Chuyên đề lượng giác tài liệu luyện thi

Thông tin tài liệu

Chuyên đề: LG 1 Chuyên đề LƢỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1. Hệ thức LG cơ bản 2222sin cos 1sintancos 21tan 12coskk            22tan .cot 1coscotsin1cot 1sinkk       2. Công thức LG thường gặp Công thức cộng:    sin sinacosb sinbcosacos cosacosb sinasinbtan tantan b1 tan tanabababaab   Công thức nhân: 2 2 2 23332sin 2 2sin .coscos2 cos sin 2cos 1 1 2sincos3 4cos 3cossin3 3sin 4sin3tan tantan3 =1 3tana a aa a a a aa a aa a aaaaa      Tích thành tổng: cosa.cosb =12[cos(ab)+cos(a+b)] sina.sinb =12[cos(ab)cos(a+b)] sina.cosb =12[sin(ab)+sin(a+b)] Tổng thành tích: sin sin 2sin cos22a b a bab sin sin 2cos sin22a b a bab cos cos 2cos cos22a b a bab cos cos 2sin sin22a b a bab   sin( )tan tancos .cosababab Công thức hạ bậc: cos2a =12(1+cos2a) sin2a =12(1cos2a) Chun đề: LG 2 Biểu diễn các hàm số LG theo tan2at  22 2 22 1- 2sin ; cos ; tan .1 1 1t t ta a at t t     3. Phương trìng LG cơ bản * sinu=sinv22u v ku v k   * cosu=cosvu=v+k2 * tanu=tanv  u=v+k * cotu=cotv  u=v+k  Zk . 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các cơng thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG 2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2a b c. Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tanba, ta được: sinx+tancosx=cosca sinxcos+sincosx=cosca  sin(x+)=coscasinđặt. Cách 2: Chia hai vế phương trình cho22ab, ta được: 2 2 2 2 2 2sin cosa b cxxa b a b a b   Đặt: 2 2 2 2cos ; sinaba b a b. Khi đó phương trình tương đương: 22cos sin sin coscxxab hay  22sin sincxab  đặt. Cách 3: Đặt tan2xt . 3. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 2xk. + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. Chú ý: 221tan 12cosx x kx    Cách 2: Áp dụng cơng thức hạ bậc. 4. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện  t 2. sin cos 2 sin 2 cos44sin cos 2 sin 2 cos44x x x xx x x x                           Lưu y ùcác công thức : Chuyên đề: LG 3 Phần 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). Giải Phương trình (1) tương đương với: 1 cos2 1 cos6 1 cos4 1 cos82 2 2 2x x x x       cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0  2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0  2cos5x(cos3x+cosx) = 0  4cos5x.cos2x.cosx = 0 510 52cos5 0cos2 0 2 , ( , , )2 4 2cos 022 π kππxxkπxπ π lπx x kπ x k l nxππxkπ x nπ            Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2). Giải Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)  cos2x(sin6x–cos6x) = 0  cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0  cos2x = 0  2 ,( )2 4 2π π kπxkπ x k      Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0x x x x   (3). Giải Ta có: 3 3 3222(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin3 1 02cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2(1 cos2 )(cos2 cos4 ) (1 cos2 )(cos2 cos4 ) 22(cos2 cos2 cos4 ) 22cos2 (1 cos4 )22cos2 .cos 242cos228x x x x xx x x x x x xx x x x x xx x xxxxxπxx                     ,( )kπk Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: 8817sin cos32xx (4). Giải Ta có (4) 44421 cos 2 1 cos2 17 1 17(cos 2 6cos 2 1)2 2 32 8 32xxxx                Chuyên đề: LG 4 Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 22117 1326 1 6 013442tt t t tt        Vì t[0;1], nên 21 1 cos4 1 1cos 22 2 2 2xtx     cos4x = 0 4 ,( )2 8 4π π πxkπ x k k      Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0  (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0  (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos 1 2 ,( )2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) x x k πkx x x x       Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t , khi đó phương trình (*) trở thành: 2t + t2 – 1 + 1 = 0  t2 + 2t = 00sin -cos ,( )2(4tπx x x nπnt lo       ¹i) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:4πxnπ  ; 2 , ( , ) xkπ n k Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Ví dụ 6. Giải phương trình: |sin |cosxπx (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do |sin | 0,x nên |sin | 01xππ, mà |cosx| ≤ 1. Do đó 2 2 20|sin | 0 ,( )(6)0| cos | 1 ,( )knxkπ k π nx x kπkxxnπ x nπx x nπn             (Vì k, n  Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 21 cos2xx. Giải Đặt 2( )=cos2xf x x . Dễ thấy f(x) = f(x), x, do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;2π thoả mãn phương trình:22sin cos 2nnnxx. Giải Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) Chuyên đề: LG 5 Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;2, ta có minf(x) = f4 = 222n Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. BÀI TẬP Giải các phƣơng trình sau: 1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 22x k x n   2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ;243x k x n      3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thƣơng Mại) ĐS: 7; ; .4 4 12 12x k x n x m           4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:2xk. 5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội) ĐS: 2 ; 2 ; 2 ;2x k x n x l            với 1sin4. 6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 4xk. 7. sin 3 sin2 .sin44x x x           ; (Học Viện BCVT) ĐS: 42xk 8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: 12xk. 9. 1 1 74sin3sin 4sin2xxx   ĐS: 4858xkxkxk 10. 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x   HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = 3k, 4xk   11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 22 ( )43x k x k k       12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải (1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. 2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. 2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK 1t  , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.   112cos2sin - 2txtx loaïi …(biết giải) Chuyên đề: LG 6 13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK 1t  . 2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2. 14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 15. Giải phƣơng trình lƣợng giác:  2 cos sin1tan cot2 cot 1xxx x x Giải Điều kiện:  cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0cot 1x x x x xx Từ (1) ta có:  2 cos sin1 cos .sin22 sinsin cos2 coscos1cos sin2 sinxxxxxx x xxx x x   2sin .cos 2 sinx x x  224cos224xkxkxk      So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là  24x k k    16. Giải phƣơng trình:  44sin cos 1tan cotsin 2 2xxxxx Giải  44sin cos 1tan cotsin 2 2xxxxx (1) Điều kiện: sin 2 0x  211 sin 21 sin cos2(1)sin2 2 cos sinxxxx x x  2211 sin 21121 sin 2 1 sin2 0sin 2 sin 2 2xxxxx       Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 17. Giải phƣơng trình: 222sin 2sin tan4x x x  . Giải Pt222sin 2sin tan4x x x   (cosx)021 cos 2 cos 2sin .cos sin2x x x x x     (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1. 18. Giải phƣơng trình:   3sin2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3cos sinx 3 3 0x x c x c x x      . Giải 32 3 2sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos2 8( 3.cos sin ) 3 3 02sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0x x x x x xx x x x x x x x              0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos22 xxxxxxxx Chuyên đề: LG 7 22( 3cos sin )( 2cos 6cos 8) 0tan 33cos sin 0cos 1cos 3cos 4 0cos 4 ( ai)x x x xxxxxxxx         lo ,32xkkxkZ 19. Giải phƣơng trình: cosx=8sin36x Giải cosx=8sin36xcosx =  33sin cosxx  3 2 2 33 3sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0x x x x x x x     (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3)  323 3 tan 8tan 3 3 tan 0x x x   tan 0 x x k    20. Giải phƣơng trình lƣợng giác:  2 cos sin1tan cot2 cot 1xxx x x Giải Điều kiện:  cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0cot 1x x x x xx Từ (1) ta có:  2 cos sin1 cos .sin22 sinsin cos2 coscos1cos sin2 sinxxxxxx x xxx x x   2sin .cos 2 sinx x x  224cos224xkxkxk      So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là  24x k k   Z 21. Giải phƣơng trình: cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x    Giải Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos sin 1cos sin 5 ( cos sin 2)xxx x loai vi x x      222 sin 1 sin sin ( )4 4 42xkx x k Zxk          22. Giải phƣơng trình: 2cos3x + 3sinx + cosx = 0 Giải 3sin cos 2cos3 0x x x    sin3sinx + cos3cosx = – cos3x. Chuyên đề: LG 8  coscos33xx   coscos( 3 )3xx    32()3kxkxkZ  x = 32k (kZ) 23. Giải phƣơng trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 28 Giải Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 28 cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 28   222 3 2cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin2x x x x x x    2cos4 ,2 16 2x x k k Z     . 24. Định m để phƣơng trình sau có nghiệm 24sin3 sin 4cos 3 cos cos 2 04 4 4x x x x x m                        Giải Ta có: *  4sin3 sin 2 cos2 cos4x x x x; *  4cos 3 cos 2 cos 2 cos4 2 sin2 cos44 4 2x x x x x x                        *  211cos 2 1 cos 4 1 sin44 2 2 2x x x               Do đó phương trình đã cho tương đương:  112 cos2 sin2 sin4 0 (1)22x x x m     Đặt cos2 sin2 2 cos 24t x x x    (điều kiện: 22t  ). Khi đó 2sin4 2sin2 cos2 1x x x t  . Phương trình (1) trở thành: 24 2 2 0t t m    (2) với 22t   2(2) 4 2 2t t m    Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ): 2 2D y m (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): 24y t t với 22t  . x 2 2 y’ + y 2 4 2 2 4 2 Trong đoạn 2; 2, hàm số 24y t t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại 2t  và đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2 tại 2t . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2 2 4 2m     2 2 2 2m   . o0o Chuyên đề: LG 9 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình: cos3 sin35 sin cos2 31 2sin 2xxxxx   (Khối A_2002). Giải ĐS: 5;33xx. 2. Giải phương trình: 2cos2 1cot 1 sin sin 21 tan 2xx x xx    (Khối A_2003) Giải ĐS:  4x k k  Z 3. Giải phương trình: 22cos 3 cos2 cos 0x x x (Khối A_2005) Giải Chuyên đề: LG 10 ĐS:  2kxkZ 4. Giải phương trình:  662 cos sin sin cos02 2sinx x x xx (Khối A_2006) Giải ĐS:  524x k k  Z 5. Giải phương trình:    221 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x     (Khối A_2007) Giải ĐS:  , 2 , 242x k x k x k k        Z 6. 1 1 74sin3sin 4sin2xxx   (Khối A_2008) Giải [...]... phương trình: 2 2 sin cos 2 n nn xx   . Giải Đặt f(x) = sin n x + cos n x, ta có : f’(x) = ncosx.sin n-1 x – nsinx.cos n-1 x. = nsinx.cosx(sin n-2 x – cos n-2 x) Chuyên đề: LG 9 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2  ) của phương trình: cos3 sin3 5 sin cos2 3 1 2sin 2 xx xx x         (Khối A_2002). Giải... -cos ,( ) 2( 4 t π x x x nπn t lo              ¹i) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 4 π xnπ   ; 2 , ( , ) xkπ n k Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Ví dụ 6. Giải phương trình: |sin | cos x πx (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do |sin | 0,x  nên |sin | 0 1 x ππ ,... thường gặp 1. Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các cơng thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos 2 x+b.cosx+c=0, a.tan 2 x+b.tanx+c=0, a.cot 2 x+b.cotx+c=0)... Chuyên đề: LG 2 Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t  2 2 2 2 2 1- 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t       3. Phương trìng LG cơ bản * sinu=sinv 2 2 u v k u v k           * cosu=cosvu=v+k2  * tanu=tanv  u=v+k  * cotu=cotv  u=v+k    Zk  . 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác: ... 4 sin 2 x x x             (Khối A_2008) Giải Chuyên đề: LG 4 Đặt cos 2 2x = t, với t[0; 1], ta có 22 1 17 13 2 6 1 6 0 13 44 2 t t t t t t                 Vì t[0;1], nên 2 1 1 cos4 1 1 cos 2 2 2 2 2 x tx       cos4x = 0  4 ,( ) 2 8 4 π π π xkπ x k k      Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin 3 x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5) ... cosx. Điều kiện  t  2 . sin cos 2 sin 2 cos 44 sin cos 2 sin 2 cos 44 x x x x x x x x                                      Löu y ùcác công thức : Chuyên đề: LG 14 16. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 (Khối D_2002) Giải ĐS: 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 x x x x         17. 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 xx x        (Khối D_2003) Giải... (Khối D_2004) Giải ĐS:   2 , , 34 x k x k k         Z 19. Giải phương trình: 44 3 cos sin cos sin 3 0 4 4 2 x x x x                    (Khối D_2005) Giải Chuyên đề: LG 6 13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin 2 x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK 1t  . 2(1–2cosx)t 2 –t+cosx=0 … =(4cosx–1) 2 . 14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.... sin ) 3 3 0 2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0 x x x x x x x x x x x x x x                 0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2  xxxxxxxx Chuyên đề: LG 10 ĐS:   2 k xk  Z 4. Giải phương trình:   66 2 cos sin sin cos 0 2 2sin x x x x x    (Khối A_2006) Giải ĐS:   5 2 4 x k k     Z 5. Giải phương trình:  ... phương trình: 2 cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x      (Khối A_2003) Giải ĐS:   4 x k k     Z 3. Giải phương trình: 22 cos 3 cos2 cos 0x x x (Khối A_2005) Giải Chuyên đề: LG 12 ĐS:   , 3 x k k      Z 10. Giải phương trình   2 5sin 2 3 1 sin tanx x x   (Khối B_2004) Giải ĐS:   5 2 ; 2 , 66 x k x k k       Z 11. Giải phương... 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(cos 2 x–sin 2 x)=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 15. Giải phƣơng trình lƣợng giác:   2 cos sin 1 tan cot2 cot 1 xx x x x    Giải Điều kiện:   cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0 cot 1 x x x x x x        Từ (1) ta có:   2 cos sin 1 cos .sin2 2 sin sin cos2 cos cos 1 cos . Chuyên đề: LG 1 Chuyên đề LƢỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1. Hệ thức LG cơ bản 2222sin cos 1sintancos. ùcác công thức : Chuyên đề: LG 3 Phần 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình

Ngày đăng: 21/09/2012, 09:57

Xem thêm: Chuyên đề lượng giác tài liệu luyện thi, 1: CÔNG THỨC, cos tanx.sin 2sin3x |sinx sinx 2sinx1+cos2x+sin2x=1+2cosx sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx 1. Giải 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 21–2cosxsin 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: 1+ sin2x+sinx+cosx+2cos2x=0. Giải phƣơng trình lƣợng g, Giải phƣơng trình: cosx=8sin Giải phƣơng trình lƣợng giác: Giải phƣơng trình: Giải phƣơng trình: 2cos3x + Giải phƣơng trình cos3xcos Định m để phƣơng trình sau có nghiệm

Chuyên đề lượng giác tài liệu luyện thi

Thông tin tài liệu

Hình ảnh liên quan

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan