Hệ thức lượng trong tam giác

16 9,338 151
  • Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 21/09/2012, 09:58

Hệ thức lượng trong tam giác CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN Cho ABCΔ có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của A,B,C, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCΔ, S là diện tích ABCΔ thì ====+− =+−=+− =+−=+− =+−222 22222 22222 22abc2Rsin A sin B sin Cabc2bccosAbc4S.cotgbac2accosBac4S.cotgBcab2abcosCab4S.cotgAC Bài 184 Cho ABCΔ. Chứng minh: 22A 2B a b bc=⇔=+ Ta có: 2 2 22 22 2a b bc 4R sin A 4R sin B 4R sin B.sinC=+⇔ = + ()()()()()()() ()()()⇔−=⇔− −− =⇔−=⇔− + − =⇔+ −=⇔ −= += >⇔−=∨−=π−⇔ =22sin A sin B sin B sin C111 cos 2A 1 cos 2B sin B sin C22cos 2B cos 2A 2 sin B sin C2 sin B A sin B A 2 sin B sin Csin B A sin A B sin B sin Csin A B sin B do sin A B sin C 0ABBAB BloạiA 2B Cách khác: −=⇔− +=+− + −⇔=22sin A sin B sin B sin C(s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin CAB AB AB AB2 cos sin .2 sin co s sin B sin C22 2 2 ()()() ()()()⇔+ −=⇔−= +=>⇔−=∨−=π−⇔=sin B A sin A B sin B sin Csin A B sin B do sin A B sin C 0ABBAB BloạiA 2B Bài 185: Cho ABCΔ. Chứng minh: ( )222sin A Babsin C c−−= Ta có −−=22 22 22222ab 4RsinA4RsinBc4RsinC ()()()()()() ()()()−−−−==−+ −−==+− −==+= >2222222111 cos 2A 1 cos 2Bsin A sin B22sin C sin C2sin A B sin B Acos 2B cos 2A2sin C 2sin Csin A B .sin A B sin A Bsin Csin Cdo sin A B sin C 0 Bài 186: Cho ABCΔ biết rằng A B1tg tg223⋅ =⋅ Chứng minh ab 2c+= Ta có : ⋅=⇔ =A B1 A B A Btg tg 3sin sin cos cos223 22 22 A Bdo cos 0,cos 022⎛⎞>>⎜⎟⎝⎠ ()A BABA2sin sin cos cos sin sin22 22 22AB AB ABcos cos cos22 2AB ABcos 2cos *22⇔=−+− +⎡⎤⇔− − =⎢⎥⎣⎦−+⇔=B Mặt khác: ()ab2RsinAsinB+= + ()()()+−=++==+= =A BAB4R sin cos22AB AB8R sin cos do *224R sin A B4R sin C 2c Cách khác: ()+=⇔+=ab2c2R sin A sin B 4R sin C +−⇔=−++⎛⎞⇔== =⎜⎟⎝⎠A BAB CC2sin cos 4sin cos22 22A BC AB ABcos 2 sin 2 cos do sin cos22 2 2C2 ⇔+= −⇔=A BAB AB Acos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin22 22 22 2AB AB3sin sin cos cos22 22B2 ⇔⋅=A B1tg tg223 Bài 187: Cho ABCΔ, chứng minh nếu tạo một cấp số cộng thì cotgA, cotgB, cotgC222a,b,ccũng là cấp số cộng. Ta có: ()⇔+=cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng cot gA cot gC 2 cot gB *Cách 1: ( )()()() ()()()()[]()()()22222222 2 2222sin A C2cosBTa có: * sin B 2sin A sin C cos Bsin A sin C sin BsinB cosA C cosA C cosA Csin B cos A C cos A C cos A C1sin B cos B cos 2A cos 2C21sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C22sin B sin A sin C+⇔=⇔=⇔=− +−−−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⇔= +−− +⇔=− +⎡ ⎤⇔=− −− +− ⎣ ⎦⇔=+⇔22 22222222222b a c4R 4R 4R2b a ca , b ,c là câùp số cộng=+⇔=+⇔•Cách 2: ()=+−⎛⎞⇔=+−⎜⎟⎝⎠⇔=+−+−=+− +−==+− +− +−⇔+=⋅⇔ =+22222222222 222 2 2 2222 2 2 22 22 2222Ta có: a b c 2ab cos A1abc4bcsinA.cotgA2abc4ScotgAbcaDo đó cotgA4Sacb abcTương tự cotgB , cotgC4S 4Sbca abc acbDo đó: * 24S 4S 4S2b a c Bài 188: Cho ABCΔ có 22sin B sin C 2sin A+=2 Chứng minh 0BAC 60 .≤ ()22 222 222 222 2Ta có: sin B sin C 2sin Abc2a4R 4R 4Rbc 2a*+=⇔+=⇔+=A Do đònh lý hàm cosin nên ta có 222abc2bccos=+− ( )()()+−−+−⇔= =+=≥=≤22 2222 22202b c b cbcacos A ( do * )2bc 4bcbc 2bc1do Cauchy4bc 4bc 2Vạây : BAC 60 . Cách khác: đònh lý hàm cosin cho =+− ⇒+=+222 222a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A Do đó (*) a bc cos A aabccos A ( do Cauchy)bcbc⇔+ =+⇔== ≥22222221242 Bài 189: Cho ABCΔ. Chứng minh : ( )222Ra b ccotgA+cotgB+cotgCabc++= +−=+− +−==+ +++++= =++=22 222 2 2 22222 22222bcaTa có: cotgA4Sacb abcTương tự: cotgB ,cotgC4S 4Sabc abcDo đó cot gA cot gB cot gCabc4S44RabcRabc2 Bài 190: Cho ABCΔ có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2. Giả sử A < B < C. Chứng minh: = +111abc Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A 24Mà A B C nên A ,B ,C77 7π ππ++=π = = = Cách 1: += +⎛⎞⎜⎟=+⎜⎟ππ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ππ+=πππππ π⎛⎞=⋅ =⎜⎟ππ⎝⎠π=⋅ =ππ=11 1 1Ta có:b c 2R sin B 2R sin C11 1242Rsin sin7742sin sin177242Rsin sin7732sin .cos14377do sin sin232R 7 7sin .sin77cos117R2RsinA2sin .cos771a Cách 2: =+⇔ = ++⇔= + =⇔= = =ππ===•111 1 1 1a b c sin A sin B sin C11 1sin4Asin2Asin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A1 2sin3A.cosA 2cosA 2cosAsin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A34do : sin 3A sin sin sin 4A77 Bài 191: Tính các góc của ABCΔnếu sin A sin B sin C123== Do đònh lý hàm sin: abc2Rsin A sin B sin C=== nên : ()sin A sin B sin C*123== abc2R 4R2R 3bcba3a23c2a⇔= =⎧=⎪⇔= =⇔⎨=⎪⎩ ()()22222200Ta có: c 4a a 3 acbaVạây ABC vuông tại CThay sin C 1 vào * tượcsin A sin B 11231sin A23sin B2A30B60== +⇔=+Δ===⎧=⎪⎪⇔⎨⎪=⎪⎩⎧=⎪⇔⎨=⎪⎩2 Ghi chú: Trong tam giác ABC ta có a b A B sin A sin B cos A cos B=⇔ = ⇔ = ⇔ = II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Cho UABC có trung tuyến AM thì: 222 2BCAB AC 2AM2+= + hay : 222 2aacb2m2+= + Bài 192: Cho UABC có AM trung tuyến, AMB= α, AC = b, AB = c, S là diện tích UABC. Với 0 < < 90 α0 a/ Chứng minh: 22bccotg−4Sα= b/ Giả sử α=, chứng minh: cotgC – cotgB = 2 045 a/ UAHM vuông HM MB BHcotgAHAH−⇒α= = ()aBHcotg 12AH AH⇒α= − Mặt khác: ()2222ac2accosBcbc4S 2AH.a+− −−=2 Đặt BC = a 22bc a ccosB a BH4S 2AH AH 2AH AH−⇒=−=− (2) Từ (1) và (2) ta được : 22bccotg4S−α= Cách khác: Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có: +−α=2212AMBMccotg4S (3) +−−α=2222AMCMbcotg4S (4) Lấy (3) – (4) ta có : −α=22bccotg4S ( vì S1=S2 =S2) b/Ta có: cotgC – cotgB = HC HB HC HBAHAH AH−−= = ()( )MH MC MB MHAH+−− = = α= =02MH2cotg 2cotg45 2AH Cách khác: p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có: +−=221BM c AMcotg B4S2 (5) +−=222CM b AMcotg C4S2 (6) Lấy (6) – (5) ta có : −−= =22bccotg C cot gB 2 cot g2Sα=2 ( vì S1=S2 =S2 và câu a ) Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là thỏa bm,mcbcmc1bm=≠. Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC Ta có: 22b22cmcbm= ()()()(())⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠⇔=⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠⇔+−=+−⇔−= −⇔−=− +⎛⎞⇔=+ ≠⎜⎟⎝⎠222222224422 22 2 2 2222 2 2 4 422 2 2 2 2 22221bac22cb1cba22cbbc ac ab bc221ac ab c b21ac b c b c b2c2a c b 1 do 1b Thay vào (1), ta có (1) thành +=+22 2bca2bccosA =2a2bccosA()()()⇔==+⇔= =222a4RsinAcos A2bc 2 2R sin B 2R sin Csin B Ccos A sin A2sin A sin B sin C sin B sin C +⇔= =+sinBcosC sinCcosB2 cotgA cotgC cotgBsin B sin C Bài 194: Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB) UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’ Vậy 2ABC3′= C 22c22222229c 4mc9c 2 b a25c a b⇔=⎛⎞⇔= +−⎜⎟⎝⎠⇔=+ 225c c 2ab cos C⇔=+(do đònh lý hàm cos) ()()()222c ab cos C2 2RsinC 2RsinA 2RsinB cosC⇔=⇔= ⇔=⇔=22 sin C sin A sin B cos C2sinC cosCsin A sin B sin C ()+⇔=2sin A BcotgCsin A sin B ()()+⇔=⇔+=2 sin A cos B sin B cos AcotgCsin A sin B2 cotg B cotgA cotgC III. DIỆN TÍCH TAM GIÁC Gọi S: diện tích UABC R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC p: nửa chu vi của UABC thì ()()()abc111S a.h b.h c.h222111S absinC acsinB bcsinA222abcS4RSprS ppapbpc=========−−− Bài 195: Cho UABC chứng minh: 22Ssin 2A sin 2B sin 2CR++= Ta có: ()sin2A+ sin2B + sin2C= sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C)= 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C)= 2sinA[cosA + cos(B - C)] = 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)]= 2sinA.[2sinB.sinC] =3abc 1abc= 4. . .2R 2R 2R 2R==3214RS 2S2RR Bài 196 Cho UABC. Chứng minh : S = Diện tích (UABC) = ()221asin2B bsin2A4+ Ta có : ()1S = dt ABC absin C2Δ= ()+1=absinAB2 []+1= ab sin A cos B sinB cos A2 ()⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎡⎤⎣⎦+22221a b = ab sin B cos B sin A cos A (do đl hàm sin)2b a1 = a sin B cos B+ b sin A cos A21 = a sin 2B b sin 2A4 Bài 197: Cho ABCΔ có trọng tâm G vàGAB ,GBC ,GCA .= α=β=γ Chứng minh: ( )2223a b ccotg + cotg +cotg =4S++αβγ Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH AB⊥ AHAMH cosAMBH 2BHBHM cos BMB aΔ⊥⇒α=Δ⊥⇒== Ta có: AB = HA + HB ()acAMcos cosB21acos c cosB 1AM 2⇔= α+⎛⎞⇔α= −⎜⎟⎝⎠ Mặt khác do áp dụng đònh lý hàm sin vào AMBΔ ta có : MB AM 1 asin MBsin B sin B (2)sin sin B AM 2AM=⇔α= =α Lấy (1) chia cho (2) ta được : −−α=accosB2c a cos B2cotg =absin B a.22R ()( )−−+− +−2222 222R4c 2accosBR4c 2acosB = =ab abc3cba3cba = = abc4SR [...]... ()()22222200Ta coù: c 4a a 3 acbaVạây ABC vuông tại CThay sin C 1 vào * tượcsin A sin B 11231sin A23sin B2A30B60== +⇔=+Δ===⎧=⎪⎪⇔⎨⎪=⎪⎩⎧=⎪⇔⎨=⎪⎩2 Ghi chú: Trong tam giác ABC ta có a b A B sin A sin B cos A cos B=⇔ = ⇔ = ⇔ = II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Cho UABC có trung tuyến AM thì: 222 2BCAB AC 2AM2+= + hay : 222 2aacb2m2+= + ... b' sinC'SabsinCCcosBCA2 = 4 sin sin sinCC2222sin cos22BCA = 2 sin sin sin222 Bài 200: Cho ABCΔ có trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I. Biết GI vuông góc với đường phân giác trong của . Chứng minh: BCAabc 2ab3ab+ +=+ Vẽ GH AC, GK BC,ID AC⊥⊥⊥IG cắt AC tại L và cắt BC tại N Ta có: Dt( CLN) 2Dt( LIC)Δ=Δ =ID.LC = r.LC (1) Mặt khác: ()Dt( CLN) Dt( GLC) Dt( . CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN Cho ABCΔ có a, b, c lần lượt là. 22bccotg4S−α= Cách khác: Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có: +−α=2212AMBMccotg4S
- Xem thêm -

Xem thêm: Hệ thức lượng trong tam giác, Hệ thức lượng trong tam giác, Hệ thức lượng trong tam giác, ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, DIỆN TÍCH TAM GIÁC BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN