SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn MỤC LỤC MỤC Nội Dung Trang 1 Mục lục 1 2 1. ĐẶT VẤN ĐẾ 2 3 1.1 Lý do chọn đề tài : 2 4 1.2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 2 5 1.3 phương pháp nghiên cứu: 2 6 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3 7 2.1 Thực trạng của vấn đề 3 8 2.2 Cơ sở lí luận của vấn đề 3 9 2.3 các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 3 10 Phần I: Giới hạn dãy số 3 11 A. Kiến thức cơ bản 3 12 B. Phương pháp giải toán 4 13 C. Các ví dụ 5 14 Bài tập tự giải 7 15 Phần II: Giới hạn hàm số 7 16 A. Kiến thức cơ bản 7 17 B. Phương pháp giải toán 8 18 C. Các ví dụ 9 19 Bài tập tự giải 12 20 Phần III: Hàm số liên tục 15 21 A. Kiến thức cơ bản 15 22 B. Phương pháp giải toán 16 23 C. Các ví dụ 17 24 Bài tập tự giải 21 25 Phần ba: Kết luận 24 26 Kiến nghị 24 GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An 1 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn 1. ĐẶT VẤN ĐẾ 1.1 Lý do chọn đề tài : Giới hạn là một nội dung quan trọng trong toán giải tích 11, 12 và các môn học khác như vật lí dựa trên các kiến thức về giới hạn người ta xây dựng ra những kiến thức khác như tính liên tục của hàm số, đạo hàm và tích phân, trong vật lí giới hạn tham gia giải các bài toán về chuyển động Tuy nhiên sau khi học xong chương giới hạn toán 11 thì không có nhiều học sinh hiểu và giải tốt các bài toán về giới hạn. Các em lúng túng, không tự tin, thường mắc phải các sai sót về trình bày và về lí luận. Chính vì tầm quan trọng và thực tế khó khăn của học sinh như thế nên tôi quyết định chọn đề tài này 1.2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: Trong đề tài này tôi nghiên cứu bài tập về giới hạn. Bắt đầu từ những bài trong lí thuyết cho đến các bài toán vận dụng được hệ thống sắp xếp và phân thành từng dạng có phương pháp giải đơn giản và cụ thể 1.3 phương pháp nghiên cứu: Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau: Phương pháp so sánh, phương pháp tổng hợp. 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An 2 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn 2.1 Thực trạng của vấn đề Hệ thống bài tập đi với lí thuyết đôi khi chưa hợp lí, chưa phù hợp với đối tượng học sinh. Bài tập đưa ra ở các mục trước ít có liên hệ để hình thành kiến thức ở mục sau. Do vậy hiệu quả của hệ thống bài tập trong sách giáo khoa chưa cao. 2.2 Cơ sở lí luận của vấn đề Dựa trên nguyên tắc dạy học và nhận thức của học sinh, việc phân chi hệ thống bài tập đi với lí thuyết giúp các em phát triển về tư duy, ôn tập và hình thành kiến thức mới trong quá trình giải toán. Vì vậy tôi đã xây dựng hệ thống bài tập có liên hệ giữa các phần với nhau, phân loại và đưa ra phương pháp cho từng loại 2.3 các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ: A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Dãy số có giới hạn 0: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (u n ) có giới hạn 0 nếu với mổi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đói. Kí hiệu: ( ) lim 0u n = hoặc lim 0 n u = hoặc 0 n u → b) Một vài giới hạn đặc biệt 1 lim k n =0 (k * N ∈ ) ; 1 lim k n =0(k * N ∈ ) ; limq n =0( 1q < ) GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An 3 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn Định lí: cho hai dãy số (u n ) và (v n ).Nếu |u n | ≤ v n với mọi n và lim v n =0 thì lim u n =0 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn a) Định nghĩa :Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là số thực L nếu ( ) lim 0. n u L− = Kí hiệu: ( ) lim 0u n = hoặc lim 0 n u = hoặc 0 n u → b) Một vài giới hạn đặc biệt. limc c= c) Một số định lý . Định lý 1: giả sử lim(u n )=L khi đó a) = lim n u L và = 3 3 lim n u L b) Nếu u n ≥ 0 với mọi n thì L ≥ 0 và =lim n u L Định lý 1: Nếu lim(u n )=L , lim(v n )=M thì: a) ( ) ± = ± lim n n u v L M b) ( ) = lim . . n n u v L M c) ( ) = ≠lim , 0 n n u L M v M c) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với < 1q : = − 1 1 u S q GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An 4 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn 3. Dãy số có giới hạn vô cực: a) Định nghĩa: Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là +∞ nếu với mổi số dương bất kỳ, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Kí hiệu: lim(u n )= +∞ hay limu n = +∞ hay u n → +∞ Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là −∞ nếu với mổi số âm bất kỳ, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim(u n )= −∞ hay limu n = −∞ hay u n → −∞ b) Một vài giới hạn đặc biệt limn k = +∞ (k ∈ * N ) lim k n = +∞ (k ∈ * N ) c) Định lý: tính chất 1:Nếu n ulim = ±∞ và n vlim = ±∞ thì n n u vlim( ) được cho trong bảng sau: n ulim n vlim n n u vlim( ) + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ – ∞ – ∞ – ∞ + ∞ – ∞ – ∞ – ∞ + ∞ tính chất 2: Nếu n ulim = ±∞ và n v Llim 0= ≠ thì n n u vlim( ) được cho trong bảng sau: n ulim L n n u vlim( ) + ∞ + + ∞ GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An 5 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn + ∞ – – ∞ – ∞ + – ∞ – ∞ – + ∞ tính chất 3: Nếu n u Llim 0= ≠ , n vlim 0= và n v 0> hoặc n v 0< kể từ một số hạng nào đó trở đi thì n n u v lim được cho trong bảng sau: L n v n n u v lim + + + ∞ + – – ∞ – + – ∞ – – + ∞ B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: 1. Giới hạn của dãy số (u n ) với ( ) ( ) n P n u Q n = với P,Q là các đa thức: o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a 0 , hệ số cao nhất của Q là b 0 thì rút n k ra đơn giản và đi đến kết quả: ( ) 0 0 lim n a u b = . o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì rút n k ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(u n )=0. o Nếu k = bậc P > bậc Q, rút n k ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(u n )= ∞ . 2. Giới hạn của dãy số dạng: ( ) ( ) n f n u g n = , f và g là các biển thức chứa căn. o Rút n k ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An 6 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn Ghi chú: những cách biến đổi trên không là duy nhất và cũng không phải bài nào cũng giải được tuy nhiên đa số các bài trong chương trình nếu có những đặc điểm trên đều có thể giải được B. CÁC VÍ DỤ: Bài 1. Dự đoán giới hạn của dãy số (u n )và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng qua một vài kiểm chứng cụ thể 1) u n = 2 1 n 2) u n = 3 1 n giải 1) dự đoán 2 lim n = 1 0 kiểm chứng: với số dương 1 100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có |u n |< 1 100 với số dương 1 10000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng trong dãy số đều có |u n |< 1 10000 2) dự đoán lim = 3 1 0 n kiểm chứng: GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An 7 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn với số dương 1 100 ta thấy kể từ số hạng thứ 1000001 mọi số hạng trong dãy số đều có |u n |< 1 100 với số dương 1 999 ta thấy kể từ số hạng thứ 999 3 +1 mọi số hạng trong dãy số đều có |u n |< 1 999 Bài 2. Dãy số (u n ) có giới hạn là 0 hay không? Vì sao? 1) u n = 2 1 n +1 2) u n = 1 n giải 1) 2 lim n + ≠ 1 1 0 Vì với số dương 1 2 ta thấy mọi số hạng trong dãy số đều có |u n |> 1 2 2) lim − ≠ 1 3 0 n Vì với số dương 1 ta thấy mọi số hạng trong dãy số đều có |u n |> 1 Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn 0, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn 0 Bài 3. Xác định giới hạn của các dãy số sau? GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An 8 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn 1) lim 4 1 n 2) lim 5 1 n 3) lim 1 n 4) lim 3 1 n 5) lim    ÷   1 2 n 6) lim    ÷   3 4 n Giải 1) và 2) là những dãy số có dạng u n = 1 k n nên có giới hạn là o 3) và 4) là những dãy số có dạng u n = 1 k n nên có giới hạn là o 5) và 6) là những dãy số có dạng u n = n q với |q|<1 nên có giới hạn là o Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài dãy số có giới hạn 0 đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số có giới hạn 0 đặc biệt Bài 4. Tìm giới hạn các dãy số sau. Có nhận xét gì về giá trị các số hạng trong dãy số khi n tăng 1) u n = + 1 3 n 2) u n = − 3 1 4 n Giải 1) lim( + = 1 3) 3 n vì lim   + − = =     1 1 ( 3) 3 lim 0 n n Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về 3 khi n tăng GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An 9 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn 2) lim( − =− 3 1 4) 4 n vì   − − − = =     3 3 1 1 lim ( 4) ( 4) lim 0 n n Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về -4 khi n tăng Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa Bài 5. Tìm giới hạn các dãy số sau. 1) lim   +  ÷   2 1 1 n 2) lim   −  ÷   4 3 1 1 n n 3) lim 2 n 4) lim + + 2 3 1 1 n n 5) lim + 1 3 n 6) lim − 1 3 n Giải 1) lim   + = + =  ÷   2 1 1 0 1 1 n 2) lim   − = − =  ÷   4 3 1 1 0 0 0 n n 3) lim = = 2 2.0 0 n 4) lim + + = = + + 2 3 3 2.0 3 1 1 0 1 n n GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An 10 [...]... THPT Chu Văn An SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn  2 2x − 1 − 2x + 2   x −1 Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số f(x) =   mx 2 + x  2  khi x > 1 trên khi x ≤ 1 R Phần thứ ba : Kết Luận GV : Đinh Như Mạnh Hùng 33 Trường THPT Chu Văn An SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn Đối với các bài tốn có liên quan đến phần giới hạn trong khi giảng... ÷ = +∞ ÷  Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số khi gặp các trường hợp vơ định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1 Tính các giới hạn sau: GV : Đinh Như Mạnh Hùng 15 Trường THPT Chu Văn An SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn 3n 2 + 5n+ 4 ; 2 - n2... An SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn x x(x − 2) 2 x(x − 2) = lim+ = lim+ =0 2 2 x→ 2 x→ 2 x -4 x −4 x+2 lim+ ( x - 2 ) x→ 2 Lưu ý : Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số khi gặp các trường hợp vơ định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Tính các gới hạn Bài. .. Mạnh Hùng 12 Trường THPT Chu Văn An SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn 3) là dãy số có dạng un= q n với q>1 nên có giới hạn là +∞ Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài dãy số có giới hạn vơ cực đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số có giới hạn vơ cực đặc biệt Bài 9 Tìm giới hạn các dãy số sau 3 1) lim ( 3.n ) 4) lim... của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này Bài 7 Dự đốn giới hạn của dãy số (un )và chỉ ra kết quả dự đốn đó đúng qua một vài kiểm chứng cụ thể 1) un=n3 2) un= − n giải 1) dự đốn limn3 = +∞ kiểm chứng: GV : Đinh Như Mạnh Hùng 11 Trường THPT Chu Văn An SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn với số dương 1000 ta thấy kể từ số hạng... ) ( 3.2 − 4 ) = 0 x→2 GV : Đinh Như Mạnh Hùng 21 Trường THPT Chu Văn An SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này Bài 4 Tìm giới hạn các hàm số sau x 2 - 3x + 2 x→ 2 x-2 1) lim 2) lim x +1 - 2 x →3 3x - 3.. .SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn 5) lim 6) lim 1 +3 = 0 +3 = 3 n 1 − 3 = 0 −3 = 3 n Bài 6 Tìm giới hạn các dãy số sau 1) lim sin n 1 n +1 2) lim 3 2 n +1 Giải 1) 2) 1 1 1 1 < 2 và lim 2 = 0 suy ra lim 2 =0 n +1 n n n +1 2 sin n 3 n +1 < 1 3 n 1 và lim 3 n = 0 suy ra lim sin n 3 n +1 =0 Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các. .. ÷ 3 Giải 3 1) lim ( 3.n ) = +∞ 3 2 2) lim ( n + n ) = +∞ 3) lim 4) 5) lim lim 1 =0 n + n2 4 1 n 2  3÷   = +∞ 1 n 2  − ÷ 3 = −∞ GV : Đinh Như Mạnh Hùng 13 Trường THPT Chu Văn An SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn vơ cực giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận... - 12x +11 5)lim x-2 -2 ; x -6 6) lim x →0 x →1 x →1 x →6 GV : Đinh Như Mạnh Hùng x →7 x →2 24 2- x-2 ; x 2 - 49 x2 + 5 - 3 ; x-2 Trường THPT Chu Văn An SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn Bài 4: (Tìm giới hạn dạng 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc 0 ba và bậc cao) 3 3 4x - 2 1)lim ; x →2 x-2 3 4)lim x →1 3 3 x -1 ; x - 2 +1 5)lim x →1 Bài 6: (Tính giới hạn dạng... nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính chất hàm số và tính chất dãy số Bài 2 Xác định giới hạn của các dãy số sau? 1) lim 4 x→ 3 lim 2) x →−3 x GV : Đinh Như Mạnh Hùng 4 3) xlim x →+∞ 20 Trường THPT Chu Văn An SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn 5 4) xlim x →+∞ 7) xlim →−∞ 1 x3 4 5) xlim x →−∞ 8) xlim →+∞ 5 6) xlim x →−∞ 1 x5 Giải 1) lim 4 = . An 6 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn Ghi chú: những cách biến đổi trên không là duy nhất và cũng không phải bài nào cũng giải được tuy nhiên đa số các bài trong. Văn An 13 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn vô cực giúp học. dung cho từng dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Tính các giới hạn sau: GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An 15 SKKN: hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn 2 2 3 2 2 2 3 5