Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2010 - 2011 A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN 1/ Chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn 0. Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |u n | ≤ v n , ∀n và lim v n = 0 thì limu n = 0 - Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim 0 1 n = , lim 0 1 n = , 3 lim 0 1 n = , lim 0 n q = với |q| < 1 2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số. Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số: +) Nếu limu n = +∞ thì lim 0 1 n u = - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số: +) Nếu ( ) 0 lim x x f x → = +∞ thì ( ) 0 lim 0 1 x x f x → = - Chú ý khi gặp các dạng vô định: 0 ; ; ;0. 0 ∞ ∞ −∞ ∞ ∞ ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;… 3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cho CSN (u n ) lùi vô hạn (với 1<q ), ta có : 1 1 1 1 1 n u S u u q u q q + = + + + = − L L 4/ Xét tính liên tục của hàm số Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x 0 : limu n limv n = L lim(u n v n) +∞ L >0 +∞ +∞ L < 0 −∞ −∞ L >0 −∞ −∞ L < 0 +∞ limun=L limvn Dấu của v n lim n n u v L >0 0 + +∞ L > 0 - −∞ L < 0 + −∞ L < 0 - +∞ )(lim 0 xf xx→ )(lim 0 xg xx→ )().(lim 0 xgxf xx→ + ∞ L > 0 + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ L < 0 - ∞ - ∞ + ∞ )(lim 0 xf xx→ )(lim 0 xg xx→ Dấu của g(x) )( )( lim 0 xg xf xx→ L > 0 0 + + ∞ - - ∞ L < 0 + - ∞ - + ∞ 1 Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu +) Tính f(x 0 ) +) Tìm ( ) 0 lim x x f x → (nếu có) - Nếu ( ) 0 lim x x f x → không tồn tại ⇒ f(x) gián đoạn tại x 0 . - Nếu ( ) ( ) 0 0 lim x x f x L f x → = ≠ ⇒ f(x) gián đoạn tại x 0 - Nếu ( ) ( ) 0 0 lim x x f x L f x → = = ⇒ f(x) liên tục tại x 0. 5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình. Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b). CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM 1/ Tìm đạo hàm của hàm số Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm +) Các quy tắc tính đạo hàm: ' 2 ' 2 ( )' ' ' ( . )' '. '. ( . )' . ' '. '. 1 ' u v u v u v u v v u k u k u u u v v u v v v v v ± = ± = + = −   =  ÷     = −  ÷   ( ) ( ) ( ) 1 ' 2 ' 0 ; ' 1 ' . 1 1 1 ' 2 n n c x x n x x x x x − = = =   = −  ÷   = ( ) ( ) 1 ' 2 ' . . ' 1 ' ' ' 2 n n u n u u u u u u u u − =   = −  ÷   = +) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu [ ( )]y f u x = thì ' ' ' . x u x y f u = +) Đạo hàm của các hàm số lượng giác: ( ) ( ) ( ) 2 2 sin ' cos cos ' sin 1 tan ' cos 1 (cot )' sin x x x x x x x x = = − = = − ( ) ( ) ( ) 2 2 sin ' '.cos cos ' '.sin ' tan ' cos ' (cot )' sin u u u u u u u u u u u u = = − = = − 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M 0 có hoành độ x 0 có dạng: y = f’(x 0 ) (x – x 0 ) + f(x 0 ) 3/ Vi phân - Vi phân của hàm số tại nột điểm: 0 0 ( ) '( ).df x f x x= ∆ - Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: 0 0 0 ( ) ( ) '( )f x x f x f x x+ ∆ ≈ + ∆ - Vi phân của hàm số: ( ) '( )df x f x dx= hay 'dy y dx= 4/ Đạo hàm cấp cao: - Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’. - Đạo hàm cấp n của hàm số: f (n) = [f (n-1) ]’. 2 Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu II. BÀI TẬP CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0: ( ) 2 1 ) 2 1 n n a u n − = + sin 2 ) 1 n n b u n = + 2 cos3 ) n n n c u n n + = + cos ) 1 n n d u n n = + ( ) 1 1 ) 3 n n n e u + − = 2 ) 3 1 n n n f u = + ( ) 1 1 1 1 ) 3 5 n n n n g u + + − = + ) 1 n h u n n= + − Bài 2: Tìm các giới hạn sau: 3 3 2 2 3 1 )lim n n a n n − + + 3 2 3 2 )lim 2 1 n n b n + − + 3 3 2 )lim 2 1 n c n n − + + − 5 3 2 1 2 3 )lim ( 2) (5 1) n n d n n + − − − 2 4 1 )lim 1 2 n n e n + + − 3 2.5 )lim 3.5 4 n n n n f − − 3 4 1 )lim 2.4 2 n n n n g − + + 2 2 4 1 9 2 )lim 2 n n h n + − + − )lim n i u với ( ) 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 1 n u n n = + + + + + ĐS: a) -3 b) +∞ c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1 Bài 3 : Tính các giới hạn sau: 2 )lim(3 1)a n n+ − 4 2 )lim( 2 3)b n n n− + − + ( ) 2 )lim 3 sin 2c n n n+ 2 )lim 3 1d n n+ − ( ) )lim 2.3 5.4 n n e − 2 )lim 3 1 2f n n+ − 2 )lim 1g n n+ − ( ) − + 2 )limh n n n ( ) 2 )lim 3 6 1 7i n n n− + − ( ) )lim 1k n n n− − ( ) 2 )lim 3l n n n− − ( ) 3 3 2 )limm n n n+ − ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) +∞ d) +∞ e) - ∞ f) - ∞ g) 0 h) +∞ i) -∞ k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3 Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) 1 1 1 1 1 1, , , , , , 2 4 8 2 n−   − − −  ÷   b) 1 1 1 1 1 1, , , , , , 3 9 27 3 n−    ÷   ĐS: a) 2/3 b) 3/2 Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ ∞ ): a) 3 3 2 5 1 lim 2 3 1 x x x x x →+∞ − + − + + b) 3 3 2 lim 2 1 x x x →−∞ − + + c) 3 2 2 5 1 lim 3 x x x x x →−∞ − + + d) 5 3 2 3 2 4 lim 1 3 2 x x x x x x →+∞ + − − − 2 3 2 5 1 ) lim 2 3 1 x x e x x →+∞ − + + f) 2 2 2 4 1 lim 2 5 x x x x x →−∞ + − + − ĐS: a) -1/2 b) -∞ c) - ∞ d) -∞ e) 0 f) -1/5 Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞): a) 3 2 lim ( 2 3 1) x x x x →−∞ − + − + b) 4 3 lim ( 5 3) x x x x →+∞ − + + − c) 2 lim 4 2 x x x →+∞ + + d) 2 lim 3 2 x x x →−∞ − + e) ( ) 2 lim 3 2 x x x x →+∞ + − f) ( ) 2 lim 2 x x x x →−∞ + + ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) + ∞ d) +∞ e) - ∞ f) + ∞ Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên): 3 Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu a) 3 1 lim 3 x x x − → + − b) ( ) 2 4 1 lim 4 x x x → − − c) 3 2 1 lim 3 x x x + → − − d) 2 2 1 lim 2 x x x + →− − + + e) 2 0 2 lim x x x x x − → + − f) 1 3 1 lim 1 x x x − →− − + ĐS: a) - ∞ b) - ∞ c) + ∞ d) + ∞ e) 1 f) + ∞ Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0 0 ): a/ 2 3 9 lim 3 x x x → − − b/ 2 1 3 2 lim 1 x x x x → − + − c) 2 3 3 lim 2 3 x x x x →− + + − d) 3 2 1 1 lim 1 x x x → − − e) 2 2 1 2 3 lim 2 1 x x x x x → + − − − f) 2 2 lim 7 3 x x x → − + − g) 2 3 9 lim 1 2 x x x → − + − h) 4 2 1 3 lim 2 x x x → + − − i) 1 2 1 lim 5 2 x x x →− + − + − k) 2 2 3 2 lim 2 x x x x − → − + − ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0 Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ∞): a) 0 1 1 lim 1 1 x x x − →   −  ÷ +   b) ( ) 2 1 2 3 lim 1 1 x x x x + → + − − c) 2 3 2 1 lim 9. 3 x x x x + → + − − d/ ( ) 3 2 2 lim 8 2 x x x x − → − − ĐS: a) -1 b) 0 c) +∞ d) 0 Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞): a) ( ) 2 lim 1 x x x →+∞ + − b) ( ) 2 2 lim 2 1 x x x x →+∞ + − + c) ( ) 2 lim 4 2 x x x x →−∞ − + d) ( ) 2 2 lim 1 x x x x →−∞ − − − ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2 Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng 0 sin lim 1 x x x → = ) a) 0 sin 3 lim x x x → b) 2 0 sin sin 2 lim 3 x x x x → c) 2 0 1 cos lim sin x x x x → − d) 0 sin .sin 2 sin lim n x x x nx x → ĐS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n! Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) 2 4 -2 ( ) 2 4 -2 x khi x f x x khi x  − ≠  = +   − =  tại x 0 = -2 b) 2 4 3 khi x<3 ( ) 3 5 khi 3 x x f x x x  − +  = −   ≥  tại x 0 = 3 c) 2 2 3 5 1 ( ) 1 7 1 x x khi x f x x khi x  + − >  = −   ≤  tại x 0 = 1 d) 2 1 3 ( ) 3 3 3 x khi x f x x khi x  − + ≠  =  −  =  tại x 0 = 3 e/ 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 x khi x f x x khi x  − ≠  = −   =  tại x 0 = 2 f) 2 2 ( ) 1 1 3 4 2 x khi x f x x x khi x −  >  = − −   − ≤  tại x 0 = 2 ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng: a) 2 3 2 2 ( ) 2 1 2 x x khi x f x x khi x  − + ≠  = −   =  b) ( ) 2 1 2 2 ( ) 3 2 x khi x x f x khi x −  ≠  − =   =  c) ( ) 2 2 x 2 2 5 x 2 x x khi f x x x khi  − − >  = −   − ≤  d) ( ) 2 2 0 0 1 2 1 1 x khi x f x x khi x x x khi x <   = ≤ <   − − + ≥  4 Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián đọan tại x = 2. c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián đọan tại x = 1. Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x 0 . a) ( ) 2 2 1 1 1 x x khi x f x x a khi x  − − ≠ −  = +   = −  với x 0 = -1 b) 2 1 ( ) 2 3 1 x khi x f x ax khi x  < =  − ≥  với x 0 = 1 c) 7 3 2 ( ) 2 1 2 x khi x f x x a khi x  + − ≠  =  −  − =  với x 0 = 2 d) 2 3 1 1 ( ) 2 1 1 x khi x f x a khi x  − < =  + ≥  với x 0 = 1 ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2 Bài 15: Chứng minh rằng phương trình: a) 4 5 2 0x x− + = có ít nhất một nghiệm. b) 5 3 7 0x x− − = có ít nhất một nghiệm. c) 3 2 2 3 5 0x x− + = có ít nhất một nghiệm d) 3 2 10 7 0x x− − = có ít nhất 2 nghiệm. e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3) f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm. g) 3 2 3 1 0x x+ − = có 3 nghiệm phân biệt. h) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 3 0m x x x− + + − − = luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m. i) ( ) ( ) 3 2 4 1 4 3 0m x x x− − + − = luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m. CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau: a) 3 y x= b) 2 3 1y x= + c) 1y x= + d) 1 1 y x = − Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1) = − + − 3 2 5 3 2 x x y x 2) 3 2 2 5 +−= x xy 3) = − + − 2 3 4 2 4 5 6 7 y x x x x 4) )13(5 2 −= xxy 5) y = (x 3 – 3x )(x 4 + x 2 – 1) 6) 32 )5( += xy 7) )35)(1( 22 xxy −+= 8) )23)(12( +−= xxxy 9) 32 )3()2)(1( +++= xxxy 10) ( )   = + −  ÷   2 3 1y x x x 11) 3 2y x= 12) y = ( 5x 3 + x 2 – 4 ) 5 13) 4 2 3y x x= + 14) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 3 7y x x x= + − + 15) 2 2 5 2 x y x − = + 16) 2 1 2 3 5 y x x = + − 17) 3 2 2 1 x x y x x − = + + 18) − + + = − 2 2 7 5 3 x x y x x 19) 76 2 ++= xxy 20) 21 ++−= xxy 21) 1)1( 2 +++= xxxy 22) 12 32 2 + +− = x xx y 23) 1 x y 1 x + = − 24) ( ) 3 2 2 3 1y x x= + − 5 Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu 25) ( ) 3 2 3 2y x x x x= + + − 26) y = x (x 2 - x +1) 27) 3 2 2 3 2 x y x x x   = + −  ÷  ÷ −   Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x 3 ) 3) y = x.cotx 4) 2 )cot1( xy += 5) xxy 2 sin.cos= 6) 3 1 cos cos 3 y x x= − 7) 2 sin 4 x y = 8) xx xx y cossin cossin − + = 9) 3 y cot (2x ) 4 π = + 10) 2 sin (cos3 )y x= 11) 3 2 y cot 1 x= + 12) xxy 3sin.sin3 2 = 13) 2 y 2 tan x= + 14) 3 cosx 4 y cot x 3sin x 3 = − + 15) sin(2sin )y x= 16) 4 sin 3y xp= - 17) 22 )2sin1( 1 x y + = 18) xsinx y 1 tanx = + 19) sinx x y x sinx = + 20) y 1 2tanx= + Bài 4: Cho hai hàm số : 4 4 ( ) sin cos f x x x= + và 1 ( ) cos4 4 g x x= Chứng minh rằng: '( ) '( ) ( )f x g x x= ∀ ∈ℜ . Bài 5: Cho 23 23 +−= xxy . Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3 ĐS: a) 0 2 x x <   >  b) 1 2 1 2x− < < + Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) = xxcosxsin3 +− c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x 4 – 2x 3 – 1 Bài 7: Cho hàm số f(x) 1 x. Tính : f(3) (x 3)f '(3)= + + − Bài 8: a) Cho hàm số: 2 22 2 ++ = xx y . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’ 2 b) Cho hàm số y = 4x 3x + − . Chứng minh rằng: 2(y’) 2 =(y -1)y’’ c) Cho hàm số = − 2 y 2x x . Chứng minh rằng: + = 3 y y" 1 0 Bài 9: Chứng minh rằng '( ) 0 f x x> ∀ ∈ℜ , biết: a/ 9 6 3 2 2 ( ) 2 3 6 1 3 f x x x x x x= − + − + − b/ ( ) 2 sinf x x x= + Bài 10: Cho hàm số 2 2 x x y x + = − (C) a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x 0 = -1. Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x 3 – 2x 2 (C) a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x 0 = 2. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2. Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : 3 2 5 2y x x= − + . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) a) Tại M (0;2). b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1. 6 Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1 7 x – 4. Bài 13: Cho đường cong (C): 2 2 x y x + = − . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) a) Tại điểm có hoành độ bằng 1 b) Tại điểm có tung độ bằng 1 3 c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4− Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau: a) 12 3 +−= xxy b) 2 sin 4 x y = c) 76 2 ++= xxy d) xxy 2 sin.cos= e) 2 )cot1( xy += Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 1) 1 2 x y x + = − 2) 2 2 1 2 x y x x + = + − 3) 2 1 x y x = − 4) 2 1y x x= + 5) 2 siny x x= 6) 2 (1 )cosy x x= − 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x ĐS: 1) ( ) 3 6 '' 2 y x = − 2) ( ) 3 2 3 2 4 10 30 14 '' 2 x x x y x x − + + = + − 3) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 '' 1 x x y x + = − 4) ( ) 3 2 2 2 3 '' 1 1 x x y x x + = + + 5) ( ) 2 '' 2 sin 4 cosy x x x x= − + 6) 2 '' 4 sin ( 3)cosy x x x x= + − 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) 1 1 y x = + b) y = sinx ĐS: a) ( ) ( ) ( ) 1 ! 1 1 n n n n y x + = − + b) ( ) sin 2 n y x n π   = +  ÷   7 Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu B. HÌNH HỌC I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 0 90 . • Phương pháp 2: . 0a b u v⊥ ⇔ = r r ( , u v r r lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b). • Phương pháp 3: Chứng minh ( )a b α ⊥ ⊃ hoặc ( )b a β ⊥ ⊃ • Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( 'a b a b⊥ ⇔ ⊥ với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a).  Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P). • Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P) • Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P) • Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q). • Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P).  Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc. • Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q). • Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q). • Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q).  Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b. • Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’).  Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P). • Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ +) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 90 0 . +) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P) - Khi đó: ϕ = (d,d’)  Dạng 6: Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q). • Phương pháp 1: - Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q). - Tính góc ϕ = (a,b) • Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d - Tìm (R) ⊥ d - Xác định a = (R) ∩ (P) - Xác định b = (R) ∩ (Q) - Tính góc ϕ = (a,b).  Dạng 7: Tính khoảng cách. • Tính khoảng từ một điểm M đến đt a: Phương pháp: ( , )d M a MH= (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a). • Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P). - d (M, (P)) = AH • Tính khoảng giữa đt ∆ và mp (P) song song với nó: d ( ∆ , (P)) = d (M, (P)) (M là điểm thuộc ∆). • Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b: +) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b : 8 Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu - Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b - Xác định A = (P) ∩ b - Dựng hình chiếu H của A lên b - AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 2: - Dựng (P) ⊃ a và (P) // b. - Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ ∩ a = H - Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A. - AH là đoạn vuông góc chung của a và b. +) Phương pháp 2: - Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O - Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O). - Kẻ IK ⊥ b’ tại K. - Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H. - Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A. - AH là đoạn vuông góc chung của a và b. II. BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC). a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB). b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (SAB). b) SD ⊥ DC. c) SC ⊥ BD. Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh: BC ⊥ AD. b) Gọi AH là đường cao của ∆ADI. Chứng minh: AH ⊥ (BCD). Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = 2a . a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD). b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK⊥SD c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD). Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh: a) H là trực tâm ∆BCD. b) AC ⊥ BD. Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi một. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = 3a , SA ⊥ (ABCD). a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO⊥ (ABCD). c) Tính góc giữa SC và (ABCD). Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA ⊥ (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. 9 · 0 BAD 60= Trường THPT Nguyễn Trung Trực – Đề cương ôn tập HKII lớp 11 - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC). b) Chứng minh SC ⊥ (AHK). c) Chứng minh HK ⊥ (SAC). Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA ⊥ (ABC). Gọi I là trung điểm BC. a) Chứng minh BC ⊥ (SAI). b) Tính SI. c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC) và SA = a, AC = 2a. a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB). b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC). c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC. 1. CMR: BC ⊥ (OAI). 2. CMR: (OAI) ⊥ (OHK). 3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC). ĐS: a / 3 5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK). ĐS: cos 6 / 3 α = 6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC). ĐS: tan 2ϕ = 7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai đường ấy. ĐS: a / 2 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD)⊥ và SA a 2= . 1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 2. CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) . 3. Tính góc α giữa SC và mp (ABCD), góc β giữa SC và mp (SAB). ĐS: 0 0 45 , 30 α = β = 4. Tính tang của góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). ĐS: tan 2ϕ = 5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD). ĐS: a 6 / 3 6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy. ĐS: a / 2 7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI. ĐS: SI a= Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA SB SD a 3 / 2 = = = và . Gọi H là hình chiếu của S trên AC. 1. CMR: BD (SAC)⊥ và SH (ABCD)⊥ . 2. CMR: AD SB⊥ . 3. CMR: (SAC) ⊥ (SBD). 4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC. ĐS: SH a 15 / 6= và SC = a 7 / 2 5. Tính sin của góc α giữa SD và (SAC), côsin của góc β giữa SC và (SBD). ĐS: sin 3 / 3α = và cos 3/ 14β = . 6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD). ĐS: a 10 /12 7. Tính góc giữa (SAD) và (ABCD). ĐS: tan 5ϕ = 8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy. ĐS: a 3 / 3 10 [...]... / 2 4 Tính tang của góc ϕ giữa mp(SBC) và mp(ABCD) ĐS: tan ϕ = 2 ĐS: 2a / 5 6 Tính khoảng cách từ A đến (SBD) ĐS: 2a / 7 7 Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D Từ đó tính MS và NS ĐS: MS = a , NS = a 6 / 2 Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD 1 CMR: BD ⊥ (ACC'A ') và A’C ⊥ (BDC') 2. .. lớp 11 9 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI - Giáo viên: Nguyễn Hoàng Diệu ĐS: 3 15a / 20 · ADC = 450 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 1 CMR: BC ⊥ mp(SAB) 2 CMR: CD ⊥ SC 3 Tính góc α giữa SC và (ABCD), góc β giữa SC và (SAB), góc γ giữa SD và (SAC) ĐS: α = 450 , β = 300 , tan γ = 2. .. đến mp(MNC’) ĐS: 3a / 17 5 Tính khoảng cách giữa SA và BD 7 Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD) ĐS: tan α = 2 2 / 3 ĐS: tan β = 2 8 Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’) ĐS: cos ϕ = 7 / 51 9 Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’ ĐS: a 3 / 3 6 Tính tang của góc giữa AC và (MNC’) 11 . 5 2 x y x − = + 16) 2 1 2 3 5 y x x = + − 17) 3 2 2 1 x x y x x − = + + 18) − + + = − 2 2 7 5 3 x x y x x 19) 76 2 ++= xxy 20 ) 21 ++−= xxy 21 ) 1)1( 2 +++= xxxy 22 ) 12 32 2 + +− = x xx y 23 ) 1 x y 1. + − 3 2 5 3 2 x x y x 2) 3 2 2 5 +−= x xy 3) = − + − 2 3 4 2 4 5 6 7 y x x x x 4) )13(5 2 −= xxy 5) y = (x 3 – 3x )(x 4 + x 2 – 1) 6) 32 )5( += xy 7) )35)(1( 22 xxy −+= 8) )23 )( 12( +−=. xxxy 9) 32 )3( )2) (1( +++= xxxy 10) ( )   = + −  ÷   2 3 1y x x x 11) 3 2y x= 12) y = ( 5x 3 + x 2 – 4 ) 5 13) 4 2 3y x x= + 14) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 3 7y x x x= + − + 15) 2 2 5 2 x y x − = +