Ví dụ 14 Chứng minh rằng: 1) a ln b  b ln a  ln a  ln b với  a  b  a , b   x x (CĐ – 2009): x om  12   15   20  2)          3x  x  x với x   Khi đẳng thức xảy (B – 2005)  5  4   Giải: ln a ln b  2 a 1 b 1 1) a ln b  b ln a  ln a  ln b  ( a  1) ln b  (b  1) ln a  x am c (t  1)  2t ln t ln t  với t  (0;1) với t  (0;1) Ta có f '(t )  t Xét hàm số f (t )  (t  1)2 t 1 Suy f (t ) đồng biến khoảng (0;1) Khi  a  b   f ( a )  f (b ) ln a ln b hay (đpcm)  a 1 b 1 x ht  12   15   12  2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có:          5  4  5 x x  15     2.3x  4  15  x  20  x x       2.5 4    (1) Tương tự ta được:  x x  20   12      2.4 x       m in x  12   15  hay       2.3x  5  4 x (2) (3) su  12  x  15  x  20  x  Cộng bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:            3x  x  x           x x x g ia  12   15   20  hay          3x  x  x (đpcm)  5  4   Dấu “=” xảy dấu “=” (1), (2) (3) xảy  x  4x   Tính tổng: S  f   x 2  2013    f     2013   2012  f   2013  w w Ví dụ 15: Cho f ( x )  w Giải: Nếu a  b  ta có : f (a )  f (b )  4a  4b    4b  a   2.4 a b   a  4b    a  4b  4a 4b  b   a b   (*) 4a     4a  4b     a  4b   4a   4b   Áp dụng (*) ta :     2012      S f   f     f    2013     2013    2013       1003 Vậy S  1003   1003   2011   f      f    2013     2013  Trang 41 GV: Lienxo86  1004   f   2013   TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Ví dụ 16: Cho a, b, c  thỏa mãn:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  Chứng minh rằng: log a b a  log b c b  log c  a c  Giải: Thật vậy: … (các bạn xem lại cách chứng minh Ví dụ – ý 3) Áp dụng (*) ta có: log a  a  b   log a c  a  b  c    log a b a  log a b c  a  c  Tương tự ta có: logb c b  log ab c  a  b  c log c  a c  log a b c  c  b  om Với hai số x, y  z  ta ln có: log x y  log x  z  y  z  dấu "  " xảy : z  x  y (*)  log a b a  log b  c b  log c a c  log a b  c  a  b  b  c  c  a    log a b c  a  b  c     (đpcm) am Vậy log a b a  log b c b  log c  a c  in ht B BÀI LUYỆN Bài 1: Khơng dùng bảng số máy tính so sánh cặp số sau: 5) log  log 9) 2) 9 30 20 6) log log g ia 12) log0,1 log 0,2 0,34 3) m su 1) log w w w 1 1 1    1  3) log a  b    log b  c    log c  a    với a, b, c   ;1  4 4 4    4  Trang 42 GV: Lienxo86 2) log  log  1    3 log 14 log log 0,7 B  log  Bài 4: Khơng sử dụng máy tính chứng minh 1) log 29   log 8) log  14) log 16 log16 729 Bài 2: Xác định dấu biểu thức sau: A  log log 2; 3 11) log3 log 13) log9 80 log  1 4)   3 7) log log 10) 2log6 Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: 1) log b  c a  log c  a b  log a b c  với a, b, c  a a a 2) log 1    log    với a  TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Bài 5: Tìm tập xác định hàm số sau: 5) y  log  x2 2) y  (3  x  x ) x 1 x 1 6) y  log  x2   9) y  log 0,3  log3  x5   3) y   x x 1 x5 10) y  log 7) y  log x 1  log x  x  x 1 4) y  (2 x  16) 3 x 3 x 1 8) y  log 11) y  lg   x  x    Bài 6: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) hàm số sau: 1) f ( x)  e x  x đoạn [0;3] 2) f ( x)  ln( x  e) [0; e] 4) f ( x)  xe  x đoạn [0; 2] x  x6 c 3) f ( x)  log ( x  1) đoạn [1;3] x 1 2x  om 1) y  ( x  x  2) e 2 x 6) f ( x)  e x ( x  x  2) đoạn [1; 4] 1  8) f ( x)  x  ln x đoạn  ; e  2  am 5) f ( x)  x e đoạn [  1; 2] 7) f ( x)  ( x  1)e x đoạn [  1;1] x khoảng (0; ) 10) f ( x)  e2 x  4e x  đoạn [0; ln 4] ln x 1  11) f ( x)  log x  log x  log x   ;  1 4  2 in ht 9) f ( x)  su m Bài : Tìm m để bất phương trình : 1) x  3.2 x 1  m  có nghiệm với x   2) (3m  1).12 x  (2  m).6 x  3x  có nghiệm với x  3) x  x  m  có nghiệm với x  (0;1)  a b   ln  ln   với  a  b a  b  a 1 b 1  w w 3) g ia Bài : Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 1) e x   x  với x  2  x  2) ln   x    x với x  2  w Mọi ý kiến đóng góp bạn gửi theo email: giasu.minhtam@yahoo.com CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU ! PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT (các bạn theo dõi tiếp theo…) Trang 43 GV: Lienxo86 ... 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI c om LŨY THỪA (Giả sử biểu thức có nghĩa): m  1) a  2) a  n  n 3) a n  n...     7)  ab   a b b a b Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số phải khác +) Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương am A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính... x  1 x ht +) Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x   x với x  x 1   với x  1 x 1 x  hàm số f ( x ) nghịch biến với x   f ( x)  f (0)  in Ta có: f ''( x )  Ta có: g ''( x)  x với