A. Đặt vấn đề I Lý do chọn đề tài: Xuất phát từ chủ trơng của Đảng và nhà nớc là đào tạo nhân tài cho đất nớc. Cuộc sống mới yêu cầu phải đổi mới phơng pháp dạy học, đáp ứng nhu cầu của xã hội là đào tạo con ngời lao động sáng tạo, linh hoạt. Trong các đề thi học sinh giỏi Tiểu học, hầu nh đều có các bài tập về phân số. Vì vậy đòi hỏi học sinh không chỉ làm tốt các bài tập đại trà mà còn phải làm tốt các bài tập nâng cao. Kiến thức toán về phân số trải dài từ lớp 2 đến lớp 5, tập trung nhiều ở lớp 4 và lớp 5, điều đó chứng tỏ vai trò quan trọng của mạch toán phân số. Thế nhng khi dạy toán về phân số có rất nhiều giáo viên còn lúng túng, cha biết dạy nh thế nào, phân loại ra sao, chọn phơng pháp nào, nội dung nào dạy trớc, nội dung nào dạy sau. Xuất phát từ lý do trên, tôi mạnh dạn lựa chọn để viết một vài điều mà tôi biết và học hỏi đợc về phân số. Rất mong nhận đợc sự đóng góp, giúp đỡ của BGH và đồng nghiệp. II. Nội dung Các dạng bài toán, và phơng pháp giải. Sau khi tìm hiểu kĩ về nội dung, phân phối chơng trình của lớp 4, 5, ta có thể chia thành các dạng bài sau. - Dạng bài về cấu tạo phân số - Dạng bài về so sánh và sắp xếp phân số - Dạng bài về rèn kĩ năng 4 phép tính phân số. - Dạng bài về giải toán có lời văn điển hình về Phân số A.Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số Một số kiến thức cần lu ý 1. Để kí hiệu phân số có tử số bằng a, mẫu số bằng b(với a, b N và 0),ta viết b a Mẫu số b chỉ phần bằng nhau đợc chia ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần đợc lấy đi Phân số b a còn hiểu là thơng của phép chia a : b ( còn dấu gạch ngang của phân số là dấu chỉ phép chia) 2. Mọi số tự nhiên a đều có thể coi là một phân số có mẫu số bằng 1. a = 1 a và có mẫu số khác nhau 5 = 3 15 = = 4 20 3. Phân số a/b có: a> b phân số > 1 a< b phân số < 1 a= b phân số = 1 4. Nếu nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho một số tự nhiên khác 0 thì ta đợc một phân số mới bằng phân số đã cho. 5. Phân số không rút gọn đợc nữa gọi là phân số tối giản, phân số có mẫu số là 10, 100,1000 gọi là phân số thập phân. 6. Nếu cộng cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số hoặc trừ cả tử và mẫu số đi cùng một số thì giữa tử số và mẫu số không thay đổi, 7. Quy đồng mẫu số các phân số: a. Quy đồng mẫu số các phân số là làm cho các phân số ấy cùng mẫu số chung mà giá trị của chúng không thay đổi. b. Muốn quy đồng mẫu số các phân số, ta làm nh sau: Bớc 1: Tìm mẫu số chung Bớc 2 : Chia mẫu số chung cho từng mẫu số để tìm thừa số phụ Bớc 3 : Lần lợt nhân cả tử số và mẫu số của từng phân số với thừa số phụ t- ơng ứng. c. Ba cách tìm mẫu số chung : Quy tắc 1 : Nhân tất cả mẫu số với nhau Quy tắc 2 : Nếu mẫu số lớn nhất chia hết cho các mẫu số khác thì lấy luôn mẫu số lớn nhất đó làm mẫu số chung Quy tắc 3 : Đem mẫu số lớn nhất lần lợt nhân với 2, 3, 4, cho đến khi tích chia hết cho các mẫu số còn lại thì lấy tích đó làm mẫu số chung. Sau khi tóm tắt các kiến thức, tôi đa các ví dụ và hớng dẫn học sinh cách giải từng loại bài : I. Loại bài : Rút gọn phân số : 1. Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 VD: Rút gọn phân số 4 3 8 6 = cùng chia cả tử số và mẫu số cho 2 2. Chia dần từng bớc hoặc gộp các bớc (theo quy tắc chia một số cho một tích) VD: Rút gọn phân số 204 132 102 66 4:204 2:132 204 132 == , 51 33 2:102 2:66 = , 17 11 3:51 3:33 = Vậy 17 11 204 133 = Hoặc gộp: vì 2 x 2 x 3 = 12 nên 17 11 12:204 12:132 204 132 == 3. Dùng cách thử chọn theo các bớc: VD: Rút gọn phân số 65 26 Bớc 1: 26 : 13 = 2 Bớc 2: 65 : 13 = 5 Bớc 3: Cùng chia cho 13 5 2 13:65 13:26 65 26 == 4. Phân số có dạng đặc biệt: 111 11 ax ax aaaa aa = , 10101 101 abx abx ababab abab = Rút gọn các phân số sau: 3 2 333 222 = (cùng chia tử số và mẫu số cho 111) VD2: Rút gọn các phân số: a. 1442 1133 Bớc 1: 1133 : 11 = 103 Bớc 2: 1442 : 14 = 103 Bớc 3: Chia cả tử số và mẫu số cho 103 14 11 103:1442 103:1133 1442 1133 == b. 95 9999 9 1999 (100 chữ số 9 ở tử số và 100 chữ số 9 ở mẫu số) Ta nhận xét: 99.95 = 5 x 19999 9 (100 chữ số 9) Vậy 5 1 95 9999 9 1999 = II. Loại bài : Tìm số cha biết khi thêm bớt tử số và mẫu số : Vận dụng tính chất ở mục 6 phần những kiến thức cần lu ý, ta có ví dụ sau : VD1 : Cho phân số 28 17 . Tìm 1 số tự nhiên sao cho bớt một số tự nhiên đó ở tử số và thêm số đó vào mẫu số ta đợc 1 phân số mới. Rút gọn phân số mới, ta đợc phân số tối giản 4 1 . Giải Khi bớt 1 số tự nhiên ở tử số và thêm số đó vào mẫu số thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó là không thay đổi Tổng của tử số và mẫu số của phân số đó là: 17 + 18 = 45 Ta có sơ đồ: ? TS mới: ? 45 MS mới: Tử số mới là: 45 : (1 + 4) x 1 = 9 Số tự nhiên cần tìm là: 17 - 9 =8 Đáp số : 8 VD2 : Cho phân số 21 33 phải cùng bớt đi ở tử số và mẫu số với số nào để đợc phân số mới có giá trị là 3 5 ? Giải Tơng tự nh ví dụ 1 nhng lu ý : khi bớt ở cả tử số và mẫu số của cùng một phân số với 1 số tự nhiên khác 0 thì hiệu giữa tử số và mẫu số không thay đổi. Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đã cho là: 33 - 21 = 12 HS giải và tìm đợc số tự nhiên cần tìm là: 21 - 18 = 3 Đáp số: 3 III. Loại bài: Tìm phân số ban đầu: VD1: Tìm 1 phân số biết rằng nếu nhân tử số của phân số với 2 và giữ nguyên mẫu số thì ta đợc 1 phân số mới hơn phân số ban đầu là 36 7 . Gợi ý: Khi ta nhân 1 phân số với số tự nhiên, ta chỉ việc nhân tử số của phân số với số tự nhiên đó và giữ nguyên mẫu số. Vậy nhân tử số của phân số với 2 , giữ nguyên mẫu số tức là ta gấp phân số đó lên 2 lần. Bài toán đợc chuyển về dạng: tìm 2 số biết hiệu và tỉ số. Giải Nếu nhân tử số của phân số với 2 và giữ nguyên mẫu số thì ta đợc phân số mới gấp 2 lần phân số ban đầu. Ta có sơ đồ sau: Phân số ban đầu: 36 7 Phân số mới: Phân số ban đầu là: 36 7 : (2 - 1) = 36 7 Thử lại: 36 7 36 7 36 27 = x Tơng tự với bài: chia mẫu số của phân số với a và giữ nguyên tử số thì ta giảm số chia đi 3 lần hay giá trị của phân số đó gấp lên 3 lần. Do đó phân số mới gấp 3 lần phân số ban đầu, bài toán đa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỷ. B.Dạng hai : So sánh phân số Một số kiến thức cần lu ý 1. Khi so sánh 2 phân số - Có cùng mẫu số, ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. - Không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi so sánh nh trên. 2. Các phơng pháp thờng dùng khi so sánh 2 phân số - So sánh 2 phấn số cùng mẫu ( nh mục 1) - Nếu 2 phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì phân số đó sẽ lớn hơn. - So sánh qua một phân số trung gian: d c b a < và f e d c < thì f e b a < - So sánh 2 phần bù với 1 của mỗi phân số: d c b a << 11 thì d c b a > - So sánh 2 phần lớn hơn với 1 của mỗi phân số: 11 < d c b a thì d c b a < - So sánh bằng sơ đồ đoạn thẳng - So sánh bằng cách nhân tử số và mẫu số của phân số kia, so sánh rồi rút ra kết luận d c b a < suy ra a x d < c x d - So sánh bằng cách rút gọn phân số - So sánh phân số nghịch đảo d c b a :1:1 < hay c d a b < thì d c b a > c. Dạng 3: Thực hành 4 phép tính trên phân số: Một số kiến thức cần lu ý: 1. Phép cộng: - Muốn cộng 2 phân số cùng mẫu số, ta cộng tử số với tử số, giữ nguyên mẫu số (tơng tự với phép trừ phân số) - Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số của chúng, sau đó cồng tử số với tử số và giữ nguyên mẫu số. db cbda d c b a ì ì+ì =+ 2. Phép trừ: tơng tự nh phép cộng 3. Phép nhân, phép chia: nh SGK 4. Các tính chất của phép tính trên phân số: a. Tính chất giao hoán: b a d c d c b a +=+ b a d c d c b a ì=ì b. Tính chất kết hợp: ++=+ + f e d c b a f e d c b a và ìì=ì ì f e d c b a f e d c b a c. Tính chất phân phối: = +ì f e d c b a f e b a d c b a ì+ì d.Một số nhân với một hiệu: = ì f e d c b a f e b a d c b a ìì e. Tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ: n m d c n m b a n m d c b a ::: += + n m d c n m b a n m d c b a ::: = Một số loại toán: Loại 1: Viết phân số b a (a, b N và 0 < a < b) dới dạng tổng của các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau. VD: Hãy viết các phân số sau dới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau 35 13 ; ; 12 5 ; 35 6 Giải 35 1 5 1 7 1 35 1 35 7 35 5 35 175 35 13 ++=++= ++ = Tơng tự với 12 5 có 12 1 3 1 12 1 12 4 12 14 12 5 +=+= + = 35 1 7 1 35 1 35 5 35 15 35 6 +=+= + = Loại 2: Tính tổng của phân số: * Bài: 2 thừa số ở mẫu hơn kém nhau 1 đơn vị: 76 1 65 1 54 1 43 1 32 1 21 1 ì + ì + ì + ì + ì + ì = 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 +++++ =1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 7 1 = 7 6 7 1 1 = Tổng quát: 11 1 1 1 1 )1( 1 54 1 43 1 32 1 21 1 + = + + = + = +ì ++ ì + ì + ì + ì n n n nn nnn *Bài : Thừa số ở mẫu hơn kén nhau 2 đơn vị: VD: tính tổng: 119 2 97 2 75 2 53 2 31 2 ì + ì + ì + ì + ì = 11 1 9 1 9 1 7 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 ++++ = 11 10 11 1 1 = *Bài 3: Mẫu số của số hạng sau gấp đôi , gấp 3 số hạng đứng trớc: VD: Tính tổng:a) S = 279 1 243 1 81 1 27 1 9 1 3 1 1 ++++++ Ta có: S x 3 = 243 1 81 1 27 1 9 1 3 1 13 ++++++ Vậy S x 3 - S = 729 1 3 S x 2 = 729 2186 suy ra S = 729 1093 2: 729 2186 = b) S = 128 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 +++++ Cộng thêm 2 1 vào biểu thức đã cho, có: S + 2 1 = 128 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 ++++++ Nhận xét: 4 1 1 4 3 4 1 2 1 ==+ 8 1 1 8 7 8 1 4 1 2 1 ==++ S + 2 1 = 128 127 128 1 1 = S = 128 63 128 64127 2 1 128 127 = = d. Dạng 4: Các dạng toán có lời văn điển hình: Loại 1: Tìm tỉ số của 2 số: Loại 2: Tìm 1 phân số của một số: VD: Ba ngời chia nhau 720 ngàn đồng. Ngời thứ nhất đợc 6 1 số tiền, ngời thứ hai đợc 8 3 số tiền, còn lại bao nhiêu của ngời thứ 3. Tính số tiền của ngời thứ 3. Giải Phân số chỉ số tiền của ngời thứ ba là: 24 11 8 3 6 1 1 = + (tổng số tiền) Số tiền của ngời thứ 3 là: 330 24 11 720 =ì (ngàn) Đáp số: 330 ngàn Loại 3: Tìm 1 số khi biết giá trị một phân số của số ấy Loại 4: Tìm các số biết tổng và tỉ số của chúng Loại 5: Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của chúng Loại 6: Tìm số trung bình cộng VD: Tìm 4 phân số tối giản biết rằng: - Trung bình cộng của số thứ 1 và thứ 2 là 12 5 - Trung bình cộng của số thứ 2, số thứ 3 và số thứ 1 là 36 19 - Trung bình cộng của cả 4 số là 20 143 và số đầu kém số trung bình cộng của 2 số cuối là 40 11 đơn vị Giải Tổng của hai số đầu là: 12 10 2 12 5 =ì (1) Tổng của 3 số đầu là: 12 19 3 36 19 =ì (2) Tổng của 4 số là: 60 143 4 240 143 =ì Từ (1) và (2), ta thấy số thứ 3 là: 5 4 60 48 12 10 12 19 == Từ (2) và (3), ta thấy số cuối là: 40 31 2: 5 4 4 3 = + Số đầu là: 2 1 40 20 10 11 40 31 == Theo (1), số thứ 2 là: 3 1 12 4 2 1 12 10 == Đáp số: 5 4 ; 4 3 ; 3 1 ; 2 1 Loại 7: Làm tròn phân số thành đơn vị: VD: Cô T bán 8 5 tấm vải theo giá 20 000đ/mét lãi 200 000đồng. Hôm nay cô T bán phần còn lại của tấm vải theo giá 18 000 đồng/mét thì lãi 90 000đồng. Hỏi tấm vải dài bao nhiêu mét? Giải (Làm tròn: Hôm nào cũng bán hết cả một tấm vải) Hôm sau bán đợc: 8 3 8 5 8 8 = (tấm vải) Nếu hôm qua bán đợc cả tấm thì lãi 200.000 : 8 5 = 320.000 ( đồng) Nếu hôm nay bán đợc cả tấm thì lãi 90.000 : 8 3 = 240.000 ( đồng ) Vậy hôm qua lãi nhiều hơn hôm nay là 320.0 - 240.000 = 80.000 ( đồng) Mỗi mét hôm qua bán lãi hơn hôm nay là 20.000 - 18.000 = 2.000 ( đồng) Tấm vải dài : 80.000 : 2.000 = 40 ( mét ) Đáp số 40 (mét) Loại 8 Giả thiết tạm về phân số Loại 9: Loại khử về phân số VD: Cả đàn trâu bò có tất cả 50 con. Biết rằng nếu đem 5 2 số trâu và 4 3 số bò gộp lại thì đợc 27 con. Hỏi số trâu và số bò? Giải Ta có : [...]... = 50 (1) 3 2 Trâu + Bò = 27 (2) 5 4 Muốn khử số trâu, ta nhân 2 vế của (1) với { 2 thì thấy 5 2 Trâu + 2 Bò = 20 ( 3 ) 5 5 2 Trâu + 3 Bò = 27 (4) 5 4 Đem cả hai vế của (4) trừ 2 vế của (3) ta có 3 2 Bò = 27 - 20 = 7 4 5 3 2 7 7 Vì = nên ta có số Bò là 7 con 4 5 20 20 Vậy số Bò là 7 : 7 = 20 ( Con) 20 Số Trâu là : 50 - 20 = 30 ( Con) Đáp số :Trâu 30 Con, Bò 20 Con Loại 10 Tính ngợc về phân số. .. Tính ngợc về phân số VD Tìm 1 số biết rằng nếu đem số đó chia cho 3 đợc bao nhiêu trừ đi 2 7 thì còn 7 2 Giải - ữ3 A Biết C = B 2 7 7 2 C 7 2 ta có thể đi ngợc lại để tìm a bằng cách đảo ngợc các phép tính - bằng + 2 7 7 : 3 thành x 3 nh sau 2 154 53 7 4 4 2 ì3 + 2 7 Lời kết: Trong các sách bồi dỡng có rất nhiều bài toán hay về phân số, tôi không có điều kiện nêu ở đây Một lần nữa tôi mong nhận đợc . phân số = 1 4. Nếu nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho một số tự nhiên khác 0 thì ta đợc một phân số mới bằng phân số đã cho. 5. Phân số không rút gọn đợc nữa gọi là phân số. giản, phân số có mẫu số là 10, 100,1000 gọi là phân số thập phân. 6. Nếu cộng cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số hoặc trừ cả tử và mẫu số đi cùng một số thì giữa tử số và mẫu số. phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau 35 13 ; ; 12 5 ; 35 6 Giải 35 1 5 1 7 1 35 1 35 7 35 5 35 1 75 35 13 ++=++= ++ = Tơng tự với 12 5 có 12 1 3 1 12 1 12 4 12 14 12 5 +=+= + = 35 1 7 1 35 1 35 5 35 15 35 6 +=+= + =