GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ NHỚ 1: Ax = B PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT • A ≠ : phương trình có nghiệm x = • • B A A = B ≠ : phương trình vô nghiệm A = B = : phương trình vô số nghiệm Ax > B B x> A>0: A B x< A0 −b+ ∆ −b− ∆ x1 = , x2 = 2a 2a b ∆=0 Nghiệm kép x1 = x = − 2a ∆0 − b / + ∆/ − b / − ∆/ , x2 = x1 = a a GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ ∆/ = b/ Nghiệm kép x1 = x = − a / ∆ 0, ∀x Neáu ∆ <  a > ∆ <  a < f(x) < 0, ∀x ∆ =  a > ∆ =  a < ∆>0 f(x) > 0, ∀x ≠ − b 2a f(x) < 0, ∀x ≠ − b 2a x –∞ x1 f(x) cuøng true dấu a x2 +∞ NHỚ : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SOÁ Cho: f(x) = ax + bx + c ( a ≠ 0) α, β hai số thực 1/ Muốn có x1 < α < x2 ta phải có af(x) <  ∆ >  2/ Muốn có x2 > x1 > α ta phải coù af (α ) > S  −α > 2  ∆ >  3/ Muốn có x1 < x2 < α ta phải có af (α ) > S  −α < 2 af (α ) < 4/ Muốn có x1< α < β < x2 ta phải có  af ( β ) < GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ af (α ) < 5/ Muốn có x1< α < x2 6/ Muốn có  x1 < α < x < β α < x < β < x  ta phải có 7/ Muốn có ∆ > af (α ) >   af ( β ) >  α < S < β   α < x1 < x2 x1 > x1 < x2 < α ta phải có P  ta phải có P > S >  ∆ >  P > S <  ta phaûi có NHỚ : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN B≥0  A=B⇔ 2K A = B A = B A = 2K B ⇔   A ≥ 0(hayB ≥ 0) NHỚ : A ≥  A < B ⇔ B >  A < B 2K   B <  A ≥ A>B⇔  B ≥   A > B K  1/ 2K 2/ 2K 3/ K +1 BAÁT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN A < B ⇔ A < B K +1 NHỚ :  A = B  B ≥ 1/ A = B ⇔   A = −B  B ≥  A = B 2/ A = B ⇔   A = −B PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ÑOÁI GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _  f ( x ) = g ( x )   x ≥ Chú ý: f ( x ) = g ( x) ⇔   f (− x) = g ( x)   x ≤  NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI − B < A < B 1/ A < B ⇔  B >   B <  A > B 2/ A > B ⇔   B ≥   A < − B  B ≥  2 3/ A > B ⇔ A > B NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC 1/ Định nghóa : Dạng : A > B, A ≥ B A < B, A ≤ B 2/ Tính chất : a) a > b ⇔ b < a a > b ⇒a>c b)  b > c c) a > b ⇔ a + c > b + c ac > bc, c > d) a > b ⇔  ac < bc, c < a > b ⇒ a+c >b+d e)  c>d  a > b > ⇒ ac > bd f)  c>d >0  1 a < b g) a > b ⇒  1 > a b  ; ab> ; ab< 3/ BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3, , an a1 + a + a + + a n ≥ n a1 a a .a n n n  a + a + a + + a n  a1 a a3 .a n ≤   hay n   Dấu đẳng thức xảy ⇔ a1 = a2 = a3 = = an 4/ BÑT Bunhia Coâp ski : Cho a1, a2, a3, , an, b1, b2, b3, , bn số tực đó: GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ 2 2 2 (a1b1 + a b2 + + a n bn ) ≤ (a1 + a + + a n )(b1 + b2 + + bn ) Dấu đẳng thức xảy ⇔ = k.bi , i = , , 3, , n 5/ BÑT BecnuLi : Cho : a > –1, n ∈ N Ta coù : (1 + a)n ≥ + na a = Đẳng thức xảy ⇔  n = 6/ BĐT tam giác : A+ B ≤ A + B Đẳng thức xảy ⇔ AB ≥ NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A HỆ THỨC CƠ BẢN ( công thức ) 1/ Sin x + Cos x = Sinx 2/ Tanx = Cosx Cosx 3/ Cotx = Sinx Tanx.Cotx = 4/ 5/ + Tan x = Cos x 6/ + Cot x = Sin x Điều kiện tồn : • Tanx x ≠ π/ + kπ , k ∈ Z • Cotx x ≠ kπ ,k∈Z • Sinx – ≤ Sinx ≤ • Cosx – ≤ Cosx ≤ Chú ý : • a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab • a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b) B CÔNG THỨC CỘNG ( công thức ) 7/ Cos (a + b) = CosaCosb − SinaSinb 8/ Cos (a − b) = CosaCosb + SinaSinb 9/ Sin(a + b) = SinaCosb + CosaSinb 10/ Sin(a − b) = SinaCosb − CosaSinb Tana + Tanb 11/ Tan(a + b) = − TanaTanb Tana − Tanb 12/ Tan(a − b) = + TanaTanb CotaCotb − 13/ Cot (a + b) = Cota + Cotb CotaCotb + 14/ Cot (a − b) = Cota − Cotb C CÔNG THỨC NHÂN I NHÂN ĐÔI : ( công thức) 15/ Sin2a = 2SinaCosa GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ 16/ Cos 2a = 2Cos a − = − Sin a = Cos a − Sin a 2Tana 17/ Tan 2a = − Tan a II NHÂN BA : ( công thức) 18/ Cos3a = 4Cos a − 3Cosa 19/ Sin3a = 3Sina − Sin a 3Tana − Tan a 20/ Tan3a = − 3Tan a III.HẠ BẬC : ( công thức) − Cos 2a 21/ Sin a = ⇒ − Cos 2a = Sin a + Cos 2a 22/ Cos a = ⇒ + Cos 2a = 2Cos a 3Sina − Sin3a 23/ Sin a = 3Cosa + Cos3a 24/ Cos a = IV GÓC CHIA ĐÔI : ( công thức) 2t 25/ Sinx = 1+ t2 x 1− t2 26/ Cosx = , với t = Tan 2 1+ t 2t 27/ Tanx = 1− t2 D TỔNG THÀNH TÍCH : ( công thức) a+b a −b Cos 28/ Cosa + Cosb = 2Cos 2 a+b a−b Sin 29/ Cosa − Cosb = −2 Sin 2 a+b a−b Cos 30/ Sina + Sinb = Sin 2 a+b a−b Sin 31/ Sina − Sinb = 2Cos 2 Sin(a + b) 32/ Tana + Tanb = CosaCosb Sin(a − b) 33/ Tana −Tanb = CosaCosb Sin(a + b) 34/ Cota + Cotb = SinaSinb − Sin(a − b) 35/ Cota − Cotb = SinaSinb E TÍCH THÀNH TỔNG : ( công thức) 36/ CosaCosb = [ Cos ( a − b ) + Cos (a + b)] GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ 37/ SinaSinb = [ Cos (a − b) − Cos (a + b)] 38/ SinaCosb = [ Sin(a − b) + Sin(a + b)] F CUNG LIEÂN KEÁT : Cos(–α) = Cosα ; Sin(–α) = – Sinα Cos đối Sin(π – α) = Sinα ; Cos(π – α) = – Cosα Sin buø Sin(π/2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α) = Sinα Phụ chéo Khác π Tan Tan(π + α) = Tanα ; Cot(π + α) = Cotα Sai keùm π/ Sin(π/2 + α) = Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα A CƠ BẢN : NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC u = v + k 2π ⇔ k∈Z u = π − v + k 2π ⇔ u = ±v + k 2π Cosu = Cosv ⇔ u = v + kπ Tanu = Tanv ⇔ u = v + kπ Cotu = Cotv ⇔ u = kπ Sinu = ⇔ u = π / + k 2π Sinu = ⇔ u = −π / + k 2π Sinu = –1 ⇔ u = π / + kπ Cosu = ⇔ u = k 2π Cosu = ⇔ u = π + k 2π Cosu = – B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin Cos Dạng aSinx + bCosx = c ( a2 + b2 ≠ ) Phương pháp : Cách 1: Chia hai vế cho a + b a b = Cosα ; = Sinα Đặt : a2 + b2 a2 + b2 c Sin( x + α ) = Ta coù (*) a + b2 Sinu = Sinv (*) Có nghiệm (*) Vô nghieäm c ≤1 a2 + b2 ⇔ a2 + b2 ≥ c2 ⇔ a2 + b2 < c2 Caùch 2: • Kiểm chứng x = (2k + 1)π có phải nghiệm phương trình hay không? x • Xét x ≠ (2k + 1)π Đặt : t = Tan 2t 1− t2 Sinx = ; Cosx = Thế 1+ t2 1+ t2 Vào phương trình ⇒t? ⇒x? GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1/ Đối với hàm số lượng giác: Giả sử a≠ aSin x + bSinx + c = ( đặt t = Sinx , t ≤ ) aCos x + bCosx + c = (đặt t = Cosx , t ≤ ) π + kπ ) aCot x + bCotx + c = ( ñaët t = Cotx , x ≠ kπ ) 2/ Phương trình đẳng cấp Sinx, Cosx aSin x + bSinxCosx + cCos x = (1) Daïng: aSin x + bSin xCosx + cSinxCos x + dCos x = (2) Phương pháp : Cách 1: ∗ Kiểm x = π/ + kπ có phải nghiệm phương trình ? ∗ Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình cho dạng phương trình bậc hai, bậc ba Tanx Cách 2: Sin 2x Dạng (1) sử dụng công thức hạ bậc SinxCosx = vào 3/ Phương trình đối xứng Sinx, Cosx: Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = (*) π t = Sinx + Cosx = Sin( x + ), t ≤ Phương pháp: Đặt : t −1 (*) ⇔ at + b +c =0 ⇒ t ( có) ⇒x ( đặt t = Tanx , x ≠ aTan x + bTanx + c = Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = (*) giải tương tự : π t ≤ Đặt : t = Sinx − Cosx = Sin( x − ), 1− t2 (*) ⇔ at + b +c =0 ⇒ t ? ( có) ⇒ x ? D PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 1/ Tổng bình phương : • A2 + B2 + + Z2 = ⇔ A = B = = Z = • A ≥ 0, B ≥ 0, , Z ≥ Ta coù : A + B + + Z = ⇔ A = B = .= Z = 2/ Đối lập : Giả sử giải phương trình A = B (*) A ≤ K Nếu ta chứng minh  B ≥ K A = K (*) ⇔  B = K GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ A ≤ l A = l  ⇔ 3/  B ≤ k B = k A + B = l + k  4/ A ≤ 1, B ≤ A =  A = −1 AB = ⇔  hay  B =  B = −1 NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG Tam giác thường ( định lý) • a = b + c − 2bcCosA Haøm số Cosin b2 + c2 − a2 • CosA = 2bc a b c = = = 2R • SinA SinB SinC Hàm số Sin a SinA = • a = RSinA, 2R A− B Tan = a−b • Hàm số Tan A+ B a+b Tan a = bCosC + cCosB Các chiếu • Trung tuyến • ma Phân giác • la = • S= • S= • S= • S= • S= Diện tích Diện tích 2(b + c ) − a = A 2bc.Cos b+c 1 aha = bhb = chc 2 1 bcSinA = acSinB = abSinC 2 pr abc 4R p ( p − a )( p − b)( p − c) Chú ý: • • • • • • • S A B C = ( p − a )Tan = ( p − b)Tan = ( p − c)Tan p 2 abc a b c R= = = = S SinA SinB SinC a, b, c : cạnh tam giác A, B, C: góc tam giác ha: Đường cao tương ứng với cạnh a ma: Đường trung tuyến vẽ từ A R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giaùc r= GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ a+b+c • p= Nữa chu vi tam giác Hệ thức lượng tam giác vuông: AH = BH CH A • AH BC = AB AC 1 B = + C 2 H AH AB AC • AB = BH BC • AC = CH CB • BC = AB + AC NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ Cho tam giác ABC : A B C 1/ SinA + SinB + SinC = 4Cos Cos Cos 2 A B C 2/ CosA + CosB + CosC = + Sin Sin Sin 2 3/ TanA + TanB + TanC = TanA.TanB.TanC ( tam giác ABC không vuông) A B C A B C 4/ Cot + Cot + Cot = Cot Cot Cot 2 2 2 A B B C C A 5/ Tan Tan + Tan Tan + Tan Tan = 2 2 2 2 6/ Sin A + Sin B + Sin C = + 2CosA.CosB.CosC 7/ Cos A + Cos B + Cos C = − 2CosA.CosB.CosC 8/ Sin( A + B ) = SinC A+ B C Cos ( A + B ) = −CosC Sin = Cos ; 2 A+ B C A+ B C Cos = Sin Tan = Cot ; 2 2 3 9/ SinA.SinB.SinC ≤ 10/ CosA.CosB.CosC ≤ A B C 3 11/ Cos Cos Cos ≤ 2 A B C 12/ Sin Sin Sin ≤ 2 2 13/ Cos A + Cos B + Cos C ≥ 4 2 14/ Sin A + Sin B + Sin C ≤ 2 15/ Tan A + Tan B + Tan C ≥ B C A + Sin + Sin < 16/ ≤ Sin 2 A B C + Cos + Cos ≤ 17/ < Cos 2 B C A + Tan + Tan ≥ 18/ Tan 2 10 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ B C A + Cot + Cot ≥ 19/ Cot 2 3 20/ Sin A + Sin B + Sin 2C ≤ 21/ Cos A + Cos B + Cos 2C ≥ − NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghóa 1: Hàm số y = f (x) gọi liên tục điểm x = a : 1/ f (x) xác định điểm x = a 2/ lim f ( x) = f (a ) x →a Định nghóa 2: f (x) liên tục ñieåm x = a ⇔ xlim+ f ( x) = xlim− f ( x ) = f (a ) →a →a Định lý : Nếu f (x) liên tục [a, b] vaø f ( a) f (b) < tồn điểm c∈ (a, b) cho f (c) = NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ 1/ Định nghóa : Cho a > 0, a ≠ ( cố định) Hàm số mũ hàm số xác định công thức : y = ax ( x ∈ R) 2/ Tính chất : a) Hàm số mũ liên tục R b) y = ax > moïi x ∈ R c) a > : Hàm số đồng biến x1 x2 a < a ⇔ x1 < x d) < a < : Hàm số nghịch biến x1 x2 a < a ⇔ x1 > x x x (0 < a ≠ 1) Chú ý : a < a ⇔ x1 = x 3/ Đồ thị : (a> 1) y y ( < a < 1) 1 NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT 1/ Định nghóa : a > 0, a ≠ 1, N > a) Cho Logarit số a N số mũ M cho : aM = N Ký hiệu : logaN = M b) Hàm số logarit theo số a ( a > 0, a ≠ ) đối số x hàm số cho công thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a ≠ 1) 2/ Tính chất định lý logarit : Giả sử logarit có điều kiện thỏa mãn TC1 : logaN = M ⇔ aM = N TC2 : loga aM = M , a log a M = M TC3 : loga = 0, loga a = TC4 : loga (MN) = loga M + loga N 11 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ M log a = log a M − log a N TC5 : N TC6 : Đổi số log c N log a N = ; log a b = log c a log b a 3/ Đồ thị : (a> 1) y y ( < a < 1) 1 x x 4/ Phương trình Logarit : log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) ( f(x) hoaëc g(x) > , < a ≠ ) 5/ Bất phương trình Logarit : log a f ( x) < log a g ( x ) (*)  f ( x) > a >1 (*) ←→   f ( x) < g ( x)  g ( x) > 0< a (*) ← g ( x ) NHỚ 19 : ĐẠO HÀM I/ Định nghóa đạo hàm : Cho hàm số y = f(x) , xác định ( a, b) , x0 ∈ ( a, b) Ta nói f(x) có đạo hàm x0 ∆y ∆x → tồn giới hạn ∆x f ( x + ∆x) − f ( x0 ) ∆y f ' ( x0 ) = lim = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆y − f ' ( x0 ) = lim− ∗ Đạo hàm bên trái : ( tồn ) ∆x →0 ∆x ∆y + f ' ( x0 ) = lim+ ∗ Đạo hàm bên phải : ( tồn taïi ) ∆x → ∆ x  Cho y = f(x) xác định (a, b) y = f(x) có đạo hàm x0 ∈ (a, b) ⇔ f ‘(x0+) = f ’(x0–) II/ Qui tắc tính đạo hàm : ' ' ' ' 1/ (a + b + + c ) = a + b + + c ' ' ' 2/ (ab) = a b + a.b (abc ) ' = a ' b.c + a.b ' c + a.b.c ' ' ' '  a  a b − ab 3/   = ( b ≠ 0) b2 b (cu ) ' = c.u ' (c ∈ R ) ' u' 1   =− u u III/ Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp : TT Hàm số Đạo hàm 12 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ y’ = y=c y’ = y=x y = xα y ' = α x α −1 y = uα y ' = α u α −1 u ' 1 y= y' = − x x y= x y' = x u' ' y= u y = u ' y = Sinx y = Cosx y = Sinu y ' = u ' Cosu y = Cosx y = Cosu y = Tanx y = Tanu y = Cotx y = Cotu y = arcSinx 10 y = arcCosx 11 y = arcTanx 12 y = arcCotx 13 y = ax y = au 14 y = eu y = eu y = Lnx 15 y = Lnu y = Ln x 16 17 y = Ln u y = log a x y ' = − Sinx y ' = −u ' Sinu y' = Cos x u' y' = Cos u y' = − Sin x u' y' = − Sin u y' = 1− x2 y' = − 1− x2 y' = 1+ x2 y' = − 1+ x2 y ' = a x Lna y ' = u ' a u Lna y' = ex y ' = u 'eu y' = x u' y' = u y' = x u' y' = u y' = xLna 13 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG Nếu f(x) liên tục [a, b] có đạo hàm khoảng (a, b) tồn điểm x = c , c ∈ (a, b) f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a) NHỚ 21 : 1/ Công thức NewTon _ Leibnitz : b ∫ f ( x)dx = [ F ( x)] b a BẢNG TÍCH PHÂN = F (b ) − F ( a ) a với F(x) nguyên hàm f(x) [a, b} 2/ Tích phân phần : b b ∫ udv = [u.v] − ∫ vdu b a a a với u, v liên tục có đạo hàm liên tục [a, b] 3/ Đổi số : β b ∫ f ( x)dx = α f [ϕ (t )].ϕ (t )dt ∫ ' a với x = ϕ(t) hàm số liên tục có đạo hàm ϕ’(t) liên tục [a, b] , α ≤ t ≤ β a = ϕ(α), b = ϕ(β), f[ϕ(t)] hàm số liên tục [α,β ] 4/ Tính chaát : b a) ∫ a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b a b) ∫ f ( x)dx = a b c) ∫ a c b f ( x) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x )dx a c b b b a a d) ∫ [ f ( x ) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx a b e) b ∫ Kf ( x)dx = K ∫ f ( x)dx a a f) Neáu ,K ∈ R m ≤ f(x) ≤ M b m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) a 5/ Bảng tích phân : TT Công thức α +1 x + c (α ≠ −1) ∫ x α dx = α +1 (ax + b) α +1 α +c ∫ (ax + b) dx = a α +1 1 + c (α ≠ 1) ∫ α dx = − x (α − 1) x α −1 14 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ dx =− +c (α ≠ 1) ∫ α (ax + b) a (α − 1)(ax + b) α −1 dx = Ln x + c ∫ x dx = Ln ax + b + c ∫ ax + b a ,K ∈R ∫ Kdx = Kx + c 10 11 12 13 14 ∫e ∫e x dx = e x + c ax + b ax +c Lna ∫ Sinxdx = −Cosx + c ∫ Sin(ax + b)dx = − a Cos(ax + b) + c ∫ Cosxdx = Sinx + c ∫ Cos(ax + b)dx = a Sin(ax + b) + c dx ∫ Cos 16 ∫ Sin 17 ∫x 19 20 21 22 23 24 ax +b e +c a x ∫ a dx = 15 18 dx = x dx x = Tanx + c = −Cotx + c dx = arcTanx + c +1 dx x ∫ x + a = a arcTan a + c dx x−a ∫ x − a = 2a Ln x + a + c dx a+x ∫ a − x = 2a Ln a − x + c dx x ∫ a − x = arcSin a + c (a > 0) dx ∫ x + h = Ln x + x + h + c x a2 x 2 2 ∫ a − x dx = a − x + arcSin a + c (a > 0) x h 2 ∫ x + h dx = x + h + Ln x + x + h + c 1/ Hoán vị : NHỚ 22 : Pn = n! 2/ Tổ hợp : C nK = HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP n! K !(n − K )! n  C nK = C n − K 15 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ n  Cn = Cn =  C nK−1 + C nK−−1 = C nK 1 n  C n + C n + + C n = n n! AnK = (0 ≤ K ≤ n ) 3/ Chỉnh hợp : (n − K )! NHỚ 23 : SỐ PHỨC 1/ Phép tính : ∗ Cho z’ = a’ + b’i z ± z’ = ( a ± a’) + ( b ± b’)i z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i ∗ z = r.(Cosα + i.Sinα) z’ = r’(Cosβ + i.Sinβ) z, z’ ≠ z.z’ = r.r’[Cos(α + β) + i.Sin(α + β)] z r = [Cos (α − β ) + iSin(α − β )] z' r ' 2/ MoaVrô : [r (Cosα + iSinα )] n = r n (Cosnα + iSinnα ) z = a + bi 3/ Căn bậc n số phức z = r.( Cosα + i.Sinα ) : α + K 2π α + K 2π Z K = n r (Cos + i.Sin ) n n với K = 0, 1, 2, , n – NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ : • •  →  →  → M ( x, y ) ⇔ OM = xe1 + ye2 Cho A( xA, yA ) B( xB, yB )  → 1) AB = ( x B − x A , y B − y A ) 2) AB = ( x B − x A , y B − y A ) x A + xB  x =  3) Tọa độ trung điểm I cuûa AB :   y = y A + yB   4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ : • Phép toaùn : Cho → a = (a1 , a ) → b = (b1 , b2 ) → → a1 = b1 1) a = b ⇔  a = b2 16 x A − k x B  x = − k    y = y A − k.y B  1− k  GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ → → 2) a ± b = (a1 ± b1 , a ± b2 ) → 3) m a = (ma1 , ma ) →→ 4) a b = a1b1 + a b2 → 5) a = a1 + a → → 6) a ⊥ b ⇔ a1b1 + a b2 = a1b1 + a b2 → → Cos a , b  = 7) 2 2   a1 + a b1 + b2 B ĐƯỜNG THẲNG  x = x + a1t 1/ Phương trình tham số :   y = y0 + a2t Vectơ phương → a = (a1 , a ) 2/ Phương trình tổng quát : • Pháp vectô → n = ( A, B ) y → → a = (− B, A) ( hay a = ( B,− A) ) A K =− ( B ≠ 0) Hệ số góc • B 3/ Phương trình pháp daïng : A B C x+ y+ =0 A2 + B A2 + B A2 + B 4/ Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc K : y − y = K ( x − x0 ) • Vectơ phương Ax + By + C = ( A2 + B2 ≠ 0) 5/ Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) : (x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA) x − xA y − yA = hay xB − x A y B − y A 6/ Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn) x y + =1 a b → x − x0 y − y   M ( x , y ), a = (a, b)  =  7/ Phương trình tắc :   a b x − x0 y − y = ⇔ x − x0 = * Quy ước : b x − x0 y − y = ⇔ y − y0 = a 8/ Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) : x y + =1 a b 9/ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến Ax + By + C = : 17 x GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ Ax0 + By + C A2 + B 10/ Vị trí tương đối hai đường thẳng : d1: A1x + B1y + C1 = d2: A2x + B2y + C2 = A B1 D= A2 B2 Dx = Dy = − C1 B1 − C B2 A1 − C1 A2 − C * d1 caét d2 ⇔ D ≠ D = D = * d1 // d ⇔  hay  D x ≠ D y ≠ * d1 ≡ d ⇔ D = D x = D y = Chú ý : A2, B2, C2 ≠ A1 B1 ≠ d1 caét d2 ⇔ A2 B2 A B C d1 // d ⇔ = ≠ A2 B2 C A B C d1 ≡ d ⇔ = = A2 B2 C 11/ Góc hai đường thẳng d1 d2 : Xác định công thức : Cosϕ = A1 A2 + B1 B2 2 A12 + B12 A2 + B2 12/ Phương trình đường phân giác góc tạo d1 d2 : A1 x + B1 y + C1 A x + B2 y + C =± 2 A12 + B12 A2 + B22 * Chú ý : Phương trình đường phân Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo d1, d2 giác góc tù tạo d1, d2 – t = t2 t1 = – t + t1 = – t t1 = t C ĐƯỜNG TRÒN : 1/ Định nghóa : M ∈ (c) ⇔ OM = R 2/ Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R : ( x − a ) + ( y − b) = R Daïng : x + y − 2ax − 2by + c = Daïng : Với R = a + b − c ≥ 3/ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn M( x 0, y0) (x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2 ( Daïng 1) x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = ( Daïng 2) D ELIP → → Dấu n1 n2 18 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ PT tắc x2 y x2 y + =1 + =1 a2 b a b2 Lyù thuyeát (a > b ) (a < b ) Trục lớn, độ dài Trục nhỏ, độ dài Liên hệ a, b, c Tiêu điểm Đỉnh Tâm sai Đường chuẩn Bán kính qua tiêu Pt tiếp tuyến M(x0 , y0) Pt hình chữ nhật sở Điều kiện tiếp xúc với Ax + By + C = E HYPEBOL PT tắc Lý thuyết Trục thực, độ dài Trục ảo, độ dài Liên hệ a, b, c Tiêu điểm Đỉnh Tâm sai Đường chuẩn Tiệm cận Bán kính qua tiêu Pt tiếp tuyến M(x0 , y0) Điều kiện tiếp xúc với Ax + By + C = Ox, 2a Oy, 2b c = a2 – b2 F1(– c, 0), F2( c, 0) A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b) c e= a a x=± e MF1 = a + ex MF2 = a – ex x0 x y0 y + =1 a2 b  x = ±a   y = ±b Oy, 2b Ox, 2a c = b2 – a2 F1(0,– c), F2( 0, c) A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b) c e= b b y=± e MF1 = b + ey MF2 = b – ey x0 x y0 y + =1 a2 b  x = ±a   y = ±b A2a2 + B2b2 = C2 A2a2 + B2b2 = C2 x2 y − =1 a b2 y x2 − =1 b2 a2 Ox, 2a Oy, 2b c = a2 + b2 F1(– c, 0), F2( c, 0) A1,2( ± a, 0) c e= a a x=± e b y=± x a M ∈ nhánh phải MF1 = ex + a MF2 = ex – a M ∈ nhaùnh traùi MF1 = – (ex + a) MF2 = – (ex – a) x0 x y0 y − =1 a2 b Oy, 2b Ox, 2a c = a2 + b F1(0,– c), F2( 0, c) B1,2(0, ± b) c e= b b y=± e b y=± x a M ∈ nhánh phải MF1 = ey + b MF2 = ey – b M ∈ nhaùnh traùi MF1 = – (ey + b) MF2 = – (ey – b) y0 y x0 x − =1 b2 a A2a2 – B2b2 = C2 B2b2 – A2a2 = C2 19 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ F PARAPOL Pt tắc y2 = 2px y2 = – 2px y2 = 2py y2 = – 2py Lyù thuyeát p p   p   p  F  ,0÷ F  − ,0÷ F  0, ÷ F  0, − ÷ Tiêu điểm 2 2     2  p p p p x=− x= y=− y= Đường chuẩn 2 2 Điều kiện tiếp xúc B2p = 2AC B2p = – 2AC A2p = 2BC A2p = – 2BC với Ax + By + C = NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :  → → → → • M ( x, y, z ) ⇔ OM = x e + y e + z e → → → → → • a = (a1 , a2 , a3 ) ⇔ a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 • Cho A( x A , y A , z A ), B ( xB , yB , z B )  → 1) AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A ) 2) AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) x A + xB  x =  y A + yB  3) Toïa độ trung điểm I AB :  y =  z A + zB  z =  4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ : • Phép toán : Cho → a = (a1 , a2 , a3 ) → b = (b1 , b2 , b3 ) a1 = b1  1) a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 → → → → 2) a ± b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) → 3) m a = (ma1 , ma2 , ma3 ) →→ 4) a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 → 2 5) a = a1 + a2 + a3 20 x A + kxB  x = 1− k  y A + kyB  y = 1− k  z A + kzB  z = 1− k  GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ → → 6) a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = a1b1 + a2b2 + a3b3 → → Cos  a , b ÷ = 7) 2   a12 + a2 + a3 b12 + b2 + b32 8) Tích vô hướng hai Vectơ  → →   a2 a3 a3 a1 a1 a2   a, b  =  b b , b b , b b ÷    3 1 ÷   Điều kiện đồng phẳng : → → → → → → Đồng phẳng ⇔  a , b  c = a, b, c   * Diện tích tam giác ABC : S = → →      AB , AC    B PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG :  x = x0 + a1t1 + b1t2  1/ Phương trình tham số :  y = y0 + a2t1 + b2t2 , (t1 , t2∈ R ) z = z + a t + b t 31  → Cặp Vectơ phương ( VCP) → a = ( a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) 2/ Phương trình tổng quát : Ax + By + Cz + D = → n = ( A, B, C ) Vectơ pháp tuyến ( VPT) Đặc biệt : • By + Cz + D = song song truïc ox • Cz + d = song song mặt phẳng oxy • Ax + By + Cz = qua gốc tọa độ • By + Cz = chứa trục ox • z=0 mặt phẳng oxy → 3/ Phương trình mặt phẳng qua M( x0, y0, z0) ,có VPT n = ( A, B, C ) laø: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = x y z + + =1 4/ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn tên trục tọa độ: a b c 5/ Cho α : A1x + B1y + C1z + D1 = β: A2x + B2y + C2z + D2 = a/ Goùc mặt phẳng : Tính công thức : A1 A2 + B1 B2 + C1C2 Cosϕ = 2 A12 + B12 + C12 A22 + B2 + C2 b/ Vuông góc : α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = c/ Vị trí tương đối : • α cắt β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A1 B1 C1 D1 = = = • α ≡β ⇔ A2 B2 C2 D2 21 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ A1 B1 C1 D1 = = ≠ • α // β ⇔ A2 B2 C2 D2 Với A2, B2, C2, D2 ≠ d/ Phương trình chùm mặt phẳng có dạng m( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = Với m2 + n2 ≠ α cắt β C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:  x = x0 + a1t  1/ Phương trình tham số :  y = y0 + a2t , t ∈ R z = z + a t  Với → a = (a1 , a2 , a3 ) Vectơ phương 2/ Phương trình tổng quát :  A x + B1 y + C1 z + D1 = d :  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 Với A12 + B12 + C12 > 2 A22 + B2 + C2 > → → →  d có Vectơ phương a =  n1 , n2    3/ Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) laø x − xA y − yA z − zA = = xB − x A y B − y A z B − z A D VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1/ Hai đường thẳng : → d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ phương a = (a1 , a2 , a3 ) ' ' ' d ' qua N ( x0 , y0 , z0 ) coù Vectơ phương * d, d’ nằm mặt phaúng → b = (b1 , b2 , b3 ) →  → →   ⇔  a , b  MN =   →  → →   * d cheùo d’ ⇔  a , b  MN ≠   * Góc d d’ : Cosϕ = a1b1 + a2b2 + a3b3 2 a + a2 + a3 b12 + b2 + b32 2/ Đường thẳng mặt phẳng : → • d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ phương a = (a1 , a2 , a3 ) • mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = có vectơ pháp tuyến n = ( A, B, C ) → * d // ( α ) → →  ⇔ a n =  Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠  * d caét ( α ) ⇔ a.n ≠ → → 22 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ → →  ⇔ a n = * d⊂α  Ax0 + By0 + Cz0 + D =  ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C * d⊥α * Góc đường mặt phẳng : tính công thức a1 A + a2 B + a3C Sinϕ = 2 a12 + a2 + a3 A2 + B + C E KHOẢNG CÁCH : 1/ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) ñeán Ax + By + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 2/ Khoảng cách từ điểm N(x’0, y’0, z’0) đến đường thẳng d qua M(x0, y0, z0) → có VCP a = (a1 , a2 , a3 ) laø : →   →  MN , a     → a 3/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo d vaø d’ : →  → →   a , b  MN    → →   a, b    F MẶT CẦU : Phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R • (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 • x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = Với R2 = a2 + b2 + c2 – d ≥ NHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TT HÌNH VẼ KIẾN THỨC α ∩ β = d  d // α // β  a // b  d a α ⇒ d ≡ a   b a ⊂ β d ≡ b β  b ⊂ α  a// α α có a’ , a’//a d β a α d β α a α ∩ β = d  ⇒ a // d a ⊂ β  a // α  α ∩ β = d  ⇒ a // d  a // α  a // β  23 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ Neáu α chứa a b cắt nhau, a// β , b// a b α β α // β β P ∩ α = a   P ∩ β = b ⇒ a // b α // β  P α a β b a A' A P B' B Q C' C R Neáu P // Q // R chúng chắn tr6n hai cát tuyến a, b đoạn thẳng tỉ lệ AB A' B ' = BC B 'C ' b a P ∩Q = d  R∩P = a   ⇒ a // b // d R ∩Q = b   d // R  R d b P Q Nếu a ⊥ α a ⊥ b , ∀b ⊂ α a ⊥ α a vuông góc với hai đường thẳng b, c cắt α • Nếu a//b a ⊥ α b ⊥ α • Nếu a ⊥ α b ⊥ α a//b 10 11 α a b 12 • • β α // β a ⊥ α a ⊥ β Nếu a ⊥ α a ⊥ β α // β α a 13 b α β a α a b 14 O A' α H A B Neáu a chéo b * Có mộ tvà đường vuông góc chung * Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường * Có hai mặt phẳng song song mặt chứa đường ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN * Đoạn vuông góc chung OH đoạn ngắn * Hai đoạn xiên dài có hình chiếu dài ngược lại OA = OA’ ⇔ HA = HA’ *Hai đoạn xiên có độ dài khác đoạn xiên dài có hình chiếu dài ngược lại OB > OA ⇔ HB > HA 24 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ b 15 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG VUÔNG GÓC a ⊂ α đường xiên b có hình chiếu vuông a b' α góc α b’ , ta coù : a ⊥ b ' ⇔ a ⊥ b 16 a ⊂ α ⇒α ⊥ β  • a ⊥ β α Nếu α ⊥ β α ∩ β = d với a • a ⊂ α mà a ⊥ d a ⊥ β d β α ∩ β = d d  ⇒d ⊥P P ⊥ α • α β P ⊥ β P  17 18 A C B A' C' B' 19 S D A B C S : Diện tích hình phẳng H S’: Diện tích hình chiếu vuông góc H H’ α : Góc mặt phẳng chứa H mặt phẳng chứa H’ S ' = S Cosα HÌNH LĂNG TRỤ 1/ Định nghóa : Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt nằm hai mặt song song gọi hai đáy cạnh không thuộc hai đáy song song 2/ Các loại : * Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy * Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Ngoài có lăng trụ xiên 3/ Sxq, STP, V : * Sxq tổng diện tích mặt bên * Sxq chu vi thiết diện thẳng nhân với độ dài cạnh bên * Sxq lăng trụ đứng hay chu vi đáy nhân độ dài cạnh bên * STP = Sxq + 2Sđáy * V = B.h B : diên tích đáy h : chiều cao HÌNH CHÓP 1/ Định nghóa : Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt lại tam giác có chung đỉnh * Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên * Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy 25 GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ 2/ Sxq, STP, V : Sxq hình chóp hình chóp cụt • tổng diện tích tất mặt bên hình Hình chóp : STP = Sxq + Sđáy • Hình chóp cụt : • STP = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ Hình chóp : S xq = chu vi đáy x trung đoạn Hình chóp cụt : • S xq = ( CV đáy lớn + CV đáy bé) x trung • đọan Thể tích hình chóp : V = B.h B : diện tích đáy h : chiều cao Thể tích hình chóp cụt : • V = h B + B ' + B.B ' B, B’ : diện tích hai đáy h : chiều cao HÌNH TRỤ TRÒN XOAY 1/ Định nghóa : * Hình chữ nhật OO’A’A quay quanh cạnh OO’ tạo nên hình gọi hình trụ tròn xoay( hay hình trụ) _ Hai cạnh OA O’A’ vạch thành hai hình tròn gọi hai đáy _ Cạnh AA’ vạch thành mặt tròn xoay gọi mặt xung quanh hình trụ _ OO’ gọi trục hay đường cao hình trụ 2/ Sxq, STP, V : S xq = 2π Rh • • ( 20 • • STP = 2π R (h + R ) V = π R2h R : bán kính h : đường cao 26 ) GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97 _ _ 27 ... 17/ Tan 2a = − Tan a II NHAÂN BA : ( công thức) 18/ Cos3a = 4Cos a − 3Cosa 19/ Sin3a = 3Sina − Sin a 3Tana − Tan a 20/ Tan3a = − 3Tan a III.HẠ BẬC : ( công thức) − Cos 2a 21/ Sin a = ⇒ − Cos 2a... a 3Sina − Sin3a 23/ Sin a = 3Cosa + Cos3a 24/ Cos a = IV GOÙC CHIA ĐÔI : ( công thức) 2t 25/ Sinx = 1+ t2 x 1− t2 26/ Cosx = , với t = Tan 2 1+ t 2t 27/ Tanx = 1− t2 D TỔNG THÀNH TÍCH : ( công. .. a2b2 + a3b3 = a1b1 + a2b2 + a3b3 → → Cos  a , b ÷ = 7) 2   a12 + a2 + a3 b12 + b2 + b32 8) Tích vô hướng hai Vectơ  → →   a2 a3 a3 a1 a1 a2   a, b  =  b b , b b , b b ÷    3 1 ÷