Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu bật phương trình và hệ phương trình vô tỉ
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 1 PHƢƠNG TRÌNH-BÂT PHƢƠNG TRÌNH-HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ A. Phƣơng trình - bất phƣơng trình chứa căn thức I. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 1. Kiến thức cần nhớ: 222 1 2 1222 1 2 11.2. 03. ,4. 05. ,nnnnnnnnnnaaa b a b aba b a b a ba b a ba b a b a b 2. Các dạng cơ bản: * Dạng 1: 20gxf x g xf x g x(Không cần đặt điều kiện0fx) * Dạng 2: f x g x xét 2 trường hợp: TH1: 00gxfx TH2: 2( ) 0gxf x g x * Dạng 3: 2( ) 00fxf x g x g xf x g x Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho 0gx rồi bình phương 2 vế đưa phương trình bất phương trình về dạng quen thuộc. + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình 120 1 2 10n n nnna x a x a x a x a có nghiệm x= thì chia vế trái cho cho x– ta được 120 1 2 10nnnnx b x b x b x b, tương tự cho bất phương trình. * Phương trình bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác. * Phương trình bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình bất phương trình bậc 3 và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác. Ví dụ 1: Giải phương trình: 013122xxx(ĐH Khối D – 2006) Biến đổi phương trình thành: 22 1 3 1x x x (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được: 028116234xxxx ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được: (*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0. Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 224 1 2 10 1 3 2x x x, ĐK: 23x 22 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5pt x x x x x x x x (1), Với 32x hai vế (1) đều không âm nên ta bình phương 2 vế: x3 – x2 – 5x – 3 023 1 0xx b) Tương tự với 2 dạng: * f x g x * f x g x Ví dụ 1: Giải bất phương trình 22 6 1 2 0 1x x x Giải Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 2 21 2 6 1 2x x x bất phương trình tương đương với hệ: 222203 7 3 7 3 72 6 1 0 32 2 22 6 1 213xxx x x x xx x xx Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 22 1 2x mx mcó nghiêm. Giải * Nếu m < 2 phương trình vô nghiệm. * Nếu m 2 phương trình x22mx m2+4m 3=0. Phương trình này có =2m24m+3>0 với mọi m. Vậy với m 2 thì phương trình đã cho có nghiêm. Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 22 3 1x mx x có hai nghiệm phân biệt. Giải: Cách 1: 212 4 0,(*)xPTx m x, phương trình (*) luôn có 2 nghiệm: 22122 4 20 2 4 200, 022m m m m m mxx. Phương trình đã cho có 2 nghiệm (*) có 2 nghiệm 1x222241 4 4 20 14 4 20mx m m m mm m m Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu. + Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm. + Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với 10xt. (*) trở thành: 21 2 1 4 0t m t (**). Để (*) có 2 nghiệm 1xthì (**) phải có 2 nghiệm 0t. Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 22 2 1x mx x, (1) Giải: 22 1 03 4 1 0, 2xptx m x để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 12hay 24 12 019022122mfmS. Chú ý : Cách 2: đặt 12tx, khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 12 thì 2113 4 1 022t m t có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0. 3. Các kỹ năng: a. Để bình phƣơng 2 vế phƣơng trình – bất phƣơng trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm. Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5 1 1 2 4x x x (ĐH Khối A – 2005) Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành: 5 1 1 2 4x x x khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: 21 2 2 1x x x x x. Giải Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 3 Điều kiện: 12*0xxx2 2 2 222 2 221 2 2 1 2 4 2 1 2 2 14 2 2 18 9 0x x x x x x x x x x xx x x x xxx Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, 98x. (Hãy tìm thêm cách giải khác) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 222 4 0x mx x có nghiệm. HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được 21,2162mmx. Kết hợp với điều kiện ta tìm được |m| 4. b. Chuyển về phƣơng trình – bất phƣơng trình tích: - Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích . Ví dụ 4: Giải phương trình: 277xx. HD: Bình phương hai vế. Dùng hằng đẳng thức a2 b2=0. Nghiệm 1 292,2xx. Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a. 22411xxx b. 223 2 3 2 0x x x x ĐS: a. 1 x<8, b. 1; 2 3;2. Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 22 8 2x x m x.(1) Giải: ĐK: 2x, do m > 0. )2(,326224223mxxxxmxxpt. Để chứng minh 0m, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2. Thật vậy: đặt 326 32, 2f x x x x, ta có f(2) = 0, '2lim , 3 12 0, 2xf x f x x x x nên f(x) là hàm liên tục trên 2; và đồng biến trên khoảng đó suy ra 0m phương trình (2) luôn có nghiệm x0 mà 2 < x0 < . Một số dạng chuyển thành tích: - Dạng: --a c x b dax b cx dm Ta biến đổi thành: ()m ax b cx d ax b cx d Ví dụ: Giải phương trình: 34 1 3 25xxx. ĐS: x=2. - Dạng: u+v=1+uv (u-1)(v-1)=0 Ví dụ: Giải phương trình: 32331 2 1 3 2x x x x. ĐS: x=0, x= 1. Ví dụ: Giải phương trình: 324411x x x x. ĐS: x=0, x=1. - Dạng: au+bv=ab+uv (u b)(v a)=0 Ví dụ 1: Giải phương trình: 23 2 1 2 4 3x x x x x x. ĐS: x=0, x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 2 2 23 3 2 3 2 2x x x x x x x. ĐS: x=0. - Dạng: a3b3 (a b)(a2+ab+b2)=0 a=b Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 4 Ví dụ: Giải phương trình: 22332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x. ĐS: x=1. c. Chuyển về dạng: A1 + A2 + + An = 0 với ,01iA i n khi đó pt tƣơng đƣơng với: ,,120 0 0nA A A. Ví dụ 1: Giải phương trình:24 3 3 4 3 2 2 1x x x x x. HD: Phương trình tương đương 24 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x. ĐS: x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 224 2 4x y y x y. Giải Bình phương hai vế ta được 22212 1 2 2 2 4 0 , 2.2x y y x y x y d. Sử dụng lập phƣơng: Với dạng tổng quát 3 3 3a b c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức 3333a b a b ab a b khi đó phương trình tương đương với hệ 3 3 333a b ca b abc c. Giải hệ này ta có nghiệm của phương trình. Ví dụ: Giải bất phương trình 3 3 31 2 2 3x x x. ĐS: 31; 2;2x x x. e. Nếu bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẩu: - TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu: Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 22 1673133xxxxx (ĐH Khối A 2004) Giải ĐK: 4x. 221 2 16 3 7 2 16 10 2x x x x x 224510 2 010 2 010 34 52 16 10 2xxxxxxx Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 10 34x. - TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp: Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a. 223 4 9x x x b. 251 211xxx. HD: a. Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3. ĐS: 536xx. b. Xét hai trừng hợp của x 1. ĐS: 1 52 5 1xx. Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 22 1 1 0x x x x x x. HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành: 2 2 3 22 4 4 6 4 0x x x x x x x x. 22( 2)(2 2 2) 0x x x x x b. 224 5 1 2 1 9 3x x x x x. HD: Nhân lượng liên hợp. Bài 2: Giải bất phương trình sau: 21 2 1 2 2 .x x x HD: Cách 1: Đặt 42241 2 1 216ttt x x x. Cách 2: Bình phương rồi đưa về dạng:A1+A2 = 0, với A1, A2 0. Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 5 Bài 3: Giải phương trình 4 3 10 3 2xx. (HD: Bình phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức). Bài 4: Giải phương trình 22113x x x x. Bài 5: Giải phương trình 22 6 1 1x x x. Bài 6: Giải các phương trình sau: 1. 211xx 2. 332 2 3 1xx 3. 3 3 32 2 2 9x x x 4. 3331 1 2x x x 5. 21 1 24xxx 6. 22 3 3 14xxx 7. 5 3 3 1 1x x x. (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 0). Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m. Bài 8: Tìm m sao cho phương trình: 24x x x m. a. Có nghiệm. b. Có hai nghiệm phân biệt. Bài 9: Giải các bất phương trình sau: a. 21 1 43xx. b. 2 2 23 2 6 5 2 9 7x x x x x x. c. 2 2 22 2 3 4 5x x x x x x. Bài 10: Giải các phương trình: a. 3322331x x x x x. b. 4343xxxx. c. 34 3 1 4xxx. d. 22 3 9 4x x x. e. 222 1 4 3 1 2 2 6x x x x x x. II. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ: Dạng 1: 0nF f x, đặt nt f x (lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t 0). Ví dụ 1: Giải các phương trình: a. 2211 31xx. b. 25 2 3 3x x x x. HD: a. Đặt 211, 0t x t. ĐS: x= 5. b. Đặt 23 , 0t x x t. ĐS: 3 1092x. Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 22 2 5 2x x m x x m. Giải Đặt: 225 2 6 1 0; 6t x x x t. Khi đó phương trình trở thành 222 5 0 * 5t mt m t m. Phương trình đã cho có nghiệm khi (*) có nghiệm 0; 6t hay 0 5 6 5 6 50 5 6 5 6 5mmmm. Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: 2( 2 2 1) 2 0m x x x x, (1) có nghiệm0;1 3x. Giải: Đặt 2 2 22 2 2 2t x x x x t. Nếu 31;0x thì 2;1112xt BPT trở thành: 21 2 0, 2m t t Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 6 Khi đó ta có 221tmt, với 12t. Đặt 221tftt, dùng đồ thị ta tìm được 23m. Dạng 2: 20m f x g x n f x g x n f x g x p, đặt t f x g x, bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t. Ví dụ 1: Cho phương trình 3 6 3 6x x m x x. a. Giải phương trình khi m=3. b. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. Giải Đặt: 23 6 9 2 3 6 *t x x t x x. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 3 6 9xx nên từ (*) ta có 3 3 2t. Phương trình đã cho trở thành t22t 9= 2m (1). a. Với m=3 (1) t22t 3 t =3. Thay vào (*) ta được x= 3, x=6. b. PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm 3;3 2t. Xét hàm số 229f t t t với 3;3 2t, ta thấy f(t) là một hàm đb nên: 6 (3) 3 2 9 6 2f f t f với 3;3 2t. Do vậy (1) có nghiệm 3;3 2t khi và chỉ khi 6 2 96 2 9 6 2 32mm Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau: Cách 1: dùng BĐT như bài trên 2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số ). Ví dụ 2: Giải phương trình 333335 35 30x x x x. HD: đặt: 333333535 353tt x x xt. ĐS: x=2, x=3. Ví dụ 3: Giải bất phương trình 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x. HD: Đặt 7 7 7 6 0t x x … 667x. Dạng 3: ,0nnF f x g x, trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k. TH1: Kiểm tra nghiệm với 0gx. TH2: Giả sử 0gx chia hai vế phương trình cho kgx và đặt nfxtgx. Ví dụ 1: Giải phương trình 325 1 2 2xx. ĐK: 1x. 3 2 2 25 1 2 2 5 1 1 2 1 2 1x x x x x x x x 22112 5 2 011xxx x x x Đặt 21,01xttxx. Phương trình trở thành 222 5 2 012tttt. Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm. Với 12t: Phương trình đã cho có nghiệm 5 372x. Ví dụ 2: Giải phương trình 225 14 9 20 5 1x x x x x. Giải Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 7 ĐK: 5x. 2 2 2 25 14 9 20 5 1 5 14 9 5 1 20x x x x x x x x x x Bình phương hai vế: 222 4 5 3 4 5 4 5 4x x x x x x Đặt 245, 0.4xxttx phương trình trở thành 232 5 3 0 1,2t t t t. Với t = 1: Phương trình đã cho có nghiệm 5 61 5 615, 522xx. Với 32t: Phương trình đã cho có nghiệm 78 5, 55xx. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 5 61,82xx. Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 243 1 1 2 1x m x x. HD: ĐK 1x. Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 241x đặt 4412111xtxx 01t. ĐS 113m. Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để). 0af x g x f x h x. Đặt t f x, khi đó phương trình trở thành 20at g x t h x. Ví dụ: Giải phương trình 222 1 2 1 2 1x x x x x. HD Đặt 22 1 1 6t x x x. (Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… rất hay!) Bài tập Giải các phương trình sau: 1. 232 5 2 4 2 21 20x x x x ĐS: 9 193 17 3 73,44xx. 2. 3323 2 2 6 0x x x x Đặt 2yx, ĐS: 2, 2 2 3xx. 3. 232 3 2 3 8x x x ĐS: 3 13x. 4. 1 1 12 1 3xxxx x x Đặt 11tx, ĐS: 152x. Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác). Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán lượng giác này. Lưu ý vài tính chất cơ bản: * sin 1, cos 1aa. * 22sin cos 1aa. * 2211 tancosaa * 2211 cotsinaa. Ví dụ 1: Giải phương trình 221 1 2xx. Giải ĐK 1x. Đặt cos , 0;x t t. Khi đó phương trình trở thành 2 2 21 1 cos 2cos 2sin sin 1 0.t t t t Ta tìm được: 1sin2t. Khi đó 23cos 1 sin2x t t. Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 8 Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định u x a. Ta có thể nghĩ đến cách đặt sin , ;22u x a t t hoặc đặt cos , 0;u x a t t. * Nếu 0;u x a ta có thể đặt 2sin , 0;2u x a t t. Ví dụ 2: Giải phương trình 33 2 21 2 1x x x x. HD: Đặt cos , 0;x t t dưa về phương trình lượng giác sin cos 1 sin cos 2 sin cost t t t t t. Để gải phương trình này ta lại đặt sin cos , 2u t t u. ĐS: 2 1 2 2 2,22xx. Ví dụ 3: Giải phương trình 231 4 3x x x. ĐS: 1 2 2,42xx. Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình). * Khi gặp phƣơng trình có dạng ,, 0nmF f x a f x b f x. Đặt ,nmu a f x v b f x. Khi đó ta được hệ phương trình sau: ,0nmF u vu v a b. Giải hệ này tìm u, v rồi ta lại tìm x. Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phương trình nu a f x hoặc mv b f x. Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 6 3 3 6x x x x. ĐS: 0, 3xx. Ví dụ 2: Giải phương trình: 324 12 6xx. ĐS: 24, 88, 3x x x. Ví dụ 3: Giải phương trình: 4417 3xx. ĐS: 1, 16xx. Ví dụ 4: Giải phương trình: 223332 7 2 7 3x x x x. ĐS: 1, 6xx. Ví dụ 5: Giải phương trình: 3331 3 2xx, đặt 331, 3,u x v x pt trở thành: 33322uvuv Ví dụ 6: Giải phương trình: 311122xx, đặt 311,22u x v x Ví dụ 7: Với giá trị nào của a thì phương trình: axx3311có nghiệm. Đặt 331,1 xvxu. Phương trình trở thành: 222a u v uvu v a TH1: a = 0 hệ phương trình vô nghiệm. TH2: 0a, hệ phương trình trở thành 2123u v auv aa. Hệ có nghiệm khi 24 0 0 2S P a. Vậy phương trình có nghiệm khi 02a. * Khi gặp phƣơng trình có dạng nnf x b a af x b. Đặt ,nt f x y af x b ta có hệ nnt b ayy b at. Ví dụ 1: Giải phương trình 332 1 2 2 1xx. ĐS: 151,2xx. Ví dụ 2: Giải phương trình 23242xxx. Giải Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 9 ĐK 3x. 222123 1 12 4 2 1 2 1 1 12 2 2 2xxxx x x x. Đặt 211, 1 1 12 2 2x t tt x y y. Ta được hệ phương trình 22112112tyyt. Giải thêm chút nữa ta được kết quả! ĐS: 3 17 5 13,44xx. Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm được nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn phụ. Ví dụ 3: Giải phương trình 24 7 1 2 2x x x. ĐS: 711, ,44x x x. Chú ý: Bài này có thể sử dụng phương pháp bình phương. Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình sau: 1. 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x 2. 222x x x x 3. 224 2 1 2 2 9x x x x x x 4. 4 1 52x x xx x x. Bài 2: Giải cácbất phương trình sau: 1. 225 10 1 7 2x x x x 2. 324 12 6xx 3. 222 5 6 10 15x x x x 4. 21 1 24xxx. Bài 3: Giải các phương trình sau: 1. 3312 14 2xx 2. 3331 3 2xx 3. 2 3 21 2 1 3xx 4. 222xx 5. 21 1 24xxx (đặt 11t x x). III. Phƣơng pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có ()f u f v u v. Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì bac ;:'F b F aFcba. Khi áp dụng giải phương trình: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì ; : ' 0 ' 0c a b F c F x có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau: Phƣơng án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất. Phƣơng án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất. Phƣơng án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đó ta có: u = v. Ví dụ: Giải phương trình: 24 1 4 1 1xx ĐK: 12x. Đặt 24 1 4 1f x x x. Miền xác định: 12x, '22404141xfxxx. Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 10 Do đó hàm số đồng biến với 12x, nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Thấy 12x là nghiệm của phương trình. Đối với phƣơng trình chứa tham số ta thực hiện nhƣ sau: Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1) B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng d: y = g(m). B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m) B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: min , max ,xDxDf x m g m f x m. * phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm. * phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) . Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 2211x x x x mcó nghiệm. TXĐ: R Xét hs: 2211y f x x x x x, Df = R, 222 1 2 1'11xxyx x x x ' 2 222222 1 2 1 00 2 1 1 2 1 12 1 1 2 1 1xxy x x x x x xx x x x x x (v.nghiệm) Mặt khác: f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Giới hạn: 22222lim lim 1112lim lim 111xxxxxx x x xxx x x x BBT: x y’ + y 1 1 Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1. Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m. Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị. Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 31mx x m, ĐK: 3x 131xbpt mx, xét hs 21 3 5'12 3 1xxyyxxx. '05yx. lim 0xy và f(3) = 12. BBT: x 3 5 y’ + 0 y y(5) 12 0 Vậy bất phương trình có nghiệm 3154y m m Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: 12 5 4x x x m x x có nghiệm. Giải: ĐK: 04x [...]... dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm số khơng được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác. * Phương trình bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, cịn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình bất phương trình bậc 3 và nếu khơng ta phải chuyển sang hướng khác. Ví dụ 1: Giải phương trình: ... Đặt điều kiện (nếu có). B2: Biến đổi về phương trình – bất phương trình hệ phương trình đơn giản mà ta đã biết cách giải bằng cách: thế, khử biến B3: Kết luận. (chú ý điều kiện và sự biến đổi tương đương hay hệ quả) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 5 2 7 2 5 7 xy xy . Giải Điều kiện: 2 2 x y . Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vơ tỷ 4 Ví dụ: Giải phương trình: 2 2 3 3 2 3 9 2 2 3 3 2x x x x... ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho 0gx rồi bình phương 2 vế đưa phương trình bất phương trình về dạng quen thuộc. + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình 12 0 1 2 1 0 n n n nn a x a x a x a x a có nghiệm x= thì chia vế trái cho cho x– ta được 12 0 1 2 1 0 nn nn x b x b x b x b , tương tự cho bất phương trình. * Phương trình bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo... trình được viết lại dưới dạng: 2 3 1 x m x Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C): 2 3 1 x y x và đường thẳng: y = m. Lập BBT : x 1/3 y’ + 0 y 10 1 1 KL: 1 10mm : phương trình vơ nghiệm. 11m hoặc 10m : phương trình có nghiệm duy nhất. 1 10m : phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1 3 1 3x x x x m , (1) Giải: ĐK: 13x .... Giải phương trình: 2 4 3 3 4 3 2 2 1x x x x x . HD: Phương trình tương đương 2 4 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x . ĐS: x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 22 4 2 4x y y x y . Giải Bình phương hai vế ta được 22 2 1 2 1 2 2 2 4 0 , 2. 2 x y y x y x y d. Sử dụng lập phƣơng: Với dạng tổng quát 3 3 3 a b c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức 3 33 3a b a b ab a b khi đó phương trình. .. dụ 1: Giải bất phương trình 2 2 6 1 2 0 1x x x Giải Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 7 ĐK: 5x . 2 2 2 2 5 14 9 20 5 1 5 14 9 5 1 20x x x x x x x x x x Bình phương hai vế: 22 2 4 5 3 4 5 4 5 4x x x x x x Đặt 2 45 , 0. 4 xx tt x phương trình trở thành 2 3 2 5 3 0 1, 2 t t t t . Với t = 1: Phương trình đã cho có nghiệm 5 61 5 61 5, 5 22 xx . Với 3 2 t : Phương trình đã cho có... Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 5 61 ,8 2 xx . Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 4 3 1 1 2 1x m x x . HD: ĐK 1x . Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 2 4 1x đặt 44 12 1 11 x t xx 01t . ĐS 1 1 3 m . Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để). 0af x g x f x h x . Đặt t f x , khi đó phương trình trở thành 2 0at g x t h x . Ví dụ: Giải phương trình. .. t(x) với 13x ta có 22t Khi đó phương trình (1) trở thành: 1 2 t 2 + t + 1 = m, lập bảng biến thiên của hàm số vế trái với 22t từ đó kết luận: 12m . Bài tập: Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 99x x x x m . Bài 2. Giải các phương trình sau: 1. 22 1 1 3 1x x x x 2. 1 3 1 3 1x x x x 3. 12 12 5 4x x x x x B. Hệ phƣơng trình - hệ bất phƣơng trình chứa căn. 1. Phƣơng pháp... 3x x x x x . HD: Nhân lượng liên hợp. Bài 2: Giải bất phương trình sau: 2 1 2 1 2 2 .x x x HD: Cách 1: Đặt 42 2 4 1 2 1 2 16 tt t x x x . Cách 2: Bình phương rồi đưa về dạng:A 1 +A 2 = 0, với A 1 , A 2 0 . Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vơ tỷ 1 PHƢƠNG TRÌNH-BÂT PHƢƠNG TRÌNH-HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ A. Phƣơng trình - bất phƣơng trình chứa căn thức I. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng... lượng giác). Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán lượng giác này. Lưu ý vài tính chất cơ bản: * sin . v a TH1: a = 0 hệ phương trình vô nghiệm. TH2: 0a, hệ phương trình trở thành 2123u v auv aa. Hệ có nghiệm khi 24 0 0 2S P a. Vậy phương trình có nghiệm. Tìm m để phương trình 22 1 2x mx mcó nghiêm. Giải * Nếu m < 2 phương trình vô nghiệm. * Nếu m 2 phương trình x22mx m2+4m 3=0. Phương trình này
