Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình lượng giác không mẫu mực
CHƯƠNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM Áp dụng Nếu A 0B0AB0≥∧ ≥⎧⎨+=⎩ thì A = B = 0 Bài 156 Giải phương trình: 224cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + += Ta có: ()( )⇔−++⎧=⎪⎪⇔⎨⎪=−⎪⎩π⎧=± + π ∈⎪⎪⇔⎨⎪=−⎪⎩π⇔=−+ π ∈22(*) 2 cos x 3 3tgx 1 03cos x21tgx3xk2,k61tgx3xk2,k6= Bài 157 Giải phương trình: ( )28cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+− += Ta có: () ( )⇔ +++−* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0= ()()⇔+++−⇔++−=⎧⎧=− =−⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪==π∈⎩⎩224cos 4x 4cos4x 1 1 cos3x 02cos4x 1 1 cos3x 011cos 4x cos 4x22cos 3x 1 3x k2 , k= ⎧=−⎪⎪⇔⎨π⎪=∈⎪⎩1cos 4x2k2x , k (có 3 đầu ngọn cung)3 ⎧=−⎪⎪⇔⎨ππ⎪=− π = π = + π ∈⎪⎩π⇔=± + π ∈1cos 4x222x +m2hay xm2hayxm2,m 332xm2,m3 (ta nhận = ±k1 và loại k = 0 ) Bài 158 Giải phương trình: ()()2233sin 3xsin x cos 3xsin x sin 3x cos x sin x sin 3x *3sin4x++=2 Ta có: 33cos 3x.sin 3x sin 3x.cos x+()( )()=− +−=− + = −==33 3333 24cosx 3cosxsinx 3sinx 4sinxcosx3cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x33sin 2x. cos 2x sin 4x242 ()()⇔+ = ≠⎛⎞⇔−−+=⎜⎟⎝⎠⎛⎞⇔−+ −=⎜⎟⎝⎠22 2224222221Vậy: * sin x sin 3x sin x sin 3x và sin 4x 04111sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 và sin 4x 024411sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 và sin 4x 024≠≠ ⎛⎞⇔−+=⎜⎟⎝⎠≠⎧⎪⎪⇔=⎨⎪=∨ =⎪⎩222211sin 3x sin x sin 6x 0 và sin 4x 0216sin 4x 01sin 3x sin x2sin3x0cos3x0≠ ≠⎧≠⎧⎪⎪⎪⇔=∨=⎨⎨⎪⎪=⎩= ±⎪⎩sin 4x 0sin 4x 01sin 3x 0 sin x2sin x 0 (VN)sin 3x 1 ≠⎧⎪⎪⇔=⎨⎪⎪−=⎩3sin 4x 01sin x23sinx 4sin x 1± ≠⎧⎪⇔⎨=⎪⎩≠⎧⎪⇔ππ⎨=+ π∨ + π∈⎪⎩ππ⇔=+π∨= +π∈sin 4x 01sin x2sin 4x 05xk2 k2,k665xk2x k2,k66 Trường hợp 2 Phương pháp đối lập Nếu A MBAB≤≤⎧⎨=⎩ thì A BM= = Bài 159 Giải phương trình: −=+44sin x cos x sin x cos x (*) Ta có: (*) ⇔−=+22sin x cos x sin x cos x ⇔− = +≤⎧⎪⇔⎨=+⎪⎩≤⎧≤⎧⎪⇔⇔⎨⎨= =±−=⎪⎩⎩⇔=−π⇔=+π∈22cos 2x sin x cos xcos 2x 0cos 2x 1 2 sin x cos xcos 2x 0cos 2x 0sin 2x 0 (cos 2x 1 )sin 2x 2 sin 2xcos 2x 1xk,k2 Cách khác Ta có −≤ ≤≤+44 4x cos x sin x sin x sin x cos xsin Do đó =⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩4cos x 0(*) cos x 0sin x sin xπ=+π∈xk,k2 ⇔ Bài 160: Giải phương trình: () 2cos 2x cos 4x 6 2sin 3x (*)−=+ Ta có: (*) 224 sin 3x.sin x 6 2sin 3x⇔=+• Do: và 2sin 3x 1≤2sin x 1≤ nên 224sin 3xsin x 4≤ • Do nên 62≥−sin 3x 1 sin3x4+ ≥ Vậy 224 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+ Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi ⎧=⎧⎪==⇔⎨⎨= −⎩⎪=−⎩222sin 3x 1sin x 1sin x 1sin 3x 1sin 3x 1 π⎧=± + π ∈π⎪⇔⇔=+⎨⎪=−⎩π∈xk2,kxk2,k22sin 3x 1 Bài 161 Giải phương trình: 33cos x sin x2cos2x(*)sin x cos x−=+ Điều kiện: si n x 0 cos x 0≥∧ ≥Ta có: (*) ()( )( )( )22cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔− + = − + ()()−=⎡⎢⇔+=+ +⎢⎣cos x sin x 0 (1)1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2) Ta có: (1) π⇔=⇔=+π∈tgx 1 x k , k4 Xét (2) Ta có: khi si thì n x 0≥≥≥2sin x sin x sin x Tương tự ≥≥2cos x cos x cos x Vậy si và n x cos x 1+≥sin x cos x 1+ ≥ Suy ra vế phải của (2) thì 2≥ Mà vế trái của (2): 131sin2x22+≤ Do đó (2) vô nghiệm Vậy: (*) π⇔=+π∈xk,k4 Bài 162: Giải phương trình: 3 cos x cos x 1 2(*)−− += Ta có: (*) 3cosx 2 cosx1⇔− =+ + ()3cosx 5cosx4cosx12cosx 1 4 cosx 1⇔− =+ + +⇔− + = + Ta có: ( )2cosx 1 0 x−+≤∀ mà 4cosx 1 0x+≥∀ Do đó dấu = của (*) xảy ra cos x 1⇔ =− ⇔ =π+ π ∈xk2,k Bài 163: Giải phương trình: ( )22cos3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)+− = + Do bất đẳng thức Bunhiacốpski: 222 2AXBY A B.X Y+≤ + + nên: ( )2221cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+− ≤ +− = Dấu = xảy ra 2cos3x 2 cos 3x⇔=− 22cos3x 0cos 3x 2 cos 3xcos3x 0cos3x 1cos3x 1≥⎧⇔⎨=−⎩≥⎧⇔⇔⎨=±⎩=Mặt khác: ()221 sin 2x 2+≥ dấu = xảy ra sin 2x 0⇔=Vậy: ( )22cos3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x+− ≤≤ + dấu = của (*) chỉ xảy ra khi: =∧ ==⎧⎪⇔⎨π=∈⎪⎩⇔= π ∈cos 3x 1 sin 2x 0cos 3x 1kx,k(có4đầungọncun2x2m,mg) Bài 164: Giải phương trình: 22 5tg x cotg x 2sin x (*)4π⎛⎞+= +⎜⎟⎝⎠ Điều kiện: sin 2x 0≠ • Do bất đẳng thức Cauchy: 22tg x cotg x 2+ ≥ dấu = xảy ra khi tgx cotgx= • Mặt khác: sin x 14π⎛⎞+ ≤⎜⎟⎝⎠ nên 52sin x 24π⎛⎞+≤⎜⎟⎝⎠ dấu = xảy ra khi sin x 14π⎛⎞+ =⎜⎟⎝⎠ Do đó: 22 5tg x cotg x 2 2sin x4π⎛⎞+≥≥ +⎜⎟⎝⎠ Dấu = của (*) xảy ra tgx cotgxsin x 14=⎧⎪⇔π⎨⎛⎞+ =⎜⎟⎪⎝⎠⎩ ⎧=⎪⇔⎨π= +π∈⎪⎩π⇔=+ π∈2tg x 1xk2,k4xk2,k4 Trường hợp 3: Áp dụng: NếuA MvàB M A MthìA BMN BN≤≤⎧⎧⎨⎨+= + =⎩⎩= =⎧+=⇔⎨=⎩sin u 1sin u sin v 2sin v 1 =⎧−=⇔⎨= −⎩sin u 1sin u sin v 2sin v 1 = −⎧+=−⇔⎨= −⎩sin u 1sin u sin v 2sin v 1 Tương tự cho các trường hợp sau ±=± ±=±sin u cos v 2 ; cos u cos v 2 Bài 165: Giải phương trình: ()3xcos 2x cos 2 0 *4+−= Ta có: ()3x*cos2xcos4⇔+ 2= 3xDo cos 2x 1 và cos 14≤ ≤ nên dấu = của (*) chỉ xảy ra ()=π ∈=⎧⎧⎪⎪⇔⇔ ⇔=ππ⎨⎨=∈=⎪⎪⎩⎩ππ= ⇔ ==∈Ζ =∈xk,kcos 2x 1x8m,m8h3xx,hcos 1348h 8hDo : k k33để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m ) Cách khác ==π∈⎧⎧⎪⎪⇔⇔=π∈⎨⎨π==⎪⎪⎩⎩cos 2x 1 x k , kx8m,m3x 3kcos 1 cos 144 Bài 166: Giải phương trình: ()cos2x cos4x cos6x cosx.cos2x.cos3x 2 *++= + ()2cos2x cos4x cos6x 2cos 3x cos x 2 cos 3x 12cos3x cosx cos3x 14 cos3x.cos2x.cos x 1++ = + −= +−=− Vậy: ()1cos3x.cos2x.cos x cos2x 6cos4x cos 6x 14= +++ Do đó: () ()()⇔++= ++⇔++=19* cos 2x cos4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x4439cos2x cos4x cos6x44+ ⇔ ++===π∈⎧⎧⎪⎪⇔=⇔=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩cos2x cos4x cos6x 3cos 2x 1 2x k2 , k (1)cos 4x 1 cos 4x 1 (2)cos 6x 1 cos 6x 1 (3) ⇔ = π∈⇔=π∈ 2x k2 ,k x k ,k ( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa) Bài 167: Giải phương trình: ( )cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+= Ta có: ()⎛⎞⎛⇔=− + + +⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝13 31* 2 cos2x sin 2x sin x cos x22 22⎞⎟⎟⎠ ππ⎛⎞⎛⇔= − + +⎜⎟⎜⎝⎠⎝2sin2x sinx66⎞⎟⎠ ⎧π⎛⎞ππ⎧−=− =+ π∈⎜⎟⎪⎪⎪⎝ ⎠ ⎪⇔⇔⎨⎨πππ⎛⎞⎪⎪+=+ π∈+=⎜⎟⎪⎪⎩⎝⎠⎩π⎧=+π∈⎪π⎪⇔⇔=+π⎨π⎪=+ π∈⎪⎩∈sin 2x 12x k2 , k662xh2,hsin x 1626xk,k3xh,h3xh2,h3 Cách khác ⎧π⎛⎞⎧π⎛⎞−=−=⎜⎟⎪⎜⎟⎪⎪⎝ ⎠ ⎪⎝⎠⇔⇔⎨⎨πππ⎛⎞⎪⎪+=+ =+ π∈⎜⎟⎪⎪⎩⎝⎠⎩sin 2x 1sin 2x 166(*)sin x 1xh2,h662 ⎧π⎛⎞−=⎜⎟⎪π⎪⎝⎠⇔⇔=+⎨π⎪=+ π∈⎪⎩π∈sin 2x 16xh,h3xh2,h3 Bài 168: Giải phương trình: ()4cosx2cos2xcos4x1*−−= Ta có:()( ) ( )⇔ −−−−22* 4 cos x 2 2cos x 1 1 2sin 2x 1= ⇔− + =⇔= −+ =22224cosx 4 cos x 8sin x cos x 0cos x 0 hay 1 cos x 2sin x cos x 0 ( )⇔= + −=⇔= − =2cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x 1 0cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *) ()⇔= − + =⇔=∨ +=1cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 02cos x 0 cos 3x cos x 2 =⎧⇔=∨⎨=⎩cos 3x 1cos x 0cos x 1 =⎧⇔=⇔⎨− =⎩⇔=∨=π⇔=+π∨= π∈3cos x 1cos x 04cos x 3cosx 1cos x 0 cos x 1xkxk2,k2 Cách khác ⇔= =( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1− ==⎧⎧⇔=∨ ∨⎨⎨= =−⎩⎩cos x 1 cos x 1cos x 0cos2x 1 cos2x 1 =π∈ =π+ π∈⎧⎧π⇔=+π∈∨ ∨⎨⎨==−⎩⎩xk2,k x k2,k (loạixk,kcos 2x 1 cos 2x 12) π⇔=+π∨= π∈xkxk2,k2 Bài 169: Giải phương trình: ()1tg2x tg3x 0 *sin x cos 2x cos 3x++ = Điều kiện: sin 2x cos 2x cos 3x 0≠ Lúc đó: ()⇔++sin 2x sin 3x 1*0cos2x cos3x sin x.cos 2x.cos3x=+== ()⇔+⇔++sin2xsinxcos3x sin3xsinx.cos2x 1 0sin x sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1 0 ()⇔=−⇔− − =−⇔−===⎧⎧=⎧⎪⎪⇔⇔−=⇔−⎨⎨ ⎨=−⎩⎪⎪=−=−⎩⎩332sin x.sin 5x 11cos6x cos4x 12cos 6x cos 4x 2tcos2x tcos2xcos6x 14t 3t 1 4t 3t 1cos4x 1t02t 1 1= Do đó: (*) vô nghiệm. Cách khác = =−⎧⎧⇔=−⇔⎨⎨= −=⎩⎩sin x 1 sin x 1sin x.sin 5x 1 haysin 5x 1 sin 5x 1 ππ⎧⎧=+ π∈ =−+ π∈⎪⎪⇔⎨⎨⎪⎪=− =⎩⎩xk2,k x k2,khay22sin 5x 1 sin 5x 1 x⇔∈∅ Bài 170: Giải phương trình: ( )22cos 3x.cos 2x cos x 0 *−= Ta có: () () ()⇔ +−+11* 1 cos6x cos2x 1 cos 2x 022= ()⇔ =⇔ +=⇔+==⎧⇔⎨=⎩⎧−=⇔⎨=⎩⎧=⇔⎨=⎩⇔=⇔=π∈π⇔= ∈22cos 6x cos 2x 11cos 8x cos 4x 12cos 8x cos 4x 2cos 8x 1cos 4x 12cos 4x 1 1cos 4x 1cos 4x 1cos 4x 1cos 4x 14x k2 , kkx,k2 Cách khác ⇔=cos 6x cos 2x 1 = =−⎧⎧⇔⎨⎨= =−⎩⎩cos2x 1 cos2x 1haycos6x 1 cos6x 1 =π∈ =π+π∈⎧⎧⇔⎨⎨==−⎩⎩2x k2 , k 2x k2 , khaycos 6x 1 cos 6x 1 π=∈kx,k2 Cách khác ==⎧⎧⇔⎨⎨==π∈⎩⎩cos8x 1 cos8x 1cos 4x 1 4x k2 , k π⇔= ∈kx,k2 Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ y = ax là hàm giảm khi 0< a <1. Do đó ta có sin sin , ,cos s , ,mnmnxxnmxkkxcoxnmx kkππππ<⇔>∀≠+∈<⇔>∀≠+22∈ sin sin ,cos s ,mnmnx xnmxx co x n m x≤⇔≥≤⇔≥∀∀ Bài 171: Giải phương trình: ()2x1cosx2−= * Ta có: ()2x*1 cos2⇔= + x Xét 2xycosxtrên2=+ R Ta có: y' x sinx=−và y'' 1 cosx 0 x R= −≥∀∈ Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R Vậy () ( ) ( )x0,:x0nêny'xy'0∀∈ ∞ > > =0 () ( ) ( )x,0:x0nêny'xy'0∀∈−∞ < < =0 Do đó: Vậy : 2xycosx1x2=+ ≥∀∈R Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0 Do đó ()*x0⇔ =• [...]... PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM Áp dụng Nếu A 0B0 AB0 ≥∧ ≥ ⎧ ⎨ += ⎩ thì A = B = 0 Bài 156 Giải phương trình: 22 4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + += Ta coù: ()( ) ⇔−++ ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ π ⎧ =± + π ∈ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ π ⇔=−+ π ∈ 22 (*) 2 cos x 3 3tgx 1 0 3 cos x 2 1 tgx 3 xk2,k 6 1 tgx 3 xk2,k 6 = Bài 157 Giải phương trình: ... ++= ==π∈ ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔=⇔= ⎨⎨ ⎪⎪ == ⎩⎩ cos2x cos4x cos6x 3 cos 2x 1 2x k2 , k (1) cos 4x 1 cos 4x 1 (2) cos 6x 1 cos 6x 1 (3) ⇔ = π∈⇔=π∈ 2x k2 ,k x k ,k ( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa) Bài 167: Giải phương trình: ( ) cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+= Ta coù: () ⎛⎞⎛ ⇔=− + + + ⎜⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ 13 31 * 2 cos2x sin 2x sin x cos x 22 22 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ππ ⎛⎞⎛ ⇔= − + + ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ 2sin2x sinx 66 ⎞ ⎟ ⎠ ⎧π ⎛⎞ ππ ⎧ −= − . PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM Áp dụng Nếu A 0B0AB0≥∧ ≥⎧⎨+=⎩ thì A = B = 0 Bài 156 Giải phương trình: . 05xk2 k2,k665xk2x k2,k66 Trường hợp 2 Phương pháp đối lập Nếu A MBAB≤≤⎧⎨=⎩ thì A BM= = Bài 159 Giải phương trình: −=+44sin x cos x sin x cos x (*)